Compleja:Zill-Cap4.2
Ejercicios del capítulo 4, sección 2 del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan.
Sección 4.2
Ejercicio 1
Determine todos los valores de la potencia compleja dada. \[ (-1)^{3i}=(1\,e^{-i\pi})^{3i}=e^{3i\,Ln(-1)} \]
Procedimiento
Recordemos que: \[ Ln(-1)=\log_{e}(|-1|)+iArg(-1)=0+i\left(\pi+2n\pi\right)\;\;\; ,\mathrm{cuando}\;n \in\mathbb{Z} \] Entonces:
Solución
\[ (-1)^{3i}=e^{3i\left[i\left(\pi+2n\pi\right)\right]}=e^{-3\left(\pi+2n\pi\right)}=e^{-3\pi\left(1+2n\right)}=e^{-3\pi\left(2n+1\right)}\;\;\; ,\mathrm{cuando}\;n \in\mathbb{Z} \]
Tlacaelel Cruz (discusión) 22:17 3 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 2
Determine todos los valores de la potencia compleja dada.
2.- $3^{\frac{2i}{\pi}}$
Sabemos que:
$z^{\alpha}=e^{\alpha lnz}$
Entonces:
\[ 3^{\frac{2i}{\pi}}=e^{\frac{2i}{\pi}ln3} \]
Por otra parte
$lnz=log_{e}|z|+iarg(z)$
$ln3=log_{e}3+i(2\pi n)$
Sustituyendo el resultado anterior
$3^{\frac{2i}{\pi}}=e^{\frac{2i}{\pi}ln3}=e^{\frac{2i}{\pi}[log_{e}3+i(2\pi n)]}=e^{-4n+i\frac{2}{\pi}log_{e}3}=e^{-4n}[cos(\frac{2}{\pi}log_{e}3)+isin(\frac{2}{\pi}log_{e}3)]$
Finalmente tenemos:
\[ 3^{\frac{2i}{\pi}}=e^{-4n}[cos(\frac{2}{\pi}log_{e}3)+isin(\frac{2}{\pi}log_{e}3)] \] \[ n=0,\pm1,\pm2,... \]
--Fernando Vazquez V. (discusión) 03:36 7 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 3
Encuentra los valores de la potencia compleja dada
$(1 + i)^{1-i}$
Para encontrar una potencia compleja sabemos que
$z^{\alpha} = e^{\alpha lnz}$
Aplicando esta definición a la potencia compleja dada tenemos:
$(1 + i)^{1-i} = e^{(1-i)ln(1+i)}$
Pero:
$Ln(1+i) = \frac{1}{2} \log_{e}(2) + \frac{(8n+1) \pi}{4} i$
Sustituyendo este valor en nuestra potencia nos da:
$(1 + i)^{1-i} = e^{(1-i) [\frac{1}{2} \log_{e}(2) + \frac{(8n+1) \pi}{4} i]}$
$(1 + i)^{1-i}=\frac{e^{\frac{1}{2} \log_{e}(2) }e^{\frac{(8n+1) \pi}{4}(1+i)}}{cos(log_{e}2)+isin(log_{e}2)}$
Esta es la función a evaluar para obtenerlos valores de la potencia, donde $n = 0, \pm 1, \pm 2, . . .$
Angelina Nohemi Mendoza Tavera (discusión) 23:24 4 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 4
determine los valoresde la potencia compleja dada
4.- $(1+\sqrt{3}i)^{i}$
suponga que $z=1+\sqrt{3}i$ entonces
$(1+\sqrt{3}i)^{i}=z^{i}$
asi
$z^{i}=e^{iln\:z}$
pero $ln\:z=ln(1+\sqrt{3}i)=log_{e}\mid1+\sqrt{3}i\mid+iArg(1+\sqrt{3}i)=log_{e}2+i(\frac{\pi}{3}+2n\pi)$
$z^{i}=e^{i(log_{e}2+i(\frac{\pi}{3}+2n\pi))}=e^{ilog_{e}2}e^{i^{2}(\frac{\pi}{3}+2n\pi)}=e^{-\frac{\pi}{3}+2n\pi}e^{ilog_{e}2}$
$e^{-\frac{\pi}{3}+2n\pi}e^{ilog_{e}2}=e^{-\frac{\pi}{3}+2n\pi}(cos(log_{e}2)+isin(log_{e}2))=e^{\frac{\pi(6n-1)}{3}}(cos(log_{e}2)+isin(log_{e}2))$
