Compleja:Zill-Cap3.3
Ejercicios del capítulo 3, sección 3 del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan.
Sección 3.3
Ejercicio 1
a) compruebe que la función dada es armónica en un dominio apropiado .
b) Determine , la armónica conjugada de ,
c)forme la correspondiente función analítica .
Inciso c
a)De las derivadas parciales:
Vemos que satisface la ecuación de Laplace.
Inciso b
b)Dado que la función armónica conjugada debe satisfacer las ecuaciones de Cauchy-Riemann :
Debemos tener:
Integrando parcialmente la primera ecuación respecto a la variable se obtiene , la derivada parcial respecto a de esta ultima ecuación es :
por lo cual
por lo cual :
Inciso c
c) la función compleja resultante es:
Realizado por: Anahi Limas (discusión) 12:02 5 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 2
Compruebe que la función $U(x,y)=2x-2xy$ es armónica en una adecuada dominio D.
Se dice que una función es armónica si cumple que:
\[ \nabla^{2}\,U=\frac{\partial^2 U}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^2 U}{\partial y^2}=0 \]
calculemos pues las segundas parciales: \[ \frac{\partial^2 U}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial (2x-2xy)}{\partial x}=\frac{\partial (2-2y)}{\partial x}=0 \]
Conclusión
\[ \frac{\partial^2 U}{\partial y^2}=\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial (2x-2xy)}{\partial y}=\frac{\partial (-2x)}{\partial y}=0 \]
Por tanto U es armónica en todo el plano complejo ($\mathbb{C}$).
Realizado por: Tlacaelel Cruz (discusión) 21:37 2 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 3
En los problemas 1-8 , compruebe que la función dada u es armónica en una adecuada dominio D.
$U\left(x,y\right)=x^{2}-y^{2}$
una función es armónica si cumple con lo siguiente:
$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=0$ $\nabla^{2}=0$
entonces calculemos:
$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=2$
$\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=-2$
Conclusión
entonces
$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=2-2=0$
por tanto U es armónica
Realizado por: Martin Flores Molina (discusión) 14:27 30 mayo 2015 (CDT)
ejercicio 4
$u(x,y)=x^{3}-3xy^{2}$
Inciso a
(a) compruebe que la función dada u es armónica en un dominio apropiado D
$\frac{\partial u}{\partial x}=3x^{2}-3y^{2}$ ;$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=6x$
$\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy$ ; $\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=-6x$
$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=6x-6x=0$
$\nabla^{2}u=0$
por lo tanto u(x,y) es armónica
Inciso b
(b) determine v(x,y), la armónica conjugada de u
primero tomamos en cuenta que :
$\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x}$ y $\frac{\partial v}{\partial x}=-(\frac{\partial u}{\partial y})$
$\frac{\partial u}{\partial x}=3x^{2}-3y^{2}=\frac{\partial v}{\partial y}$ ....(1)
$-\frac{\partial u}{\partial y}=-(-6xy)=6xy=\frac{\partial v}{\partial x}$ ....(2)
en (1) integramos respecto a y
$3x^{2}y-y^{3}+h(x)$
ahora derivamos respecto a x
$6xy+h'(x)$
sustituimos en (2)
y obtenemos que $h'(x)=0$ por lo tanto $h(x)=C$
entonces obtenemos que
$v(x,y)=3x^{2}y-y^{3}+C$
Inciso c
(c)forme la correspondiente función analítica
$f(z)=(x^{3}-3xy^{2})+i(3x^{2}y-y^{3}+C)$
Realizado por: Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 00:09 3 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 5
(a) Compruebe que la función dada u es armónica en un dominio apropiado D, (b) determine v(x,y), la armónica conjugada de u, y (c) forme la correspondiente función analítica $f(z)=u+iv$
$u(x,y)=log_{e}(x^{2}+y^{2})$
Inciso a
(a) Primero comprobamos que sea armónica, para eso debe cumplir la ecuación de Laplace.
