Compleja:Zill-Cap3.2

Ejercicios del capítulo 3, sección 2 del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan.

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Sección 3.2

Ejercicio 1

La función dada es analítica para todo $z$. Demostrar que cumple las ecuaciones de Cauchy- Riemann se cumplan en todos los puntos.

$f\left(z\right)=z^{3}$

Procedimiento

Para que una función cumpla con Cauchy-Riemann se requiere tener la función en la forma.

$z=U\left(x,y\right)+iV\left(x,y\right)$

entonces tenemos:

$f\left(z\right)=z^{3}=\left(x+iy\right)^{3}=x^{3}+3x^{2}iy+3x\left(iy\right)^{2}+\left(iy\right)^{3}$

$f\left(z\right)=x^{3}+3x^{2}iy-3xy^{2}-iy^{3}$

$f\left(z\right)=\left(x^{3}-3xy^{2}\right)+i\left(3x^{2}y-y^{3}\right)$

Ahora que la tenemos de esa forma debemos verificar que se cumplan las condiciones de Cauchy-Riemann para lo cual debemos verificar que:

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ y a la ves que $\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$

Entonces comprobemos las condiciones:

$\frac{\partial u}{\partial x}=3x^{2}-3y^{2}$

$\frac{\partial v}{\partial y}=3x^{2}-3y^{2}$

Ambas son iguales por lo que cumple con la primara condición de Cauchy.

$\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy$

$\frac{\partial u}{\partial x}=6xy$

Conclusión

Ambas son iguales a diferencia de un signo por lo que también cumplen con la segunda condición de Cauchy por tanto podemos decir que la función es continua.

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Realizado por: Martin Flores Molina (discusión) 14:27 30 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 2

La función dada es analítica para toda z. Demuestre que las ecuaciones de Cauchy-Riemann se satisfacen en todo punto.

$f(z)=3z^{2}+5z-6i$

Procedimiento

donde $z=x+iy$ , entonces sustituimos, desarrollamos y simplificamos.

$3(x+iy)^{2}+5(x+iy)-6i=3x^{2}+6xiy-3y^{2}+5x+5iy-6i$

Separamos las partes reales de las imaginarias.

$(3x^{2}-3y^{2}+5x)+i(-6+6xy+5y)$

y obtenemos las funciones:

$u(x,y)=3x^{2}-3y^{2}+5x$

$v(x,y)=-6+6xy+5y$

Conclusión

Ahora hacemos nuestras derivadas requeridas.

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial(3x^{2}-3y^{2}+5x)}{\partial x}=6x+5$

$\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial(-6+6xy+5y)}{\partial y}=6x+5$

Logramos ver que se cumple $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$

$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial(3x^{2}-3y^{2}+5x)}{\partial y}=-6y$

$-(\frac{\partial v}{\partial x})=-(\frac{\partial(-6+6xy+5y)}{\partial x})=-(6y)=-6y$

Por lo tanto también se cumple $\frac{\partial u}{\partial y}=-(\frac{\partial v}{\partial x})$

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Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 22:44 30 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 3

Mostrar que la función dada, no es analítica en ningún punto.

$f(z)=Re(z)$

Demostración

Sabemos que para que una función sea analítica deben de cumplirse las ecuaciones Cauchy-Riemann:

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ y $\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$

Y siendo bajo la función $f(z)=Re(z)=Re[u(x,y)+iv(x,y)]=u(x,y)+0iv(x,y)$

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}$ y $\frac{\partial v}{\partial y}=0$

$\therefore\frac{\partial u}{\partial x}\neq\frac{\partial u}{\partial x}$

$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}$ y $\frac{\partial v}{\partial x}=0$

$\therefore\frac{\partial u}{\partial y}\neq-\frac{\partial v}{\partial x}$

Por lo mismo la función $f(z)=Re(z)$ no es analítica en ningún punto

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Realizado por :Fernando Vazquez V. (discusión) 22:26 31 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 4

Demostrar que la función dada no es analítica en ningún punto.

$f\left(z\right)=y+ix$

Demostración

Para saber si son analíticas se debe cumplir que:

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ y también que: $\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$

Sacamos las 4 derivadas parciales para verificar si la función cumple o no las ecuaciones de Cauchy-Riemann antes dichas.

$\frac{\partial u}{\partial x}=0$ , $\frac{\partial v}{\partial y}=0$

$\frac{\partial u}{\partial y}=1$ , $\frac{\partial v}{\partial x}$=1

Por lo tanto no se cumplen las ecuaciones y podemos decir que la función no es analítica al no satisfacer las dos ecuaciones antes dadas

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Resuelto por Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 12:36 31 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 5

Demuestre que la función dada no es analítica en ningún punto. $f(z)=4z-6{\bar {z}}+3$

Procedimiento

Sabemos que:

$z= x+iy$

\[ \bar{z}= x-iy \]

Sustituyendo en nuestra función tenemos:

$f(z)=4(x+iy)-6(x-iy)+3$

$f(z)=4x+4iy-6x+6iy+3$

$f(z)=-2x+10iy+3$

$f(x,y)=(-2x+3)+10iy$

De lo anterior podemos identifica que :

$u(x,y)=-2x+3$

$v(x,y)=10y$

Ahora bien para conocer si es analítica calcularemos las derivadas parciales correspondientes.

