Compleja:Zill-Cap2.1

Ejercicios del capítulo 2, sección 1 del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan.

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Sección 2.1

Ejercicio 1

Evalúa la función $f(z)=z^2 \bar{z} -2i$ en los puntos indicados.

a) $2i$

b) $1+i$

c) $ 3 - 2i$

Procedimiento

Sea $z=a+ib$, y bajo las operaciones definidas como:

Producto: \[z_1 z_2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2)+(a_2 b_1 +a_1 b_2)i\]

Conjugado: \[\bar{z}=a-ib\]

Cuadrado: \[z^2=a^2 - b^2 +2ab i\]

Evaluando la función en los puntos indicados se obtiene:

Inciso a

a) $f(2i)=(2i)^2(\bar {2i})-2i$

$f(2i)=(4i)(-2i)-2i =8i -2i =6i$

$f(2i)=6i$

Inciso b

b) $f(1+i)=(1+i)²(\bar {1+i}) -2i=(2i)(1-i) - 2i $

$f(1+i)=2+2i-2i =2$

$f(1+i)=2$

Inciso c

c) $f(3-2i)=(3-2i)^2 (\bar{3-2i} -2i$

$(9-4-12i)(3+2i) -2i =(5-12i)(3+2i)-2i=(15+24)+i(10-36)i -2i$

$39-26i -2i =39-28i$

$f(3-2i)=39-28i$

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Resuelto por: --Luis Santos (discusión) 00:30 19 mayo 2015 (CDT)

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Método alternativo

Otra manera de especificar y realizar los pasos de este ejercicio es:

Evaluar en la función compleja $f(z)=z^{2}{\bar {z}}-2i$ en el punto indicado

a)2i

b)1+i

c)3-2i

Inciso a

a) Evaluamos del punto 2i en la funcion compleja

$f(z)=z^{2}{\bar {z}}-2i$

$f(2i)=(2i)^{2}(-2i)-2i=(4i^{2})(-2i)-2i=8i-2i=6i$

Inciso b

b) Evaluamos del punto 1+i en la funcion compleja

$f(z)=z^{2}{\bar {z}}-2i$

$f(1+i)=(1+i)^{2}(1-i)-2i=(2i)(1-i)-2i=2i-2i-2i^{2}=2$

Inciso c

c)Evaluamos del punto 3-2i en la funcion compleja

$f(z)=z^{2}{\bar {z}}-2i$

Evaluando, reduciendo términos semejantes , se tiene que:

$f(3-2i)=(3-2i)^{2}(3+2i)-2i=(9-12i+4i^{2})(3+2i)-2i=39-28i$

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Elaborado porRicardo Garcia Hernandez (discusión) 23:40 19 mayo 2015 (CDT)--

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Ejercicio 2

Evaluar la función compleja en los puntos dados.

$f(z)=-z^{3}+2z+{\bar {z}}$

$\left(a\right)z=i$

Inciso a

Sustituyo "z" y su conjugado:

$f(i)=-(i)^{3}+2(i)+(-i)$

Realizo las operaciones correspondientes y obtengo:

$f(i)=i+2i-i$

$f(i)=2i$

$\left(b\right)z=2-i$

Inciso b

Sustituyo los valores de "z" y su conjugado en la función:

$f(2-i)=-(2-i)^{3}+2(2-i)+(2+i)$

Desarrollo las operaciones correspondientes obtengo:

$f(2-i)=-(2-11i)+4-2i+2+i$

$=-2+11i+4-2i+2+i$

$f(2-i)=4+10i$

$\left(c\right)z=1+2i$

Inciso c

Sustituyo los valores de "z" y su conjugado:

$f(1+2i)=-(1+2i)^{3}+2(1+2i)+(1-2i)$

Efectuando las operaciones correspondientes obtengo:

$f(1+2i)=-(-11-2i)+2+4i+1-2i$

$=11+2i+2+4i+1-2i$

$f(1+2i)=14+4i$

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Nancy Martínez Durán (discusión) 04:16 24 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 3

evaluar la función compleja dada en los puntos indicados.

$f(z)=\log _{e}|z|+iArg(z)$

a)$z=1$ b)$z=4i$ c)$z=(1+i)$

Inciso a

Para poder resolver este problema debemos saber que si z es un complejo de la forma $z=x+yi$ ;

$\log _{e}|z|=ln|z|=ln{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

y ademas $Arg(z)=\arctan{\frac{y}{x}}$

Una vez sabiendo esto podremos resolver los incisos de la siguiente manera;

como aquí $z=1$

$f(1)=ln|1|+iArg(0)=0+i(0)=0$

Inciso b

Aquí tenemos que $z=4i$ pero antes de sustituir valores en esta función sera necesario darnos cuenta que Arg(z) aquí esta indefinido ya que x=0 pero podemos observar que el numero $4i$ esta en el eje imaginario positivo y por lo cual aquí en angulo es $\frac{\pi}{2}$ así tendremos que;

$f(4i)=\log _{e}|4i|+i{\frac {\pi }{2}}=\log _{e}(4)+i{\frac {\pi }{2}}$

Inciso c

inciso c)

como $z=1+i$ y en analogia alos incisos anteriores;

$f(1+i)=\log _{e}|1+i|+iArg(1+i)=\log _{e}({\sqrt {2}})+i{\frac {\pi }{4}}$

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Resuelto por: Cristian Alfredo Ruiz Castro (discusión) 23:12 24 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 4

Evaluar la función compleja dada en los puntos indicados.