$\nabla^{2}u=0=\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}$
Entonces:
$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}\Longrightarrow\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=\frac{2(x^{2}+y^{2})-4x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}$
$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}\Longrightarrow\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=\frac{2(x^{2}+y^{2})-4y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}$
Ahora:
\[ \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=\frac{2(x^{2}+y^{2})-4x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}+\frac{2(x^{2}+y^{2})-4y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=\frac{4(x^{2}+y^{2})-4x^{2}-4y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=0 \]
Inciso b
(b) Sabemos la función armónica conjugada v cumple las ecuaciones CR, por ello:
$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}$...........(1)
$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}$........(2)
Si integramos parcialmente (1) respecto a "y" y obtenemos $v(x)=2arctan(\frac{y}{x})+h(x)$ y si la derivamos parcialmente respecto a x tenemos que:
$\frac{-2y}{x^{2}(1+\frac{y^{2}}{x^{2}})}+h'(x)=\frac{-2y}{x^{2}+y^{2}}+h'(x)=\frac{\partial v}{\partial y}$.....(3)
Sustituimos el resultado de (3) en (2) y se tiene:
$h'(x)=0\Longrightarrow h(x)=c$
Finalmente, la función armónica conjugada de u es
\[ v(x)=2arctan(\frac{y}{x})+c \]
Inciso c
(c) Reescribimos la ecuación de la forma $f(z)=u+iv$
\[ f(z)=log_{e}(x^{2}+y^{2})+i(2arctan(\frac{y}{x})+c) \]
Realizado por:Fernando Vazquez V. (discusión) 00:49 5 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 6
(a) Compruebe que la función dada $u$ es armónica en un dominio apropiado $D$. b) Determine $v(x,y)$, la armónica conjugada de $u$ y forme la correspondiente función analítica $f(z)=u+iv$
$u(x,y)=cosxcoshy$
Inciso a
a) Para que una función sea armónica tiene que cumplir:
$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}$= $\nabla^{2}u=0$
Entonces:
$\frac{\partial u}{\partial x}=-senxcoshy$ ;$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=-cosxcoshy$
$\frac{\partial u}{\partial y}=cosxsenhy$ ; $\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=cosxcoshy$
$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=cosxcoshy-cosxcoshy=0$
$\nabla^{2}u=0$
Por lo tanto u(x,y) es armónica
Inciso b
(b) Encontrar v(x,y), la armónica conjugada de u
Tenemos las Ecuaciones de Cauchy-Riemann :
$\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x}$ y $\frac{\partial v}{\partial x}=-(\frac{\partial u}{\partial y})$
$\frac{\partial u}{\partial x}=-senxcoshy=\frac{\partial v}{\partial y}$ ....(1)
$-\frac{\partial u}{\partial y}=-(cosxsenhy)=\frac{\partial v}{\partial x}$ ....(2)
Integramos (1) respecto a "y"
$v(x,y)=-senxsenhy+g(x)$
Ahora derivamos $v$ respecto a "x"
$v(x,y)'= -cosxsenhy+g'(x)$........(3)
Sustituimos el resultado de (3) en (2) y se tiene:
$g'(x)=0; g(x)=c$
Entonces la función armónica conjugada de u es
\[ v(x,y)=-senxsenhy+c \]
Conclusión
Por lo tanto reescribimos la ecuación de la forma $f(z)=u+iv$ \[ f(z)=(cosxcoshy+i(-senxsenhy+c)) \]
Realizado por: Nancy Martínez Durán (discusión) 01:24 5 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 7
Compruebe que la función dada $u$ es armónica en un dominio apropiado $D$. Determine $v(x,y)$, la armonica conjugada de $u$ y forme la correspondiente función analítica $f(z)=u+iv$
$u(x,y)=exp(x)[xcosy-ysiny]$
Procedimiento
De las derivadas parciales:
$\dfrac{\partial u}{\partial x}=exp(x)cosy+exp(x)[xcosy-ysiny]$, $\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=2exp(x)cosy+exp(x)[xcosy-ysiny]$
$\dfrac{\partial u}{\partial y}=exp(x)[-ycosy-siny-xsiny]$, $\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=exp(x)[-2cosy-xcosy+ysiny]$
De acuerdo a la ecuación de Laplace
$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=0+0=0$, esto demuestra que $u(x,y)$ es armónica
Dado que la ecuación es armónica de satisfacer las ecuaciones de Cauchy- Riemann
$\dfrac{\partial v}{\partial y}=\dfrac{\partial u}{\partial x}$ y,
$\dfrac{\partial v}{\partial x}=-\dfrac{\partial u}{\partial y}$
Donde
$\dfrac{\partial v}{\partial y}=exp(x)cosy+exp(x)[xcosy-ysiny]$ y $\dfrac{\partial v}{\partial x}=exp(x)[ycosy+siny+xsiny]$
Integrado parcialmente la primera ecuación respecto $y$
$v(x,y)=exp(x)[ycosy+xsiny]+h(x)$
La derivada parcial respecto a $x$ es
$\dfrac{\partial v}{\partial x}=exp(x)siny+exp(x)[ycosy+xsiny]+h'(x)$
Sustituyendo en la segunda ecuación obtenemos $h'(x)=0$ así $h(x)=C$
Por lo tanto la función armónica conjugada de $u$ es $v(x,y)=exp(x)[ycosy+xsiny]+C$
Solución
Para finalizar la función compleja resultante es
$f(z)=e^x[xcosy-ysiny]+i[e^x[ycosy+xsiny]+C]$
Realizado por: Miguel Medina Armendariz (discusión) 21:06 3 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 8
Compruebe que la función dada $u$ es armónica en un dominio apropiado $D$. Determine $v(x,y)$, la armónica conjugada de $u$ y forme la correspondiente función analítica $f(z)=u+iv$
Para $u(x,y)=-e^{-x} \sin{y}$
Procedimiento
Esta función es armónica en un dominio D solo si satisface la ecuación de Laplace, esto es;
Calculando las respectivas derivadas parciales obtendremos lo siguiente;
De aqui es claro que se cumple la ecuacion de Laplace;
Por lo cual la función es armónica
Para determinar$v(x,y)$ que es la armónica conjugada recurriremos alas ecuaciones de Cauchy-Riemann Ya que La solución a esas ecuaciones nos dará la conjugada,que es lo que necesitamos, así entonces se debe de cumplir que;
y tambien que;
De esta manera tendremos que;
Asi despejando $dy$ e integrando respecto a $y$ tendremos;
Donde $h(x)$ es consecuencia de la integracion y es una constante que depende de $x$
Ahora derivando el resultado anterior respecto a $x$ tendremos que;
Para poder determinar a $h(x)$ debemos igualar la ecuación anterior con $-\dfrac{\partial u}{\partial y}$
Así
$e^{-x} \cos{y}=e^{-x} \cos{y}+h'(x)$
De donde es claro que $h'(x)=0$ así integrando ambas partes tendremos que $h(x)=C$ donde $C=constante$
Una vez echo esto regresamos a nuestra función $v(x,y)$ donde ahora ya es claro que;
Siendo esta ultima la armónica conjugada
Y así podemos formar la correspondiente función analítica y dar por terminado el problema
Solución
Realizado por: Cristian Alfredo Ruiz Castro (discusión) 19:34 4 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 9
(a)Compruebe que la función dada es armónica en un dominio apropiado D.