${\frac {\partial u}{\partial x}}=-2$, ${\frac {\partial v}{\partial y}}=10$

${\frac {\partial u}{\partial v}}=0$, ${\frac {\partial v}{\partial x}}=0$

Ahora bien por Cauchy-Riemman sabemos que:

${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}$

y que :

${\frac {\partial u}{\partial v}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}$

Por lo cual en base a nuestros resultados tenemos:

$-2=10$

$0=0$

respectivamente.

Conclusión

Como podemos notar:

$\frac{\partial u}{\partial x}≠\frac{\partial v}{\partial y}$

Por lo cual no puede cumplirse simultáneamente en cualquier punto $z$.

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Realizado por: Anahi Limas (discusión) 13:03 31 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 6

Demuestra que la función dada no es analítica en ningún punto.

$f(z)=\bar{z}^2$

 Procedimiento

Sabemos que $\bar{z}=x-iy$ sustituyendo en la función tenemos:

$f(z)=(x-iy)^2=(x^2 + y^2) - 2ixy$

Esta función puede verse como $f(z) = u(x,y) + iv (x,y)$, donde:

$u(x,y) = x^2 + y^2$

$v(x,y) = -2xy$

Para saber si la función dada es analítica debe de cumplir las ecuaciones de Cauchy-Riemann las cuales son :

$\frac{du}{dx} = \frac{dv}{dy}$

$\frac{dv}{dx} = - \frac{du}{dy}$

Al derivar parcial mente

$\frac{du}{dx} = 2x$

$\frac{dv}{dy} = -2x$

Estas ecuaciones no se cumplen

Haciendo las otras derivadas parciales tenemos

$\frac{dv}{dx} = -2y$

$\frac{du}{dy} = -2y$

Conclusión

Dado que:

$2 \neq -2$

$2 \neq - 2$

Estas ecuaciones tampoco se cumple por lo tanto la función no es analítica en ningún punto.

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Realizado por: Angelina Nohemi Mendoza Tavera (discusión) 15:21 31 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 7

Demuestre que la función dada no es analítica en ningún punto.

$f(z)=x^{2}+y^{2}$

$u(x,y)=x^{2}+y^{2}$

$v(x,y)=0$

$\frac{\partial u}{\partial x}=2x$, $\frac{\partial v}{\partial y}=0$

$\frac{\partial u}{\partial y}=2y$, $\frac{\partial v}{\partial x}=0$

Vemos que $\frac{\partial u}{\partial y}\neq-\frac{\partial v}{\partial x}$ pero que la igualdad $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ se cumple solo en la recta$x=0$.

Conclusión

Sin embargo, para cualquier punto $z$ en la recta no hay vecindad o disco abierto alrededor de $z$ en el que se satisfacen las ecuaciones Cauchy-Riemann.

Llegamos a la conclusión de que $f$ no es analítica en ningún punto.

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Realizado por: Miguel Medina Armendariz (discusión) 10:50 31 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 8

Demuestre que la función dada no es analítica en ningún punto.

$f(z)={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}+{\frac {iy}{x^{2}+y^{2}}}$

Procedimiento

Si identificamos a $u(x,y)$ y también a $v(x,y)$

Tenemos que

$u(x,y)={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}$

$v(x,y)={\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}$

Derivando parcialmente

${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {(x^{2}+y^{2})-2x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}$

${\frac {\partial u}{\partial y}}={\frac {-2xy}{x^{2}+y^{2}}}$

${\frac {\partial v}{\partial x}}={\frac {-2xy}{x^{2}+y^{2}}}$

${\frac {\partial v}{\partial y}}={\frac {(x^{2}+y^{2})-2y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}$

Tenemos que para que la función sea analítica, se tiene que cumplir que

${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}$

${\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}$

Por lo que si analizamos las parciales tenemos que:

${\frac {\partial u}{\partial x}}\neq {\frac {\partial v}{\partial y}}$

Conclusión

Pero vemos que:

${\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}$

Se cumple si $x=0$ o $y=0$, pero no ambos igual a cero. Sin embargo para cualquier número no existe una vecindad en donde se cumplan las ecuaciones de Cauchy por lo tanto esta función no es analítica.

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Realizado por: Pablo (discusión) 11:59 31 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 9

Mostrar que la función es analítica, en el dominio apropiado.

$f\left(z\right)=e^{-x}\cos y-ie^{-x}\sin y$

Procedimiento

Si $u\left(x,y\right)=e^{-x}\cos y$; $v\left(x,y\right)=-e^{-x}\sin y$

$u$ y $v$ son continuas en todos los reales.

Además las cuatro derivadas parciales de primer orden:

$\frac{\partial u}{\partial x}=-e^{-x}\cos y$; $\frac{\partial u}{\partial y}=-e^{-x}\sin y$

$\frac{\partial v}{\partial x}=e^{-x}\sin y$; $\frac{\partial v}{\partial y}=-e^{-x}\cos y$

Siguen siendo continuas en todos los reales

Por último es fácil ver que:

$\frac{\partial u}{\partial y}=-e^{-x}\sin y=-\frac{\partial v}{\partial x}$

$\frac{\partial v}{\partial y}=e^{-x}\cos y=\frac{\partial u}{\partial x}$

Conclusión

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann se satisfacen por lo que

$f\left(z\right)$es analítica en cualquier dominio D

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Realizado por: Alejandro Juárez Toribio (discusión) 20:21 31 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 10

Mostrar que la función dada es analítica en un dominio adecuado,y encuentre la función en el dominio.

