Compleja:Zill-Cap1.1

Ejercicios del capítulo 1 Números complejos y el plano complejo, sección 1 Números complejos y sus propiedades del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan.

Clasificación CL: QA331.7 .Z55 2003 .

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Sección 1.1

Ejercicio 1

1. Evalué las siguientes potencias de i.

(a) $i^{8}$

(b) $i^{11}$

(c) $i^{42}$

(d) $i^{105}$

Procedimiento

A partir de la definición $i^{2}=-1$, se pueden obtener las primeras potencias de $i$

$i=i$

$i^{2}=-1$

$i^{3}=-i$

$i^{4}=1$

$i^{5}=i$

$i^{6}=-1$

$i^{7}=-i$

$i^{8}=1$

De aquí se observa que existe una sucesión en los resultados de estas potencias, además $i^{4k}=1$, para cualquier $k=1,2,3,4,...$ .

Se deduce entonces que:

\begin{equation} i^{n}=i^{4k+b}=i^{b} \end{equation}

Empleando esta fórmula de obtiene que:

(a) $i^{8}=i^{4(2)+0}=i^{0}=1$

(b) $i^{11}=i^{4(2)+3}=i^{3}=-i$

(c) $i^{42}=i^{4(10)+2}=i^{2}=-1$

(d) $i^{105}=i^{4(26)+1}=i^{1}=i$

Solución 

(a) $i^{8}=i^{4(2)+0}=i^{0}=1$

(b) $i^{11}=i^{4(2)+3}=i^{3}=-i$

(c) $i^{42}=i^{4(10)+2}=i^{2}=-1$

(d) $i^{105}=i^{4(26)+1}=i^{1}=i$

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Realizado por: Luis Santos (discusión) 14:58 12 mayo 2015 (CDT) Carlosmiranda (discusión) 15:43 21 nov 2020 (CST)

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Ejercicio 2

Escriba el numero dado, en la forma $a+ib$.

(a) $2i^{3}-3i^{2}+5i$.

Procedimiento

Aquí lo más práctico es factorizar una $i^{2}$ en el primer término y aplicar nuestra definición de $i^{2}$= $-1$ y aplicar la misma definición en el segundo término, desarrollamos y simplificamos:

$2i(i^{2})-3(i^{2})+5i=2i(-1)-3(-1)+5i=-2i+3+5i=3+3i$.

Solución 

$(a)3+3i$.

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(b) $3i^{5}-i^{4}+7i^{3}-10i^{2}-9$.

Procedimiento

Son potencias pequeñas, para hacer mas evidente todo, lo reescribiré de la siguiente forma que es equivalente:

$3i(i^{2})(i^{2})-(i^{2})(i^{2})+7i(i^{2})-10(i^{2})-9$

sustituimos $(i^{2})=-1$, desarrollamos y simplificamos:

$3i(-1)(-1)-(-1)(-1)+7i(-1)-10(-1)-9=3i-1-7i+10-9=-4i$.

Solución 

(b) $-4i$

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(c) $\frac{5}{i}+\frac{2}{i^{3}}-\frac{20}{i^{18}}$.

Procedimiento

Tomamos en cuenta que $i^{18}=-1$; $i^{3}=-i$ y reescribimos todo:

$\frac{5}{i}-\frac{2}{i}+20$.

multiplicamos por el 1 que nos convenga:

$\left(\frac{5}{i}\right)\left(\frac{i}{i}\right)-\left(\frac{2}{i}\right)\left(\frac{i}{i}\right)+20\left(\frac{i}{i}\right)=\frac{5i}{i^{2}}-\frac{2i}{i^{2}}+20$.

volvemos a tomar en cuenta $(i^{2})=-1$.

$-5i+2i+20$.

y simplificamos:

$20-3i$.

Solución

(c) $ 20-3i $

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(d) $2i^{6}+\left(\frac{2}{-i}\right)^{3}+5i^{-5}-12i$.

