Diferencia entre revisiones de «Compleja:Zill-Cap2.1»
(No se muestran 61 ediciones intermedias del mismo usuario) | |||
Línea 79: | Línea 79: | ||
'''Inciso a''' | '''Inciso a''' | ||
a) Evaluamos del punto 2i en la | a) Evaluamos del punto 2i en la función compleja | ||
:<math>f(z)=z^{2}\bar{z}-2i | :<math>f(z)=z^{2}\bar{z}-2i | ||
Línea 89: | Línea 89: | ||
'''Inciso b''' | '''Inciso b''' | ||
b) Evaluamos del punto 1+i en la | b) Evaluamos del punto 1+i en la función compleja | ||
:<math>f(z)=z^{2}\bar{z}-2i | :<math>f(z)=z^{2}\bar{z}-2i | ||
Línea 98: | Línea 98: | ||
'''Inciso c''' | '''Inciso c''' | ||
c)Evaluamos del punto 3-2i en la | c)Evaluamos del punto 3-2i en la función compleja | ||
:<math>f(z)=z^{2}\bar{z}-2i | :<math>f(z)=z^{2}\bar{z}-2i | ||
Línea 119: | Línea 119: | ||
$\left(a\right)z=i$ | $\left(a\right)z=i$ | ||
'''Inciso a''' | |||
Sustituyo "z" y su conjugado: | Sustituyo "z" y su conjugado: | ||
Línea 132: | Línea 134: | ||
$\left(b\right)z=2-i$ | $\left(b\right)z=2-i$ | ||
'''Inciso b''' | |||
Sustituyo los valores de "z" y su conjugado en la función: | Sustituyo los valores de "z" y su conjugado en la función: | ||
Línea 147: | Línea 151: | ||
$\left(c\right)z=1+2i$ | $\left(c\right)z=1+2i$ | ||
'''Inciso c''' | |||
Sustituyo los valores de "z" y su conjugado: | Sustituyo los valores de "z" y su conjugado: | ||
Línea 154: | Línea 160: | ||
Efectuando las operaciones correspondientes obtengo: | Efectuando las operaciones correspondientes obtengo: | ||
<math>f(1+2i)=-(-11 | <math>f(1+2i)=-(-11-2i)+2+4i+1-2i</math> | ||
<math>=11 | <math>=11+2i+2+4i+1-2i</math> | ||
<math>f(1+2i)=14</math> | <math>f(1+2i)=14+4i</math> | ||
---- | ---- | ||
[[Usuario:Nancy Martínez Durán|Nancy Martínez Durán]] ([[Usuario discusión:Nancy Martínez Durán|discusión]]) 04:16 24 mayo 2015 (CDT) | Reelaborado por: [[Usuario:Nancy Martínez Durán|Nancy Martínez Durán]] ([[Usuario discusión:Nancy Martínez Durán|discusión]]) 04:16 24 mayo 2015 (CDT) | ||
---- | ---- | ||
===Ejercicio 3 === | ===Ejercicio 3 === | ||
evaluar la función compleja dada en los puntos indicados. | |||
indicados. | |||
<math>f(z)=\log_e |z| +i Arg(z) </math> | <math>f(z)=\log_e |z| +i Arg(z) </math> | ||
Línea 173: | Línea 178: | ||
a)$z=1$ b)$z=4i$ c)$z=(1+i)$ | a)$z=1$ b)$z=4i$ c)$z=(1+i)$ | ||
Para poder resolver este problema | '''Inciso a''' | ||
Para poder resolver este problema debemos saber que si z es un complejo de la forma $z=x+yi$ ; | |||
<math>\log_e |z|=ln|z|=ln\sqrt{x^2+y^2} </math> | <math>\log_e |z|=ln|z|=ln\sqrt{x^2+y^2} </math> | ||
Línea 181: | Línea 188: | ||
Una vez sabiendo esto podremos resolver los incisos de la siguiente manera; | Una vez sabiendo esto podremos resolver los incisos de la siguiente manera; | ||
como | |||
como aquí $z=1$ | |||
<math>f(1)=ln|1| +i Arg(0)=0+i(0)=0</math> | <math>f(1)=ln|1| +i Arg(0)=0+i(0)=0</math> | ||
'''Inciso b''' | |||
Aquí tenemos que $z=4i$ pero antes de sustituir valores en esta función sera necesario darnos cuenta que Arg(z) aquí esta indefinido ya que x=0 pero podemos observar que el numero $4i$ esta en el eje imaginario positivo y por lo cual aquí en angulo es $\frac{\pi}{2}$ así tendremos que; | |||
<math>f(4i)= | <math>f(4i)=\log_e|4i| +i\frac{\pi}{2}=\log_e(4)+i\frac{\pi}{2}</math> | ||
'''Inciso c''' | |||
inciso c) | inciso c) | ||
Línea 199: | Línea 207: | ||
como $z=1+i$ y en analogia alos incisos anteriores; | como $z=1+i$ y en analogia alos incisos anteriores; | ||
<math>f(1+i)= | <math>f(1+i)=\log_e|1+i| +i Arg(1+i)=\log_e(\sqrt{2})+i\frac{\pi}{4}</math> | ||
Resuelto por | ---- | ||
Resuelto por: [[Usuario:Cristian Alfredo Ruiz Castro|Cristian Alfredo Ruiz Castro]] ([[Usuario discusión:Cristian Alfredo Ruiz Castro|discusión]]) 23:12 24 mayo 2015 (CDT) | |||
---- | |||
=== Ejercicio 4 === | === Ejercicio 4 === | ||
Evaluar la función compleja dada en los puntos indicados. | |||
indicados. | |||
$f\left(z\right)=\left|z\right|^{2}-2Re\left(iz\right)+z$ | $f\left(z\right)=\left|z\right|^{2}-2Re\left(iz\right)+z$ | ||
'''Inciso a''' | |||
$\left(a\right)$.- $3-4i$ | $\left(a\right)$.- $3-4i$ | ||
Línea 224: | Línea 233: | ||
$f\left(z\right)=20-4i$ | $f\left(z\right)=20-4i$ | ||
'''Inciso b''' | |||
$\left(b\right)$.- $2-i$ | $\left(b\right)$.- $2-i$ | ||
Línea 236: | Línea 245: | ||
$f\left(z\right)=5-2\left(1\right)+2-i=5-i$ | $f\left(z\right)=5-2\left(1\right)+2-i=5-i$ | ||
'''Inciso C''' | |||
$\left(c\right).1+2i$ | $\left(c\right).1+2i$ | ||
Línea 246: | Línea 255: | ||
Por lo que: | Por lo que: | ||
$f\left(z\right)=5-2\left(-2\right)+1+2i= | $f\left(z\right)=5-2\left(-2\right)+1+2i=10+2i$ | ||
---- | ---- | ||
Resuelto por: [[Usuario:Alejandro Juárez Toribio|Alejandro Juárez Toribio]] ([[Usuario discusión:Alejandro Juárez Toribio|discusión]]) 22:17 23 mayo 2015 (CDT) | |||
---- | |||
=== Ejercicio 5 === | === Ejercicio 5 === | ||
Línea 262: | Línea 268: | ||
$f(z)=(xy-x^2)+i(3x+y) $ , $ a) 3i$ , $ b) 4+i$ , $ c) 3-5i$ | $f(z)=(xy-x^2)+i(3x+y) $ , $ a) 3i$ , $ b) 4+i$ , $ c) 3-5i$ | ||
'''Inciso a''' | |||
Línea 273: | Línea 279: | ||
$f(3i)=((0)(3))-0^2)+i(3(0)+3)=3i$ | $f(3i)=((0)(3))-0^2)+i(3(0)+3)=3i$ | ||
'''Inciso B''' | |||
$b)=4+i$ | $b)=4+i$ | ||
Línea 283: | Línea 289: | ||
$f(4+i)=((4)(1))-4^2)+i(3(4)+1)=(4-16)+ i(12+1)=-12+13i$ | $f(4+i)=((4)(1))-4^2)+i(3(4)+1)=(4-16)+ i(12+1)=-12+13i$ | ||
'''Inciso c''' | |||
$c)3-5i$ | $c)3-5i$ | ||
Línea 297: | Línea 303: | ||
--[[Usuario:Emmanuell Castro Flores|Emmanuell Castro Flores]] ([[Usuario discusión:Emmanuell Castro Flores|discusión]]) 23:37 21 mayo 2015 (CDT) | ---- | ||
Realizado por:[[Usuario:Emmanuell Castro Flores|Emmanuell Castro Flores]] ([[Usuario discusión:Emmanuell Castro Flores|discusión]]) 23:37 21 mayo 2015 (CDT) | |||
---- | ---- | ||
Línea 315: | Línea 319: | ||
c) $\ln(2)-\frac{5\pi}{6}i$ | c) $\ln(2)-\frac{5\pi}{6}i$ | ||
''' | '''Inciso a''' | ||
a) $f(z)=e{}^{2-\pi i}$ | a) $f(z)=e{}^{2-\pi i}$ | ||
Línea 323: | Línea 326: | ||
\] | \] | ||