$ f(z)=x+\sin x \cosh y+ i(y+\cos x \sinh y) $

Procedimiento

Tomando a u y v

$ u= x+\sin x.\cosh y$

$ v= y+\cos x.\sinh y$

Tal que las derivadas respecto a cada variable son:

$ \frac{\partial u}{\partial x} = 1+\cos x \cosh y $ $ \frac{\partial v}{\partial x} = -\sin x\sinh y $ $ \frac{\partial u}{\partial y} = \sin x\sinh y $ $ \frac{\partial v}{\partial y} = 1+\cos x \cosh y $

Donde se satisfacen las 2 ecuaciones de continuidad de Cauchy-Riemann.

$ \therefore \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} $ $ \therefore \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x} $

Dado que:

$\sinh y=\frac{e^{y}-e^{-y}}{2} $

$\cosh y=\frac{e^{y}+e^{-y}}{2}$

Conclusión

Son funciones continuas y también lo son $\cos x$ y $\sin x$ entonces la funcion es continua en todo C y dado que cumplen las ecuaciones de continuidad de Cauchy-Riemann es analítica en todo C.

Donde la función en el dominio está dada como :

$f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}$

$\therefore$ $ f'(z)= 1+\cos x \cosh y - i(\sin x \sin y) $

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Realizado por: Samantha Martinez (discusión) 23:13 31 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 11

Usando el Teorema 3.5 pruebe que:

$f(z)=e^{x^2-y^2}\,\cos(2xy)+i\,e^{x^2-y^2}\,\sin(2xy)$ es analítica en el dominio apropiado.

Procedimiento

La manera más natural de resolver este problema es identificar las funciones que la forma y verificar condiciones de Cauchy-Rieman: \[ u(x,y)=e^{x^2-y^2}\,\cos(2xy) \;\;\;\;\; v(x,y)=e^{x^2-y^2}\,\sin(2xy) \] Se obtienen las derivadas parciales: \[ \frac{\partial u}{\partial x}=e^{x^2-y^2}\,\frac{\partial \cos(2xy)}{\partial x}\,+\cos(2xy)\,\frac{\partial e^{x^2-y^2}}{\partial x}=e^{x^2-y^2}\,(-2y)\,\sin(2xy)+\cos(2xy)\,2x\,e^{x^2-y^2}=2e^{x^2-y^2}\,\left[ x\cos(2xy)-y\sin(2xy) \right] \]

\[ \frac{\partial u}{\partial y}=e^{x^2-y^2}\,\frac{\partial \cos(2xy)}{\partial y}\,+\cos(2xy)\,\frac{\partial e^{x^2-y^2}}{\partial y}=e^{x^2-y^2}\,(-2x)\sin(2xy)+\cos(2xy)\,(-2y)\,e^{x^2-y^2}=-2e^{x^2-y^2}\,\left[ y\cos(2xy)+x\sin(2xy) \right] \]

\[ \frac{\partial v}{\partial x}=e^{x^2-y^2}\,\frac{\partial \sin(2xy)}{\partial x}\,+\sin(2xy)\,\frac{\partial e^{x^2-y^2}}{\partial x}=e^{x^2-y^2}\,(2y)\,\cos(2xy)+\sin(2xy)\,2x\,e^{x^2-y^2}=2e^{x^2-y^2}\,\left[ y\cos(2xy)+x\sin(2xy) \right] \]

\[ \frac{\partial v}{\partial y}=e^{x^2-y^2}\,\frac{\partial \sin(2xy)}{\partial y}\,+\sin(2xy)\,\frac{\partial e^{x^2-y^2}}{\partial y}=e^{x^2-y^2}\,(2x)\cos(2xy)+\sin(2xy)\,(-2y)\,e^{x^2-y^2}=2e^{x^2-y^2}\,\left[ x\cos(2xy)-y\sin(2xy) \right] \]

Conclusión

De donde se observa que efectivamente cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann

Para encontrar el domino, basta con observar que la función carece de divisiones o logaritmos por lo que no hay exclusión de ningún elemento del plano complejo y el Dominio es $\mathbb{C}$.

Un método en mi opinión más sencillos es reescribir $f(z)$ como: \[ f(z)=e^{z^2} \] Donde claramente se observa que $f(z)$ es analítica en todo el plano complejo ya que tanto la exponencial como el cuadrado lo son, por la tanto la composición (por regla de la cadena también lo es), en los ejercicios anteriores ya se ha probado la analiticidad de estas funciones, de cualquier forma estas pruebas son más sencillas de realizar que la del método anteriormente descrito.

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Realizado por: Tlacaelel Cruz (discusión) 21:14 2 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 12

Use el teorema para demostrar que la función dada es analítica en un dominio adecuado.

b) encuentre la función en el dominio.

