Compleja:Zill-Cap5.4
Ejercicios del capítulo 5, sección 4 del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan.
Sección 5.4
Ejercicio 1
Evalúe la integral de contorno C dada en la figura usando una trayectoria alternativa de integración y el teorema fundamental del cálculo para integrales de contorno.
Procedimiento
\[ \int_{C} \!(4z-1)\, dz \]
La ruta alternativa es la dibujada en azul que se parametriza del siguiente modo: \[ z(t)=it \;\;\;\;\; -1 \leq t \leq 1 \] \[ dz=i\,dt \]
Que transforma la integral en:
\[
\int_{C} \!(4z-1)\, dz = \int_{-1}^{1} \!\left[4(it)-1\right]\, (i)\,dt= \int_{-1}^{1} \!-4t-i\,dt=-4(1-1)/2-i(1--1)=-2i
\]
Solución
Por el teorema \[ \int_{C} \!(4z-1)\, dz = \frac {4 z^2}{2}-z= 2z^2-z=[2(i)^2-i]-[2(-i)^2--i]=-2-i-(-2+i)=-2-i+2-i=-2i \]
donde se ve que son equivalentes
Realizado por: Tlacaelel Cruz (discusión) 23:39 18 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 2
En los problemas 1 y 2 , evaluar la integral dada, donde se da el contorno C en la figura, ( a) mediante el uso de un camino alternativo de integración y ( b ) utilizando el teorema 5.7 .
$\int_{c}e^{z}dz$ donde c esta dada entre los puntos $z0=0$ y $z1=3+i$
Inciso a
para el inciso a necesitamos crear una parametrización de esa curva c
la parametrización queda:
$z\left(t\right)=3t+i\left(t\right)$ $0\leq t\geq1$
Ahora con al parametrización podemos calcular al integral de la manera siguiente:
$\int_{c}f\left(z\right)dz=\int_{a}^{b}f\left(z\left(t\right)\right)z^{\prime}\left(t\right)dt$
entonces tenemos
$f\left(z\left(t\right)\right)=e^{3t+it}$
$z\left(t\right)=3t+it$
$z^{\prime}\left(t\right)=3+i$
usando estos resultados podemos escribir la integral de este modo:
$\int_{a}^{b}f\left(z\left(t\right)\right)z^{\prime}\left(t\right)dt=\int_{0}^{1}\left(e^{3t+it}\right)\left(3+i\right)dt$ como el exponente es z y lo que multiplica a la exponencial es z$^{\prime}$ la integral queda $\int e^{z}dz=e^{z}$y regresamos a z en función de t y evaluamos
$\int_{c}e^{z}dz=\left[e^{3t+it}\right]_{0}^{1}=\left[e^{3t}e^{it}\right]_{0}^{1}=\left(e^{3}\left(cos\left(1\right)+isen\left(1\right)\right)\right)-\left(1\right)$
Inciso b
para el inciso b necesitamos tener en cuenta el teorema 5.7
el teorema dice lo siguiente:
Supongamos que una función f es continua en un dominio D y F es una primitiva de f en D. Entonces, para cualquier contorno C en D con el punto inicial z0 y punto z1 termina tenemos:
$\int_{c}f\left(z\right)dz=F\left(z_{1}\right)-F\left(z_{0}\right)$
esto funciona para una función $f\left(z\right)$que sea analitica
entonces resolvamos la integral de ejercicio mediante este teorema:
$\int_{c}e^{z}dz$ donde $z0=0$ y $z1=3+i$ tenemos una exponencial compleja la cual es entera y analítica en todo el plano complejo por tanto podemos aplicar el teorema 5.7
$f\left(z\right)=e^{z}$ entonces $F\left(z\right)=e^{z}$
entonces usando el teorema tenemos
$\int_{c}e^{z}dz=e^{3+i}-e^{0}=e^{3} \left (\cos3+i\sin3 \right )-1$
hemos terminado la integral mediante y trayectoria y mediante el teorema y llegamos al mismo resultado por lo cual comprobamos que el teorema es cierto si una función es analítica y la evaluamos en un segmento podemos calcular solo los puntos final e inicial del segmento si importar la trayectoria
Realizado por:Martin Flores Molina (discusión) 13:05 15 mayo 2015 (CDT) ----
Ejercicio 3
Evalúa la integral en en el contorno indicado.