'''Inciso b''' | |||
b) $f(z)=e{}^{\frac{\pi}{3}i}$ | b) $f(z)=e{}^{\frac{\pi}{3}i}$ | ||
Línea 328: | Línea 332: | ||
f(z)=cis\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i | f(z)=cis\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i | ||
\] | \] | ||
'''Inciso c''' | |||
c) $f(z)=e{}^{\ln(2)-\frac{5\pi}{6}i}$ | c) $f(z)=e{}^{\ln(2)-\frac{5\pi}{6}i}$ | ||
Línea 334: | Línea 340: | ||
\] | \] | ||
--[[Usuario:Tlacaelel Cruz|Tlacaelel Cruz]] ([[Usuario discusión:Tlacaelel Cruz|discusión]]) 21:28 19 mayo 2015 (CDT) | ---- | ||
Realizado por:[[Usuario:Tlacaelel Cruz|Tlacaelel Cruz]] ([[Usuario discusión:Tlacaelel Cruz|discusión]]) 21:28 19 mayo 2015 (CDT) | |||
---- | ---- | ||
===Ejercicio 7=== | ===Ejercicio 7=== | ||
Evalúe la función compleja $f(z)$ dada en los siguientes puntos indicados. | |||
<math>f(z)= r + i cos ^2 (\theta)</math> | |||
'''Inciso a''' | |||
a)<math>z_{1}= 3</math> | a)<math>z_{1}= 3</math> | ||
Primero lo | Primero lo reescribiremos en la forma polar | ||
<math>r_{1}= \sqrt{3^2 +0 ^2}=3</math> | <math>r_{1}= \sqrt{3^2 +0 ^2}=3</math> | ||
Línea 351: | Línea 362: | ||
<math>\theta_{1}= 0</math> | <math>\theta_{1}= 0</math> | ||
Por lo que al evaluar en la función, tenemos que | Por lo que al evaluar en la función, tenemos que: | ||
'''Solución''' | |||
<math> f(z_{1})= f(3)= (3) + i cos ^2 (0)= 3+i</math> | <math> f(z_{1})= f(3)= (3) + i cos ^2 (0)= 3+i</math> | ||
'''Inciso b''' | |||
b)<math>z_{2}=-2i</math> | b)<math>z_{2}=-2i</math> | ||
Línea 361: | Línea 376: | ||
<math>r_{2}= \sqrt{0^2 + (-2)^2}=2</math> | <math>r_{2}= \sqrt{0^2 + (-2)^2}=2</math> | ||
'''Solución''' | |||
Como el número complejo a evaluar está en el eje de los imaginarios negativos, deducimos que | Como el número complejo a evaluar está en el eje de los imaginarios negativos, deducimos que | ||
Línea 366: | Línea 382: | ||
Por lo que al evaluar en la función, tenemos que | Por lo que al evaluar en la función, tenemos que | ||
'''Solución''' | |||
<math> f(z_{2})= f(-2i)= (2) + i cos ^2 (- \frac{\pi}{2})= 2+i (0)^2 =2</math> | |||
'''Inciso c''' | |||
c)<math>z_{3}=2-i</math> | c)<math>z_{3}=2-i</math> | ||
Línea 380: | Línea 398: | ||
Por lo que al evaluar en la función, tenemos que | Por lo que al evaluar en la función, tenemos que | ||
'''Solución''' | |||
<math> f(z_{3})= f(2-i)= (\sqrt{5}) + i cos ^2 (-0.43)= \sqrt{5}+ i (\frac{4}{5}) </math> | |||
---- | |||
Realizado por: [Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 01:41 24 mayo 2015 (CDT) | |||
---- | |||
===Ejercicio 8=== | |||
Evaluar la función compleja $f(z)= r \sin\frac{\theta}{2}+i \cos 2\theta$ en los puntos siguientes. | |||
(a)$z=-2$ | |||
'''Inciso a''' | |||
Tenemos entonces que obtener $r$ y $\theta$. | |||
Sabiendo que $r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ | |||
$\theta=\pi$ donde $z=x+iy$ podemos decir: | |||
== | $r=\sqrt{(-2)^{2}+(0)^{2}}=2$ | ||
$\theta=\pi$ | |||
Por tanto, sustituyendo obtenemos: | |||
$f(-2)=2 \sin\frac{\pi}{2}+i \cos 2\pi +i= 2+i$ | |||
(b)$z=1+i$ | |||
'''Inciso b''' | |||
Reescribiendo z en su forma exponencial. | |||
$r=|z|=\sqrt2$ y $\theta=Arg(z)= \frac{\pi}{4}$ | |||
Por lo que la función evaluada en z=1+i es: | |||
$f(1+i)=\sqrt2 \sin\frac{\pi}{8}+i \cos\frac{\pi}{2}=\sqrt2 \sin\frac{\pi}{8}$ | |||
(c)$-5i$ | |||
'''Inciso c''' | |||
$r= | Se tiene que $r=5$ | ||
$\theta=-\frac{\pi}{2}$ | |||
$f(-5i)=5\sin(-\frac{\pi}{4})+i\cos(-\pi)=-5 \frac{\sqrt2}{2}-i$ | |||
---- | |||
Re elaborado por [[Usuario: Manuel Rodríguez |Manuel Rodríguez]] | |||
---- | ---- | ||
===Ejercicio 9=== | ===Ejercicio 9=== | ||
Encontrar la parte real y la parte imaginaria u y v de la función compleja dada como | Encontrar la parte real y la parte imaginaria u y v de la función compleja dada como función de x y de y. | ||
<center><math>f(z)= 6z-5+9i</math></center> | <center><math>f(z)= 6z-5+9i</math></center> | ||
'''Procedimiento''' | |||
Sabemos que :<math>z=x+iy</math> | Sabemos que :<math>z=x+iy</math> | ||
Línea 442: | Línea 474: | ||
<math>f(x-iy)= (6x-5)+(6y+9)i ... (*)</math> | <math>f(x-iy)= (6x-5)+(6y+9)i ... (*)</math> | ||
Ahora bien definimos a nuestra | '''Solución''' | ||
Ahora bien definimos a nuestra función como <math>f(z)= u(x,y)+iv(x,y)</math> , por lo cual de (*) podemos a escribir : | |||
<math>u(x,y)= 6x-5</math> | <math>u(x,y)= 6x-5</math> | ||
<math>v(x,y)= 6y+9</math> | <math>v(x,y)= 6y+9</math> | ||
--[[Usuario:Anahi Limas|Anahi Limas]] ([[Usuario discusión:Anahi Limas|discusión]]) 16:04 24 mayo 2015 (CDT) | ---- | ||
[[Usuario:Anahi Limas|Anahi Limas]] ([[Usuario discusión:Anahi Limas|discusión]]) 16:04 24 mayo 2015 (CDT) | |||
---- | ---- | ||
===Ejercicio 10=== | ===Ejercicio 10=== | ||
Encuentre la parte real e imaginaria de la función, en | Encuentre la parte real e imaginaria de la función, en términos de u y v. | ||
<math>f(z)=-3z+2\bar{z}-i | |||
</math> | |||
'''Procedimiento''' | |||
Si: <math> z=x+iy | Si: <math> z=x+iy | ||
Línea 464: | Línea 501: | ||
Sustituimos "z" y "z" conjugada en la función y realizamos las operaciones correspondientes: | Sustituimos "z" y "z" conjugada en la función y realizamos las operaciones correspondientes: | ||
:<math>f(z)=-3(x+iy)+2(x-iy)-i=-3x- | :<math>f(z)=-3(x+iy)+2(x-iy)-i=-3x-3yi+2x-2yi-i </math> | ||
Con lo anterior se obtuvo la parte real e imaginaria de la función, es decir: | |||
'''Solución''' | |||
:<math> f(z)=u(x,y)+vi(x,y) | :<math> f(z)=u(x,y)+vi(x,y) | ||
Línea 473: | Línea 512: | ||
:<math> u(x,y)=-x | :<math> u(x,y)=-x | ||
</math> | </math> | ||
:<math>v(x,y)=- | :<math>v(x,y)=-5y-1 | ||
</math> | </math> | ||
---- | |||
[[Usuario:Nancy Martínez Durán|Nancy Martínez Durán]] ([[Usuario discusión:Nancy Martínez Durán|discusión]]) 02:41 24 mayo 2015 (CDT) | [[Usuario:Nancy Martínez Durán|Nancy Martínez Durán]] ([[Usuario discusión:Nancy Martínez Durán|discusión]]) 02:41 24 mayo 2015 (CDT) | ||
---- | ---- | ||
===Ejercicio 11=== | ===Ejercicio 11=== | ||