$f\left(z\right)=\left|z\right|^{2}-2Re\left(iz\right)+z$

Inciso a

$\left(a\right)$.- $3-4i$

$\left|3-4i\right|=\sqrt{9+16}=5$

$Re\left(iz\right)=4$

Por lo que:

$f\left(z\right)=25-2\left(4\right)+3-4i=20-4i$

$f\left(z\right)=20-4i$

Inciso b

$\left(b\right)$.- $2-i$

$\left|2-i\right|=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$

$Re\left(iz\right)=1$

Por lo que:

$f\left(z\right)=5-2\left(1\right)+2-i=5-i$

Inciso C

$\left(c\right).1+2i$

$\left|1+2i\right|=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$

$Re\left(iz\right)=-2$

Por lo que:

$f\left(z\right)=5-2\left(-2\right)+1+2i=10+2i$

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Resuelto por: Alejandro Juárez Toribio (discusión) 22:17 23 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 5

Evalúe la función compleja $f$ dada en los siguientes puntos indicados

$f(z)=(xy-x^2)+i(3x+y) $ , $ a) 3i$ , $ b) 4+i$ , $ c) 3-5i$

Inciso a

$a)3i$

$z=x+yi$ , Al igualar queda: $3i=x+yi$ , entonces: $x=0$ y $y=3$

Evaluando:

$f(3i)=((0)(3))-0^2)+i(3(0)+3)=3i$

Inciso B

$b)=4+i$

tenemos que: $4+i=x+yi$ , entonces: $x=4$ y $y=1$

Evaluando:

$f(4+i)=((4)(1))-4^2)+i(3(4)+1)=(4-16)+ i(12+1)=-12+13i$

Inciso c

$c)3-5i$

$3-5i=x+yi$, entonces $x=3$, $y=-5$

Evaluando:

$f(3-5i)=((3)(-5))-3^2)+i(3(3)+(-5))=-24+4i$

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Realizado por:Emmanuell Castro Flores (discusión) 23:37 21 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 6

Evalúa la función $f(z)=e{}^{z}$ en los puntos indicados.

a) $2-\pi i$

b) $\frac{\pi}{3}i$

c) $\ln(2)-\frac{5\pi}{6}i$

Inciso a

a) $f(z)=e{}^{2-\pi i}$ \[ f(z)=e{}^{2}\,cis\left(-\pi\right)=-e{}^{2} \]

Inciso b

b) $f(z)=e{}^{\frac{\pi}{3}i}$ \[ f(z)=cis\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \]

Inciso c

c) $f(z)=e{}^{\ln(2)-\frac{5\pi}{6}i}$ \[ f(z)=e{}^{\ln(2)}\,cis\left(-\frac{5\pi}{6}\right)=2\,cis\left(-\frac{5\pi}{6}\right)=2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i \right)=-\sqrt{3}-i \]

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Realizado por:Tlacaelel Cruz (discusión) 21:28 19 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 7

Evalúe la función compleja $f(z)$ dada en los siguientes puntos indicados.

$f(z)=r+icos^{2}(\theta )$

Inciso a

a)$z_{1}=3$

Primero lo reescribiremos en la forma polar

$r_{1}={\sqrt {3^{2}+0^{2}}}=3$

Como el número complejo a evaluar está en el eje de los reales positivos, deducimos que

$\theta _{1}=0$

Por lo que al evaluar en la función, tenemos que:

Solución

$f(z_{1})=f(3)=(3)+icos^{2}(0)=3+i$

Inciso b

b)$z_{2}=-2i$

Pasándolo en su la forma polar

$r_{2}={\sqrt {0^{2}+(-2)^{2}}}=2$

Solución

Como el número complejo a evaluar está en el eje de los imaginarios negativos, deducimos que

$\theta _{2}=-{\frac {\pi }{2}}$

Por lo que al evaluar en la función, tenemos que

Solución

$f(z_{2})=f(-2i)=(2)+icos^{2}(-{\frac {\pi }{2}})=2+i(0)^{2}=2$

Inciso c

c)$z_{3}=2-i$

Pasándolo en su la forma polar

$r_{3}={\sqrt {2^{2}+(-1)^{2}}}={\sqrt {5}}$

Encontrando el ángulo tenemos que

$\theta _{3}=arctan({\frac {-1}{2}})~-0.43$

Por lo que al evaluar en la función, tenemos que

Solución

$f(z_{3})=f(2-i)=({\sqrt {5}})+icos^{2}(-0.43)={\sqrt {5}}+i({\frac {4}{5}})$

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Realizado por: [Usuario:Pablo|Pablo]] (discusión) 01:41 24 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 8

Evaluar la función compleja $f(z)= r \sin\frac{\theta}{2}+i \cos 2\theta$ en los puntos siguientes.