$\int_C 2zdz$
Procedimiento
$z(t)=2t^3+i(t^4-4t^3+2$
$ -1\leq t\leq1 $
Derivo $z$
$dz=6t^2+i(4t^3-12t^2)$
Sustituyo
$2z= 4t^3+i(2t^4-8t^3+4)$
$2zdz= [4t^3+i(2t^4-8t^3+4)][6t^2+i(4t^3-12t^2] = (-8t^7+56t^6-72t^5-16t^3+48t^2)+i(28t^6-96t^5+24t^2)$
Solución
$\int_C 2zdz=\int_{-1}^{1}[(-8t^7+56t^6-72t^5-16t^3+48t^2)+i(28t^6-96t^5+24t^2)]dt = 48+24i$
Realizado por:Nancy Martínez Durán (discusión) 10:56 18 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 4
Evalúe la integral a lo largo del contorno indicado C
\begin{equation*} \int _C 2zdz \end{equation*}
Donde C es la curva dada por:
$z(t)=2\cos^3(\pi t)-i \sin^2\left (\frac{\pi}{4} t \right )$
$0\leq t\leq 2$
Procedimiento
Como ya tenemos parametrizada la función C en t, solo sustituimos y resolvemos:
$z(0)=2\cos^3(\pi 0)-i \sin^2\left (\frac{\pi}{4} 0 \right )=2(1)-0i=2$
$z(2)=2\cos^3(\pi 2)-i \sin^2\left (\frac{\pi}{4} 2 \right )=2(1)-i$
Sustituyendo estos valores en la integral:
\begin{equation*}
\int_{2}^{2-i}2zdz=\frac{2}{2}z^2\Bigg|_{2}^{2-i}
\end{equation*}
El resultado de la anterior integral:
$(2-i)^2-2^2=4+i^2-4i-4=-1-4i$
Solución
\begin{equation*} \int_{2}^{2-i}2zdz=z^2\Bigg|_{2}^{2-i}=(2-i)^2-2^2=-1-4i \end{equation*}
Re elaborado por Manuel Rodríguez
Ejercicio 5
Evalue la integral dada
$\int_{0}^{3+i} z^{2}dz$
Procedimiento
Aplicaremos el teorema
$\int_{C} f(z)dz = F(z_{1})-F(z_{0})$
Donde
$\int_{0}^{3+i} z^{2}dz=\frac{z^{3}}{3}\mid_{0}^{3+i}$
$\int_{0}^{3+i} z^{2}dz=\frac{(3+i)^{3}}{3}=\frac{18+26i}{3}$
Solución
$\int_{0}^{3+i} z^{2}dz=\frac{(3+i)^{3}}{3}=6+\frac{26i}{3}$
Realizado por:Miguel Medina Armendariz (discusión) 17:51 19 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 6
Evalúa la integral dada $\int_{-2i}^{1} (3z^2 - 4z + 5i)dz$
Procedimiento
Separando la integral tenemos:
$= \int_{-2i}^{1} 3z^2 dz - \int_{-2i}^{1} 4z dz + \int_{-2i}^{1} 5i dz$
$= [z^3]_{-2i}^{1} - 2[z^2]_{-2i}^{1} + 5i[z]_{-2i}^{1}$
$= 1 - (-2i)^3 - 2(1 + 4) + 5i (1 + 2i)$
$= 1 - 8i - 10 + 5i - 10$
Solución
$= 1 - 20 - 3i = -19 - 3i$
Siendo este nuestro resultado de la forma $a + ib$
Realizado por:Angelina Nohemi Mendoza Tavera (discusión) 14:46 20 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 8
Utilizar el teorema 5.4.2 para evaluar la integral dada y ponerla de la forma a+bi
$\int_{-3}^{2i}\left(z^{3}-z\right)dz$
Procedimiento
Separamos la integral y evaluamos por el Teorema fundamental del calculo para integrales de contorno y así tenemos lo siguiente:
$\int_{-3i}^{2i}z^{3}dz-\int_{-3i}^{2i}zdz$ ... (1)
Primero hacemos la integral de la izquierda, luego la de la derecha de (1) y al final sumaremos para dejarlo de la forma deseada
Recordando que $i^{4}=1$ y que $i^{2}=-1$ lo cual no servirá para cada integral.