Encuentre la parte real e imaginaria de la | Encuentre la parte real e imaginaria de la función compleja <math>f(z)=z^{3}-2z+6 | ||
</math> | </math> | ||
'''Procedimiento''' | |||
Se tiene la forma de un numero complejo <math> z=x+iy...(1) | Se tiene la forma de un numero complejo <math> z=x+iy...(1) | ||
Línea 495: | Línea 535: | ||
</math> | </math> | ||
Realizando reducción de terminos semejantes, simplificando ,agrupando | Realizando reducción de terminos semejantes, simplificando ,agrupando términos y factorizando se tiene | ||
:<math>f(x+iy)=(x^{3}-3xy^{2}-2x+6)-(-3x^{2}y+y^{3}+2y)i | :<math>f(x+iy)=(x^{3}-3xy^{2}-2x+6)-(-3x^{2}y+y^{3}+2y)i | ||
</math> | </math> | ||
Donde se tiene la parte real e imaginaria de la función compleja en términos de “x” y “y”, y teniendo que | |||
:<math> f(z)=u(x,y)+vi(x,y) | :<math> f(z)=u(x,y)+vi(x,y) | ||
</math> | </math> | ||
'''Solución''' | |||
:<math> u(x,y)=x^{3}-3xy^{2}-2x+6 | :<math> u(x,y)=x^{3}-3xy^{2}-2x+6 | ||
Línea 509: | Línea 552: | ||
:<math>v(x,y)=-(-3x^{2}y+y^{3}+2y) | :<math>v(x,y)=-(-3x^{2}y+y^{3}+2y) | ||
</math> | </math> | ||
---- | |||
Elaborado por--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:58 19 mayo 2015 (CDT) | Elaborado por--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:58 19 mayo 2015 (CDT) | ||
Línea 516: | Línea 561: | ||
===Ejercicio 12=== | ===Ejercicio 12=== | ||
Encuentre la parte real e imaginaria de la función compleja | |||
f | |||
$f(z)=z^{2}+\bar{z}^{2}$ | |||
'''Procedimiento''' | |||
Entonces resolviendo | Entonces resolviendo | ||
$ | $f(z)=(x+iy)^{2}+(x-iy)^{2}$ | ||
$f(z)=(x^{2}-y^{2}+2ixy)+(x^{2}-y^{2}-2ixy)$ | |||
$f(z)=(2x^{2}-2y^{2})+i0$ | |||
'''Solución''' | |||
Por lo tanto tenemos que | Por lo tanto tenemos que | ||
Línea 535: | Línea 584: | ||
$v(x,y)=0$ | $v(x,y)=0$ | ||
--[[Usuario:Fernando Vazquez V.|Fernando Vazquez V.]] ([[Usuario discusión:Fernando Vazquez V.|discusión]]) 00:36 24 mayo 2015 (CDT) | ---- | ||
Realizado por: [[Usuario:Fernando Vazquez V.|Fernando Vazquez V.]] ([[Usuario discusión:Fernando Vazquez V.|discusión]]) 00:36 24 mayo 2015 (CDT) | |||
---- | ---- | ||
===Ejercicio 13=== | ===Ejercicio 13=== | ||
Encuentra la parte real e imaginaria como función de $x$ y $y$ de las siguientes | Encuentra la parte real e imaginaria como función de $x$ y $y$ de las siguientes funciones. | ||
$f(z)= \frac{\bar{z}}{z+1}.....(1)$ | |||
'''Procedimiento''' | |||
Siendo $z=x+iy$ y a partir de las operaciones: | |||
Conjugado | Conjugado | ||
Línea 565: | Línea 613: | ||
$f(z)=\frac{x^2 +x -y^2}{(x+1)^2 +y^2} - \frac{2xy +y}{(x + i)^2+y^2}i$ | $f(z)=\frac{x^2 +x -y^2}{(x+1)^2 +y^2} - \frac{2xy +y}{(x + i)^2+y^2}i$ | ||
'''Solución''' | |||
Donde la parte real e imaginaria son respectivamente: | Donde la parte real e imaginaria son respectivamente: | ||
Línea 570: | Línea 620: | ||
$u(x,y)=\frac{x^2 +x -y^2}{(x+1)^2 +y^2}$ | $u(x,y)=\frac{x^2 +x -y^2}{(x+1)^2 +y^2}$ | ||
$v(x,y)=\frac{2xy +y}{(x + i)^2+y^2}$ | $v(x,y)=-\left \{ \frac{2xy +y}{(x + i)^2+y^2} \right \}$ | ||
---- | ---- | ||
Resuelto por: [[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 13:45 20 mayo 2015 (CDT) | |||
---- | |||
El conjugado es: | El conjugado es: | ||
$\bar{z}=x-iy$ no $\bar{z}=x+iy$ | $\bar{z}=x-iy$ no $\bar{z}=x+iy$ | ||
---- | ---- | ||
Comentario por:[[Usuario:Tlacaelel Cruz|Tlacaelel Cruz]] ([[Usuario discusión:Tlacaelel Cruz|discusión]]) 20:28 23 mayo 2015 (CDT) | |||
---- | ---- | ||
me pareció muy bueno como te ahorraste operaciones poniendo | me pareció muy bueno como te ahorraste operaciones poniendo | ||
Línea 591: | Línea 643: | ||
cuando debiste igualarlo a f(x,y), en fin, sólo es notación | cuando debiste igualarlo a f(x,y), en fin, sólo es notación | ||
---- | |||
Comentario por:[[Usuario:Juan Daniel Rivera Bautista|Juan Daniel Rivera Bautista]] ([[Usuario discusión:Juan Daniel Rivera Bautista|discusión]]) 19:38 24 mayo 2015 (CDT) | |||
---- | ---- | ||
=== Ejercicio 14 === | === Ejercicio 14 === | ||
Encuentre la parte real e imaginaria de la función compleja y escriba la función como u(x,y) v(x,y). | |||
$f(z)=z+\frac{1}{z}$ | |||
f | |||
$ | Tomamos en cuenta que $z=x+iy$ | ||
'''Procedimiento''' | |||
$f(x,,y)=(x+iy)+\frac{1}{x+iy}$ | $f(x,,y)=(x+iy)+\frac{1}{x+iy}$ | ||
para $\frac{1}{x+iy}$ ponerlo de la forma $x+iy$ tenemos que multiplicarlo | para $\frac{1}{x+iy}$ ponerlo de la forma $x+iy$ tenemos que multiplicarlo por el conjugado del número complejo que tenemos. | ||
por el conjugado del número complejo que tenemos | |||
$\frac{1}{x+iy}\left(\frac{x-iy}{x-iy}\right)=\frac{x-iy}{x^{2}+y^{2}}$ | $\frac{1}{x+iy}\left(\frac{x-iy}{x-iy}\right)=\frac{x-iy}{x^{2}+y^{2}}$ | ||
Línea 618: | Línea 669: | ||
$x+iy+\frac{x-iy}{x^{2}+y^{2}}$ | $x+iy+\frac{x-iy}{x^{2}+y^{2}}$ | ||
Lo haré paso por paso para que se pueda observar de mejor forma como se simplifica y se puedan notar mejor si tengo algún error | |||
se simplifica y se puedan notar mejor si tengo algún error | |||
$f(x,y)=x+iy+\frac{x-iy}{x^{2}+y^{2}}=\frac{(x+iy)(x^{2}+y^{2})+(x-iy)}{x^{2}+y^{2}}=\frac{x^{3}+xy^{2}+iyx^{2}+iy^{3}+x+iy}{x^{2}+y^{2}}=\frac{x^{3}+xy^{2}+x}{x^{2}+y^{3}}+i\left(\frac{yx^{2}+y^{3}-y}{x^{2}+y^{2}}\right)$ | |||
Ya tenemos nuestra parte real e imaginaria de nuestro número complejo en función de x,y. | |||
'''Solución''' | |||
$u(x,y)=\frac{x^{3}+xy^{2}+x}{x^{2}+y^{2}}$ | $u(x,y)=\frac{x^{3}+xy^{2}+x}{x^{2}+y^{2}}$ | ||
$v(x,y)=\frac{yx^{2}+y^{ | $v(x,y)=\frac{yx^{2}+y^{3}-y}{x^{2}+y^{2}}$ | ||
---- | ---- | ||
[[Usuario:Juan Daniel Rivera Bautista|Juan Daniel Rivera Bautista]] ([[Usuario discusión:Juan Daniel Rivera Bautista|discusión]]) 19:29 24 mayo 2015 (CDT) | |||
---- | |||
===Ejercicio 15 === | ===Ejercicio 15 === | ||
Línea 646: | Línea 694: | ||
'''Procedimiento''' | |||
Línea 657: | Línea 705: | ||
o bien $f(x+yi)=e^{2x}[\cos(2y+1)+i\sin(2y+1)]$ | o bien $f(x+yi)=e^{2x}[\cos(2y+1)+i\sin(2y+1)]$ | ||
'''Solución''' | |||
Por lo que | Por lo que | ||
Línea 670: | Línea 720: | ||