(a)$z=-2$

Inciso a

Tenemos entonces que obtener $r$ y $\theta$.

Sabiendo que $r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

$\theta=\pi$ donde $z=x+iy$ podemos decir:

$r=\sqrt{(-2)^{2}+(0)^{2}}=2$

$\theta=\pi$

Por tanto, sustituyendo obtenemos:

$f(-2)=2 \sin\frac{\pi}{2}+i \cos 2\pi +i= 2+i$

(b)$z=1+i$

Inciso b

Reescribiendo z en su forma exponencial.

$r=|z|=\sqrt2$ y $\theta=Arg(z)= \frac{\pi}{4}$

Por lo que la función evaluada en z=1+i es:

$f(1+i)=\sqrt2 \sin\frac{\pi}{8}+i \cos\frac{\pi}{2}=\sqrt2 \sin\frac{\pi}{8}$

(c)$-5i$

Inciso c

Se tiene que $r=5$

$\theta=-\frac{\pi}{2}$

$f(-5i)=5\sin(-\frac{\pi}{4})+i\cos(-\pi)=-5 \frac{\sqrt2}{2}-i$

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Re elaborado por Manuel Rodríguez

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Ejercicio 9

Encontrar la parte real y la parte imaginaria u y v de la función compleja dada como función de x y de y.

$f(z)=6z-5+9i$

Procedimiento

Sabemos que :$z=x+iy$

Por lo cual sustituyendo tenemos la definición anterior en la ecuación tenemos: $f(x-iy)=6(x+iy)-5+9i$

Desarrollando y simplificando tenemos: $f(x-iy)=6x+6iy-5+9i$ $f(x-iy)=(6x-5)+(6y+9)i...(*)$

Solución

Ahora bien definimos a nuestra función como $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ , por lo cual de (*) podemos a escribir :

$u(x,y)=6x-5$

$v(x,y)=6y+9$

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Anahi Limas (discusión) 16:04 24 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 10

Encuentre la parte real e imaginaria de la función, en términos de u y v.

$f(z)=-3z+2{\bar {z}}-i$

Procedimiento

Si: $z=x+iy$ Y el conjugado de z: $z=x-iy$

Sustituimos "z" y "z" conjugada en la función y realizamos las operaciones correspondientes:

$f(z)=-3(x+iy)+2(x-iy)-i=-3x-3yi+2x-2yi-i$

Con lo anterior se obtuvo la parte real e imaginaria de la función, es decir:

Solución

$f(z)=u(x,y)+vi(x,y)$

$u(x,y)=-x$

$v(x,y)=-5y-1$

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Nancy Martínez Durán (discusión) 02:41 24 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 11

Encuentre la parte real e imaginaria de la función compleja $f(z)=z^{3}-2z+6$

Procedimiento

Se tiene la forma de un numero complejo $z=x+iy...(1)$

sustituimos (1) en la funcion compleja y se tiene:

$f(x+iy)=(x+iy)^{3}-2(x+iy)+6=x^{3}+3x^{2}yi+3xy^{2}i^{2}+i^{3}y^{3}-2x-2yi+6$

Realizando reducción de terminos semejantes, simplificando ,agrupando términos y factorizando se tiene

$f(x+iy)=(x^{3}-3xy^{2}-2x+6)-(-3x^{2}y+y^{3}+2y)i$

Donde se tiene la parte real e imaginaria de la función compleja en términos de “x” y “y”, y teniendo que

$f(z)=u(x,y)+vi(x,y)$

Solución

$u(x,y)=x^{3}-3xy^{2}-2x+6$

$v(x,y)=-(-3x^{2}y+y^{3}+2y)$

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Elaborado por--Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 23:58 19 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 12

Encuentre la parte real e imaginaria de la función compleja

$f(z)=z^{2}+\bar{z}^{2}$

Procedimiento

Entonces resolviendo

$f(z)=(x+iy)^{2}+(x-iy)^{2}$

$f(z)=(x^{2}-y^{2}+2ixy)+(x^{2}-y^{2}-2ixy)$

$f(z)=(2x^{2}-2y^{2})+i0$

Solución

Por lo tanto tenemos que

$u(x,y)=2(x^{2}-y^{2})$

$v(x,y)=0$

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Realizado por: Fernando Vazquez V. (discusión) 00:36 24 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 13

Encuentra la parte real e imaginaria como función de $x$ y $y$ de las siguientes funciones.