entoces:
$(1+\sqrt{3}i)^{i}=e^{\frac{\pi(6n-1)}{3}}(cos(log_{e}2)+isin(log_{e}2))$
--Francisco Medina Albino (discusión) 02:27 5 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 5
Determine todos los valores de la potencia compleja $(-i)^i$
$Solución: $
Si, $z=-i$
Entonces $|z|=1$ y $Arg(-1)=-\frac{\pi}{2}+2n\pi$
Por lo anterior tengo $Ln(-i)$ = $log_{e} 1+ i\left(-\frac{\pi}{2} + 2n\pi\right)$
Y sé que, $log_{e} 1=0$
Así, simplificando: $Ln(-i) =\frac{(4n-1)}{2} \pi i$
Y aplicando la definición de las potencias complejas $z^{\alpha} = e^{\alpha Lnz}$ y si $\alpha=i$, tengo :
$(-i)^i= e^{i Ln(-i)}$ = $e^{i[(4n-1)\pi i /2]}$= $e^{-1[(4n-1)\pi/2]}$= $e^{(-4n+1)\pi/2}$
Finalmente $(-i)^i$=$e^{(-4n+1)\pi/2}$
--Emmanuell Castro Flores (discusión) 21:05 5 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 6
In Problems 1\textendash 6, find all values of the given complex power.
traduccion:
En los problemas 1-6 , encontrar todos los valores de la potencia compleja dado.
$_{\left(ei\right)^{\sqrt{2}}}$
usando el algoritmo para la potencia compleja tenemos:
$z^{\alpha}=e^{\alpha\left(ln\left(z\right)\right)}$
$z^{\alpha}=e^{\alpha\left(ln\left(\left[z\right]\right)+iarg\left(z\right)\right)}$
aplicandolo a la potencia pedida en el ejercicio dado tenemos:
$_{\left(ei\right)^{\sqrt{2}}=e^{\left(\sqrt{2}\right)ln\left(ei\right)}}$
$\left(ei\right)^{\sqrt{2}}=e^{\sqrt{2}\left(ln\left(e\right)+iarg\left(\frac{e}{0}\right)\right)}$
$\left(ei\right)^{\sqrt{2}}=e^{\sqrt{2}\left(1+i\left(\frac{pi}{2}+2kpi\right)\right)}$
$\left(ei\right)^{\sqrt{2}}=e^{\left(\sqrt{2}+i\sqrt{2}\left(\frac{pi}{2}+2kpi\right)\right)}$
$\left(ei\right)^{\sqrt{2}}=e^{\sqrt{2}}e^{i\left(\frac{pi}{2}+2kpi\right)}$
--Martin Flores Molina (discusión) 13:45 6 junio 2015 (CDT) ----
Ejercicio 7
determine el valor principal de la potencia compleja dada
$(-1)^{3i}$
$z=-1$
$|z|=1$
$Arg(-1)=\pi$
por lo que
$Ln(-1)=log_{e}1+i\pi$
entonces definimos $\alpha=3i$
por lo tanto
$(-1)^{3i}=e^{(3i)Ln(-1)}=e^{(3i)(log_{e}1+i\pi)}$
--Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 23:59 4 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 8
Determine el valor principal de la potencia compleja dada
$(3)^{2i/\pi}$
Generalmente se sabe que $z^{α}= e ^{αlnz}$
Donde $z=3$ y $|z|=3$
$Arg(3)=\pi$
Así podemos decir que
$Ln(3)=log_{e}3+i\pi$
y sabemos que $\alpha=2i/\pi$
por lo tanto
$z^{α}= e ^{αlnz}=e^{(2i/\pi)Ln(3)}$
Miguel Medina Armendariz (discusión) 14:56 7 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 9
Determina el valor principal de la potencia.