[[Usuario:Miguel Medina Armendariz|Miguel Medina Armendariz]] ([[Usuario discusión:Miguel Medina Armendariz|discusión]]) 21:46 21 mayo 2015 (CDT) | ---- | ||
Realizado por: [[Usuario:Miguel Medina Armendariz|Miguel Medina Armendariz]] ([[Usuario discusión:Miguel Medina Armendariz|discusión]]) 21:46 21 mayo 2015 (CDT) | |||
---- | ---- | ||
===Ejercicio 16 === | ===Ejercicio 16 === | ||
Dar las partes real e imaginaria ($u(x,y)$, $v(x,y)$) de: | |||
$f(z)=e^{z^2}$ | |||
''' | '''Procedimiento''' | ||
Con $z=x+iy$, lo elevamos al cuadrado: | |||
$z^2=(x+iy)^2=x^2+ixy+ixy-y^2=(x^2-y^2)+i2xy$ | $z^2=(x+iy)^2=x^2+ixy+ixy-y^2=(x^2-y^2)+i2xy$ | ||
Línea 690: | Línea 743: | ||
Por lo tanto, las partes real e imaginaria de la función son: | Por lo tanto, las partes real e imaginaria de la función son: | ||
$u(x,y)=e^{x^2-y^2}\cos 2xy$, | '''Solución''' | ||
$u(x,y)=e^{x^2-y^2}\cos 2xy$, | |||
$v(x,y)=e^{x^2-y^2}\sin 2xy$ | |||
---- | |||
[[Usuario:Oscar Javier Gutierrez Varela|Oscar Javier Gutierrez Varela]] ([[Usuario discusión:Oscar Javier Gutierrez Varela|discusión]]) 16:46 20 mayo 2015 (CDT) | [[Usuario:Oscar Javier Gutierrez Varela|Oscar Javier Gutierrez Varela]] ([[Usuario discusión:Oscar Javier Gutierrez Varela|discusión]]) 16:46 20 mayo 2015 (CDT) | ||
---- | ---- | ||
Una forma alternativa es usar $z$ en la forma exponencial $z=r e^{i\theta}$, de este modo, la | Forma alterna. | ||
Una forma alternativa es usar $z$ en la forma exponencial $z=r e^{i\theta}$, de este modo, la función se describe del siguiente modo | |||
\[ | \[ | ||
f(z)=e^{\left(r e^{i\theta}\right)^{2}}=e^{r^2 e^{2i\theta}}=e^{r^2} e^{e^{2i\theta}}=e^{r^2} e^{cos(2\theta)}e^{i sin(2\theta)}=e^{r^2 \cos(2\theta)}\left[ cos(sin(2\theta))+ i sin(sin(2\theta)) \right] | f(z)=e^{\left(r e^{i\theta}\right)^{2}}=e^{r^2 e^{2i\theta}}=e^{r^2} e^{e^{2i\theta}}=e^{r^2} e^{cos(2\theta)}e^{i sin(2\theta)}=e^{r^2 \cos(2\theta)}\left[ cos(sin(2\theta))+ i sin(sin(2\theta)) \right] | ||
Línea 702: | Línea 765: | ||
u(r,\theta)=e^{r^2 \cos(2\theta)} \cos(\sin(2\theta)), \; v(r,\theta)=e^{r^2 \cos(2\theta)} \sin(\sin(2\theta)) | u(r,\theta)=e^{r^2 \cos(2\theta)} \cos(\sin(2\theta)), \; v(r,\theta)=e^{r^2 \cos(2\theta)} \sin(\sin(2\theta)) | ||
\] | \] | ||
Puede recuperarse la definición anterior usando $r=\sqrt{x^2+y^2}\;$ y $\;\theta=arctan(y/x)-\pi \, sign(y) \,\mathcal{U}(x)$, donde $\;\mathcal{U}(x)$ es la función escalón (vale 1 para cuando su argumento es mayor a 0 y 0 de lo contrario). | Puede recuperarse la definición anterior usando $r=\sqrt{x^2+y^2}\;$ y $\;\theta=arctan(y/x)-\pi \, sign(y) \,\mathcal{U}(x)$, donde $\;\mathcal{U}(x)$ es la función escalón (vale 1 para cuando su argumento es mayor a 0 y 0 de lo contrario). | ||
--[[Usuario:Tlacaelel Cruz|Tlacaelel Cruz]] ([[Usuario discusión:Tlacaelel Cruz|discusión]]) 21:45 23 mayo 2015 (CDT) | |||
---- | |||
[[Usuario:Tlacaelel Cruz|Tlacaelel Cruz]] ([[Usuario discusión:Tlacaelel Cruz|discusión]]) 21:45 23 mayo 2015 (CDT) | |||
---- | ---- | ||
Línea 714: | Línea 780: | ||
</math> | </math> | ||
'''Procedimiento''' | |||
Si tenemos que el conjugado de <math>\overline{z} | Si tenemos que el conjugado de <math>\overline{z} | ||
Línea 726: | Línea 792: | ||
:<math>f(z)=u(r,\theta)+iv(r,\theta) | :<math>f(z)=u(r,\theta)+iv(r,\theta) | ||
</math> | </math> | ||
'''Solución''' | |||
se tiene que | se tiene que | ||
:<math>u(r,\theta)=rcos\theta | :<math>u(r,\theta)=rcos\theta </math> | ||
:<math>v(r,\theta)=-rsen\theta</math> | |||
---- | |||
Elaborado por--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:06 20 mayo 2015 (CDT) | Elaborado por--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:06 20 mayo 2015 (CDT) | ||
---- | ---- | ||
===Ejercicio 18=== | ===Ejercicio 18=== | ||
Encuentre la parte real y la parte imaginaria de u y v de la siguiente función compleja “f” en términos de $(r,\theta)$. | |||
$f(z) = |z|$ | $f(z) = |z|$ | ||
''' | '''Procedimiento''' | ||
Línea 753: | Línea 826: | ||
= $\sqrt{r^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta)}$ = $\sqrt{r^2}$ = $r$ | = $\sqrt{r^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta)}$ = $\sqrt{r^2}$ = $r$ | ||
'''Solución''' | |||
Por lo tanto. | |||
$u(r,\theta) = r$ | |||
$v(r,\theta) = 0$ | |||
--[[Usuario:Arnold B. Herrera Rubert|Arnold B. Herrera Rubert]] ([[Usuario discusión:Arnold B. Herrera Rubert|discusión]]) 22:01 20 mayo 2015 (CDT) | ---- | ||
Resuelto por: [[Usuario:Arnold B. Herrera Rubert|Arnold B. Herrera Rubert]] ([[Usuario discusión:Arnold B. Herrera Rubert|discusión]]) 22:01 20 mayo 2015 (CDT) | |||
---- | ---- | ||
Línea 762: | Línea 841: | ||
===Ejercicio 19 === | ===Ejercicio 19 === | ||
Encuentre la parte real y la parte imaginaria de u y v de la siguiente función compleja “f” en términos de <math>r,\theta | |||
</math> | |||
<math>f(z)=z^{4} | |||
</math> | |||
'''Procedimiento''' | |||
Partiendo de la formula de Moivre tenemos que <math>z=r(cos\theta+irsen\theta) | |||
</math> es: | |||
:<math>f(z)=z^{4}=\left[rcos\theta+rsen\theta i\right]^{4}=\left[r(cos\theta+isen\theta)\right]^{4}=r^{4}(cos4\theta+isen4\theta)=r^{4}cos\theta+r^{4}sen\theta i | |||
</math> | |||
Se obtuvo las solución de la parte real e imaginaria en coordenadas polares , y teniendo la expresión: | |||
:<math>f(z)=u(r,\theta)+iv(r,\theta) | |||
</math> | |||
'''Solución''' | |||
se tiene que | |||
:<math>u(r,\theta)=r^{4}cos4\theta | |||
</math> | |||
:<math>v(r,\theta)=r^{4}sen4\theta | |||
</math> | |||
---- | |||
Elaborado por --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:48 19 mayo 2015 (CDT) | |||
---- | |||
Método alternativo. | |||
$f(z)=z^4$ | |||
'''Procedimiento''' | |||
sabemos que un complejo puede escribirse de 3 maneras | |||
binomial | binomial | ||
Línea 800: | Línea 906: | ||
$z^{4}=R^{4}e^{4i\theta}$ | $z^{4}=R^{4}e^{4i\theta}$ | ||
'''Solución''' | |||
U parte real $R^{4}$ | U parte real $R^{4}$ | ||
Línea 806: | Línea 912: | ||
V parte imaginaria $e^{4i\theta}$ | V parte imaginaria $e^{4i\theta}$ | ||