(b)Determine $v(x,y)$, la armónica conjugada de $u$.
(c)Forme la correspondiente función analítica $f(z)=u+iv$.
$u(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}$
Procedimiento
Para saber si la función $u(x,y)$ es armónica tiene que satisfacer con la ecuación de Laplace, entonces se calculan las primeras y segundas derivadas de la función.
$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^{2}+y^{2})-x(2x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=\frac{x^{2}+y^{2}-2x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}$
$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{-x(2y)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=\frac{-2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}$
$\frac{\partial^{2}u}{x^{2}}=\frac{-2x(x^{2}+y^{2})^{2}-(y^{2}-x^{2})(2)(2x)(x^{2}+y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{4}}=\frac{(x^{2}+y^{2})[(-2x)(x^{2}+y^{2})-(y^{2}-x^{2})(2)(2x)]}{(x^{2}+y^{2})^{4}}=\frac{(-2x)(x^{2}+y^{2})-(y^{2}-x^{2})(2)(2x)}{(x^{2}+y^{2})^{3}}=\frac{(-2x^{3}-2xy^{2})-(4xy^{2}-4x^{3})}{(x^{2}+y^{2})^{3}}$
$=\frac{-2x^{3}-2xy^{2}-4xy^{2}+4x^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{3}}=\frac{-6xy^{2}+2x^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{3}}$
$\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=\frac{(x^{2}+y^{2})^{2}(-2x)-(-2xy)(2)(2y)(x^{2}+y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{4}}=\frac{(x^{2}+y^{2})[(-2x)(x^{2}+y^{2})-(-2xy)(2)(2y)]}{(x^{2}+y^{2})^{4}}=\frac{(-2x)(x^{2}+y^{2})-(-2xy)(2)(2y)}{(x^{2}+y^{2})^{3}}=\frac{-2x^{3}-2xy^{2}+8xy^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3}}=\frac{-2x^{3}+6xy^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3}}$
Entonces vemos que al sacar el Lapaciano:
$\frac{-6xy^{2}+2x^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{3}}+\frac{-2x^{3}+6xy^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3}}=\frac{2x^{3}-2x^{3}+6xy^{2}-6xy^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3}}=0$
Por lo tanto queda demostrado que nuestra función es armónica.
(b)Para determinar la función armónica conjugada $v(x,y)$ Sabemos
a priori que debe satisfacer las ecuaciones de Cauchy-Riemann: $\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x};\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$
Por lo tanto:
$\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}......(1)$
y
$\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}......(2)$
Integrando parcialmente (2) respecto a $x$ nos queda:
$v(x,y)=\int\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}dx$
Y haciendo el respectivo cambio de variable, integrando y resolviendo nos queda:
$v(x,y)=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}+g(y)$
La derivada parcial con respecto a $y$ de esta última ecuación es:
$\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{-(x^{2}+y^{2})-(-y)(2y)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}+g'(y)=\frac{-x^{2}-y^{2}+2y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}+g'(y)=\frac{-x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}+g'(y)$
Pero sabemos por la ecuación (2) que:
$\frac{-x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}+g'(y)=\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}$
Por lo que se concluye que $g'(y)=0$
Entonces:
$v(x,y)=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}$
es la ecuación armónica conjugada:
Por lo tanto, la función analítica se ve como:
$f(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}+i\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}+C$
Realizado por:A. Martín R. Rabelo (discusión) 21:47 6 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 9 (versión en inglés)
Para cada una de las funciones u (x, y) en los problemas 1, 3, 5, y 7, encontrar v (x, y), el conjugado armónico de u. Forma la función analítica correspondiente f(z)=u+iv
PROBLEMA 1 u(x,y)=x
Tomando que debe ser una función analítica entonces u debe satisfacer C-R
$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$
$\frac{\partial u}{\partial y}=- \frac{\partial v}{\partial x}$
Pero necesitamos conocer quien es v(x,y), entonces tomamos en cuenta que:
$\frac{\partial u}{\partial x}=1=\frac{\partial v}{\partial y}$
Integrando tenemos
$\int{dv}=\int{dy}$
$v=y+h(x)$
$h(x)=cte=C$
$v=y+C$
Por lo tanto v es la función armónica de u
$f(z)=u+iv$
$\therefore f(z)=x+i(y+c)$
PROBLEMA 2 u(x,y)=x^2-y^2
De C-R sabemos que :
$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$
$\frac{\partial u}{\partial y}=- \frac{\partial v}{\partial x}$
De aquí podemos conocer quien es v(x,y) donde
$\frac{\partial u}{\partial x}=2x=\frac{\partial v}{\partial y}$
Integrando