$\int_{-3i}^{2i}z^{3}dz=\frac{z^{4}}{4}\mid_{-3i}^{2i}=\frac{1}{4}\left[\left(2i\right)^{4}-\left(-3i\right)^{4}\right]=\frac{1}{4}\left[\left(16\right)-\left(81\right)\right]=\frac{1}{4}\left[16-81\right]=\frac{1}{4}\left[-65\right]=-\frac{65}{4}$ ... (2)
Ahora la segunda integral
$\int_{-3i}^{2i}zdz=\frac{z^{2}}{2}\mid_{-3i}^{2i}=\frac{1}{2}\left[\left(2i\right)^{2}-\left(-3i\right)^{2}\right]=\frac{1}{2}\left[\left(-4\right)-\left(-9\right)\right]=\frac{1}{2}\left[-4+9\right]=\frac{1}{2}\left[5\right]=\frac{5}{2}=\frac{10}{4}$ ...(3)
Recordando que para resolver la segunda integral lo debemos multiplicar por un signo menos por (1)
Ahora solamente sumamos (2) y (3) para dejar lo de la forma a+bi y así obtener el resultado deseado
$-\frac{65}{4}-\frac{10}{4}=\frac{-65-10}{4}=-\frac{75}{4}$
Solución
$\int_{-3i}^{2i}\left(z^{3}-z\right)dz=-\frac{75}{4}+0i$
Resuelto por: Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 09:52 21 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 9
Utilice el teorema 5.4.2 para evaluar la integral $\int_{-i/2}^{1-i} \! (2z+1)^2 \,dz$. Escriba la respuesta en la forma $a+ib$.
Teorema fundamental del cálculo para integrales de contorno.
Suponga que una función $f$ es continua en un dominio $D$ y $F$ es una antiderivada de $f$ en $D$.
Entonces, para cualquier contorno $C$ en $D$ con punto inicial $z_{0}$ y punto final $z_{1}$,
\[ \int_{C} \! f(z) \,dz = F(z_{1})-F(z_{0}) \]
Procedimiento
\[ \int_{-i/2}^{1-i} \! (2z+1)^2 \,dz= \int_{-i/2}^{1-i} \! \left( 4z^{2}+4z+1 \right) \,dz = 4 \int_{-i/2}^{1-i} \! z^{2} \,dz + 4 \int_{-i/2}^{1-i} \! z \,dz + \int_{-i/2}^{1-i} \! 1 \,dz \]
Tengo que:
$F(z)= \frac{z^{3}}{3}$ es una antiderivada de $f(z)= z^2$ ya que $F'(z)= z^2$
$F(z)= \frac{z^{2}}{2}$ es una antiderivada de $f(z)= z$ ya que $F'(z)= z$
$F(z)= z $ es una antiderivada de $f(z)= 1$ ya que $F'(z)= 1$
Por tanto; del terorema 5.4.2 tenemos:
\[ 4 \int_{-i/2}^{1-i} \! z^{2} \,dz + 4 \int_{-i/2}^{1-i} \! z \,dz + \int_{-i/2}^{1-i} \! 1 \,dz= 4 \frac{z^{3}}{3} \Big ]_{-i/2}^{1-i} + 4 \frac{z^{2}}{2} \Big ]_{-i/2}^{1-i} + z \Big ]_{-i/2}^{1-i} = \]