$f(z)=4x^{2}+5x-4y^{2}+9+i(8xy+5y-1)$

Procedimiento

Teorema: supongamos que las funciones reales $u(x,y)\;y\:v(x,y)$son continuas y tienen derivadas parciales de primer orden continuas en un dominio $D$. si $u$ y $v$ satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en todos los puntos de $D$,entonces la función compleja $f(z)=u(x,y)+iv(x,y),$ es analítica en $D$.

reconocemos

$u(x,y)=4x^{2}+5x-4y^{2}+9$

$v(x,y)=8xy+5y-1$

que son continuas, ademas

$\frac{\partial u}{\partial x}=8x+5$

$\frac{\partial u}{\partial y}=-8y$

$\frac{\partial v}{\partial x}=8y$

$\frac{\partial v}{\partial y}=8x+5$

Conclusión

Cumple con las ecuaciones de Cauchy-Riemann

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$

$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$

$\therefore$es analìtica

Inciso b

b) $f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}$

así la función en el dominio es:

$f'(z)=8x+5+i(8y)$

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Elaboró: A. Martín R. Rabelo (discusión) 14:58 31 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 13

a) Demostrar que la función dada es analítica en un dominio adecuado.

b) use la fórmula para encontrar la derivada de la función en el dominio.

$f(z)={\frac {x-1}{(x-1)^{2}+y^{2}}}-i{\frac {y}{(x-1)^{2}+y^{2}}}$

Procedimiento

a) Se tiene que:

$u(x,y)={\frac {x-1}{(x-1)^{2}+y^{2}}};v(x,y)={\frac {y}{(x-1)^{2}+y^{2}}},$

son continuos en el punto $(x-1)^{2}+y^{2}=0$, es decir $z=0,z=1$.

Teniendo las derivadas parciales de primer orden.

${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]{\frac {\partial }{\partial x}}\left(x-1\right)-\left(x-1\right){\frac {\partial }{\partial x}}\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]}{\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]^{2}}}={\frac {\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]\left(1\right)-\left[\left(x-1\right)*2(x-1)\right]}{\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]^{2}}}$

${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {-(x-1)^{2}+y^{2}}{\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]^{2}}}=-{\frac {(x-1)^{2}-y^{2}}{\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]^{2}}}$

${\frac {\partial v}{\partial x}}={\frac {\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]{\frac {\partial }{\partial x}}\left(y\right)-y{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]}{\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]^{2}}}={\frac {-y\left[2\left(x-1\right)\right]}{\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]^{2}}}=-{\frac {2y\left(x-1\right)}{\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]^{2}}}$

${\frac {\partial u}{\partial y}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left(x-1\right)\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]^{-1}=-{\frac {2y(x-1)}{\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]^{2}}}$

${\frac {\partial v}{\partial y}}={\frac {\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]{\frac {\partial }{\partial y}}\left(y\right)-y{\frac {\partial }{\partial y}}\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]}{\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]^{2}}}={\frac {(x-1)^{2}+y^{2}-2y^{2}}{\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]^{2}}}={\frac {(x-1)^{2}-y^{2}}{\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]^{2}}}$

Recapitulando

${\frac {\partial u}{\partial x}}=-{\frac {(x-1)^{2}-y^{2}}{\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]^{2}}}$

${\frac {\partial v}{\partial x}}=-{\frac {2y\left(x-1\right)}{\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]^{2}}}$

${\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {2y(x-1)}{\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]^{2}}}$

${\frac {\partial v}{\partial y}}={\frac {(x-1)^{2}-y^{2}}{\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]^{2}}}$

Conclusión

Por lo que se cumple la ecuación de Cauchy-Riemann de ${\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}$ y ${\frac {\partial u}{\partial x}}=-{\frac {\partial v}{\partial y}}$, entonces llegamos a la conclusión que la función es analítica en cualquier dominio “D” a excepción de “z=0” y “z=1”.

Inciso b

b) Por lo tanto la derivada de la función en el dominio es

$f'(z)={\frac {\partial u}{\partial x}}+i{\frac {\partial v}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}-i{\frac {\partial u}{\partial y}}$

$f'(z)=-{\frac {(x-1)^{2}-y^{2}}{\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]^{2}}}+i{\frac {2y\left(x-1\right)}{\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]^{2}}}.$

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Elaborado por --Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 15:02 31 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 15

Sea:

$f(z)={\frac {\cos \theta }{r}}-i{\frac {\sin \theta }{r}}$

a) Demostrar que la función dada es analítica en un dominio adecuado.

b) use la fórmula para encontrar la derivada de la función en el dominio.

Inciso a

${\frac {\partial u}{\partial r}}=\cos \theta$

${\frac {\partial v}{\partial r}}=-\sin \theta$

${\frac {\partial u}{\partial \theta }}=-{\frac {\sin \theta }{r}}$ y

${\frac {\partial v}{\partial \theta }}=-{\frac {\cos \theta }{r}}$.

En coordenadas polares, las ecuaciones que Cauchy-Riemann son:

${\frac {\partial u}{\partial r}}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial v}{\partial \theta }};{\frac {\partial v}{\partial r}}=-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial \theta }}$

Conclusión

sustituyendo se tiene:

${\frac {\partial u}{\partial r}}={\frac {1}{r}}\left({\frac {-\cos \theta }{r}}\right)$

${\frac {\partial v}{\partial r}}=-{\frac {1}{r}}\left({\frac {-\sin \theta }{r}}\right).$

Cumple las ecuaciones de Cauchy-Riemann y Dado que la función es continua, excepto cuando r=0, el dominio de la función son todos los complejos, menos z=0.