Tomamos en cuenta que $i^{6}=-1$,$\left(-i\right)^{3}=-i$ y $i^{5}=i$ y reescribimos:

$-2-\frac{8}{i}+\frac{5}{i}-12i$

multiplicamos por el 1 que nos convenga, desarrollamos y simplificamos:

$-2-\left(\frac{8}{i}\right)\left(\frac{i}{i}\right)+\left(\frac{5}{i}\right)\left(\frac{i}{i}\right)-12i$ = $-2+8i-5i-12i$=$-2-9i$

Solución 

(d)$ -2-9 i$

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Realizado por: Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 11:43 15 mayo 2015 (CDT)

Oscar Javier Gutierrez Varela (discusión) 21:22 15 mayo 2015 (CDT)

Carlosmiranda (discusión) 16:21 21 nov 2020 (CST)

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Ejercicio 3

Escribir el numero complejo de la forma a+ib

$\left(5-9i\right)+\left(2-4i\right)$

Procedimiento

Tenemos los números complejos:

$z_{1}=5-9i$ , $z_{2}=2-4i$

Sumamos parte real con parte real

$5+2=7$

y parte imaginaria con parte imaginaria

$(-9-4)i=-13i$

Y así tenemos el resultado:

Solución

$z_{1}+z_{2}=7-13i$

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Resuelto por: Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 17:11 15 mayo 2015 (CDT) Carlosmiranda (discusión) 16:22 21 nov 2020 (CST)

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Ejercicio 4

Escribir el número $3\left(4-i\right)-3\left(5+2i\right)$ en la forma $a+ib$.

Procedimiento

Tenemos los números complejos:

$z_{1}=3\left(4-i\right)$ , $z_{2}=-3\left(5+2i\right)$

Primero la operación producto por escalar de cada número complejo:

$z_{1}=3\left(4-i\right)=12-3i$

$z_{2}=-3\left(5+2i\right)=-15-6i$

Ahora uniendo términos semejantes seguido de la operación sustracción, tenemos:

$3\left(4-i\right)-3\left(5+2i\right)= 12-3i-15-6i =\left(12-15\right)-\left(6+3\right)i= -3-9i$

Solución 

$z=-3-9i$

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Realizado por: Emmanuell Castro Flores (discusión) 19:50 15 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 5

Escribir el número dado en la forma a + ib .

$z=i(5+7i)$

Procedimiento

Tenemos el numero complejo:

\[ i(5+7i) \]

entonces usamos la propiedad distributiva para el producto y la suma:

\[ (5i+7i^{2}) \]

y sabiendo de la definición que: \[ i^{2}=-1 \]

tenemos que el numero complejo resultante es:

\[ (5i-7) \]

representándolo en la forma:

\[ z=a+bi \]

El resultado es:

Resultado

$z=-7+5 i$

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Ejercicio resuelto por: --Usuario:Martin Flores Molina (discusión) 22:48 14 mayo 2015 (CDT) Angelina Nohemi Mendoza Tavera (discusión) 21:22 15 mayo 2015 (CDT) Carlosmiranda (discusión) 16:28 21 nov 2020 (CST)

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Ejercicio 6

Escriba el numero dado, en la forma $a+ib$

$i(4-i)+4i(1+2i)$

Procedimiento

Únicamente operamos y resolvemos:

$i(4-i)+4i(1+2i)=4i-i^2+4i+8i^2=(1-8)+i(4+4)=-7+i8$

Solución

$z=-7+8i$

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Fernando Vazquez V. (discusión) 00:08 15 mayo 2015 (CDT) Carlosmiranda (discusión) 16:32 21 nov 2020 (CST)

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Ejercicio 7

Escribir de la forma $(a+bi)$

$(2-3i)(4+i)$

Procedimiento 

Así que desarrollando: $(2-3i)(4+i)=8-3(-1)-12i+2i=11-10i$

Además, por la definición de multiplicación entre números complejo se tiene que:$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+i(bc+ad)$

Entonces:

\[ (2-3i)(4+i)=(8+3)+i(2-12)=11-i10 \]

Solución

$z=11-10i$

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Resuelto por --A. Martín R. Rabelo (discusión) 21:20 12 mayo 2015 (CDT)

Comentario: Uso de la forma polar el resultado puede ser mas directo y permite observarse el fenómeno de rotación en el plano complejo si utilizamos su forma polar tal que La multiplicación de dos números complejos(2-3i)(4+i)=(8+3)+i(2-12)=11-10i es otro número complejo tal que:

Su módulo es el producto de los módulos.