\[ \frac{4}{3} \left(-2 -\frac{17}{8} i\right) + 2 \left(-2i +\frac{1}{4} \right) +1 - \frac{i}{2}= \]
Solución
\[ - \left( \frac{8}{3} - \frac{17}{6} i \right) - 4i + \frac{1}{2} +1 - \frac{i}{2}= \left( - \frac{8}{3} + \frac{3}{2} \right) + i \left(- \frac{17}{6} - \frac{9}{2} \right) = - \frac{7}{6} - i \frac{22}{3} \]
Finalmente la respuesta en la forma $a+ib$ es:
\[ - \frac{7}{6} - i \frac{22}{3} \]
Realizado por: Emmanuell Castro Flores (discusión) 21:55 19 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 11
Evaluar la integral dada
\begin{equation*} \int_{i/2}^{i} e^{\pi z} dz \end{equation*}
Procedimiento
Por cambio de variable $u=\pi z$ , $du=\pi dz$
Por lo que:
$\int_{\frac{i}{2}}^{i}e^{\pi z}dz=\frac{1}{\pi}\int_{\frac{i}{2}}^{i}e^{u}du=\frac{1}{\pi}e^{\pi z}\mid_{\frac{i}{2}}^{i}=\frac{1}{\pi}\left(e^{\pi i}-e^{\frac{\pi i}{2}}\right)$
$=\frac{1}{\pi}\left(\cos\pi+i\sin\pi-\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)-\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)$
$=\frac{1}{\pi}\left(-1+i0-0-i\right)=-\frac{1}{\pi}-\frac{i}{\pi}$
Solución
Entonces:
$\int_{\frac{i}{2}}^{i}e^{\pi z}dz=-\frac{1}{\pi}-\frac{i}{\pi}$
Resuelto por: Alejandro Juárez Toribio (discusión) 15:57 18 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 13
Utilice el teorema 5.4.2 para evaluar la integral dada.
\[ {\displaystyle \int_{\pi}^{\pi+2i}\sin(\frac{z}{2})dz} \]
Procedimiento
Integrando la función tenemos que
\[ {\displaystyle \int\sin(\frac{z}{2})dz=-2cos(\frac{z}{2})}+c \]
Pero por el teorema 5.4.2
\[ {\displaystyle \int_{\pi}^{\pi+2i}\sin(\frac{z}{2})dz=-2\cos\left ( \frac{\pi}{2}+i \right )+2\cos(\frac{\pi}{2})} \] Expandiendo la suma del coseno:
\[ \cos\left ( \frac{\pi}{2}+i \right )=\cos\frac{\pi}{2}\cos i -\sin\frac{\pi}{2}\sin i=0-\sin i \]
\[
\cos(\frac{\pi}{2})=0
\]
Retomando la integral:
\[ \displaystyle \int_{\pi}^{\pi+2i}\sin(\frac{z}{2})dz=-2(-\sin i)=2\sin i \] Usando identidades de la exponencial:
$\sin i= +i \sinh 1$
Finalmente en a+ib
Solución
\[ \displaystyle \int_{\pi}^{\pi+2i}\sin(\frac{z}{2})dz=2(1.1752)=2.3504 \]