$(2)^{4i}$
Si se sabe:
$z^{α}= e ^{αlnz}$
Entonces:
$z=2$
$|z|=2$
$Arg(2)=\pi$
Po lo que:
$Ln(2)=log_{e}2+i\pi$
ya que:: $\alpha=4i$
Por lo tanto:
$(2)^{4i}=e^{(4i)Ln(2)}=e^{(4i)(log_{e}2+i\pi)}$
Nancy Martínez Durán (discusión) 05:19 5 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 10
Determinar el valor de la potencia dada:
$i^{\frac{i}{\pi}}$
Solución:
Por definición sabemos que:
$lnz=log_{e}\left|z\right|\acute{\imath}arg\left(z\right)$ ...(1)
Entonces procedemos a sacar la magnitud y el argumento de z
Por lo cual tenemos:
$z=i$ , $\left|z\right|=1$ , $arg\left(z\right)=\frac{\pi}{2}$
Entonces por (1) tenemos:
$lni=log_{e}i+i\frac{\pi}{2}$
También sabemos por definición que:
$z^{\alpha}=e^{\alpha lnz}$
Por lo cual tenemos por propiedades de logaritmo usando la definición anterior da como resultado:
$i^{\frac{i}{\pi}}=e^{\frac{i}{\pi}lni}=e^{\frac{i}{\pi}\left(log1+\frac{i\pi}{2}\right)}=e^{-\frac{1}{2}}$
Resuelto por Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 22:27 5 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 11
Determine el valor principal del la potencia compleja dada.
Para encontrar el valor principal vamos a utilizar lo siguiente:
Ahora bien como sabemos para encontrar el logaritmo de un complejo necesitamos tanto su modulo como su argumento principal, asi identificando : Error al representar (error de sintaxis): |z|= \sqrt{(1)²+(\sqrt{3})²}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2
Asi calculando su logaritmo tenemos:
Ahora para calcular el valor principal identificamos:
Sustituyendo en (*)
Desarrollando:
Error al representar (error de sintaxis): (1+\sqrt{3}i)^{3i}= e^{3ilog_e 2+ 3i²\frac{\pi}{3}}
Ahora bien sabemos que podemos reescribir de la manera siguiente:
Para lo cual calculando tenemos que el valor principal de la potencia es:
--Anahi Limas (discusión) 10:01 7 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 12
Determinar el valor principal de la potencia compleja dada.
$(1+i)^{2-i}$
Si $\alpha$ es un número complejo entonces la función definida por
$z^{\alpha}=e^{\alpha Lnz}.......(1)$
Es el valor principal de la potencia compleja $z^{\alpha}$
Ahora, de (1) identificamos $z=1+i$
y $\alpha=2-i$
de donde $|z|=\sqrt{2}$
y $Arg(1+i)=\frac{\pi}{4}$
y dado que el valor principal del logaritmo complejo se define como:
$Lnz=log_{e}|z|+iArg(z)$
Podemos entonces escribir:
$Lnz=log_{e}\sqrt{2}+i\frac{\pi}{4}$
y entonces (1) queda de la forma:
$(1+i)^{2-i}=e^{(2-i)(log_{e}\sqrt{2}+i\frac{\pi}{4})}$
Y haciendo los numeritos:
$(1+i)^{2-i}=e^{(2-i)log_{e}\sqrt{2}+(2-i)(i\frac{\pi}{4})}$
$(1+i)^{2-i}=e^{(2-i)log_{e}\sqrt{2}+i\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}}$
$(1+i)^{2-i}=e^{2log_{e}\sqrt{2}-ilog_{e}\sqrt{2}+i\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}}$
Que se puede expresar como:
$(1+i)^{2-i}=e^{\frac{\pi}{4}+log_{e}2-i(log_{e}\sqrt{2}+\frac{\pi}{2})}=e^{(\frac{\pi}{4}+log_{e}2)}(cos(-log_{e}\sqrt{2}+\frac{\pi}{2})+isen(-log_{e}\sqrt{2}+\frac{\pi}{2}))$
Tenemos entonces:
$(1+i)^{2-i}=1.49+i4.1257$
--A. Martín R. Rabelo (discusión) 15:40 7 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 12 (solución alternativa)
Solución alternativa:
Ejercicio 12.-$\left(1+i\right)^{2-i}$
Se hace uso de la relación: $z^{\alpha}=e^{\alpha lnz}$
donde $z=1+i$ y $\alpha=2-i$
calculamos, primero :
$\ln\left(1+i\right)=\log_{e}\left|z\right|+i\arg\left(z\right)=\log_{e}\left(\sqrt{2}\right)+i\left(\frac{\pi}{4}\right)$
después: $\alpha\left(\ln z\right)=\left(2-i\right)\left(\log_{e}\left(\sqrt{2}\right)+i\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)=2\log_{e}\sqrt{2}+\frac{\pi}{4}+i\left(\frac{\pi}{2}-log_{e}\sqrt{2}\right)$
Así, se tiene que la potencia compleja $\left(1+i\right)^{2-i}$ se puede reescribir como:
.