Inciso b

b) La fórmula para calcular la derivada en coordenadas polares $\left(r,\theta \right)$ en un punto “z” es

$f'(z)=\exp \left(-i\theta \right)\left({\frac {\partial u}{\partial r}}+i{\frac {\partial v}{\partial r}}\right)$

$f'(z)=\exp \left(-i\theta \right)\left(-{\frac {cos\theta }{r^{2}}}+i{\frac {\sin \theta }{r^{2}}}\right).$

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Elaborado por Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 23:44 31 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 17

Encontrar las constantes de la función, para que sea analítica.

$f(z)=3x-y+5+i(ax+by-3)$

Procedimiento

Para que una función sea analítica tiene que cumplir las ecuaciones de Cauchy-Riemann:

\[ {\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}={\displaystyle \frac{\partial v}{\partial y}\hspace{1em}y\hspace{1em}{\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}=-{\displaystyle \frac{\partial v}{\partial x}}}}} \]

Donde: $u(x,y)=3x-y+5$ y $v(x,y)=ax+by-3$

Entonces: ${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=3}$

${\displaystyle \frac{\partial v}{\partial y}=b}$

${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}=-1}$

${\displaystyle \frac{\partial v}{\partial x}=-a}$

Conclusión

Por lo tanto, igualando las parciales de acuerda a Cauchy-Riemann obtenemos el valor de las constantes:

$a=1$

$b=3$

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Realizado por: Nancy Martínez Durán (discusión) 00:18 1 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 18

Encuentre las constantes reales $a,b,c,d$ de manera que la función dada sea Analítica.

$f(z)=x^{2}+axy+by^{2}+i(cx^{2}+dxy+y^{2})$

Procedimiento

Sabemos que una función es analítica si cumple con las ecuaciones de Cauchy-Riemann para un dominio.

Las funciones que están en el problema, son polinomios, y sabemos que los polinomios son funciones Enteras (Continuas en todo C), de clase $C^{\infty}$.

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann:

\[ {\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}={\displaystyle \frac{\partial v}{\partial y}\hspace{1em}y\hspace{1em}{\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}=-{\displaystyle \frac{\partial v}{\partial x}}}}} \]

Donde $u=x^{2}+axy+by{}^{2}$ y $v=cx^{2}+dxy+y^{2}$

Por lo que tenemos ${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=2x+ay}$ y ${\displaystyle \frac{\partial v}{\partial y}=dx+2y}$ lo que implica

\[ 2x=dx\hspace{1em}y\hspace{1em}ay=2y \]

Por lo tanto $a=2\hspace{1em}y\hspace{1em}d=2$

Asi tambien ${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}=ax+2by}$ y ${\displaystyle -\frac{\partial v}{\partial x}=-2cx-dy}$ lo que implica

\[ ax=-2cx\hspace{1em}y\hspace{1em}2by=-dy \]

Por lo tanto $b=-1\hspace{1em}y\hspace{1em}c=-1$

Solución 

Las constantes que cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann son:

$a=2\hspace{1em}y\hspace{1em}d=2$

$b=-1\hspace{1em}y\hspace{1em}c=-1$

La ecuación queda escrita de la siguiente forma

\[ f(z)=x^{2}+2xy-y^{2}+i(-x^{2}+2xy+y^{2}) \]

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Realizado por: Jose Emmanuel Flores Calderón (discusión) 23:51 31 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 19

Demuestre que la función dada no es analítica en ningún punto, pero es derivable a lo largo de la curva indicada y use $(9)$ ó $(11)$ para encontrar la derivada de la función en la curva.

Dada la función $f(z)=x^{2}+y^{2}+2ixy$  ; para el eje $x$

Procedimiento

Para demostrar que esta función no es analítica, debemos demostrar que no satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann esto es;

$\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}\neq \displaystyle {\frac {\partial v}{\partial y}}$

ó también;

$\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}\neq -\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial y}}$

Debemos notar que si una de las dos desigualdades se cumple, entonces la función no sera analítica en ningún punto $z$;

ahora calculando las respectivas derivadas parciales obtendremos que;

$\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}=2x=\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial y}}$

Pero;

$\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}=2y\neq -\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial x}}=-2y$

Por lo cual la función no es analítica en ningún punto $z$

Debemos notar que esta función solo es derivable cuando se cumplan las ecuaciones de Cauchy-Riemann y según lo calculado anteriormente esto solo pasara cuando;

$2y=-2y$ esta igualdad solo se cumple cuando $y=0$ esto es para todos los puntos de la forma;

$z=x+i(0)=x$

esto es todo el eje x, lo cual es lo que se pedía mostrar

Ahora para calcular la derivada bastara con aplicar la definición de derivada esto es;

$f'(z)=\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}+\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial x}}=2x+i2y$

Conclusión 

La función no es analítica, ya que a pesar de ser derivable, no cumple las ecuaciones de Cauchy-Riemann para cualquier punto $z$ y de echos solo las cumple para los puntos $z=x$, y su derivada es $f'(z)=2x+i2y$

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Realizado por: Cristian Alfredo Ruiz Castro (discusión) 18:33 4 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 20

Demuestre que la función dada no es analítica en ningún punto, pero es derivable a lo largo de la curva indicada.