Re elaborado por Manuel Rodríguez
Ejercicio 14
utilice el teorema 5.4.2 para evaluar la integral dada . escriba cada respuesta de la forma a+ib
$\intop_{1-2i}^{\pi i}cos(z)dz$
Procedimiento
$\intop_{1-2i}^{\pi i}cos(z)dz=sin(z)|_{1-2i}^{\pi i}=sin(\pi i)-sin(1-2i)$
pero lo queremos de la forma a+ib, por lo tanto haremos lo siguiente
$sin(\pi i)=\frac{e^{i(\pi i)}-e^{-i(\pi i)}}{2i}=\frac{e^{-\pi}-e^{\pi}}{2i}=\frac{\frac{1}{e^{\pi}}-e\pi}{2i}=\frac{1-e^{2\pi}}{2ie^{\pi}}=\frac{-(1-e^{2\pi})i}{2e^{\pi}}$
$sin(1-2i)=\frac{e^{i(1-2i)}-e^{-i(1-2i)}}{2i}=\frac{e^{2+i}-e^{-2-i}}{2i}=\frac{e^{2}\left(cos(1)+isin(1)-e^{-2}(cos(-1)-isin(-1)\right)}{2i}=\frac{-e^{2}cos(1)i}{2}+\frac{e^{-2}cos(-1)i}{2}+\frac{e^{2}sin(1)}{2}+\frac{e^{-2}sin(-1)}{2}$
Solución
por lo tanto tenemos que el resultado de nuestra integral es
$\intop_{1-2i}^{\pi i}cos(z)dz=sin(z)|_{1-2i}^{\pi i}=sin(\pi i)-sin(1-2i)=$
$=\left[\frac{-(1-e^{2\pi})i}{2e^{\pi}}\right]-\left[\frac{-e^{2}cos(1)i}{2}+\frac{e^{-2}cos(-1)i}{2}+\frac{e^{2}sin(1)}{2}+\frac{e^{-2}sin(-1)}{2}\right]=\left[-\frac{e^{2}sin(1)}{2}-\frac{e^{-2}sin(-1)}{2}\right]+i\left[\frac{e^{2}cos(1)}{2}-\frac{e^{-2}cos(-1)}{2}-\frac{(1-e^{2\pi})}{2e^{\pi}}\right]$
El resultado anterior puede expresarse como:
$-3.16+13.51i$
Realizado por:Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 20:52 21 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 15
Utilize el teorema para evaluar la integral dada.Escriba la respuesta en la forma .
Evaluar:
Procedimiento
Teorema fundamental del cálculo para integrales de contorno. Suponga que una función es continua en un dominio y es una antiderivada de en .Entonces , para cualquier contorno en con un punto inicial y un punto final .
.
Evaluar:
Por definicion tenemos que:
por lo cual tenemos que:
Ahora bien sabemos que:
sustituyendo :
y tomando en cuenta que
Evaluando:
Solución
Sustituyendo:
Por lo cual nuestra integral evaluada en esos puntos es igual a .
Realizado por: Anahi Limas (discusión) 22:29 20 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 19
Utilice el teorema 5.4.2 para evaluar la integral dada.