$\alpha_4$ Su argumento es la suma de los argumentos

\[ r1 \alpha * r2 \alpha = r1 r2 (\alpha +\alpha)\]

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Ejercicio 8

Escribir el numero dado de la forma Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): a+ib .

$\left( \frac{1}{2}-\frac{1i}{4}\right) \left( \frac{2}{3}+\frac{5i}{3}\right)$

Procedimiento

Realizando el producto se tiene::

$\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1i}{4}}\right)\left({\frac {2}{3}}+{\frac {5i}{3}}\right)={\frac {2}{6}}+{\frac {5i}{6}}-{\frac {2i}{12}}-{\frac {5i^{2}}{12}}$

Sabemos que: $i^{2}=-1$

Y además $(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+i(bc+ad)$

Por lo tanto: $\left( \frac{1}{2}-\frac{1i}{4}\right) \left( \frac{2}{3}+\frac{5i}{3}\right) = \frac{3}{4}+\frac{2i}{3}$

Solución

$z= \frac{3}{4}+\frac{2i}{3} $

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Realizado por: Nancy Martínez Durán (discusión) 15:05 14 mayo 2015 (CDT)

Carlosmiranda (discusión) 19:11 21 nov 2020 (CST)

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Ejercicio 10

Escribir el numero dado de la forma $a+ib$.

Procedimiento

$\frac{i}{1+i}$

Multiplicando y dividiendo por el conjugado del denominador se tiene:

$\frac{i}{1+i}\cdot\frac{1-i}{1-i}$

Se realizan las operaciones correspondientes.

$\frac{i(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{i-i^{2}}{1-i+i-i^{2}}=\frac{i+1}{1+0+1}=\frac{1}{2}+i\cdot\frac{1}{2}$

Solución

$z= \frac{1}{2}+\frac{i}{2}$

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Realizado por: Tlacaelel Cruz (discusión) 20:46 12 mayo 2015 (CDT)

Carlosmiranda (discusión) 19:31 21 nov 2020 (CST)

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Ejercicio 11

Escribe el numero dado en la forma $a+ib$.

:${\dfrac {(2-4i)}{(3+5i)}}$

Procedimiento

Para resolver este problema multiplicaremos el numerador y el denominador por el conjugado de $3-5i$ del denominador $3+5i$ y al realizar las operaciones correspondientes obtendríamos:

${\dfrac {2-4i}{3+5i}}{\dfrac {3-5i}{3-5i}}={\dfrac {(6-10i-12i+20i^{2})}{(3^{2}+5^{2})}}={\dfrac {-14-22i}{34}}$ donde $i^2=-1$

De manera que buscamos la forma $a+bi$, reescribimos el ultimo resultado de tal manera que nos quede:

${\dfrac {(2-4i)}{(3+5i)}}=-{\frac {7}{17}}-{\frac {11}{17}}i$

Solución

$z= -\frac{7}{17}-\frac{11 i}{17}$

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Realizado por: Miguel Medina Armendariz (discusión) 11:07 15 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 12

Escriba el numero complejo $z$ en la forma $a+ib$

:$z={\dfrac {(10-5i)}{(6+2i)}}$

Procedimiento

Como tenemos una división $z_1/z_2$ para resolverla es necesario multiplicar a $z$ por el conjugado del denominador, al hacer esto deberán de hacer las operaciones correspondientes

$z={\dfrac {10-5i}{6+2i}}{\dfrac {6-2i}{6-2i}}={\dfrac {(10-5i)(6-2i)}{(6+2i)(6-2i)}}$

Reduciendo términos semejantes obtenemos:

$z={\dfrac {50-50i}{40}}$

Solución

$z=\dfrac{50-50i}{40}$

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Realizado por: Angelina Nohemi Mendoza Tavera (discusión) 15:00 14 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 13

Escriba la operación en la forma $a+ib$.