---- | ---- | ||
Resuelto por: --[[Usuario:Martin Flores Molina|Martin Flores Molina]] ([[Usuario discusión:Martin Flores Molina|discusión]]) 16:00 19 mayo 2015 (CDT) | |||
---- | ---- | ||
===Ejercicio 20=== | ===Ejercicio 20=== | ||
Encuentra la parte real $u$ e imaginaria $v$ del numero complejo dado en | Encuentra la parte real $u$ e imaginaria $v$ del numero complejo dado en función de $r$ y $\theta$ | ||
$f(z)=z+\frac{1}{z}$ | $f(z)=z+\frac{1}{z}$ | ||
'''Procedimiento''' | |||
Como queremos conocer la parte real e imaginaria de la función en su forma polar, sabemos que el numero $z$ en su forma polar es: | Como queremos conocer la parte real e imaginaria de la función en su forma polar, sabemos que el numero $z$ en su forma polar es: | ||
Línea 870: | Línea 946: | ||
$f(z)=cos\theta(r+\frac{1}{r}) + i sen\theta(r-\frac{1}{r})$ | $f(z)=cos\theta(r+\frac{1}{r}) + i sen\theta(r-\frac{1}{r})$ | ||
'''Solución''' | |||
Entonces: | Entonces: | ||
Línea 877: | Línea 955: | ||
$v(r,\theta)=sen\theta (r-\frac{1}{r})$ | $v(r,\theta)=sen\theta (r-\frac{1}{r})$ | ||
[[Usuario:Angelina Nohemi Mendoza Tavera|Angelina Nohemi Mendoza Tavera]] ([[Usuario discusión:Angelina Nohemi Mendoza Tavera|discusión]]) 19:04 23 mayo 2015 (CDT) | |||
---- | |||
Realizado por: [[Usuario:Angelina Nohemi Mendoza Tavera|Angelina Nohemi Mendoza Tavera]] ([[Usuario discusión:Angelina Nohemi Mendoza Tavera|discusión]]) 19:04 23 mayo 2015 (CDT) | |||
---- | ---- | ||
===Ejercicio 21=== | ===Ejercicio 21=== | ||
Encuentre la parte real e imaginaria como función de''' $r$ '''y''' $\theta$ de | |||
$f(z)=e^z$ | |||
'''Procedimiento''' | |||
Línea 914: | Línea 994: | ||
Por lo que: | Por lo que: | ||
$f(x)=e^{rcos \theta} cos(rsen\theta) +i e^{r cos\theta} sen(rsen\theta) | $f(x)=e^{rcos \theta} cos(rsen\theta) +i e^{r cos\theta} sen(rsen\theta)$ | ||
'''Solución''' | |||
Finalmente se tienen la parte real e imaginaria como: | Finalmente se tienen la parte real e imaginaria como: | ||
Línea 923: | Línea 1004: | ||
$v(r,\theta)=e^{rcos\theta} sen(rsen\theta)$ | $v(r,\theta)=e^{rcos\theta} sen(rsen\theta)$ | ||
---- | |||
Resuelto por: --[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 14:00 20 mayo 2015 (CDT) | Resuelto por: --[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 14:00 20 mayo 2015 (CDT) | ||
---- | ---- | ||
===Ejercicio 22=== | ===Ejercicio 22=== | ||
Encontrar la parte real e imaginaria u y v como función de $r$ y $\theta$ de f(z)=$x^2+y^2-yi$ | |||
'''Procedimiento''' | |||
Tomamos a x & y en términos de $r$ y $\theta$ | Tomamos a x & y en términos de $r$ y $\theta$ | ||
Línea 939: | Línea 1021: | ||
$ y= rsen\theta $ | $ y= rsen\theta $ | ||
Sustituyendo en la función f(z) | Sustituyendo en la función $f(z)$ | ||
Línea 952: | Línea 1034: | ||
pero | pero | ||
$ f( | $ f(r,\theta) = u(r,\theta) + iv(r,\theta) $ | ||
'''Solución''' | |||
Por tanto | Por tanto | ||
Línea 958: | Línea 1042: | ||
$ u(r,\theta) = r^2 $ | $ u(r,\theta) = r^2 $ | ||
$ v(r,\theta) = rsen\theta $ | $ v(r,\theta) = - rsen\theta $ | ||
---- | |||
Resuelto por: --[[Usuario:Samantha Martinez|Samantha Martinez]] ([[Usuario discusión:Samantha Martinez|discusión]]) 21:58:00 24 mayo 2015 (CDT) | Resuelto por: --[[Usuario:Samantha Martinez|Samantha Martinez]] ([[Usuario discusión:Samantha Martinez|discusión]]) 21:58:00 24 mayo 2015 (CDT) | ||
Línea 971: | Línea 1055: | ||
$f\left(z\right)=2Re\left(z\right)-iz^{2}$ | $f\left(z\right)=2Re\left(z\right)-iz^{2}$ | ||
'''Procedimiento''' | |||
Sean $z=a+bi$ e $i^{2}=-1$ | Sean $z=a+bi$ e $i^{2}=-1$ | ||
Línea 991: | Línea 1075: | ||
$2Re\left(z\right)-iz^{2}=2a\left(1+b\right)+\left(b^{2}-a^{2}\right)i$ | $2Re\left(z\right)-iz^{2}=2a\left(1+b\right)+\left(b^{2}-a^{2}\right)i$ | ||
Y así finalmente podemos decir que el dominio esta en todos los complejos | '''Conclusión''' | ||
ya que a y b pueden tomar cualquier valor. | |||
Y así finalmente podemos decir que el dominio esta en todos los complejos ya que a y b pueden tomar cualquier valor. | |||
$Dom(f)=C$ | |||
---- | |||
Resuelto por [[Usuario:Luis Enrique Martínez Valverde|Luis Enrique Martínez Valverde]] ([[Usuario discusión:Luis Enrique Martínez Valverde|discusión]]) 22:03 24 mayo 2015 (CDT) | Resuelto por [[Usuario:Luis Enrique Martínez Valverde|Luis Enrique Martínez Valverde]] ([[Usuario discusión:Luis Enrique Martínez Valverde|discusión]]) 22:03 24 mayo 2015 (CDT) | ||
---- | ---- | ||
===Ejercicio 24=== | ===Ejercicio 24=== | ||
Línea 1006: | Línea 1093: | ||
$f(z)=\frac{3z +2i}{z^3+4z^2+z}$ | $f(z)=\frac{3z +2i}{z^3+4z^2+z}$ | ||
'''Procedimiento''' | |||
Por tratarse de una función racional el denominador no puede ser cero. | Por tratarse de una función racional el denominador no puede ser cero. | ||
Línea 1027: | Línea 1114: | ||
$z \neq \frac{-4 \pm \sqrt{4^2-4}}{2} = \frac{-4 \pm2 \sqrt{3}}{2}$ | $z \neq \frac{-4 \pm \sqrt{4^2-4}}{2} = \frac{-4 \pm2 \sqrt{3}}{2}$ | ||
'''Solución''' | |||
Por tanto tenemos que: | |||
$z_1 \neq 0$ | |||
$z_2 \neq -2+\sqrt{3}$ | |||
$z_3 \neq -2 - \sqrt{3}$ | |||
$Dom f(z)= z \in C -\left \{ 0,-2 - \sqrt{3},-2+\sqrt{3} \right \} $ | |||
---- | |||
Resuelto por: --[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 14:16 20 mayo 2015 (CDT) | Resuelto por: --[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 14:16 20 mayo 2015 (CDT) | ||
---- | ---- | ||
===Ejercicio 32=== | |||
= | Suponer que $z=x+yi$. Determine como expresar $x$ y $y$ en término | ||
de $z$ y $\overline{z}$. Entonces escriba las siguientes funciones en términos de $z$ y $\overline{z}$. | |||
''' | (a)'''$f(z)=x^{2}+y^{2}$ | ||
''' | '''Procedimiento''' | ||
Por definición sabemos que $z\overline{z}=x^{2}+y^{2}$ Pero podemos | Por definición sabemos que $z\overline{z}=x^{2}+y^{2}$ Pero podemos | ||
Línea 1057: | Línea 1147: | ||
$(x+yi)(x-yi)=x^{2}+y^{2}=z\overline{z}$ | $(x+yi)(x-yi)=x^{2}+y^{2}=z\overline{z}$ | ||
Y así, la | Y así, la función queda de la forma: | ||
'''Solución''' | |||