$\int{dv}=\int{2x}dy$
$ v=2xy+h(x) $
$h(x)=cte=C$
$ v=2xy+C $
Por lo tanto v es función armónica de u
$f(z)=u+iv$
$\therefore f(z)=x^2-y^2+i(2xy+c)$
PROBLEMA 3 u(x,y)=log_{e}(x^2+y^2)
Tomamos las ecuaciones de C-R
$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$
$\frac{\partial u}{\partial y}=- \frac{\partial v}{\partial x}$
Entonces podemos conocer a v(x,y)
$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{2x}{x^2+y^2}=\frac{\partial v}{\partial y}$
Integrando
$\int{dv}=\int{\frac{2x}{x^2+y^2}}dy$
$ v=2 tan^-1(\frac{y}{x})+h(x) $
$h(x)=cte=C$
$ v=2 tan^{-1}(\frac{y}{x})+C $
Por lo tanto v es función armónica de u
$f(z)=u+iv$
$\therefore f(z)=log_{e}(x^2-y^2)+i(2tan^{-1}(\frac{y}{x})+c)$
PROBLEMA 4 u(x,y)=e^{x}(xcosy-yseny)
$$u=x e^{x}cosy-y e^{x}seny$$
Tomando C-R
$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$
$\frac{\partial u}{\partial y}=- \frac{\partial v}{\partial x}$
Entonces podemos conocer a v(x,y)
$\frac{\partial u}{\partial x}= e^{x}cosy+e^{x}(xcosy-yseny)= \frac{\partial v}{\partial y}$
Integrando
$\int{dv}=\int{e^{x}cosy+e^{x}(xcosy-yseny)}dy$
$ v= e^{x}(xseny+ycosy)+h(x) $
$h(x)=cte=C$
$ v= e^{x}(xseny+ycosy)+C $
Por lo tanto v es función armónica de u
$f(z)=u+iv$
$\therefore f(z)=e^{x}(xcosy-yseny)+i(e^{x}(xseny+ycosy)+C)$
Realizado por:Samantha Martinez (discusión) 18:02 05 Junio 2015 (CDT)
Ejercicio 10
a) Compruebe que la fnción dad de u es ármonica
b)Determinar v(x,y) y la ármonica conjugada
c) Formar como f(z)=u+iv
$u\left(x,y\right)=arctan\left(\frac{-y}{x}\right)$
Solución:
Para saber si la función es ármonica debe satisfacer la ecuación de Laplace:
$\nabla^{2}=0$
Sacamos las segundas derivadas parciales respecto a x y a y para saber si satisface:
$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y}{x^{2}+y^{2}}$
$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=-\frac{2xy}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}$
$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{x}{x^{2}+y^{2}}$
$\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=\frac{2xy}{x^{2}+y^{2}}$
entonces así podemos ver que satisface Laplace
$\nabla^{2}u=\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=-\frac{2xy}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}+\frac{2xy}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}=0$
Ahora debemos sacar la conjugada de u
Para esto invocamos a las ecuaciones de Cauchy-Riemann
$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$....(1)
$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$...(2)
y asi tomando (1)
$\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y}{x^{2}+y^{2}}$
Integrando respecto a y tenemos:
$v=\frac{1}{2}ln\left|x^{2}+y^{2}\right|+f\left(x\right)$
Derivando parcialmente respecto a x
$\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}+\frac{\partial f\left(x\right)}{\partial x}$
Igualando (1) por las acuaciones de C.R.tenemos:
$\frac{\partial f\left(x\right)}{\partial x}=0$
Por lo tanto tenemos que la función ármonica cinjugada es:
$v\left(x,y\right)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}+C$
Finalmente tenemos que:
$f\left(z\right)=arctan\left(\frac{-y}{x}\right)+i\left(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}+C\right)$
Resuelto por Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 23:42 5 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 11
Compruebe que la función dada $u$ es armónica en un dominio adecuado $D$. Determinar su armónica conjugada $v$ y encontrar una función analítica $f(z)=u+iv$ que satisfaga la condición indicada.
$u(x,y)=xy+x+2y-5$ , $f(2i)=-1+5i$
$Solución: $
De las derivadas parciales:
$\dfrac{\partial u}{\partial x}=y+1$, $\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=0$
$\dfrac{\partial u}{\partial y}=x+2$, $\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=0$
vemos que la $u$ satisface la ecuación de Laplace
$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=0+0=0$, por tanto $u$ es armónica
Dado que la función armónica conjugada $v$ debe satisfacer las ecuaciones de Cauchy- Riemann
$\dfrac{\partial v}{\partial y}=\dfrac{\partial u}{\partial x}$ y, $\dfrac{\partial v}{\partial x}=-\dfrac{\partial u}{\partial y}$
debemos tener
$\dfrac{\partial v}{\partial y}=y+1$ y $\dfrac{\partial v}{\partial x}=-(x+2)$ , $...$ $(1)$
Integrado parcialmente la primera ecuación en (1) respecto a la variable $y$ se obtiene
$v(x,y)=\frac{y^2}{2}+y+h(x)$
La derivada parcial respecto a $x$ de esta última ecuación es
$\dfrac{\partial v}{\partial x}=h'(x)$
Cuando se sustituye este resultado en la segunda ecuación de (1) obtenemos $h'(x)=-(x+2)$, y así $h(x)=-\frac{x^2}{2}-2x+C$ , donde $C$ es una constante real.