$(1+i)^{2}(1-i)^{3}$

Procedimiento

Esto podemos representarlo como:

$(1+i)^{2}(1-i)^{3}$=$(1+i)^{2}(1-i)^{2}(1-i)$

además:

$(1+i)^{2}(1-i)^{2}$=$[(1+i)(1-i)]^{2}$

así:

$(1+i)^{2}(1-i)^{2}(1-i)=[(1+i)(1-i)]^{2}(1-i)=(1+1)^2(1-i)=2^{2}(1-i)=4-4i$

Solución

$z=4-4i$

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Realizado por: Francisco Medina Albino (discusión) 14:37 14 mayo 2015 (CDT)

Carlosmiranda (discusión) 19:42 21 nov 2020 (CST)

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Ejercicio 14

Escribir el número dado en la forma $a+ib$.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{(1+i)(1-2i)}{(2+i)(4-3i)}

Procedimiento

Desarrollamos los productos:

${\frac {(1+i)(1-2i)}{(2+i)(4-3i)}}={\frac {1-2i+i-2i^{2}}{8-6i+4i-3i^{2}}}$

Tomando en cuenta que$i^{2}=-1$.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): = \frac{3-i}{11-2i}

Multiplicando por el conjugado $\bar{z}$.

$\left({\frac {3-i}{11-2i}}\right)\left({\frac {11+2i}{11+2i}}\right)={\frac {35-5i}{125}}={\frac {7-i}{25}}$

Por lo tanto expresando en la forma $a+ib$.

${\frac {(1+i)(1-2i)}{(2+i)(4-3i)}}={\frac {7}{25}}-{\frac {1}{25}}i$

Solución 

$z=\frac{7}{25}-\frac{1}{25}i$

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Resuelto por --Severo Martinez Samantha B. (discusión) 21:05 15 mayo 2015 (CDT) Carlosmiranda (discusión) 19:49 21 nov 2020 (CST)

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Ejercicio 15

Escribe el numero dado en la forma $(a+bi)$

${\frac {(5-4i)-(3+7i)}{(4+2i)+(2-3i)}}$

Procedimiento

Para poder solucionar este problema lo primero que debemos realizar son las sumas y las restas de los paréntesis teniendo en cuenta que se suman partes reales con reales y partes imaginarias con imaginarias asi tendremos:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{(5-4i)-(3+7i)}{(4+2i)+(2-3i)}=\frac{2-11i}{6-i}

El siguiente paso consiste en multiplicar y dividir por el conjugado del denominador así:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): (\frac{2-11i}{6-i})(\frac{6+i}{6+i})

Una vez realizando la multiplicación obtendremos:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): (\frac{2-11i}{6-i})(\frac{6+i}{6+i})=\frac{33-64i}{37}

y dividiendo ambos términos por 37 obtendremos el numero de la forma $(a+bi)$ esto es:

${\frac {(5-4i)-(3+7i)}{(4+2i)+(2-3i)}}=({\frac {33}{37}})-({\frac {64}{37}})i$

Solución

$z= \left (\frac{33}{37} \right )-\left (\frac{64 i}{37} \right ) $

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Resuelto por --Cristian Alfredo Ruiz Castro (discusión) 19:05 14 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 20

Escriba el numero dado, en la forma Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): a + ib .

$(2+3i)(\dfrac{2-i}{1+2i})^2$

Procedimiento

Desarrollando el término cuadrático tenemos que.

$(2+3i)(\dfrac{4-4i+i^2}{1+4i+4i^2})$

Pero tomando en cuenta que $i^2=1$, entonces:

$(2+3i)(\dfrac{3-4i}{-3+4i})= (2+3i)(\dfrac{3-4i}{-(3-4i)})= (2+3i)(-1)$

Solución  

$ z = -2-3i$

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Realizado por: Arnold B. Herrera Rubert (discusión) 20:15 15 mayo 2015 (CDT) Carlosmiranda (discusión) 19:56 21 nov 2020 (CST)

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Ejercicio 26

En el problema, encontrar Re(z) e Im(z).

$z=\frac{1}{(1+i)(1-2i)(1+3i)}$

Procedimiento

Simplificamos la expresión dada:

$\frac{1}{(1+i)(1-2i)(1+3i)}=\frac{1}{(1-2i+i-2i^{2})(1+3i)}=\frac{1}{(3-i)(1+3i)}=\frac{1}{(3+9i-i-3i^{2})}=\frac{1}{6+8i}$

Ahora multiplicamos este último resultado por $\bar{z}$ (cociente de conjugados de ${z}$) . Así tenemos:

$z.(\bar{z}/\bar{z})=(\frac{1}{6+8i})(\frac{6-8i}{6-8i})=\frac{6\text{-}8i}{36-48i+48i-64i^{2}}=\frac{6-8i}{100}=\frac{3}{50}-\frac{2}{25}i$

Por lo que:

$Re(z)=\frac{3}{50}$; $Im(z)=-\frac{2}{25}i$

Solución

$z=-\frac{2}{25}i$

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Resuelto por: Alejandro Juárez Toribio Alejandro Juárez Toribio (discusión) 16:42 13 mayo 2015 (CDT) Carlosmiranda (discusión) 20:00 21 nov 2020 (CST)

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Ejercicio 27

Sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z = x + iy . Exprese la cantidad dada en términos de $x$ e $y$

Re$\left({\frac {1}{z}}\right)$

Procedimiento 

Donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \dfrac{1}{z} se define como el inverso del número Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z : \[ \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{x+ i y}\]

\[ \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{x+ i y}\dfrac{x - i y}{x- i y} = \dfrac{x + i y }{x^{2} + y^{2}} \]

Si $Re >0$ y $x>0$ esto resulta: \[ \dfrac{x}{x^{2} + y^{2}} \]

Solución

$ Re\left ( \frac{1}{z} \right ) =\left (\frac{x}{x^{2}+{y}^{2}} \right )$

Si $x^{2}+{y}^{2}\neq 0$

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Realizado por: Esther Sarai (discusión) 00:32 15 mayo 2015 (CDT) Esther Sarai Carlosmiranda (discusión) 20:20 21 nov 2020 (CST)

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Ejercicio 35

Demostrar que el número complejo dado cumple la condición y encuentra otro número que la cumpla $z_2$:

$z^2 + i = 0$;

$z_1 = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i$

Procedimiento

$z_1^2=z_1 z_1 = (-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i)(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i)=\dfrac{2}{4}-\dfrac{2}{4}i-\dfrac{2}{4}i-\dfrac{2}{4}$

$z_1^2=(\dfrac{2}{4}-\dfrac{2}{4})-(\dfrac{2}{4}+\dfrac{2}{4})i=-i$

Sustituimos:

$z_1^2+i=-i+i=0$

Solución

Dado que $z_1=i$

$z_1= -\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i$

es solución a la ecuación

$z^2 + i = 0$

b) Encontrar otro número que cumpla la ecuación.

Procedimiento 

Otro número que cumple la misma condición podría ser el obtenido con un cambio de signo entre su parte $Re(z_1)$ e $Im(z_1)$:

$z_2=\frac{\sqrt{2}}{4}-\dfrac{\sqrt{2}}{4}i$

Resolvemos la ecuación para $z_2$;

$z_2^2=z_2z_2=(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{2}{2}i)(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{2}{2}i)=\dfrac{2}{4}-\dfrac{2}{4}i-\dfrac{2}{4}i-\dfrac{2}{4}$

$z_2^2=(\dfrac{2}{4}-\dfrac{2}{4})-(\dfrac{2}{4}+\dfrac{2}{4})i=-i$

Sustituimos:

$z_2^2+i=-i+i=0$

Solución 

El número $z_2=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}i$ cumple también la condición $z^2+i=0$.

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Ejercicio resuelto por: --Oscar Javier Gutierrez Varela (discusión) 19:43 12 mayo 2015 (CDT)

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Nota adicional:

Siendo $z=a+ib$

$z^{2}$ puede obtenerse al desarrollar $(a+ib)^{2}=a^{2}+2iab-b^{2}=(a^{2}-b^{2})+2abi$

Donde se empleo la definición $i^2 =-1$

De aquí puede observarse que

$z^{2}=(-z)^{2}$

Y ya que

$\frac{-\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$

es una solución

también lo sera:

$\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i$

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Nota adicional por: Luis Santos (discusión) 22:12 12 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 37

Encontrar $z$ en la forma $z = a+bi$ tal que:

$2z=i(2+9i)$

Procedimiento 

Por la definición de igualdad números complejos $z_1=z_2$ si y solo si $a_1=a_2$ y $b_1=b_2$

$2(a+ib)=i(2+9i)$ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): 2a+2bi=-9+2i

Despejando para $a$ y $b$ $2a=-9,a={\frac {-9}{2}}$ $2b=2,b=1$

Por lo tanto $z$ se puede expresar de la siguiente forma:

$z={\frac {-9}{2}}+i$

Solución

$z=\frac{-9}{2}+ i$

Donde:

a=$\frac{-9}{2}$

b=$1$

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Realizado por: Carlosmiranda (discusión) 20:39 21 nov 2020 (CST)

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Ejercicio 44

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones para $z_{1}$ y $z_{2}$.

\begin{eqnarray*} iz_1+(1+i)z_2=1+2i \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} (2-i)z_1+2iz_2=4i \end{eqnarray*}

Procedimiento

Multipliquemos la primera ecuación por $i$ y la segunda por $\frac{1}{2-i}$

Lo cual resulta en el par de ecuaciones:

$-z_1+(1+i)iz_2=(1+2i)i$

$z_1 +\frac{2i}{2-i}z_2=4i $

Desarrollando un poco se tiene que:

$-z_1+(-1+i)z_2=(-2+i)i$

$z_1+\frac{-2+4i}{5}z_2=4i$

Realizando la suma entre estas dos ecuaciones:

$\left (\frac{-7}{5}+\frac{9i}{5} \right )z_2=-2+4i$

Despejando $z_2$ se obtiene que:

$z_2=\frac{25}{13}-\frac{5i}{13}$

Sustituyendo este valor de $z_2$ En la primera ecuacion, se tiene:

$iz_1+(1+i)\frac{25}{13}-\frac{5i}{13}=1+2i$

Realizando la multiplicación:

$iz_1+\left (\frac{30}{13}+\frac{20i}{13} \right )=1+2i$

$iz_1=\left (\frac{-17}{13}+\frac{6i}{13} \right )$

Finalmente multiplicando ambos lados por $-i$

$z_1=\left (\frac{6}{13}+\frac{17i}{13} \right )$

Solución

$z_1=\left (\frac{6}{13}+\frac{17i}{13} \right )$

$z_2=\frac{25}{13}-\frac{5i}{13}$

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Realizado por: *****Anahi Limas (discusión) 20:21 14 mayo 2015 (CDT) Carlosmiranda (discusión) 22:53 21 nov 2020 (CST)

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Ejercicio 45

¿Qué se puede decir sobre el numero complejo $z$ si $z=\overline{z}$?, y ¿si $(z)^{2}=(\overline{z})^{2}$?

Procedimiento

Considerando $z=a+ib$, por definicion su conjugado es $\overline{z}$, analizándolo desde el plano complejo, considerando a la parte real como el eje x y a la parte imaginaria como el eje y, $z$ seria una reflexión respecto al eje x. Por otro parte para que la primer condición dada se cumpla se necesita lo siguiente: \[ z=\overline{z}\Leftrightarrow z\in\mathbb{R} \]

O mejor dicho $z=\overline{z}\Leftrightarrow z=a+i0$

Es decir, un numero complejo es igual a su conjugado si y solo si la parte imaginaria del conjugado es igual a cero, lo que quiere decir que solo es un número real.

Para el segundo caso

\[ (z)^{2}=(\overline{z})^{2}\Leftrightarrow z=a+i0 \]

Desarrollando ambos lados de la ecuación, tenemos lo siguiente:

\[ (a^{2}-b^{2})+i(2ba)=(a^{2}+b^{2})-i(2ba) \]

La ecuación anterior solo es valida si $b=0\Rightarrow z=a+i0$, lo que implica que tiene que ser un número real.

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Realizado por: Jose Emmanuel Flores Calderón (discusión) 20:38 14 mayo 2015 (CDT) Carlosmiranda (discusión) 22:57 21 nov 2020 (CST)

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Ejercicio 49

Asumiendo por el momento que ${\sqrt {1+i}}$ tiene sentido en el sistema de números complejos. ¿Cómo demostraría la validez de la ecuación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \sqrt{1+i}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{2}}+i\sqrt{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{2}}  ?

Procedimiento

Tenemos que ${\sqrt {1+i}}$; sólo tiene sentido sí $\left({\sqrt {1+i}}\right)^{2}=1+i$.