$\left(1+i\right)^{2-i}=e^{2\log_{e}\sqrt{2}+\frac{\pi}{4}+i\left(\frac{\pi}{2}-\log_{e}\sqrt{2}\right)}=e^{2\log_{e}\sqrt{2}}e^{\frac{\pi}{4}}e^{i\frac{\pi}{2}}e^{-i\log_{e}\sqrt{2}}$
$=2e^{\left[\frac{\pi}{4}+i\left(\frac{\pi}{2}-\log_{e}\sqrt{2}\right)\right]}=2\left\{ e^{\frac{\pi}{4}}\left[cos\left(\frac{\pi}{2}-\log_{e}\sqrt{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{2}-\log_{e}\sqrt{2}\right)\right]\right\} \approx1.4900+4.1257i$
Por lo que:
$\left(1+i\right)^{2-i}\approx1.4900+4.1257i$
--Alejandro Juárez Toribio (discusión) 16:16 7 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 13
13. Verificar que $\frac{z^{\alpha_1}}{z^{\alpha_2}}=z^{\alpha_1-\alpha_2}$ para $z\neq0$.\\
Solución:
Sea : $z^{\alpha_1}=e^{\alpha_1 \ln z}$ y $z^{\alpha_2}=e^{\alpha_2 \ln z}$ con $z\neq0$
\begin{align*} \frac{z^{\alpha_1}}{z^{\alpha_2}}&=\frac {e^{\alpha_1 \ln z}}{e^{\alpha_2 \ln z}}&\textrm{(por definición.)}\\ &=e^{\alpha_1 \ln z - \alpha_2 \ln z}&\textrm{(por el ejercicio 47, sección 4.1.)}\\ &=e^{(\alpha_1 - \alpha_2 )\ln z}&\textrm{(distributividad en los complejos.)}\\ &=z^{\alpha_1 - \alpha_2}&\textrm{(por definición.)}\\ \end{align*}
Alan Daniel Barrón Posadas (discusión) 13:28 7 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 15
Determine la derivada de la función $z^{3/2}$ en el punto $z=1+i$. Sea $z^{\alpha}$ el valor principal de la potencia compleja definida en el dominio $|z|>0$, $-\pi < arg(z)< \pi$
$Solución: $
Ya que el valor principal de la potencia compleja $z^{\alpha}$ esta definida en el dominio $|z|>0$, $-\pi < arg(z)< \pi$, entonces es derivable y
$\frac{d}{dz} z^{\alpha} = \alpha z^{\alpha-1}$
Derivando
$\frac{d}{dz} z^{\frac{3}{2}}= \frac{3}{2} z^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} (1+i)^{\frac{1}{2}}$ , $...(1)$
Como $z=(1+i)$ , y del valor principal de la potencia compleja tengo que $z^{\alpha} = e^{\alpha lnz}$, con $\alpha=1/2$
entonces $z^{\frac{1}{2}}=e^{(1/2)ln(1+i)}$ , $...(2)$
Para saber el valor de $ln(1+i)$ uso valor principal del logaritmo complejo, y si $|z|=\sqrt{2}$ , $Arg(z)=\frac{\pi}{4}$ Entonces: $ln(1+i)=log_{e} \sqrt{2} + \frac{\pi}{4}i$ , $...(3)$
Así, sustituyendo $(3)$ en $(2)$ :
$z^{1/2}=e^{(1/2) ln(1+i)}$= $e^{(1/2) log_{e} \sqrt{2} + \frac{\pi}{4}i}$ = $\sqrt[4]{2} e^{\frac{\pi}{8}i} $
Ahora sustituyendo en $(1)$ tengo:
$\frac{d}{dz} z^{\frac{3}{2}}$ = $\frac{3}{2} z^{\frac{1}{2}}$ = $\frac{3}{2} (1+i)^{\frac{1}{2}}$ = $\frac{3}{2} \sqrt[4]{2} e^{\frac{\pi i}{8}}$
Por lo tanto la derivada de $z^{\frac{3}{2}}$ en el punto $z=1+i$ es:
$$\frac{3}{2} \sqrt[4]{2} e^{\frac{\pi i}{8}}$$
--Emmanuell Castro Flores (discusión) 18:12 7 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 17
Determine la derivada de la función dada en el punto dado. Sea el valor principal de la potencia compleja definida en el dominio
:
- ,
Solución
Debido a que el punto es , se tiene que su derivada es:
- , por lo que,
donde: :sera nuestro Caso I; y : el Caso II.