Por lo tanto, la función armónica conjugada de $u$ es $v(x,y)=\frac{y^2}{2}+y-\frac{x^2}{2}-2x+C$
combinando $u$ y su armónica conjugada $v$ como $u(x,y)-iv(x,y)$, la función compleja resultante
$f(z)=(xy+x+2y-5)+i(\frac{y^2}{2}+y-\frac{x^2}{2}-2x+C)$
Así, evaluando tenemos
$z=2i=0+2i$, $x=0$, $y=2$
$f(2i)=((0)(2)+0+2(2)-5)+i(\frac{2^2}{2}+2-\frac{0^2}{2}-2(0)+C)=-1+4i$
Para que $f(2i)=-1+5i$, la constante debe ser, C=1
Por tanto la función que satisface la igualdad es: $f(z)=(xy+x+2y-5)+i(\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{2}+y-2x+1)$
Evaluando nuevamente vemos que satisface la condición indicada
$f(2i)=((0)(2)+0+2(2)-5)+i(\frac{2^2}{2}+2-\frac{0^2}{2}+2(0)+1)=-1+5i$
--Emmanuell Castro Flores (discusión) 22:58 1 jun 2015 (CDT)
Compruebe que la función dada $u$ es armónica en un dominio adecuado $D$. Determinar su armónica conjugada $v$ y encontrar una función analítica $f(z)=u+iv$ que satisfaga la condición indicada.
$u(x,y)=xy+x+2y-5x$$ ; $$f(2i)=-1+5i$
$Solución: $
De las derivadas parciales:
$\dfrac{\partial u}{\partial x}=y+1$$, $$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=0$
$\dfrac{\partial u}{\partial }=x+2$$, $$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=0$
vemos que la $u$ satisface la ecuación de Laplace
$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=0+0=0$ Por tanto $u$ es armónica
Dado que la función armónica conjugada $v$ debe satisfacer las ecuaciones de Cauchy- Riemann
$\dfrac{\partial v}{\partial y}=\dfrac{\partial u}{\partial x},$ $\dfrac{\partial v}{\partial x}=-\dfrac{\partial u}{\partial}$ y
$\dfrac{\partial v}{\partial y}=\dfrac{\partial u}{\partial x}$ y,
$\dfrac{\partial v}{\partial x}=-\dfrac{\partial u}{\partial y}$
debemos tener
$\dfrac{\partial v}{\partial y}=y+1$$ y $$\dfrac{\partial v}{\partial x}=-(x+2)$
Integrado parcialmente la primera ecuación en (1) respecto a la variable $y$ se obtiene
$v(x,y)=\frac{y^2}{2}+y+h(x)$
La derivada parcial respecto a $x$ de esta última ecuación es
$\dfrac{\partial v}{\partial x}=h'(x)$
Cuando se sustituye este resultado en la segunda ecuación de (1) obtenemos $h'(x)=-(x+2)$, y así $h(x)=-\frac{x^2}{2}+2x+C$ , donde $C$ es una constante real.
Por lo tanto, la función armónica conjugada de $u$ es $$v(x,y)=\frac{y^2}{2}+y-\frac{x^2}{2}+2x+C$$
combinando $u$ y su armónica conjugada $v$ como $$u(x,y)-iv(x,y)$$, la función compleja resultante
$f(z)=(xy+x+2y-5)+i(\frac{y^2}{2}+y-\frac{x^2}{2}+2x+C)$
Así, evaluando tenemos
$z=2i=0+2i$, $x=0$; $y=2$
$f(2i)=((0)(2)+0+2(2)-5)+i(\frac{2^2}{2}+2-\frac{0^2}{2}+2(0)+C)=-1+4i$
Para que $f(2i)=-1+5i$, la constante debe ser, C=1
Por tanto la función que satisface la igualdad es:
$f(z)=(xy+x+2y-5)+i(\frac{y^2}{2}+y-\frac{x^2}{2}+2x+1)$
Evaluando nuevamente vemos que satisface la condición indicada
$f(2i)=((0)(2)+0+2(2)-5)+i(\frac{2^2}{2}+2-\frac{0^2}{2}+2(0)+1)=-1+5i$
Emmanuell Castro Flores (discusión) 22:54 1 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 12
Comprobar que la función dada $u$ es armónica en un dominio adecuado $D$. Determinar su armónica conjugada $v$ y encontrar una función analítica $f(z)=u+iv$ que satisfaga la condición indicada
$u(x,y)=4xy^3-4x^3y+x$; $f(1+i)=5+4i$
Sol. Dado que $u$ es armónica su conjugada también obedece las ecuaciones de Cauchy-Riemann, por lo que derivando:
$\dfrac{\partial u}{\partial x}=4y^3-12x^2y+1=\dfrac{\partial v}{\partial y}$, integrando respecto a $y$:
$v(x,y)=y^4-6x^2y^2+y+g(x)$
Y de la otra igualdad
$-\dfrac{\partial u}{\partial y}=-12xy^2+4x^3=-12xy^2+g'(x)=\dfrac{\partial v}{\partial x}$
Despejamos a $g'$ e integramos: $g'(x)=4x^3$, $g(x)=x^4+cte$
Por lo que la función conjugada de $u$ es: $v(x,y)=y^4-6x^2y^2+y+x^4+cte$
b) Con $f(z)=(4xy^3-4x^3y+x)+i(y^4-6x^2y^2+y+x^4+cte)$, la evaluamos en $z=1+i$ e igualamos con lo dado en el problema para determinar el valor de la constante;