${\sqrt {1+i}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}}}+i{\sqrt {-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}}}.$ $1+i=\left({\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}}}+i{\sqrt {-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}}}\right)^{2}.$

Desarrollamos el binomio cuadrado:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1+i=\left(\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{2}}\right)^{2}+2i\left(\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{2}}\right)\left(\sqrt{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{2}}\right)+i^{2}\left(\sqrt{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{2}}\right)^{2}. }

$1+i=\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\right)+2i\left({\sqrt {\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\right)^{2}-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\right)-\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\right).$

$1+i={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}+2i\left({\sqrt {{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}}}\right)+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}.$ Simplificamos y eliminamos términos:

$1+i=1+2i{\sqrt {\frac {1}{4}}}.$

$1+i=1+2i\left({\frac {1}{2}}\right).$

$1+i=1+i.$

Por lo tanto ${\sqrt {1+i}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}}}+i{\sqrt {-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}}}.$

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Elaborado por --Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 17:50 15 mayo 2015 (CDT) Carlosmiranda (discusión) 23:02 21 nov 2020 (CST)

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Ejercicio 50

Suponga que: $z_{0},z_{1}\epsilon C$. ¿Que podemos decir acerca de $z_{0},z_{1}$, sí $z_{0}*z_{1}=0$?

Procedimiento

Primero desarrollaremos la multiplicación de los números $z:$

$z_{0}*z_{1}=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$

Pero la multiplicación de ambos números complejos es igual a cero::

$(ac-bd)+(ad+bc)i=0$

Siendo $0=0+0i$.

Ahora como tenemos una igual $(ac-bd)+(ad+bc)i=0+0i$.

Esto pasa sí y sólo sí la parte real es igual a parte real e imaginaria con imaginaria, observamos que tenemos un sistema de ecuaciones::

$ac-bd=0$

$ad+bc=0$

Por lo que::

$a={\frac {bd}{c}}$

Primero desarrollando en $d:$

$d={\frac {-bc}{a}}={\frac {-bc}{\frac {bd}{c}}}={\frac {-c^{2}}{d}}$

Vemos que::

$d^{2}=-c^{2}$

Por lo que $d$ debe ser:

$d=ci$

Ahora sí sustituimos en $a$

$a={\frac {bd}{c}}={\frac {cib}{c}}=bi$

Por lo que de los valores obtenidos, sí sustituimos en cualquier número $z_{0} ó z_{1}$, tenemos que::

$z_{0}=a+bi=a+(ai)i=a-a=0$

ó

$z_{1}=c+di=c+(ci)i=c-c=0$

Solución

Por lo anterior, Podemos decir que:

1. $z_{0}=0$

2. $z_{1}=0$

3. $z_{0}=z_{1}=0$

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Realizado por: Pablo (discusión) 23:45 14 mayo 2015 (CDT)

Carlosmiranda (discusión) 23:36 21 nov 2020 (CST)

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Ejercicio 51

Suponga que el producto $z_1\cdot z_2$ de dos números complejos es una constante real, y además diferente de cero. Mostrar que $z_2=k{\bar{z}}_1$, donde $k$ es un número real.

Procedimiento:

Sea $z_1z_2=\alpha$; con ($\alpha\in\mathbb{R}-\{0\}$).Como $z_1z_2\neq 0 \Longrightarrow (z_1\neq0 \wedge z_2\neq0) $

$z_1z_2=\alpha\Longrightarrow {z_1}^{-1}(z_1z_2)={z_1}^{-1}(\alpha)\Longrightarrow ({z_1}^{-1}z_1)z_2={z_1}^{-1}\alpha \Longrightarrow z_2=\frac{\alpha}{z_1} \Longrightarrow z_2=\frac{\alpha}{z_1}\frac{\bar{z}_1}{\bar{z}_1} \Longrightarrow z_2=\frac{\alpha\bar{z}_1}{{\mid z_1 \mid}^2} $

Si $ k\equiv \frac{\alpha}{{\mid z_1 \mid}^2}$ entonces $ k \in\mathbb{R}$, ya que $(\alpha\in\mathbb{R}-\{0\})\wedge ({\mid z_1 \mid}^2\in\mathbb{R}-\{0\})$.

Por lo tanto: $ z_2=k{\bar{z}}_1 $

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Realizado por: Alan Daniel Barrón Posadas (discusión) 23:27 15 mayo 2015 (CDT) Carlosmiranda (discusión) 23:44 21 nov 2020 (CST)

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