$f(z) = 3x^2y^2 - 6ix^2y^2$ ; en los ejes coordenados

 Solución 

Sean $u(x,y) = 3x^2y^2$ y $V(x,y) = 6ix^2y^2$

Para que $f(z)$ sea una función analítica se debe cumplir que:

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$ ó $\frac{\partial v}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x}$

Haciendo los respectivos cálculos de las derivadas parciales, llegamos a:

$\frac{\partial u}{\partial x} = 6xy^2$ ; $\frac{\partial v}{\partial y} = 12x^2y$

y $\frac{\partial v}{\partial y} = 6x^2y$ ; $\frac{\partial v}{\partial x} = 12xy^2$

De aquí vemos que:

$\frac{\partial u}{\partial x} \neq \frac{\partial v}{\partial y}$ y $\frac{\partial v}{\partial y} \neq - \frac{\partial v}{\partial x}$

Para que la función sea derivable debe ocurrir que.

$6xy^2 = 12x^2y$ y $6x^2y = 12xy^2$

Para que esto se cumpla, necesariamente tiene que ser $x = 0$ y $y = 0$, $i.e.$, los ejes coordenados.

Conclusión 

Por lo tanto la función $f(z)$ no es analítica y sólo es diferenciable en los ejes coordenados.

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Realizado por: Arnold B. Herrera Rubert (discusión) 00:12 6 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 25

En la sección 2.1 se define como función exponencial compleja a $f(z) = e^{z}$ en la forma siguiente $e^{z}= e^{x}\cos y + i e^{x}\sin y$.

(a) Demuestre que $f(z) = e^{z}$ es una función entera

(b) Demuestre que $f'(z)= f(z)$

Inciso a 

Se dice que una función es entera, cuando es analítica para todo z.

Tenemos que: $ u(x.y)= e^{x}\cos y $; $ v(x,y)= i e^{x}\sin y$. Calculamos su derivadas

$u_{x} = e^{x}\cos y= v_{x}$

$u_{y}= e^{x}\sin y = -v_{x}$

Sus derivadas con continuas para todo z, es decir se cumplen la ecuaciones de Cauchy-Riemman, ademas es analitica, para todo z, por lo tanto es una función entera.

Inciso b 

La derivada de $ f(z) = e^{z}$ es:

\[ \dfrac{de^{z}}{dz}= \dfrac{\partial u}{\partial x}+ i \dfrac{\partial v}{\partial x} =e^{x}\cos y + i e^{x}\sin y= e^{z}\]

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Realizado por: Esther Sarai (discusión) 20:08 31 mayo 2015 (CDT)Esther Sarai

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Ejercicio 26

Muestre que: $|f'(z)|^2=u_x^2+v_x^2=u_y^2+v_y^2$.

Procedimiento

La ecuación (9) de esta sección: $f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}$.

Conclusión

$|f'(z)|^2=(\frac{\partial u}{\partial x})^2+(\frac{\partial v}{\partial x})^2=u_x^2+v_x^2$...(1)

$|f'(z)|^2=(\frac{\partial v}{\partial y})^2+(\frac{\partial u}{\partial y})^2=u_y^2+v_y^2$...(2)

De (1) y (2) se concluye que:$|f'(z)|^2=u_x^2+v_x^2=u_y^2+v_y^2$.

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Realizado por: Alan Daniel Barrón Posadas (discusión) 20:39 31 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 30

Use las ecuaciones de Cauchy-Riemann para demostrar que si $f$ es analítica en un dominio $D$, y si $f'(z)$ es una constante, entonces $f(z)$ debe de ser una función lineal compleja en $D$.

Procedimiento

Una función lineal es tal que si $z=x+iy$ la función $f(z)=kz+c$ donde $k$ y $c$ son constantes complejas.

El problema menciona que $f$ es analítica, por lo que del teorema del criterio para la analiticidad sabemos que las partes real e imaginaria $u(x,y)$, $v(x,y)$ de $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann. $f'(z)$ es una constante compleja, por lo que definimos:

$f'(z)=a+ib$ donde $a$ y $b$ pertenecen a los reales.

Las ecuaciones de Cauchy - Riemann son; $\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial v}{\partial x}$, $-\dfrac{\partial u}{\partial y}=\dfrac{\partial v}{\partial y}$

Y de la fórmula para la derivada: $f'(z)=\dfrac{\partial u}{\partial x}+i\dfrac{\partial v}{\partial x}=\dfrac{\partial v}{\partial y}-i\dfrac{\partial u}{\partial y}=a+ib$

Igualando primero $\dfrac{\partial u}{\partial x}+i\dfrac{\partial v}{\partial x}=a+ib$, las partes real e imaginaria quedan:

$\dfrac{\partial u}{\partial x}=a$, $\dfrac{\partial v}{\partial x}=b$

E integrando parcialmente respecto a $x$ tenemos:

$u(x,y)=ax+g(y)$, $v(x,y)=bx+t(y)$

Por otro lado, con la otra parte de la igualdad para la fórmula de la derivada: $\dfrac{\partial v}{\partial y}-i\dfrac{\partial u}{\partial y}=a+ib$, podemos obtener el valor de las funciones $g$ y $t$;

$\dfrac{\partial v}{\partial y}=a=t'(y)$, $-\dfrac{\partial u}{\partial y}=b=-g'(y)$

$t(y)=ay+cte$, $g(y)=-by+cte$

Por lo que las funciones reales $u$ y $v$ son:

$u(x,y)=ax-by+cte$, $v(x,y)=bx+ay+cte$

y la función $f$ queda:

$f(z)=(ax-by+cte)+i(bx+ay+cte)=ax-by+cte+ibx+iay+icte=(ax-by)+i(bx+ay)+c$, donde $c$ es una constante compleja.