Ahora la definición de potencias complejas dice que :, donde:
- , entonces sustituyendo en (2) se tiene:
El argumento y magnitud se obtiene de la siguiente manera:
Caso I :
- y
Caso II :
- y
- .
Sabemos que para el
Caso I : ,
Caso II : ; sustituyendo en (3) obtenemos:
Caso I
Caso II
- , sustituyendo en (1) se tiene que:
- ,
agrupando términos, y factorizando en terminos de “i”, se tiene:
- , simplificando se tiene finalmente que:
Elaboro--Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 01:15 5 jun 2015 (CDT)
Ejericicio 16
Encuentra la derivación de la función evaluada en
Realizando la derivación tenemos que
En donde evaluaremos el punto z=i
Para obtener las raíces usaremos la expresión para potencias complejas
con
si
Resolviendo la norma de z y su argumento
En donde tenemos que
Por lo que a la potencia es en este caso
lo anterior multiplicando por el factor de 2i, Por lo que la derivada en el punto es igual a
--Pablo (discusión) 09:53 7 jun 2015 (CDT)
Ejericicio 18
Determine la derivada de la función dada $z^{\sqrt{2}}$ en el punto dado $z=-i$. Sea $z^α$ el valor principal de la potencia compleja definida en el dominio $|z|>0$ , $-\pi < arg(z)> pi$
Sea $z^{\alpha}=z^{\sqrt{2}}$, Entonces es derivable en el dominio dado, por lo tanto.
$$ \frac{d}{dz} z^{\alpha}= \frac{d}{dz} z^{\sqrt{2}}=\sqrt{2} z^{\sqrt{2}-1} $$
Evaluada en el punto z=-i
$$ \therefore \frac{d}{dz} z^{\sqrt{2}}= \sqrt{2}(-i)^{\sqrt{2}-1} , -----(1) $$
TOmando el valor principal de la potencia compleja se tiene que:
$$ z^{\alpha}=e^{\alpha ln z} $$
Donde $\alpha= \sqrt{2}-1 $
$$ \therefore z^{\sqrt{2}-1}= e^{(\sqrt{2}-1)ln(-i)} , -----(2) $$
Queremos encontrar cual es el valor de $ln(-i)$
Entonces tomamos como definición el valor principal del logaritmo complejo.
$$ ln(z)=log_{e}|z|+iArg(z) $$
Encontrando $|z|$ & $Arg(z)$
$$ |z|=\sqrt{(-1)^2}=1 $$
$$ Arg(z)=\theta=Arg(-i)=cons^{-1}(\frac{0}{1})=0 \pi$$
$$ \therefore ln(-i)=log_{e}(1)=0 , -----(3)$$
Sustituyendo en la ec.(2)
$$ z^{\sqrt{2}-1}=e^{(\sqrt{2}-1)(0)}=e^0=1 , -----(4)$$
Por tanto sustiyendo en la ec.(1)
$$ \frac{d}{dz} z^{\sqrt{2}}=\sqrt{2}(1)$$
$$ \therefore \frac{d}{dz} z^{\sqrt{2}}=\sqrt{2} ,..... z=-i $$
--Samantha Martinez (discusión) 22:06 7 jun 2015 (CDT)
Ejericicio 19
Para cualquier numero complejo $z\neq{0}$ evalue $z^{0}$
Sea $z=x+iy$ un numero complejo cualquiera distinto de cero, esto es con "$x$" y "$y$" no ambos cero, tendremos que $z^{0}$ sera;
y por definicion;
que en este caso se convierte a;
ya que $\alpha=0$
Y asi tendremos que;
Por lo cual concluimos que $z^{0}=1$ para cualquier numero complejo $z$ distinto de cero
--Cristian Alfredo Ruiz Castro (discusión) 23:45 7 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 21
Muestre que si $\alpha =1/n$ donde $n$ es un entero positivo, entonces el valor principal de $z^{\alpha}$ es igual que el de la $n$-ésima raíz principal de $z$.