- , C es cualquier contorno que no pase por el origen
Escriba la respuesta en la forma a +ib
Procedimiento
El teorema nos dice que para cualquier contorno C en D(dominio) con punto inicial y punto final
donde : es una antiderivada de ya que
Entonces
simplificando se tiene:
Solución
por lo tanto
Elaborado por: Ricardo García Hernández--Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 23:30 20 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 22
Utilizar integración por partes para evaluar la integral. Escribir cada respuesta en la forma $a+bi$
$\intop_{0}^{i}zsenzdz$
Procedimiento
Por tanto, utilizando el teorema: $\int_{z_{0}}^{z_{1}}f(z)g'(z)dz=f(z)g'(z)|_{z_{0}}^{z_{1}}-\int_{z_{0}}^{z_{1}}f'(z)g(z)dz$ se puede evaluar la integral de la siguiente forma:
Primero escojamos nuestras funciones $g(z)$ y $f(z)$ de la mejor manera. En este caso conviene usar:
$f(z)=z$ ; $f'(z)=1dz$
$g(z)=-cosz$ ; $g'(z)=senz$
Ahora podemos escribir entonces:
$\intop_{0}^{i}zsenzdz=-zcosz+\intop_{0}^{i}coszdz=[-zcosz+senz]_{0}^{i}$
$=(-icosi+seni)-(-(0)cos0+sen0)=(-icosi+seni)$
Usamos las identidades exponenciales del sen y coseno y sustituimos
$=i(\frac{e^{ii}+e^{-ii}}{2})+(\frac{e^{ii}-e^{-ii}}{2i})$
$=i(\frac{e^{-1}+e^{1}}{2})+(\frac{e^{-1}-e^{1}}{2i})(\frac{-2i}{-2i})=i(\frac{e^{-1}+e^{1}}{2})+(\frac{-2ie^{-1}+2ie^{1}}{4})$
$=\frac{ie^{-1}}{2}+\frac{ie^{1}}{2}-\frac{2ie^{-1}}{4}+\frac{2ie^{1}}{4}$
$=\frac{ie^{-1}}{2}+\frac{ie^{1}}{2}-\frac{ie^{-1}}{2}+\frac{ie^{1}}{2}=\frac{ie^{-1}}{2}+\frac{ie^{1}}{2}-\frac{2ie^{-1}}{4}+\frac{2ie^{1}}{4}=-\frac{i}{e^{1}}+ie^{1}=i(-\frac{1}{e^{1}}+e^{1})=i2.350402$
Lo cual es un resultado de la forma $a+bi$ donde $a=0$
Nota
La integral esta bien, hay algún problema al evaluar:
Considerando que:
$\intop_{0}^{i}zsenzdz=-zcosz+\intop_{0}^{i}coszdz=[-zcosz+senz]_{0}^{i}$
Solución
Realizado por:A. Martín R. Rabelo (discusión) 20:14 21 jun 2015 (CDT) Nota por Manuel Rodríguez
Ejercicio 23
Utilice la integración por partes para evaluar la integral.
Escriba la respuesta en la forma a +ib
Procedimiento
Simplificando se tiene:
Este último resultado numérico irracional se obtuvo con el comando de programa de Mathematica :
entonces:
Solución
Elaborado por Ricardo García Hernández--Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 23:52 20 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 25
Utilizar el teorema 5.4.2 para evaluar la integral
$\int_C \frac{1}{4 z^{1/2}}dz$
Es la rama principal de la función raíz cuadrada, donde $C$ es el arco de la circunferencia con . Escribir en forma $a+ib$.
Procedimiento
Usando la parametrización dada por la circunferencia tenemos que y
Por lo que si sustituimos este resultado en la integral tenemos que
Por lo que cuando resolvemos la integral, sabiendo que es continua en el dominio aseguramos que por el teorema fundamental del cálculo para integrales de contorno que
por lo que tenemos que tenemos que
Escribiendo el resultado de la forma a+bi observamos que la solución anterior tiene la forma de un seno en función de exponentes multiplicado por un 2i, es decir que
Por lo que $\int_C \frac{1}{4 z^{1/2}}dz$ para el arco de la circunferencia $z= 4e^{i \phi}$ con $\phi \epsilon [\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$.
Solución
$\int_C \frac{1}{4 z^{1/2}}dz=\sqrt{2}i$
Realizado por: Pablo (discusión) 11:18 21 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 26
Utilizar el teorema 5.4.2 para evaluar la integral $\int_C3z^{1/2}dz$, donde $C$ es el segmento de recta entre $z_0=1$ y $z_1=9i$. $z^{1/2}$ es la rama principal de la función raíz cuadrada. Escribir en forma $a+ib$.