$f(1+i)=(4-4+1)+i(1-6+1+1+cte)=1+i(-3+cte)\neq 5+4i$, al ser la parte real diferentes, la igualdad no es válida por lo que para que la función $f$ satisfaga la relación deberá ser:
$f(z)=(4xy^3-4x^3y+x+4)+i(y^4-6x^2y^2+y+x^4+cte)$
$f(1+i)=(4-4+1+4)+i(1-6+1+1+cte)=5+i(-3+cte)=5+4i$, e igualando las partes imaginarias para obtener la constante:
$-3+cte=4$, $cte=4+3=7$
Por lo que la función que satisface la igualdad es:
$f(z)=(4xy^3-4x^3y+x+4)+i(y^4-6x^2y^2+y+x^4+7)$
la cual también satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
Oscar Javier Gutierrez Varela (discusión) 19:02 1 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 14
Supongamos que $f(z)= u(r,\theta) + i v(r,\theta)$ es analítica en un dominio D que no contiene el origen. use la ecuaciones de Cahuchy-Riemann (10) de la seccion 3.2 en la forma $ru_{r}= v_{\theta}$ y $rv_{r}=-u_{\theta}$ para demostrar que $u(r,\theta)$ satisface la ecuación de Laplace en coordenadas polares:
\[ r^{2}\dfrac{\partial^{2}{u}}{\partial{r^{2}}} +r\dfrac{\partial{u}}{\partial{r}}+\dfrac{\partial^{2}{u}}{\partial{\theta^{2}}}=0 \]
Definiendo a $f(z)$ en su forma polar: \[ f(z)= r(\cos\theta + i \sin\theta)\]
Entonces $u$
\[ u= r \cos\theta\]
Calculamos las derivadas parciales:
\[ r^{2}\dfrac{\partial^{2}{u}}{\partial{r^{2}}}= 0\]
\[ r\dfrac{\partial{u}}{\partial{r}}= r \cos\theta\]
\[ \dfrac{\partial{u^{2}}}{\partial^{2}{\theta}}= -r \cos\theta\]
\[ 0 + r \cos \theta -r \cos \theta = 0\]
--Esther Sarai (discusión) 22:11 3 jun 2015 (CDT)Esther Sarai
Ejercicio 15
En los problemas 15 y 16 verifique la función $u(r,\theta)$ dada es armónica en el dominio $D$ que no contiene al origen
$u(r , \theta)=r^3\cos(3\theta)$
Para que una función sea armónica debe de satisfacer la ecuación de Laplace en un dominio determinado, como la función dada $u$ esta en coordenadas polares hacemos uso del Laplaciano en coordenadas polares, el cual es:
$\nabla^2 u = r^{2}\dfrac{\partial^{2}{u}}{\partial{r^{2}}} +r\dfrac{\partial{u}}{\partial{r}}+\dfrac{\partial^{2}{u}}{\partial{\theta^{2}}}=0$
Haciendo las derivadas parciales correspondientes tenemos:
$\dfrac{\partial^{2}{u}}{\partial{r^{2}}}=6r\cos(3\theta)$
$\dfrac{\partial{u}}{\partial{r}}=3r^2\cos(3\theta)$
$\dfrac{\partial^{2}{u}}{\partial{\theta^{2}}}=-6r^3\cos(3\theta)$
Sustituyendo en el Laplaciano nos queda:
$\nabla^2 u = r^2(6r\cos(3\theta)) + r(3r^2\cos(3\theta)) - 6r^3\cos(3\theta) = 3r^3\cos(3\theta)\neq 0$
La función no cumple con la ecuación de Laplace por lo tanto la función no es armónica
Angelina Nohemi Mendoza Tavera (discusión) 15:04 4 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 13
a) Demuestre que : es armónica en un dominio D que no contenga el origen.
b)Determine una función : que es analítica en el dominio D.
c)Exprese la función f encontrada en el inciso (b) en términos del símbolo z.
Solución
a) Para esta función de dos variables reales “x” y “y” sea armonica , es necesario que sus primeras y segundas
derivadas parciales sean continuas en un dominio D, y sastifagan la ecuación de Laplace que tiene la forma:
- ...(1)
Obtendremos sus derivadas parciales de primer y segundo orden de la función; simplificando se tiene:
Resumiendo los resultados anteriores,se tiene de importancia que
Sustituyendo (2) y (3) en (1) , agrupando términos ,factorizando y reduciendo se tiene:
b)Ahora encontraremos la función armonica de v, pero dado que la la función armonica de v debe satifacer la
ecuación de Cauchy- Riemann que es:
Sustituyendo (3) y (4) en las parciales anteriores de primer orden se tiene:
donde :; :
Tomamos (5) , y por variables separables, integramos con respecto a la “x”, donde obtenemos
- ,por cambio de variable tenemos:
- finalmente sustituyendo e intergrando se tiene:
- , donde h(y) es una constante en función de “y”.