Hacemos un poco de álgebra:

$f(z)=i(\dfrac{ax}{i}-\dfrac{by}{i})+i(bx+ay)+c=i(-iax+iby)+i(bx+ay)+c=i(-iax+iby+bx+ay)+c=i[b(x+iy)+a(y-ix)]+c$

$=iab[\dfrac{x+iy}{a}+\dfrac{y-ix}{b}]+c=iab[x(\frac{1}{a}-\frac{i}{b})+iy(\frac{1}{a}+\frac{1}{ib})]+c=iab[x(\frac{1}{a}-\frac{i}{b})+iy(\frac{1}{a}-\frac{i}{b})]+c=iab(\frac{1}{a}-\frac{i}{b})(x+iy)+c$

Conclusión

Si definimos la constante compleja $k=iab(\frac{1}{a}-\frac{i}{b})=a+ib$, tenemos que la función es:

$f(z)=(a+ib)(x+iy)+c=kz+c$ la cual representa una función lineal compleja.

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Oscar Javier Gutierrez Varela 14:35 31 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 33

suponga que:

$x=r\cos\theta$

$y=r\sin\theta$

$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$

Demuestre que

a)

$\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{\partial u}{\partial x}\cos\theta+\frac{\partial u}{\partial y}\sin\theta$

$\frac{\partial u}{\partial\theta}=-\frac{\partial u}{\partial x}r\sin\theta+\frac{\partial u}{\partial y}r\cos\theta$

y

b)

$\frac{\partial v}{\partial r}=\frac{\partial v}{\partial x}\cos\theta+\frac{\partial v}{\partial y}\sin\theta$

$\frac{\partial v}{\partial\theta}=-\frac{\partial v}{\partial x}r\sin\theta+\frac{\partial v}{\partial y}r\cos\theta$

ahora use $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\;y\;\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$ en las expreciones anteriores para $\frac{\partial v}{\partial r}\;y\;\frac{\partial v}{\partial\theta}$.Al comparar sus resultados con las expreciones $\frac{\partial u}{\partial r}\;y\;\frac{\partial u}{\partial\theta,}$ dedusca las ecuaciones de Cauchy-Riemann en coordenadas polares.

Procedimiento

como:

$x=r\cos\theta$

$y=r\sin\theta$

ademas

$r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

$\theta=\arctan(\frac{x}{y})$

entonces,teniendo en cuenta la derivación de una función compuesta.

$f(z)=u(r,\theta)+iv(r,\theta)$

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial\theta}\frac{\partial\theta}{\partial x}(1)$

$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial\theta}\frac{\partial\theta}{\partial y}(2)$

$\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial\theta}\frac{\partial\theta}{\partial x}(3)$

$\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial v}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial\theta}\frac{\partial\theta}{\partial y}(4)$

tenemos

$\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{r\cos\theta}{r}=\cos\theta$

$\frac{\partial\theta}{\partial y}=\frac{1}{1+(\frac{y}{x})^{2}}(\frac{1}{x})=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}=\frac{r\cos\theta}{r^{2}}=\frac{\cos\theta}{r}$

$\frac{\partial r}{\partial y}=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{r\sin\theta}{r}=\sin\theta$

$\frac{\partial\theta}{\partial x}=\frac{1}{1+(\frac{y}{x})^{2}}(-\frac{1}{x^{2}})=-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}=-\frac{r\sin\theta}{r^{2}}=\frac{-\sin\theta}{r}$

sustituyendo en las expresiones anteriores

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial r}\cos\theta+\frac{\partial u}{\partial\theta}\frac{-\sin\theta}{r}(5)$

$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial r}\sin\theta+\frac{\partial u}{\partial\theta}\frac{\cos\theta}{r}(6)$

$\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial r}\cos\theta+\frac{\partial v}{\partial\theta}\frac{-\sin\theta}{r}(7)$

$\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial v}{\partial r}\sin\theta+\frac{\partial v}{\partial\theta}\frac{\cos\theta}{r}(8)$

sustituyendo 5, 6, 7 y 8 en las expresiones a y b tenemos

(9)$(\frac{\partial u}{\partial r}\cos\theta+\frac{\partial u}{\partial\theta}\frac{-\sin\theta}{r})\cos\theta+(\frac{\partial u}{\partial r}\sin\theta+\frac{\partial u}{\partial\theta}\frac{\cos\theta}{r})\sin\theta=\frac{\partial u}{\partial r}\cos^{2}\theta+\frac{\partial u}{\partial\theta}\frac{-\sin\theta\cos\theta}{r}+\frac{\partial u}{\partial r}\sin^{2}\theta+\frac{\partial u}{\partial\theta}\frac{\cos\theta\sin\theta}{r}=\frac{\partial u}{\partial r}$