Sol. Buscamos una antiderivada $F(z)$ de la función $f(z)$ tal que $F'(z)=f(z)$. Proponemos $F(z)=2z^{3/2}$ y comprobamos derivando
$\dfrac{d}{dz}F(z)=\dfrac{d}{dz}2z^{3/2}=2\frac{3}{2}z^{3/2-1}=3z^{1/2}$
Así, procedemos hacer uso del Teorema fundamental de cálculo para integrales de contorno:
$\int_C3z^{1/2}dz=F(z)|_{z_0}^{z_1}=F(z_1)-F(z_0)=2z_1^{3/2}-2z_0^{3/2}=2(9i)^{3/2}-2(1)^{3/2}=2(9i)^{3/2}-2$
Para $(9i)^{3/2}$ utilizamos la fórmula multivaluada para las potencias y elegimos a $k=0$ para escoger la rama principal.
$w_k=^n\sqrt{r}[\cos (\dfrac{\theta +2k\pi}{n})+i\sin (\dfrac{\theta +2k\pi}{n})]$
Con $n=3/2$, $r=9$, $\theta =\dfrac{\pi}{2}$ y $k=0$
$w_0=9^{3/4}[\cos (\dfrac{\pi /2}{3/2})+i\sin (\dfrac{\pi /2}{3/2})]\approx 5.2(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3})\approx 5.2(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2})\approx 2.6+i4.5$
Sustituyendo
$\int_C3z^{1/2}dz\approx 2(2.6+i4.5)-2=5.2+i9-2=3.2+i9$
$\int_C3z^{1/2}dz\approx 3.2+i9$
Oscar Javier Gutierrez Varela (discusión) 22:11 18 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 29
teorema:
suponga que una función $f$es continua en un dominio $D$ y $F$ es anti-derivada de $f$ en $D$. Entonces, para cualquier contorno$C$en $D$ con punto inicial $z_{0}$y un punto final $z_{1}$
$\int_{C}f(z)dz=F(z_{1})-F(z_{0}).$
sea $\alpha=a+ib$ una constante compleja.
a) aplique el teorema para evaluar $\int_{x_{0}}^{x}e^{\alpha z}dz$
donde $x_{0}$ y $x$ son los valores reales.
b)Explique como el inciso a) y el teorema con la parametrización $z(t)=t,\;x_{0}\leq t\leq x$
se puede usar para deducir la formula integral (real)
Procedimiento
$\int e^{ax}\cos bxdx=\frac{e^{ax}(a\cos bx+b\sin bx}{a^{2}+b^{^{2}}}+C$
sea $f(z)=e^{\alpha z}$ entonces su anti derivada es$F(z)=\frac{1}{\alpha}e^{\alpha z}$ ya que $F'(z)=e^{\alpha z}=f(z)$
así por el teorema tenemos:
$\int_{C}f(z)dz=\int_{x_{0}}^{x}e^{\alpha z}dz=F(x)-F(x_{0})=\frac{1}{\alpha}[e^{\alpha x}-e^{\alpha x_{0}}]=\frac{1}{a+ib}[e^{x(a+ib)}-e^{x_{0}(a+ib)}]=\frac{1}{a+ib}[e^{ax}e^{ibx}-e^{ax_{0}}e^{ibx_{0}}]$
multiplicando por el conjugado de $\alpha$ tenemos $(\alpha^{c}=a-ib)$
$\frac{a-ib}{(a+ib)(a-ib)}[e^{ax}e^{ibx}-e^{ax_{0}}e^{ibx_{0}}]=\frac{a-ib}{a^{^{2}}+b^{2}}[e^{ax}e^{ibx}-e^{ax_{0}}e^{ibx_{0}}]=\frac{a-ib}{a^{2}+b^{2}}\{e^{ax}[\cos bx+i\sin bx]-e^{ax_{0}}[\cos bx_{0}+i\sin bx_{0}]\}$
desarrollando la multiplicación de los denominadores tenemos:
$\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\{e^{ax}[a\cos bx+ia\sin bx]-e^{ax_{0}}[a\cos bx_{0}+ia\sin bx_{0}+e^{ax}[-ib\cos bx-i^{2}b\sin bx]+e^{ax_{0}}[ib\cos bx_{0}+i^{2}b\sin bx_{0}]\}$
distinguiendo términos reales e imaginarios, y desarrollando:
$\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\{e^{ax}[a\cos bx+b\sin bx]+e^{ax}[-ib\cos bx+ia\sin bx]-e^{ax_{0}}[a\cos bx_{0}+b\sin bx_{0}]+e^{ax_{0}}[-ia\sin bx_{0}+ib\cos bx_{0}]\}$
$\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\{e^{ax}[(a\cos bx+b\sin bx)+(ia\sin bx-ib\cos bx)]-e^{ax_{0}}[(a\cos bx_{0}+b\sin bx_{0})+(ia\sin bx_{0}-ib\cos bx_{0})]\}$
así:
$\int_{x_{0}}^{x}e^{\alpha z}dz=\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\{e^{ax}[(a\cos bx+b\sin bx)+(ia\sin bx-ib\cos bx)]-e^{ax_{0}}[(a\cos bx_{0}+b\sin bx_{0})+(ia\sin bx_{0}-ib\cos bx_{0})]\}$
podemos ver que:
la parte Real de $\int_{x_{0}}^{x}e^{\alpha z}dz$ es:
$\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\{e^{ax}(a\cos bx+b\sin bx)-e^{ax_{0}}(a\cos bx_{0}+b\sin bx_{0})\}$
la parte imaginaria de $\int_{x_{0}}^{x}e^{\alpha z}dz$ es:
$\frac{i}{a^{2}+b^{2}}\{e^{ax}(a\sin bx-b\cos bx-e^{ax_{0}}(a\sin bx_{0}-b\cos bx_{0})\}$
si tomamos la parametrización $z(t)=t,\;x_{0}\leq t\leq x$ entonces
$z'(t)=1dt$
$\Longrightarrow\int e^{\alpha z}dz=\int_{x_{0}}^{x}e^{\alpha t}dt=\int_{x_{0}}^{x}e^{(a+ib)t}dt=\int_{x_{0}}^{x}e^{at}e^{ibt}dt=\int_{x_{0}}^{x}e^{at}(\cos bt+i\sin bt)dt$
pero:
$\int_{x_{0}}^{x}e^{at}(\cos bt+i\sin bt)dt=\int_{x_{0}}^{x}e^{at}(\cos bt)dt+\int_{x_{0}}^{x}e^{at}i(\sin bt)dt$
y tomando solo la integral real:
$\int_{x_{0}}^{x}e^{at}(\cos bt)dt$ y por el resultado anterior:
$\int_{x_{0}}^{x}e^{at}(\cos bt)dt=\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\{e^{ax}(a\cos bx+b\sin bx)-e^{ax_{0}}(a\cos bx_{0}+b\sin bx_{0})\}$
Solución
de aquí que:
$\int e^{ax}(\cos bx)dx=\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\{e^{ax}(a\cos bx+b\sin bx)\}+C$
Realizado por: Francisco Medina Albino (discusión) 23:30 18 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 30
Encuentre a $\int e^{ax}\sin bx dx$
Procedimiento
\[ \int e^{(a + bi)x} dx =\dfrac{e^{(a + bi)x}}{a+bi}\]
o bien
\[
\int e^{ax}(\cos bx + i \sin bx) dx = \dfrac {e^{ax}(cos bx + i \sin bx)}{a + ib}= \dfrac {e^{ax}(cos bx + i \sin bx)(a - i b)}{a^{2} + b^{2}}\]
Solución
Entonces
\[ \int e^{ax}\sin bx dx= \dfrac {e^{ax}(cos bx + i \sin bx)(a - i b)}{a^{2} + b^{2}}\]
Realizado por:Esther Sarai (discusión) 23:20 20 jun 2015 (CDT)Esther Sarai