Sol. Con la definción para el valor principal de la potencia compleja:
$z^{\alpha}=e^{\alpha Lnz}=e^{\alpha(log_e|z|+iArg(z))}$, con $Arg(z)=\theta$
$z^{\alpha}=e^{\alpha(log_e|z|+i\theta)}=e^{\alpha log_e|z|}e^{i\alpha \theta}=e^{\frac{1}{n}log_e|z|}e^{i\frac{\theta}{n}}$
Dado que $\dfrac{1}{n} log_e|z|$ es real, podemos aplicar la propiedad $\dfrac{1}{n} log_e|z|=log_e|z|^{1/n}$
$z^{\alpha}=e^{\frac{1}{n}log_e|z|}e^{i\frac{\theta}{n}}=e^{log_e|z|^{1/n}}e^{i\frac{\theta}{n}}=|z|^{1/n}e^{i\frac{\theta}{n}}=|z|^{1/n}(\cos \frac{\theta}{n}+i\sin \frac{\theta}{n})$
$z^{\alpha}=^n\sqrt{|z|}(\cos \frac{\theta}{n}+i\sin \frac{\theta}{n})$
De capítulos anteriores se dedujo que la fórmula para la potencia $m$-ésima, la cual es:
$w_k=^n\sqrt{r}[\cos \dfrac{\theta +2k\pi}{n}+i\sin \dfrac{\theta +2k\pi}{n}]$
y dado que nos piden compararla con la raíz principal, tenemos que $k=0$
$w_0=^n\sqrt{r}[\cos \dfrac{\theta}{n}+i\sin \dfrac{\theta}{n}]$, si $z=w_0$ con $|z|=r$ podemos concluir que:
$w_0=^n\sqrt{r}[\cos \dfrac{\theta}{n}+i\sin \dfrac{\theta}{n}]=^n\sqrt{|z|}[\cos \dfrac{\theta}{n}+i\sin \dfrac{\theta}{n}]=z^{\alpha}$
y podemos decir que $z^{\alpha}$ con $\alpha =1/n$ con $n$ entero positivo es igual a la $n$-ésima raíz principal de $z$.
Oscar Javier Gutierrez Varela (discusión) 20:16 3 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 24
Una util propiedad de los numero reales es $x^{\alpha}y^{\alpha}=(xy)^{\alpha}$
(a)¿ La propiedad anterior es valida para potencias complejas?
Sabemos que
\[ z^{\alpha}=e^{\alpha lnz}=e^{\alpha(log_{e}z+iarg(z))} \]
Asi que
\[ (zw)^{\alpha}=e^{\alpha zw}=e^{\alpha(log_{e}zw+iarg(zw)}=e^{\alpha Ln(zw)}=e^{\alpha(Ln(z)+Ln(w))}=e^{\alpha Ln(z)}e^{\alpha Ln(w)}=e^{Ln(z^{\alpha})}e^{Ln(w^{\alpha})}=z^{\alpha}w^{\alpha} \]
(b)¿La propiedad es valida para la principal potencia compeja?
Tambien es valida para la principal potencia compleja ya que las demas potencias complejas lo unico que hacen es sumar $2n\pi\hspace{1em}n\in Z$ al argumento de $z$ y eso no influye significativamente para esta situacion.
Jose Emmanuel Flores Calderón (discusión) 22:16 5 jun 2015 (CDT)