Ahora obtendremos la parcial de primer orden “u(x,y)” con respecto a “y”
Igualamos (7) con (6) ,despejando h'(y) y simplificando y se tiene
- , integramos
Por lo tanto, la función armonica conjugada de “v” es
La función compleja que es analítica en el dominio en D es
c) De la función anterior, factorizando “i” el término del numerador y por diferencia de cuadrados el denominador de la función, reduciendo se tiene que:
por lo tanto
--Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 09:27 2 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 16
Verificar que u(r,) dada es armónica en el dominio D que no contiene al origen
Primero será demostrado que a función dada es armónica, Usando la expresión de Laplace en coordenadas polares.
$\nabla^2 u = r^{2} \dfrac{\partial^{2}{u}}{\partial{r^{2}}} +r \dfrac{\partial{u}}{\partial{r}}+\dfrac{\partial^{2}{u}}{\partial{\theta^{2}}}=0$
Haciendo las derivadas parciales primero con respecto de r.
Obteniendo la segunda derivada parcial con respecto de r
Ahora si desarrollamos las parciales con respecto de , obtenemos que
Al hacer la la suma del laplaciano en polares
Por lo que siendo armónica, dado que la armónica de v tiene que cumplir las ecuaciones de Cauchy, tenemos que para f(z)
Por lo que al integrar
y al Derivar con respecto de e igualarla a la parcial de u con respecto de r por un factor de r a esta parcial de u con respecto de r.
Por lo que la derivada de g es una constante por lo que la función es
Donde c es una constante y el dominio es el plano complejo excepto el cero.
--Pablo (discusión) 10:11 5 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 17
a) compruebe que $u(x,y)=e^{x^{2}-y^{2}}\cos(2xy)$ es armónica en un dominio adecuado D.
b) determinar su armónica conjugada $v$ y encuentre la función analítica $f(z)=u+iv$ que satisface $f(0)=1$
sacando las derivadas parciales tenemos
$u(x,y)=e^{x^{2}}e^{-y}\cos(2xy)$
$\frac{\partial u}{\partial x}=2xe^{x^{2}}e^{-y^{2}}\cos(2xy)-2ye^{x^{2}}e^{-y^{2}}\sin(2xy)$
$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=2e^{x^{2}}e^{-y^{2}}\cos(2xy)+4x^{2}e^{x^{2}}e^{-y^{2}}\cos(2xy)-4xye^{x^{2}}e^{-y^{2}}\sin(2xy)-4xye^{x^{2}}e^{-y^{2}}\sin(2xy)-4y^{2}e^{x^{2}}e^{-y^{2}}\cos(2xy)=(4x^{2}-4y^{2}+2)e^{x^{2}}e^{-y^{2}}\cos(2xy)-8xye^{x^{2}}e^{-y^{2}}\sin(2xy)$
$\frac{\partial u}{\partial y}=-2ye^{x^{2}}e^{-y^{2}}\cos(2xy)-2xe^{x^{2}}e^{-y^{2}}\sin(2xy)$
$\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=-2e^{x^{2}}e^{-y^{2}}\cos(2xy)+4y^{2}e^{x^{2}}e^{-y^{2}}\cos(2xy)+4xye^{x^{2}}e^{-y^{2}}\sin(2xy)+4xye^{x^{2}}e^{-y^{2}}\sin(2xy)-4x^{2}e^{x^{2}}e^{-y^{2}}\cos(2xy)=(-4x^{2}+4y^{2}-2)e^{x^{2}}e^{-y^{2}}\cos(2xy)+8xye^{x^{2}}e^{-y^{2}}\sin(2xy)$
así tenemos
$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=(4x^{2}-4y^{2}+2)e^{x^{2}}e^{-y^{2}}\cos(2xy)-8xye^{x^{2}}e^{-y^{2}}\sin(2xy)+(-4x^{2}+4y^{2}-2)e^{x^{2}}e^{-y^{2}}\cos(2xy)+8xye^{x^{2}}e^{-y^{2}}\sin(2xy)=0$
como $u(x,y)$ satisface la ecuación de Laplace podemos decir que es armónica en D
dado que deben de satisfacer las funciones de Cauchy-Riemann
$\frac{\partial v}{\partial x}=2ye^{x^{2}}e^{-y^{2}}\cos(2xy)+2xe^{x^{2}}e^{-y^{2}}\sin(2xy)$
$\frac{\partial v}{\partial y}=2xe^{x^{2}}e^{-y^{2}}\cos(2xy)-2ye^{x^{2}}e^{-y^{2}}\sin(2xy)$
integrando $\frac{\partial v}{\partial y}=2xe^{x^{2}}e^{-y^{2}}\cos(2xy)-2ye^{x^{2}}e^{-y^{2}}\sin(2xy)$ respecto a $y$
$v(x,y)=2xe^{x^{2}}e^{-y^{2}}\cos^{2}(xy)-2xe^{x^{2}}e^{-y^{2}}\sin^{2}(xy)+4ye^{x^{2}}e^{-y^{2}}\sin(xy)\cos(xy)+h(x)=2xe^{x^{2}}e^{-y^{2}}(\cos^{2}(xy)-\sin^{2}(xy))+4ye^{x^{2}}e^{-y^{2}}\sin(xy)\cos(xy)+h(x)$
su derivada parcial respecto de $x$ es
$\frac{\partial v}{\partial x}=2xe^{x^{2}}e^{-y^{2}}\cos(2xy)+2ye^{x^{2}}e^{-y^{2}}\sin(2xy)+h'(x)$ podemos ver que $h'(x)=0$
esto implica que:
$f(z)=e^{x^{2}-y^{2}}\cos(2xy)+i(2xe^{x^{2}}e^{-y^{2}}(\cos^{2}(xy)-\sin^{2}(xy))+4ye^{x^{2}}e^{-y^{2}}\sin(xy)\cos(xy)+c)$
evaluando en cero tenemos
$f(0)=1$
$\therefore f(z)=e^{x^{2}-y^{2}}\cos(2xy)+i(2xe^{x^{2}-y^{2}}(\cos^{2}(xy)-\sin^{2}(xy))+4ye^{x^{2}-y^{2}}\sin(xy)\cos(xy)$
--Francisco Medina Albino (discusión) 22:41 4 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 19
a) Demuestre que : es armónica, es decir, sastiface la ecuación de Laplace
- en un dominio D del espacio que no contiene al origen.