\[ | \[ | ||
f(z)=z\overline{z} | f(z)=z\overline{z} | ||
Línea 1065: | Línea 1156: | ||
'''(b)'''$f(z)=x-2y+2+(6x+y)i$ | '''(b)'''$f(z)=x-2y+2+(6x+y)i$ | ||
'''Procedimiento''' | |||
Identificamos cada elemento de la función individualmente y jugamos | Identificamos cada elemento de la función individualmente y jugamos | ||
Línea 1090: | Línea 1183: | ||
$z-\overline{z}=2yi$ y dividimos para obtener $\frac{2yi}{2}=\frac{z-\overline{z}}{2}$ | $z-\overline{z}=2yi$ y dividimos para obtener $\frac{2yi}{2}=\frac{z-\overline{z}}{2}$ | ||
'''Solución''' | |||
Por lo tanto la función queda de la forma: | Por lo tanto la función queda de la forma: | ||
Línea 1096: | Línea 1191: | ||
f(z)=\frac{z+\overline{z}}{2}+2Im[\overline{z}]+\frac{z+\overline{z}}{Re[z]}+\frac{3(z^{2}-\overline{z}^{2})}{2Im[z]}+\frac{z-\overline{z}}{2} | f(z)=\frac{z+\overline{z}}{2}+2Im[\overline{z}]+\frac{z+\overline{z}}{Re[z]}+\frac{3(z^{2}-\overline{z}^{2})}{2Im[z]}+\frac{z-\overline{z}}{2} | ||
\] | \] | ||
'''(c)'''$f(z)=x^{2}-y^{2}-(5xy)i$ | '''(c)'''$f(z)=x^{2}-y^{2}-(5xy)i$ | ||
'''Procedimiento''' | |||
Identificamos que $x^{2}-y^{2}=Re[z^{2}]$ | Identificamos que $x^{2}-y^{2}=Re[z^{2}]$ | ||
Línea 1104: | Línea 1202: | ||
Y con $z^{2}-\overline{z}^{2}=x^{2}-y^{2}+2xyi-x^{2}-+y+2xyi=4xyi$ | Y con $z^{2}-\overline{z}^{2}=x^{2}-y^{2}+2xyi-x^{2}-+y+2xyi=4xyi$ | ||
obtenemos $-(5xy)i$ al hacer $-\frac{5}{4}(z^{2}-\overline{z}^{2})$ | obtenemos $-(5xy)i$ al hacer $-\frac{5}{4}(z^{2}-\overline{z}^{2})$ | ||
'''Solución''' | |||
Por tanto la función queda de la forma: | Por tanto la función queda de la forma: | ||
Línea 1111: | Línea 1212: | ||
\] | \] | ||
---- | |||
Elaborado por --[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 13:20 24 mayo 2015 (CDT) | Elaborado por --[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 13:20 24 mayo 2015 (CDT) | ||
---- | |||
===Ejercicio 33=== | |||
En este problema examinaremos algunas propiedades de la función exponencial compleja. | |||
'''Inciso a''' | |||
(A) Si $z=x +i y$ mostrar que: $| e^{z}| = e^{x}$ | |||
'''Procedimiento''' | |||
''' | |||
Definimos a $z=x+iy$ entonces | Definimos a $z=x+iy$ entonces | ||
$e^{x + iy}$ | |||
Por propiedades de la función exponencial esto se puede escribir como | |||
$e^{x}e^{iy}$ | |||
La función se puede escribir como: | La función se puede escribir como: | ||
$e^{x}(\cos^{2}(y) +i\sin^{2}(y))$ | |||
o | o | ||
$e^{x}(\cos^{2}(y) +i\sin^{2}(y)$ | |||
Vamos a calcular el modulo para $e^{yi}$ | Vamos a calcular el modulo para $e^{yi}$ | ||
$\sqrt{\cos^{2}(y) +i\sin^{2}(y)} = 1$ | |||
'''Conclusión''' | |||
EL modulo resulto ser 1 debido a que es un exponente imaginario puro. | EL modulo resulto ser 1 debido a que es un exponente imaginario puro. | ||
$| e^{z}|= e^{x}(1) =| e^{z}|= e^{x}$ | |||
---- | |||
Realizado por:[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 18:53 21 mayo 2015 (CDT)esther Sarai | |||
---- | |||
'''Inciso b''' | |||
(b) Hay algún numero complejo $z$ que cumpla con que $e^{z}=0$? | |||
'''Procedimiento''' | |||
Considerando a $z=x+iy$ y usando el resultado anterior tenemos que | Considerando a $z=x+iy$ y usando el resultado anterior tenemos que | ||
Línea 1166: | Línea 1268: | ||
Donde se uso $|e^{z}|=e^{x}$ | Donde se uso $|e^{z}|=e^{x}$ | ||
Supongamos que hay una $x$ tal que se cumple la | Supongamos que hay una $x$ tal que se cumple la condición $e^{x}=0$ | ||
\[ | \[ | ||
Línea 1173: | Línea 1275: | ||
Como sabemos la | Como sabemos la función logaritmo se define asi $lnx=\intop_{0}^{x}\frac{1}{t}dt$ | ||
Así que para este caso tendríamos lo siguiente | |||
\[ | \[ | ||
Línea 1190: | Línea 1292: | ||
0=1 | 0=1 | ||
\] | \] | ||
'''Conclusión''' | |||
Con lo cual obtenemos una contradicción, lo que significa que lo que supusimos desde un principio esta erróneo, por lo tanto no hay un | |||
numero complejo tal que $e^{z}=0$ | |||
'''Inciso c''' | |||
(c) Mostrar que $f(z)=e^{z}$ es una función que es periódica con un periodo imaginario de $2\pi i$. Esto es, mostrar que $e^{z+2\pi i}=e^{z}$ para cualquier numero complejo z. | |||
'''Procedimiento''' | |||
Considerando a $z=x+iy$ tenemos que | Considerando a $z=x+iy$ tenemos que | ||
Línea 1206: | Línea 1310: | ||
Por la | Por la definición de la exponencial compleja | ||
\[ | \[ | ||
Línea 1214: | Línea 1318: | ||
Pero como sabemos las funciones seno y coseno son $Mod\hspace{1em}2\pi$ | Pero como sabemos las funciones seno y coseno son $Mod\hspace{1em}2\pi$ | ||
'''Conclusión''' | |||
por lo tanto | por lo tanto | ||
Línea 1220: | Línea 1327: | ||
\] | \] | ||
---- | |||
[[Usuario:Jose Emmanuel Flores Calderón|Jose Emmanuel Flores Calderón]] ([[Usuario discusión:Jose Emmanuel Flores Calderón|discusión]]) 22:14 21 mayo 2015 (CDT) | [[Usuario:Jose Emmanuel Flores Calderón|Jose Emmanuel Flores Calderón]] ([[Usuario discusión:Jose Emmanuel Flores Calderón|discusión]]) 22:14 21 mayo 2015 (CDT) | ||
---- | ---- | ||
=== Ejercicio 34 === | === Ejercicio 34 === | ||
34. Utilizar $e^z=e^xcosy+ie^xseny$ para demostrar que $e^{\bar{z}}=\bar | 34. Utilizar $e^z=e^xcosy+ie^xseny$ para demostrar que $e^{\bar{z}}=\bar{ e^z}$ para todo $z$ en los complejos. | ||
'''Procedimiento''' | |||
Sea $z=x+iy$ arbitrario en los complejos. Entonces: | Sea $z=x+iy$ arbitrario en los complejos. Entonces: | ||
$e^{\bar{z}}=e^{x-iy}= e^x(cos(-y)+isen(-y)) = e^x(cosy-iseny)...(1)$. | |||
Línea 1238: | Línea 1345: | ||
'''Conclusión''' | |||
De $(1)$ y $(2)$ se concluye que $e^{\bar{z}}=\bar{ e^z}$ | |||
---- | |||
[[Usuario:Alan Daniel Barrón Posadas|Alan Daniel Barrón Posadas]] ([[Usuario discusión:Alan Daniel Barrón Posadas|discusión]]) 22:31 21 mayo 2015 (CDT) | [[Usuario:Alan Daniel Barrón Posadas|Alan Daniel Barrón Posadas]] ([[Usuario discusión:Alan Daniel Barrón Posadas|discusión]]) 22:31 21 mayo 2015 (CDT) | ||
---- | ---- |
Revisión actual - 02:58 18 mar 2023
Ejercicios del capítulo 2, sección 1 del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan.
