La topología del plano complejo
1.13 Demuestre que las raíces n-ésimas de z=1 (diferentes de 1) satisfacen la ecuación ciclotómica:
Demostración
Sea
, se observa que:
entonces:
por lo que las raíces de la ecuación ciclotómica son las mismas que las de la ecuación
De la última ecuación se observa que
, luego
, es decir,
, con
Por lo tanto, las n-ésimas raices de
, diferentes de 1, satisfacen la ecuación ciclotómica.
Realizado por: Pérez Córdoba Sabino (discusión) 12:43 4 dic 2012 (CST)
1.16.- Demuestre que un semi plano abierto es un conjunto abierto.
Demostración
Tenemos
del cual
. Decimos que
. Elegimos un
![\Rightarrow](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/469b737d167b9b28a74e27c7f5e35b5ea9256100)
![\Rightarrow](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/469b737d167b9b28a74e27c7f5e35b5ea9256100)
![\Rightarrow](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/469b737d167b9b28a74e27c7f5e35b5ea9256100)
(contradicción)
![\Rightarrow](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/469b737d167b9b28a74e27c7f5e35b5ea9256100)
![\Rightarrow](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/469b737d167b9b28a74e27c7f5e35b5ea9256100)
![\Rightarrow](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/469b737d167b9b28a74e27c7f5e35b5ea9256100)
![\Rightarrow](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/469b737d167b9b28a74e27c7f5e35b5ea9256100)
(contradicción)
.
Realizado por: Jean Carlo Cruz Venegas (discusión) 08:20 29 nov 2012 (CST)
1.19 Sea
. Demuestre que:
(a)
es abierto si y sólo si
.
(b)
es cerrado si y sólo si
.
Inciso a
(a) Si
es abierto, entonces para cada z ∈
existe un
tal que
. Vemos que la unión de todas las bolas
es
. Además, esta unión es igual al interior de
a saber,
, puesto que para cualquier subconjunto abierto
de
se tiene que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): A \subset \bigcup \left \{ B(x,\epsilon) : x ∈ A \right \}.
Luego
.
Por otro lado, si
, entonces
es abierto por que
es abierto.
Inciso b
(b) Si
es cerrado, entonces
, por que
es el super conjunto cerrado más pequeño de
.
Por otra parte, si
entonces
es cerrado debido a que
es cerrado por definición.
Realizado por: Belen (discusión) 21:11 30 oct 2012 (UTC)
1.20 Sea
. Demuestre que:
(a)
.
(b)
.
(c) Error al representar (error de sintaxis): ∂ \Omega = \Omega^{-} - \Omega ^{0}
.
(d) Error al representar (error de sintaxis): ∂ \Omega = \Omega^{-} \bigcap ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-}
.
(a)
- P.D.
![\mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} \subseteq \Omega ^{0}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54edcdd5c8032fcfc3100e26dd24a601131d374a)
Sabemos que
Entonces
y es abierto, puesto que la cerradura es un conjunto cerrado y el complemento de un conjunto cerrado es abierto.
De manera que
, pues el interior de un conjunto (
) es el mayor abierto contenido en ese conjunto (
)
- P.D.
![\Omega ^{0} \subseteq \mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f57516c475fabab3578930263143278dad4f0a8e)
Sea Error al representar (error de sintaxis): x ∈ ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-}
, entonces Error al representar (error de sintaxis): x ∈ \mathbb{C} - \Omega
por que
.
Como Error al representar (error de sintaxis): x ∈ \mathbb{C} - \Omega
, se tiene que Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \Omega
y también que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x ∉ \Omega ^{0}
ya que
.
Puesto que Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \Omega ^{0} \Rightarrow x ∈ \mathbb{C} - \Omega ^{0}
, es decir, al complemento del interior de
.
Tenemos entonces que
, de donde
.
- Ya que
y
, podemos decir que
.
(b)
Sabemos que
.
Ahora, del inciso anterior,
, si
. Sea
,
entonces:
.
Y así
.
(c)
Tenemos que Error al representar (error de sintaxis): x ∈ ∂ \Omega \Leftrightarrow x ∈ [ \Omega \cap ( \mathbb{C} - \Omega ) ]
.