Solución
Obtenemos las derivadas de primer y segundo orden superior con respecto a cada y respectiva variable
b)¿Es el análogo bidimensional de la función en el inciso a), :,
armónica en un dominio D del plano que no contiene el origen?
Solución
La función en la parte bidimensional debe satisfacer la ecuación de Laplace:
Realizamos el mismo procedimiento que en el inciso a) para la función,y observamos que:
- , sustituyendo en la ecuación de Laplace obtenemos:
por lo tanto
No, es su análogo
Elaboro --Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 23:40 2 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 20
Construya un ejemplo acompañado de una breve explicación, que iluste el siguiente hecho: si $v$ es armónica conjugada de $u$ en algún dominio $D$, entonces $u$, en general, no es armónica conjugada de $v$.
Solución:
Sea $f(z) = z^2 = x^2 - y^2 +2ixy$
Si $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ De donde $u = x^2 - y^2$ y $v = 2xy$
La función armónica conjugada satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemman, esto es,
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$; Haciendo las cuentas llegamos a $2x = 2x$
y $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$; Después de los cálculos vemos que $-2y = -2y$
De aquí vemos que $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ es analítica en un domino $D$
Ahora si $v$ es la función de la que partimos y $u$ es la armónica conjugada de $v$, ¿se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemman?
$\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial y}$; vemos que $2y \neq -2y$
y $\frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{\partial u}{\partial x}$; y de aquí $2x \neq -2x$
Podemos notar que $f(z) = v(x,y) + iu(x,y)$ no es analítica en el dominio D, pues no cumple con las ecuaciones de Cauchy-Riemman.
Por lo tanto $u$ no es armónica conjugada de $v$.
Observación: nótese que $-u$ sí es armónica conjugada de $v$, y esto es en general.
--Arnold B. Herrera Rubert (discusión) 17:11 7 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 21
21.-
21.-
Si $f\left(z\right)=u\left(x,y\right)+iv\left(x,y\right)$es una funcion analítica en el dominio $D$ y $f\left(z\right)\neq0$ para toda$z$ en $D$
mostrar que $\phi\left(x,y\right)=\log_{e}\left|f\left(z\right)\right|$es harmónica en $D$
Como $\phi\left(x,y\right)=\log_{e}\left|f\left(z\right)\right|=\log_{e}\left|u\left(x,y\right)+iv\left(x,y\right)\right|=\log_{e}\sqrt{u^{2}+v^{2}}+i\arctan\left(\frac{v}{u}\right)$
Donde
$U=\log_{e}\sqrt{u^{2}+v^{2}}$
y $V=\arctan\left(\frac{v}{u}\right)$
Entonces para que la función $\phi$ sea armónica deben cumplirse las siguientes dos condiciones:
$\frac{\partial^{2}U}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}U}{\partial y^{2}}=0$...$\left(1\right)$
$\frac{\partial^{2}V}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}V}{\partial y^{2}}=0$...$\left(2\right)$
De la ecuación $\left(1\right)$se calcula:
$\frac{\partial U}{\partial x}=$$\frac{1}{\sqrt{u^{2}+v^{2}}}.\left(-\frac{2u.\frac{\partial u}{\partial x}+2v\frac{\partial v}{\partial y}}{\left(u^{2}+v^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right)$ $\frac{\partial^{2}U}{\partial x^{2}}=$$-\frac{1}{\sqrt{u^{2}+v^{2}}}.$$\left\{ 2u.\frac{\partial u}{\partial x}+2v\frac{\partial v}{\partial y}.-\frac{3}{2}\left(u^{2}+v^{2}\right)^{-\frac{5}{2}}+\left(u^{2}+v^{2}\right)^{\frac{3}{2}}.2\left[\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}+u\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\right]\right\} $
--Alejandro Juárez Toribio (discusión) 17:31 7 jun 2015 (CDT)