$f(z)= \frac{\bar{z}}{z+1}.....(1)$

Procedimiento

Siendo $z=x+iy$ y a partir de las operaciones:

Conjugado \[\bar{z}=x+iy\]

División \[ \frac{z_1}{z_2}=\frac{a_1 a_2 + b_1 b_2}{a^2 - b^2} + \frac{b_1 a_2 - a_1 b_2} {a^2 - b^2}i\]

Se tiene que la función (1) puede escribirse como

$f(z)=\frac{z-iy}{(x+1)+iy}=\frac{x(x+1)-y^2}{(x+1)+y^2}+\frac{(-xy-y)-xy}{(x+1)^2+y^2}i$

Realizando productos y simplificando se tiene:

$f(z)=\frac{x^2 +x -y^2}{(x+1)^2 +y^2} - \frac{2xy +y}{(x + i)^2+y^2}i$

Solución

Donde la parte real e imaginaria son respectivamente:

$u(x,y)=\frac{x^2 +x -y^2}{(x+1)^2 +y^2}$

$v(x,y)=-\left \{ \frac{2xy +y}{(x + i)^2+y^2} \right \}$

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Resuelto por: Luis Santos (discusión) 13:45 20 mayo 2015 (CDT)

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El conjugado es: $\bar{z}=x-iy$ no $\bar{z}=x+iy$

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Comentario por:Tlacaelel Cruz (discusión) 20:28 23 mayo 2015 (CDT)

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me pareció muy bueno como te ahorraste operaciones poniendo

\[ \frac{z_1}{z_2}=\frac{a_1 a_2 + b_1 b_2}{a^2 - b^2} + \frac{b_1 a_2 - a_1 b_2} {a^2 - b^2}i\]

pero luego igualas

$f(z)=\frac{x^2 +x -y^2}{(x+1)^2 +y^2} - \frac{2xy +y}{(x + i)^2+y^2}i$

cuando debiste igualarlo a f(x,y), en fin, sólo es notación

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Comentario por:Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 19:38 24 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 14

Encuentre la parte real e imaginaria de la función compleja y escriba la función como u(x,y) v(x,y).

$f(z)=z+\frac{1}{z}$

Tomamos en cuenta que $z=x+iy$

Procedimiento

$f(x,,y)=(x+iy)+\frac{1}{x+iy}$

para $\frac{1}{x+iy}$ ponerlo de la forma $x+iy$ tenemos que multiplicarlo por el conjugado del número complejo que tenemos.

$\frac{1}{x+iy}\left(\frac{x-iy}{x-iy}\right)=\frac{x-iy}{x^{2}+y^{2}}$

y entonces tenemos

$x+iy+\frac{x-iy}{x^{2}+y^{2}}$

Lo haré paso por paso para que se pueda observar de mejor forma como se simplifica y se puedan notar mejor si tengo algún error

$f(x,y)=x+iy+\frac{x-iy}{x^{2}+y^{2}}=\frac{(x+iy)(x^{2}+y^{2})+(x-iy)}{x^{2}+y^{2}}=\frac{x^{3}+xy^{2}+iyx^{2}+iy^{3}+x+iy}{x^{2}+y^{2}}=\frac{x^{3}+xy^{2}+x}{x^{2}+y^{3}}+i\left(\frac{yx^{2}+y^{3}-y}{x^{2}+y^{2}}\right)$

Ya tenemos nuestra parte real e imaginaria de nuestro número complejo en función de x,y.

Solución

$u(x,y)=\frac{x^{3}+xy^{2}+x}{x^{2}+y^{2}}$

$v(x,y)=\frac{yx^{2}+y^{3}-y}{x^{2}+y^{2}}$

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Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 19:29 24 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 15

Determine las partes real e imaginaria $u(x,y)$ y $v(x,y)$ de la función compleja $f$ dada como funciones de $x$ y $y$:

$f(z)=e^{2z+i}$

Procedimiento

Sustituimos $z=x+yi$

$f(x+yi)=e^{2(x+yi)+i} = e^{2x+(2y+1)i}$

o bien $f(x+yi)=e^{2x}[\cos(2y+1)+i\sin(2y+1)]$

Solución

Por lo que

$u(x,y)$ y $v(x,y)$ son las partes real e imaginaria respectivamente

$u(x,y)=e^{2x}[\cos(2y+1)]$

$v(x,y)=e^{2x}[\sin(2y+1)]$

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Realizado por: Miguel Medina Armendariz (discusión) 21:46 21 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 16

Dar las partes real e imaginaria ($u(x,y)$, $v(x,y)$) de:

$f(z)=e^{z^2}$

Procedimiento

Con $z=x+iy$, lo elevamos al cuadrado:

$z^2=(x+iy)^2=x^2+ixy+ixy-y^2=(x^2-y^2)+i2xy$

sustituyendo:

$f(z)=e^{[(x^2-y^2)+i2xy]}$, la exponencial comleja es $e^z=e^{X+iY}=e^X(\cos Y+i\sin Y)$

$f(z)=e^{x^2-y^2}\cos 2xy+ie^{x^2-y^2}\sin 2xy$

Por lo tanto, las partes real e imaginaria de la función son:

Solución

$u(x,y)=e^{x^2-y^2}\cos 2xy$,

$v(x,y)=e^{x^2-y^2}\sin 2xy$

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Oscar Javier Gutierrez Varela (discusión) 16:46 20 mayo 2015 (CDT)

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Forma alterna.