(10)$-(\frac{\partial u}{\partial r}\cos\theta+\frac{\partial u}{\partial\theta}\frac{-\sin\theta}{r})r\sin\theta+(\frac{\partial u}{\partial r}\sin\theta+\frac{\partial u}{\partial\theta}\frac{\cos\theta}{r})r\cos\theta=-\frac{\partial u}{\partial r}\cos\theta r\sin\theta+\frac{\partial u}{\partial\theta}\sin^{2}\theta+\frac{\partial u}{\partial r}\sin\theta r\cos\theta+\frac{\partial u}{\partial\theta}\cos^{2}\theta=\frac{\partial u}{\partial\theta}$

así

$\Longrightarrow\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{\partial u}{\partial x}\cos\theta+\frac{\partial u}{\partial y}\sin\theta$(D)

$\Longrightarrow\frac{\partial u}{\partial\theta}=-\frac{\partial u}{\partial x}r\sin\theta+\frac{\partial u}{\partial y}r\cos\theta$(E)

(11)$(\frac{\partial v}{\partial r}\cos\theta+\frac{\partial v}{\partial\theta}\frac{-\sin\theta}{r})\cos\theta+(\frac{\partial v}{\partial r}\sin\theta+\frac{\partial v}{\partial\theta}\frac{\cos\theta}{r})\sin\theta=\frac{\partial v}{\partial r}\cos^{2}\theta-\frac{\partial v}{\partial\theta}\frac{\sin\theta\cos\theta}{r}+\frac{\partial v}{\partial r}\sin^{2}\theta+\frac{\partial v}{\partial\theta}\frac{\cos\theta\sin\theta}{r}=\frac{\partial v}{\partial r}$

(12)$-(\frac{\partial v}{\partial r}\cos\theta+\frac{\partial v}{\partial\theta}\frac{-\sin\theta}{r})r\sin\theta+(\frac{\partial v}{\partial r}\sin\theta+\frac{\partial v}{\partial\theta}\frac{\cos\theta}{r})r\cos\theta=-\frac{\partial v}{\partial r}\cos\theta r\sin\theta+\frac{\partial v}{\partial\theta}\sin^{2}\theta+\frac{\partial v}{\partial r}\sin\theta r\cos\theta+\frac{\partial v}{\partial\theta}\cos^{2}\theta=\frac{\partial v}{\partial\theta}$

$\Rightarrow\frac{\partial v}{\partial r}=\frac{\partial v}{\partial x}\cos\theta+\frac{\partial v}{\partial y}\sin\theta$(F)

$\Rightarrow\frac{\partial v}{\partial\theta}=-\frac{\partial v}{\partial x}r\sin\theta+\frac{\partial v}{\partial y}r\cos\theta$(G)

De las ecuaciones de Cauchy-Riemann tenemos que

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ y $\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$

entonces de 5, 6, 7 y 8

$\frac{\partial u}{\partial r}\cos\theta+\frac{\partial u}{\partial\theta}\frac{-\sin\theta}{r}=\frac{\partial v}{\partial r}\sin\theta+\frac{\partial v}{\partial\theta}\frac{\cos\theta}{r}\Rightarrow(\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial\theta})\cos\theta=(\frac{\partial v}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial\theta})\sin\theta$ecuacion (1) $(\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial\theta})\cos\theta-(\frac{\partial v}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial\theta})\sin\theta=0$

$\frac{\partial u}{\partial r}\sin\theta+\frac{\partial u}{\partial\theta}\frac{\cos\theta}{r}=-(\frac{\partial v}{\partial r}\cos\theta+\frac{\partial v}{\partial\theta}\frac{-\sin\theta}{r})\Rightarrow(\frac{\partial v}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial\theta})\cos\theta=-(\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial\theta})\sin\theta$ecuacion (2)$(\frac{\partial v}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial\theta})\cos\theta+(\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial\theta})\sin\theta=0$

si elevamos al cuadrado la ecuación 1 y 2 y las sumamos tenemos

$(\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial\theta})^{2}\cos^{2}\theta-2((\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial\theta})(\frac{\partial v}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial\theta}))\cos\theta\sin\theta+(\frac{\partial v}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial\theta})^{2}\sin^{2}\theta=0$

$(\frac{\partial v}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial\theta})^{2}\cos^{2}\theta+2((\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial\theta})(\frac{\partial v}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial\theta}))\cos\theta\sin\theta+(\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial\theta})^{2}\sin^{2}\theta=0$

$\left[(\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial\theta})^{2}\cos^{2}\theta+(\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial\theta})^{2}\sin^{2}\theta\right]+\left[(\frac{\partial v}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial\theta})^{2}\cos^{2}\theta+(\frac{\partial v}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial\theta})^{2}\sin^{2}\theta\right]\Rightarrow(\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial\theta})^{2}+(\frac{\partial v}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial\theta})^{2}=0$

$(\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial\theta})^{2}=-(\frac{\partial v}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial\theta})^{2}\Longleftrightarrow\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial\theta}=\sqrt{-(\frac{\partial v}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial\theta})^{2}}\Longleftrightarrow\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial\theta}=(\frac{\partial v}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial\theta})i\Longleftrightarrow(\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial\theta})-(\frac{\partial v}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial\theta})i=0$

Conclusión

de esto podemos decir que

$\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial\theta}=0\Longleftrightarrow\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial\theta}$

$\frac{\partial v}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial\theta}=0\Longleftrightarrow\frac{\partial v}{\partial r}=-\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial\theta}$

Q.E.D.

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marca registrada--Francisco Medina Albino (discusión) 05:12 31 mayo 2015 (CDT)

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