Error al representar (error de sintaxis): \Leftrightarrow x ∈ [ \Omega^{-} \cap ( \mathbb{C} - \Omega )^{-} ]
(puesto que
)
Error al representar (error de sintaxis): \Leftrightarrow x ∈ \Omega^{-}
y Error al representar (error de sintaxis): x ∈ (\mathbb{C} - \Omega) ^{-}
Error al representar (error de sintaxis): \Leftrightarrow x ∈ \Omega^{-}
y Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \mathbb{C} - (\mathbb{C} - \Omega) ^{-} = \Omega ^{0}
(por el inciso anterior)
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Leftrightarrow x ∈ ( \Omega^{-} - \Omega ^{0} )
.
(d)
Veamos a la frontera Error al representar (error de sintaxis): ∂ \Omega
como el conjunto de puntos que NO están en el interior
ni en el exterior (la unión de todos los abiertos ajenos con
, es decir, la unión de todos los abiertos contenidos en
). El exterior de
es el interior de
, o sea el conjunto
.
Así, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): ∂ \Omega = \mathbb{C} - [ \Omega ^{0} \cup ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{0} ] = \mathbb{C} - \Omega ^{0} \cap \mathbb{C}- (\mathbb{C} - \Omega ) ^{0}
Sabemos del inciso (a) que
y del inciso (b) que
.
De tal forma que
.
--Belen (discusión) 02:37 31 oct 2012 (UTC)
1.21 Sea
. Demuestre que:
(a) Error al representar (error de sintaxis): z ∈ \Omega ^{0}
si y sólo si existe
tal que
.
Si Error al representar (error de sintaxis): z ∈ \Omega ^{0}
entonces existe un
tal que
, por que
es abierto. Como
, resulta que
. En la otra dirección, si
para algún
, entonces por ser
un conjunto abierto, se tiene que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z ∈ \Omega ^{0}
, por que
es la unión de todos los subconjuntos abiertos de
(b) Error al representar (error de sintaxis): z ∈ \Omega ^{-}
si y sólo si para todo
se tiene que
Supóngase que Error al representar (error de sintaxis): z ∈ \Omega ^{-}
, por 1.20 (b) Error al representar (error de sintaxis): z ∈ (\mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{0})
y de este modo
. Con esto y por el inciso anterior, se obtiene que para cada
,
. De esta forma, para cada
hay un punto
que no pertenece a
, con lo cual
, y así
. Ahora supóngase que
, entonces
, y por el inciso anterior existe un
tal que
. De esto se obtiene que
.
--Ricardo velasco bazán (discusión) 02:41 6 nov 2012 (UTC)
1.22 Sea
cualquier conjunto muestre que:
es abierto relativo en
.
Puesto que dice que
puede ser cualquier conjunto, lo escogemos abierto, entonces
será abierto relativo tal que exista un
, tal que
Dado que
contiene a
, entonces cumple con la primera parte del parrafo 1 del texto en la pagina 17.
Si
,.....,
son abiertos relativos,
es abierto relativo.
Veamos, por el inciso
, hemos dicho que
, tal que
, esto quiere decir que podemos tomar
, tal que
, por lo cual se sigue cumpliendo que esa intersección de conjuntos abiertos generan a un abierto relativo.
Si
es cualquier familia de subconjuntos de
que son abiertos relativos, entonces
también es abierto relativo.
Hemos mostrado en
que
, y es abierto relativo por
, ahora tenemos
, tal que por ser abiertos y su unión es
, lo cual sigue generando a nuestro abierto relativo.
es cerrados relativo en
.
Puesto que dice que
puede ser cualquier conjunto, lo escogemos cerrado, entonces
será cerrado relativo tal que exista un
, tal que
Si
,.....,
son cerrados relativos,
es cerrado relativo.
Entonces, por el inciso
, hemos dicho que
, tal que
, esto quiere decir que podemos tomar
, tal que
, por lo cual se sigue cumpliendo que esa unión de conjuntos cerrados generan a un cerrado relativo.
Si
es cualquier familia de subconjuntos de
que son cerrados relativos, entonces
también es cerrado relativo.
Hemos mostrado en
que
, y es cerrado relativo por
, ahora tenemos
, tal que por ser cerrados y su unión es
, lo cual sigue generando a nuestro cerrado relativo.
--Luis Antonio (discusión) 16:39 5 dic 2012 (CST)
1.23 Si
es abierto relativo, demuestre que
es cerrado relativo. Demuestre también que si
es cerrado relativo, entonces
es abierto relativo
* Se dice que un subconjunto abierto
es abierto relativo en
si existe un conjunto abierto
tal que
.