Una forma alternativa es usar $z$ en la forma exponencial $z=r e^{i\theta}$, de este modo, la función se describe del siguiente modo \[ f(z)=e^{\left(r e^{i\theta}\right)^{2}}=e^{r^2 e^{2i\theta}}=e^{r^2} e^{e^{2i\theta}}=e^{r^2} e^{cos(2\theta)}e^{i sin(2\theta)}=e^{r^2 \cos(2\theta)}\left[ cos(sin(2\theta))+ i sin(sin(2\theta)) \right] \] Por lo tanto: \[ u(r,\theta)=e^{r^2 \cos(2\theta)} \cos(\sin(2\theta)), \; v(r,\theta)=e^{r^2 \cos(2\theta)} \sin(\sin(2\theta)) \]

Puede recuperarse la definición anterior usando $r=\sqrt{x^2+y^2}\;$ y $\;\theta=arctan(y/x)-\pi \, sign(y) \,\mathcal{U}(x)$, donde $\;\mathcal{U}(x)$ es la función escalón (vale 1 para cuando su argumento es mayor a 0 y 0 de lo contrario).

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Tlacaelel Cruz (discusión) 21:45 23 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 17

Encuentre la parte real y la parte imaginaria de u y v de la siguiente función compleja “f” en términos de $r,\theta$

$f(z)={\overline {z}}$

Procedimiento

Si tenemos que el conjugado de ${\overline {z}}$ es:

$f(z)={\overline {z}}=(rcos\theta -irsen\theta )=r(cos\theta -isen\theta )=rcos\theta -irsen\theta$

se obtuvo la solución de la parte real e imaginaria en coordenadas polares, y teniendo la expresión:

$f(z)=u(r,\theta )+iv(r,\theta )$

Solución

se tiene que

$u(r,\theta )=rcos\theta$

$v(r,\theta )=-rsen\theta$

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Elaborado por--Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 00:06 20 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 18

Encuentre la parte real y la parte imaginaria de u y v de la siguiente función compleja “f” en términos de $(r,\theta)$.

$f(z) = |z|$

Procedimiento

Tenemos que $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$

y $|z| = \sqrt{(r\cos\theta)^2 + (r\sin\theta)^2}$

= $\sqrt{r^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta)}$ = $\sqrt{r^2}$ = $r$

Solución

Por lo tanto.

$u(r,\theta) = r$

$v(r,\theta) = 0$

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Resuelto por: Arnold B. Herrera Rubert (discusión) 22:01 20 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 19

Encuentre la parte real y la parte imaginaria de u y v de la siguiente función compleja “f” en términos de $r,\theta$

$f(z)=z^{4}$

Procedimiento

Partiendo de la formula de Moivre tenemos que $z=r(cos\theta +irsen\theta )$ es:

$f(z)=z^{4}=\left[rcos\theta +rsen\theta i\right]^{4}=\left[r(cos\theta +isen\theta )\right]^{4}=r^{4}(cos4\theta +isen4\theta )=r^{4}cos\theta +r^{4}sen\theta i$

Se obtuvo las solución de la parte real e imaginaria en coordenadas polares , y teniendo la expresión:

$f(z)=u(r,\theta )+iv(r,\theta )$

Solución

se tiene que

$u(r,\theta )=r^{4}cos4\theta$

$v(r,\theta )=r^{4}sen4\theta$

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Elaborado por --Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 23:48 19 mayo 2015 (CDT)

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Método alternativo.

$f(z)=z^4$

Procedimiento

sabemos que un complejo puede escribirse de 3 maneras

binomial

$z=a+bi$

polar

$z=R\left(cos\left(\theta\right)+isen\left(\theta\right)\right)$

exponencial

$e^{\left(a+bi\right)}=e^{a}\left(cos\left(b\right)+isen\left(b\right)\right)=Re^{i\theta}.$

entonces tenemos en el ejercicio:

$z^{4}=\left(R\left(cos\left(\theta\right)+isen\left(\theta\right)\right)\right)^{4}=\left(Re^{i\theta}\right)^{4}$

aplicamos la siguiente propiedad:

$\left(Re^{i\theta}\right)^{n}=R^{n}e^{ni\theta}$ para n=0 y todos los enteros

entonces el ejercicio queda:

$z^{4}=R^{4}e^{4i\theta}$

Solución 

U parte real $R^{4}$

V parte imaginaria $e^{4i\theta}$

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Resuelto por: --Martin Flores Molina (discusión) 16:00 19 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 20

Encuentra la parte real $u$ e imaginaria $v$ del numero complejo dado en función de $r$ y $\theta$

$f(z)=z+\frac{1}{z}$

Procedimiento

Como queremos conocer la parte real e imaginaria de la función en su forma polar, sabemos que el numero $z$ en su forma polar es:

$z=r[cos\theta + isen\theta]$

Sustituyendo $z$ en la función dada

$f(z)=r[cos\theta + isen\theta] + \frac{1}{r[cos\theta + isen\theta]}$

Como podemos ver el segundo miembro de la suma puede verse como un cociente de números complejos donde el numerador es el numero complejo $1+0i$ , por lo que podemos verlo como:

$ \frac{1}{r[cos\theta + isen\theta]}=\frac{1}{r[cos\theta + isen\theta]} . \frac{r[cos\theta - isen\theta]}{r[cos\theta - isen\theta]}=\frac{r[cos\theta - isen\theta]}{r^2[cos^{2}\theta + sen^{2}\theta]}$

$=\frac{cos\theta}{r} - i \frac{sen\theta}{r}$

Sustituyendo este valor en la función

$f(z)=r[cos\theta + isen\theta] + (\frac{cos\theta}{r} - i \frac{sen\theta}{r})$

$f(z)=(rcos\theta + \frac{cos\theta}{r} + i(rsen\theta - \frac{sen\theta}{r})$

$f(z)=cos\theta(r+\frac{1}{r}) + i sen\theta(r-\frac{1}{r})$

Solución 

Entonces:

$u(r,\theta)=cos\theta (r+\frac{1}{r})$

$v(r,\theta)=sen\theta (r-\frac{1}{r})$

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Realizado por: Angelina Nohemi Mendoza Tavera (discusión) 19:04 23 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 21

Encuentre la parte real e imaginaria como función de $r$ y $\theta$ de

$f(z)=e^z$

Procedimiento

Sustituyendo $z =x+iy$ en $f(z)$ se abtine:

$f(z)=e^{x+iy} =e^x e^{iy}$

Empleando

$e^{i\theta}=cos\theta +isen\theta$

Se tiene

$ =e^x(cosy +i seny)$

Donde:

$x = r cos\theta$

$y= rsen\theta$

Por lo que:

$f(x)=e^{rcos \theta} cos(rsen\theta) +i e^{r cos\theta} sen(rsen\theta)$

Solución 

Finalmente se tienen la parte real e imaginaria como:

$u(r,\theta)=e^{rcos\theta} cos(rsen\theta)$

$v(r,\theta)=e^{rcos\theta} sen(rsen\theta)$

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Resuelto por: --Luis Santos (discusión) 14:00 20 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 22

Encontrar la parte real e imaginaria u y v como función de $r$ y $\theta$ de f(z)=$x^2+y^2-yi$

Procedimiento

Tomamos a x & y en términos de $r$ y $\theta$

$ x = rcos\theta $

$ y= rsen\theta $

Sustituyendo en la función $f(z)$

$ f(z) = (rcos\theta)^2 + (rsen\theta)^2 - (rsen\theta)i $

$ f(z) = r^2 cos^2\theta + r^2 sen^2\theta -rsen\theta i $

$ f(z) = r^2(cos^2\theta + sen^2\theta) -rsen\theta i $

$ f(z) = r^2 - rsen\theta i $

pero

$ f(r,\theta) = u(r,\theta) + iv(r,\theta) $

Solución 

Por tanto

$ u(r,\theta) = r^2 $

$ v(r,\theta) = - rsen\theta $

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Resuelto por: --Samantha Martinez (discusión) 21:58:00 24 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 23

Encontrar el dominio de:

$f\left(z\right)=2Re\left(z\right)-iz^{2}$

Procedimiento 

Sean $z=a+bi$ e $i^{2}=-1$

Entonces por la función dada tenemos que:

$2Re\left(z\right)=2a$

Por otro lado sabemos que

$z^{2}=a^{2}-b^{2}+2abi$

Además la función nos pide:

$-iz^{2}=\left(\left(a^{2}-b^{2}\right)+2abi\right)\left(-i\right)=2ab+\left(b^{2}-a^{2}\right)i$

Por lo tanto obtenemos

$2Re\left(z\right)-iz^{2}=2a\left(1+b\right)+\left(b^{2}-a^{2}\right)i$

Conclusión

Y así finalmente podemos decir que el dominio esta en todos los complejos ya que a y b pueden tomar cualquier valor.