Sección 2.1
Ejercicio 1
Evalúa la función $f(z)=z^2 \bar{z} -2i$ en los puntos indicados.
a) $2i$
b) $1+i$
c) $ 3 - 2i$
Procedimiento
Sea $z=a+ib$, y bajo las operaciones definidas como:
Producto: \[z_1 z_2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2)+(a_2 b_1 +a_1 b_2)i\]
Conjugado: \[\bar{z}=a-ib\]
Cuadrado: \[z^2=a^2 - b^2 +2ab i\]
Evaluando la función en los puntos indicados se obtiene:
Inciso a
a) $f(2i)=(2i)^2(\bar {2i})-2i$
$f(2i)=(4i)(-2i)-2i =8i -2i =6i$
$f(2i)=6i$
Inciso b
b) $f(1+i)=(1+i)²(\bar {1+i}) -2i=(2i)(1-i) - 2i $
$f(1+i)=2+2i-2i =2$
$f(1+i)=2$
Inciso c
c) $f(3-2i)=(3-2i)^2 (\bar{3-2i} -2i$
$(9-4-12i)(3+2i) -2i =(5-12i)(3+2i)-2i=(15+24)+i(10-36)i -2i$
$39-26i -2i =39-28i$
$f(3-2i)=39-28i$
Resuelto por: --Luis Santos (discusión) 00:30 19 mayo 2015 (CDT)
Método alternativo
Otra manera de especificar y realizar los pasos de este ejercicio es:
Evaluar en la función compleja en el punto indicado
a)2i
b)1+i
c)3-2i
Inciso a
a) Evaluamos del punto 2i en la función compleja
Inciso b
b) Evaluamos del punto 1+i en la función compleja
Inciso c
c)Evaluamos del punto 3-2i en la función compleja
Evaluando, reduciendo términos semejantes , se tiene que:
Elaborado porRicardo Garcia Hernandez (discusión) 23:40 19 mayo 2015 (CDT)--
Ejercicio 2
Evaluar la función compleja en los puntos dados.
$\left(a\right)z=i$
Inciso a
Sustituyo "z" y su conjugado:
Realizo las operaciones correspondientes y obtengo:
$\left(b\right)z=2-i$
Inciso b
Sustituyo los valores de "z" y su conjugado en la función:
Desarrollo las operaciones correspondientes obtengo:
$\left(c\right)z=1+2i$
Inciso c
Sustituyo los valores de "z" y su conjugado:
Efectuando las operaciones correspondientes obtengo:
Reelaborado por: Nancy Martínez Durán (discusión) 04:16 24 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 3
evaluar la función compleja dada en los puntos indicados.
a)$z=1$ b)$z=4i$ c)$z=(1+i)$
Inciso a
Para poder resolver este problema debemos saber que si z es un complejo de la forma $z=x+yi$ ;
y ademas $Arg(z)=\arctan{\frac{y}{x}}$
Una vez sabiendo esto podremos resolver los incisos de la siguiente manera;
como aquí $z=1$
Inciso b
Aquí tenemos que $z=4i$ pero antes de sustituir valores en esta función sera necesario darnos cuenta que Arg(z) aquí esta indefinido ya que x=0 pero podemos observar que el numero $4i$ esta en el eje imaginario positivo y por lo cual aquí en angulo es $\frac{\pi}{2}$ así tendremos que;
Inciso c
inciso c)
como $z=1+i$ y en analogia alos incisos anteriores;
Resuelto por: Cristian Alfredo Ruiz Castro (discusión) 23:12 24 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 4
Evaluar la función compleja dada en los puntos indicados.
$f\left(z\right)=\left|z\right|^{2}-2Re\left(iz\right)+z$
Inciso a
$\left(a\right)$.- $3-4i$
$\left|3-4i\right|=\sqrt{9+16}=5$
$Re\left(iz\right)=4$
Por lo que:
$f\left(z\right)=25-2\left(4\right)+3-4i=20-4i$
$f\left(z\right)=20-4i$
Inciso b
$\left(b\right)$.- $2-i$
$\left|2-i\right|=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$
$Re\left(iz\right)=1$
Por lo que:
$f\left(z\right)=5-2\left(1\right)+2-i=5-i$
Inciso C
$\left(c\right).1+2i$
$\left|1+2i\right|=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$
$Re\left(iz\right)=-2$
Por lo que:
$f\left(z\right)=5-2\left(-2\right)+1+2i=10+2i$
Resuelto por: Alejandro Juárez Toribio (discusión) 22:17 23 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 5
Evalúe la función compleja $f$ dada en los siguientes puntos indicados
$f(z)=(xy-x^2)+i(3x+y) $ , $ a) 3i$ , $ b) 4+i$ , $ c) 3-5i$
Inciso a
$a)3i$
$z=x+yi$ , Al igualar queda: $3i=x+yi$ , entonces: $x=0$ y $y=3$
Evaluando:
$f(3i)=((0)(3))-0^2)+i(3(0)+3)=3i$
Inciso B
$b)=4+i$
tenemos que: $4+i=x+yi$ , entonces: $x=4$ y $y=1$
Evaluando:
$f(4+i)=((4)(1))-4^2)+i(3(4)+1)=(4-16)+ i(12+1)=-12+13i$
Inciso c
$c)3-5i$
$3-5i=x+yi$, entonces $x=3$, $y=-5$
Evaluando:
$f(3-5i)=((3)(-5))-3^2)+i(3(3)+(-5))=-24+4i$
Realizado por:Emmanuell Castro Flores (discusión) 23:37 21 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 6
Evalúa la función $f(z)=e{}^{z}$ en los puntos indicados.
a) $2-\pi i$
b) $\frac{\pi}{3}i$
c) $\ln(2)-\frac{5\pi}{6}i$
Inciso a
a) $f(z)=e{}^{2-\pi i}$ \[ f(z)=e{}^{2}\,cis\left(-\pi\right)=-e{}^{2} \]
Inciso b
b) $f(z)=e{}^{\frac{\pi}{3}i}$ \[ f(z)=cis\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \]
Inciso c
c) $f(z)=e{}^{\ln(2)-\frac{5\pi}{6}i}$ \[ f(z)=e{}^{\ln(2)}\,cis\left(-\frac{5\pi}{6}\right)=2\,cis\left(-\frac{5\pi}{6}\right)=2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i \right)=-\sqrt{3}-i \]
Realizado por:Tlacaelel Cruz (discusión) 21:28 19 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 7
Evalúe la función compleja $f(z)$ dada en los siguientes puntos indicados.
Inciso a
a)
Primero lo reescribiremos en la forma polar
Como el número complejo a evaluar está en el eje de los reales positivos, deducimos que
Por lo que al evaluar en la función, tenemos que:
Solución
Inciso b
b)
Pasándolo en su la forma polar
Solución
Como el número complejo a evaluar está en el eje de los imaginarios negativos, deducimos que
Por lo que al evaluar en la función, tenemos que
Solución
Inciso c
c)
Pasándolo en su la forma polar
Encontrando el ángulo tenemos que
Por lo que al evaluar en la función, tenemos que
Solución
Realizado por: [Usuario:Pablo|Pablo]] (discusión) 01:41 24 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 8
Evaluar la función compleja $f(z)= r \sin\frac{\theta}{2}+i \cos 2\theta$ en los puntos siguientes.
(a)$z=-2$
Inciso a
Tenemos entonces que obtener $r$ y $\theta$.
Sabiendo que $r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$
$\theta=\pi$ donde $z=x+iy$ podemos decir:
$r=\sqrt{(-2)^{2}+(0)^{2}}=2$
$\theta=\pi$
Por tanto, sustituyendo obtenemos:
$f(-2)=2 \sin\frac{\pi}{2}+i \cos 2\pi +i= 2+i$
(b)$z=1+i$
Inciso b
Reescribiendo z en su forma exponencial.