* Se dice que un subconjunto cerrado
es cerrado relativo en
si existe un conjunto cerrado
tal que
.
Lo anterior es por el ejercicio 1.22
Podemos imaginar el analisis como el conjunto
es abierto relativo, su
será cerrado relativo, esto por que
podrá tocar sus puntos frontera. De manera similar si
es cerrado relativo, por entonces sus complemento
, será abierto relativo por que
no podrá tocar su frontera.
Entonces se concluye lo que nos pide demostrar el enunciado enuciado.
--Luis Antonio (discusión) 18:08 5 dic 2012 (CST)
1.24 Demuestre que
es conexo si y sólo si
es un intervalo.
Sea
, y sea
un subconjunto abierto de
tal que
y
(como
,
no es abierto en
, pero si en
, es decir,
es abierto relativo a
). Si se prueba que
no es también cerrado, entonces se habrá probado que
es conexo.
Puesto que
es abierto, existe un
tal que
. Sea
el mayor
para el cual
, es decir
. De este modo se tiene que
, pero
, por que de lo contrario, puesto que
es abierto, habría un
tal que
, contradiciendo la definición de
. Luego
, y por tanto
. Si
es también cerrado, entonces
es abierto, y por tanto se puede encontrar un
tal que
, lo cual contradice el hecho de que
. Por lo tanto,
no puede ser cerrado.
Ahora supóngase que
no es un intervalo, entonces existen dos puntos
, tal que
(un teorema afirma que
es un intervalo si y sólo si para cualquier par de puntos
, con
se tiene que
). Entonces, existe un punto
tal que
. Como
y
se tiene que
, donde
y
son conjuntos disjuntos no vacíos. Por lo tanto,
no es conexo.
--Ricardo velasco bazán (discusión) 03:18 6 nov 2012 (UTC)
1.25 Un subconjunto
se dice que es convexo si para cualquiera dos puntos ![z,w\in](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0db3e5bb3d92092b35d29ccc47db5c30ab2e60b)
se tiene que el segmento ![[z,w]\subseteq](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c73b89b4ecbfcc4b203eb0a2ce0d46f6faa3f33c)
.
- (1) Demuestre que cualquier disco abierto o cerrado es convexo.
- (2) Demuestre que cualquier semiplano abierto o cerrado es convexo.
- (3) Demuestre que la intersección de cualquier familia de subconjuntos convexos es convexa.
- Demostración
(1) Por definición
{
}
Sean
, entonces
;
.......................(*)
Sea
arbitrario, pero fijo definido por
, así todo punto del segmento [z,w] esta representado por
.
- Por otra parte
al sumar y restar
se tiene que
agrupando y factorizando
aplicando la desigualdad del triángiulo
n
Como
, entonces
y de las propiedades del valor absoluto tenemos que
aplicando (*)
por lo que
Como
fue arbitrario, entonces
Así, hemos dado dos elementos
cuyo segmento
Por lo tanto, un disco abierto es convexo
Para un disco cerrado solo se reemplazan la desigualdad estricta de (*) por una desigualdad.
Sean
con
un semiplano abierto generado por
, luego
&
(**)
Sea
arbitrario, entonces
Como
y de (**) se tiene que
, como
fue arbitrario, entonces
Por lo tanto un semiplano abierto es convexo.
Para el caso del semiplano cerrado basta con cambiar la condición (**).
--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 19:17 22 nov 2012 (CST)
1.27 Si
es abierto, demuestre que sus componentes conexas son abiertas también.
Tomemos una componente
y un punto
, como
y
es abierto, existe un disco
. Recordando que un subconjunto
no vacío, se puede descomponer como la unión de subconjuntos conexos (proposición 1.8),tenemos que la unión
es conexa; y por el hecho de que un conjunto se puede llenar por subconjuntos y los intersticios que hay entre ellos se llenan con conjuntos más pequeños, debe ser igual a
. Con esto se entiende que
y por tanto
es abierto.
--Ignacio Peralta Martínez (discusión) 19:02 6 nov 2012 (UTC)
FUENTES (INFORMACIÓN ADICIONAL):
LEYES DE MORGAN
Compleja:z-ej-cap1.0
Compleja:z-ej-cap1.1
Compleja:z-ej-cap1.2
Compleja:z-ej-cap1.3
Compleja:z-ej-cap1.4
Compleja:z-ej-cap2.1
Compleja:z-ej-cap2.2