$Dom(f)=C$

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Resuelto por Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 22:03 24 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 24

Encuentra el dominio de:

$f(z)=\frac{3z +2i}{z^3+4z^2+z}$

Procedimiento

Por tratarse de una función racional el denominador no puede ser cero.

$ z^3+4z^2+z \neq 0$

Ahora solo falta resolver esta ecuación

$z(z^2+4z+1) \neq o$

Tenemos que

$z_1 \neq o$

Nos queda resolver:

$z^2+4z+1 \neq 0$

Por formula general:

$z \neq \frac{-4 \pm \sqrt{4^2-4}}{2} = \frac{-4 \pm2 \sqrt{3}}{2}$

Solución 

Por tanto tenemos que:

$z_1 \neq 0$

$z_2 \neq -2+\sqrt{3}$

$z_3 \neq -2 - \sqrt{3}$

$Dom f(z)= z \in C -\left \{ 0,-2 - \sqrt{3},-2+\sqrt{3} \right \} $

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Resuelto por: --Luis Santos (discusión) 14:16 20 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 32

Suponer que $z=x+yi$. Determine como expresar $x$ y $y$ en término de $z$ y $\overline{z}$. Entonces escriba las siguientes funciones en términos de $z$ y $\overline{z}$.

(a)$f(z)=x^{2}+y^{2}$

Procedimiento

Por definición sabemos que $z\overline{z}=x^{2}+y^{2}$ Pero podemos desarrollar:

donde $\overline{z}=x-yi$ tenemos

$(x+yi)(x-yi)=x^{2}+y^{2}=z\overline{z}$

Y así, la función queda de la forma:

Solución

\[ f(z)=z\overline{z} \]

(b)$f(z)=x-2y+2+(6x+y)i$

Procedimiento

Identificamos cada elemento de la función individualmente y jugamos con las definiciones.

Para $x$:

$z+\overline{z}=(x+yi)+(x-yi)=2x$ por lo tanto $\frac{z+\overline{z}}{2}=x$

Para $-2y$ hacemos:

$2Im[\overline{z}]=-2y$

Para $2$ tenemos:

$z+\overline{z}=(x+yi)+(x-yi)=2x$ entonces dividimos: $\frac{2x}{Re[z]}$ o lo que es igual $\frac{z+\overline{z}}{Re[z]}$

Para $6xi$ aplicamos definición de $z^{2}$ y $\overline{z}^{2}$ y hacemos:

$\frac{3}{2}(z^{2}-\overline{z}^{2})=6xyi$ y dividimos $\frac{6xyi}{Im[z]}=6xi=\frac{3(z^{2}-\overline{z}^{2})}{2Im[z]}$

Y finalmente para $yi$

$z-\overline{z}=2yi$ y dividimos para obtener $\frac{2yi}{2}=\frac{z-\overline{z}}{2}$

Solución

Por lo tanto la función queda de la forma:

\[ f(z)=\frac{z+\overline{z}}{2}+2Im[\overline{z}]+\frac{z+\overline{z}}{Re[z]}+\frac{3(z^{2}-\overline{z}^{2})}{2Im[z]}+\frac{z-\overline{z}}{2} \]

(c)$f(z)=x^{2}-y^{2}-(5xy)i$

Procedimiento

Identificamos que $x^{2}-y^{2}=Re[z^{2}]$

Y con $z^{2}-\overline{z}^{2}=x^{2}-y^{2}+2xyi-x^{2}-+y+2xyi=4xyi$ obtenemos $-(5xy)i$ al hacer $-\frac{5}{4}(z^{2}-\overline{z}^{2})$

Solución

Por tanto la función queda de la forma:

\[ f(z)=Re[z^{2}]-\frac{5}{4}(z^{2}-\overline{z}^{2}) \]

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Elaborado por --A. Martín R. Rabelo (discusión) 13:20 24 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 33

En este problema examinaremos algunas propiedades de la función exponencial compleja.

(A) Si $z=x +i y$ mostrar que: $| e^{z}| = e^{x}$

Procedimiento

Definimos a $z=x+iy$ entonces

$e^{x + iy}$ Por propiedades de la función exponencial esto se puede escribir como

$e^{x}e^{iy}$

La función se puede escribir como:

$e^{x}(\cos^{2}(y) +i\sin^{2}(y))$

o $e^{x}(\cos^{2}(y) +i\sin^{2}(y)$

Vamos a calcular el modulo para $e^{yi}$

$\sqrt{\cos^{2}(y) +i\sin^{2}(y)} = 1$

Conclusión

EL modulo resulto ser 1 debido a que es un exponente imaginario puro.

$| e^{z}|= e^{x}(1) =| e^{z}|= e^{x}$

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Realizado por:Esther Sarai (discusión) 18:53 21 mayo 2015 (CDT)esther Sarai

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Inciso b

(b) Hay algún numero complejo $z$ que cumpla con que $e^{z}=0$?

Procedimiento

Considerando a $z=x+iy$ y usando el resultado anterior tenemos que

$|e^{z}|=|0|\hspace{1em}\Rightarrow\hspace{1em}|e^{z}|=0\hspace{1em}\Rightarrow\hspace{1em}e^{x}=0$

Donde se uso $|e^{z}|=e^{x}$

Supongamos que hay una $x$ tal que se cumple la condición $e^{x}=0$

\[ e^{x}=0\hspace{1em}\Rightarrow\hspace{1em}x=ln(0) \]

Como sabemos la función logaritmo se define asi $lnx=\intop_{0}^{x}\frac{1}{t}dt$

Así que para este caso tendríamos lo siguiente

\[ ln(0)=\int_{0}^{0}\frac{1}{t}dt=0 \]

\[ \Rightarrow0=e^{0} \]

\[ 0=1 \]

Conclusión

Con lo cual obtenemos una contradicción, lo que significa que lo que supusimos desde un principio esta erróneo, por lo tanto no hay un numero complejo tal que $e^{z}=0$

(c) Show that $f(z)=e^{z}$ is a function that is periodic with pure imaginary period $2\pi i$. That is, show that $e^{z+2\pi i}=e^{z}$ for all complex numbers z.

Considerando a $z=x+iy$ tenemos que

\[ e^{z+2\pi i}=e^{x+i(y+2\pi)} \]

Por la definición de la exponencial compleja

\[ e^{x+i(y+2\pi)}=e^{x}\cos(y+2\pi)+ie^{x}\sin(y+2\pi) \]

Pero como sabemos las funciones seno y coseno son $Mod\hspace{1em}2\pi$ por lo tanto

\[ e^{x+i(y+2\pi)}=e^{x}\cos(y+2\pi)+ie^{x}\sin(y+2\pi)=e^{x}\cos y+ie^{x}\sin y=e^{x+iy}=e^{z} \]

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Jose Emmanuel Flores Calderón (discusión) 22:14 21 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 33 (continuación)

(b) Are there any complex numbers z with the property that $e^{z}=0$?

Considerando a $z=x+iy$ y usando el resultado anterior tenemos que

$|e^{z}|=|0|\hspace{1em}\Rightarrow\hspace{1em}|e^{z}|=0\hspace{1em}\Rightarrow\hspace{1em}e^{x}=0$

Donde se uso $|e^{z}|=e^{x}$

Supongamos que hay una $x$ tal que se cumple la condicion $e^{x}=0$

\[ e^{x}=0\hspace{1em}\Rightarrow\hspace{1em}x=ln(0) \]

Como sabemos la funcion logaritmo se define asi $lnx=\intop_{0}^{x}\frac{1}{t}dt$

Asi que para este caso tendriamos lo siguiente

\[ ln(0)=\int_{0}^{0}\frac{1}{t}dt=0 \]

\[ \Rightarrow0=e^{0} \]

\[ 0=1 \]

Con lo cual obtenemos una contradicción, lo que significa que lo que supusimos desde un principio esta erroneo, por lo tanto no hay un numero complejo tal que $e^{z}=0$

(c) Show that $f(z)=e^{z}$ is a function that is periodic with pure imaginary period $2\pi i$. That is, show that $e^{z+2\pi i}=e^{z}$ for all complex numbers z.

Considerando a $z=x+iy$ tenemos que

\[ e^{z+2\pi i}=e^{x+i(y+2\pi)} \]

Por la definicion de la exponencial compleja

\[ e^{x+i(y+2\pi)}=e^{x}\cos(y+2\pi)+ie^{x}\sin(y+2\pi) \]

Pero como sabemos las funciones seno y coseno son $Mod\hspace{1em}2\pi$ por lo tanto

\[ e^{x+i(y+2\pi)}=e^{x}\cos(y+2\pi)+ie^{x}\sin(y+2\pi)=e^{x}\cos y+ie^{x}\sin y=e^{x+iy}=e^{z} \]

Jose Emmanuel Flores Calderón (discusión) 22:14 21 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 34

34. Utilizar $e^z=e^xcosy+ie^xseny$ para demostrar que $e^{\bar{z}}=\barPlantilla:E^z$ para todo $z$ en los complejos.

Solución:

Sea $z=x+iy$ arbitrario en los complejos. Entonces:

$   e^{\bar{z}}=e^{x-iy}= e^x(cos(-y)+isen(-y))   = e^x(cosy-iseny)...(1)$.

Por otro lado $\overline{e^z}=\overline{e^{x+iy}}=\overline{e^x(cosy+iseny)}=(e^x) \overline{(cosy+iseny)}=e^x(cosy-iseny)...(2)$

De $(1)$ y $(2)$ se concluye que $ e^{\bar{z}} = \barPlantilla:E^z $

Alan Daniel Barrón Posadas (discusión) 22:31 21 mayo 2015 (CDT)

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