$r=|z|=\sqrt2$ y $\theta=Arg(z)= \frac{\pi}{4}$
Por lo que la función evaluada en z=1+i es:
$f(1+i)=\sqrt2 \sin\frac{\pi}{8}+i \cos\frac{\pi}{2}=\sqrt2 \sin\frac{\pi}{8}$
(c)$-5i$
Inciso c
Se tiene que $r=5$
$\theta=-\frac{\pi}{2}$
$f(-5i)=5\sin(-\frac{\pi}{4})+i\cos(-\pi)=-5 \frac{\sqrt2}{2}-i$
Re elaborado por Manuel Rodríguez
Ejercicio 9
Encontrar la parte real y la parte imaginaria u y v de la función compleja dada como función de x y de y.
Procedimiento
Sabemos que :
Por lo cual sustituyendo tenemos la definición anterior en la ecuación tenemos:
Desarrollando y simplificando tenemos:
Solución
Ahora bien definimos a nuestra función como , por lo cual de (*) podemos a escribir :
Anahi Limas (discusión) 16:04 24 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 10
Encuentre la parte real e imaginaria de la función, en términos de u y v.
Procedimiento
Si: Y el conjugado de z:
Sustituimos "z" y "z" conjugada en la función y realizamos las operaciones correspondientes:
Con lo anterior se obtuvo la parte real e imaginaria de la función, es decir:
Solución
Nancy Martínez Durán (discusión) 02:41 24 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 11
Encuentre la parte real e imaginaria de la función compleja
Procedimiento
Se tiene la forma de un numero complejo
sustituimos (1) en la funcion compleja y se tiene:
Realizando reducción de terminos semejantes, simplificando ,agrupando términos y factorizando se tiene
Donde se tiene la parte real e imaginaria de la función compleja en términos de “x” y “y”, y teniendo que
Solución
Elaborado por--Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 23:58 19 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 12
Encuentre la parte real e imaginaria de la función compleja
$f(z)=z^{2}+\bar{z}^{2}$
Procedimiento
Entonces resolviendo
$f(z)=(x+iy)^{2}+(x-iy)^{2}$
$f(z)=(x^{2}-y^{2}+2ixy)+(x^{2}-y^{2}-2ixy)$
$f(z)=(2x^{2}-2y^{2})+i0$
Solución
Por lo tanto tenemos que
$u(x,y)=2(x^{2}-y^{2})$
$v(x,y)=0$
Realizado por: Fernando Vazquez V. (discusión) 00:36 24 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 13
Encuentra la parte real e imaginaria como función de $x$ y $y$ de las siguientes funciones.
$f(z)= \frac{\bar{z}}{z+1}.....(1)$
Procedimiento
Siendo $z=x+iy$ y a partir de las operaciones:
Conjugado \[\bar{z}=x+iy\]
División \[ \frac{z_1}{z_2}=\frac{a_1 a_2 + b_1 b_2}{a^2 - b^2} + \frac{b_1 a_2 - a_1 b_2} {a^2 - b^2}i\]
Se tiene que la función (1) puede escribirse como
$f(z)=\frac{z-iy}{(x+1)+iy}=\frac{x(x+1)-y^2}{(x+1)+y^2}+\frac{(-xy-y)-xy}{(x+1)^2+y^2}i$
Realizando productos y simplificando se tiene:
$f(z)=\frac{x^2 +x -y^2}{(x+1)^2 +y^2} - \frac{2xy +y}{(x + i)^2+y^2}i$
Solución
Donde la parte real e imaginaria son respectivamente:
$u(x,y)=\frac{x^2 +x -y^2}{(x+1)^2 +y^2}$
$v(x,y)=-\left \{ \frac{2xy +y}{(x + i)^2+y^2} \right \}$
Resuelto por: Luis Santos (discusión) 13:45 20 mayo 2015 (CDT)
El conjugado es:
$\bar{z}=x-iy$ no $\bar{z}=x+iy$
Comentario por:Tlacaelel Cruz (discusión) 20:28 23 mayo 2015 (CDT)
me pareció muy bueno como te ahorraste operaciones poniendo
\[ \frac{z_1}{z_2}=\frac{a_1 a_2 + b_1 b_2}{a^2 - b^2} + \frac{b_1 a_2 - a_1 b_2} {a^2 - b^2}i\]
pero luego igualas
$f(z)=\frac{x^2 +x -y^2}{(x+1)^2 +y^2} - \frac{2xy +y}{(x + i)^2+y^2}i$
cuando debiste igualarlo a f(x,y), en fin, sólo es notación
Comentario por:Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 19:38 24 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 14
Encuentre la parte real e imaginaria de la función compleja y escriba la función como u(x,y) v(x,y).
$f(z)=z+\frac{1}{z}$
Tomamos en cuenta que $z=x+iy$
Procedimiento
$f(x,,y)=(x+iy)+\frac{1}{x+iy}$
para $\frac{1}{x+iy}$ ponerlo de la forma $x+iy$ tenemos que multiplicarlo por el conjugado del número complejo que tenemos.
$\frac{1}{x+iy}\left(\frac{x-iy}{x-iy}\right)=\frac{x-iy}{x^{2}+y^{2}}$
y entonces tenemos
$x+iy+\frac{x-iy}{x^{2}+y^{2}}$
Lo haré paso por paso para que se pueda observar de mejor forma como se simplifica y se puedan notar mejor si tengo algún error
$f(x,y)=x+iy+\frac{x-iy}{x^{2}+y^{2}}=\frac{(x+iy)(x^{2}+y^{2})+(x-iy)}{x^{2}+y^{2}}=\frac{x^{3}+xy^{2}+iyx^{2}+iy^{3}+x+iy}{x^{2}+y^{2}}=\frac{x^{3}+xy^{2}+x}{x^{2}+y^{3}}+i\left(\frac{yx^{2}+y^{3}-y}{x^{2}+y^{2}}\right)$
Ya tenemos nuestra parte real e imaginaria de nuestro número complejo en función de x,y.
Solución
$u(x,y)=\frac{x^{3}+xy^{2}+x}{x^{2}+y^{2}}$
$v(x,y)=\frac{yx^{2}+y^{3}-y}{x^{2}+y^{2}}$
Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 19:29 24 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 15
Determine las partes real e imaginaria $u(x,y)$ y $v(x,y)$ de la función compleja $f$ dada como funciones de $x$ y $y$:
$f(z)=e^{2z+i}$
Procedimiento
Sustituimos $z=x+yi$
$f(x+yi)=e^{2(x+yi)+i} = e^{2x+(2y+1)i}$
o bien $f(x+yi)=e^{2x}[\cos(2y+1)+i\sin(2y+1)]$
Solución
Por lo que
$u(x,y)$ y $v(x,y)$ son las partes real e imaginaria respectivamente
$u(x,y)=e^{2x}[\cos(2y+1)]$
$v(x,y)=e^{2x}[\sin(2y+1)]$
Realizado por: Miguel Medina Armendariz (discusión) 21:46 21 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 16
Dar las partes real e imaginaria ($u(x,y)$, $v(x,y)$) de:
$f(z)=e^{z^2}$
Procedimiento
Con $z=x+iy$, lo elevamos al cuadrado:
$z^2=(x+iy)^2=x^2+ixy+ixy-y^2=(x^2-y^2)+i2xy$
sustituyendo:
$f(z)=e^{[(x^2-y^2)+i2xy]}$, la exponencial comleja es $e^z=e^{X+iY}=e^X(\cos Y+i\sin Y)$
$f(z)=e^{x^2-y^2}\cos 2xy+ie^{x^2-y^2}\sin 2xy$
Por lo tanto, las partes real e imaginaria de la función son:
Solución
$u(x,y)=e^{x^2-y^2}\cos 2xy$,
$v(x,y)=e^{x^2-y^2}\sin 2xy$
Oscar Javier Gutierrez Varela (discusión) 16:46 20 mayo 2015 (CDT)
Forma alterna.
Una forma alternativa es usar $z$ en la forma exponencial $z=r e^{i\theta}$, de este modo, la función se describe del siguiente modo \[ f(z)=e^{\left(r e^{i\theta}\right)^{2}}=e^{r^2 e^{2i\theta}}=e^{r^2} e^{e^{2i\theta}}=e^{r^2} e^{cos(2\theta)}e^{i sin(2\theta)}=e^{r^2 \cos(2\theta)}\left[ cos(sin(2\theta))+ i sin(sin(2\theta)) \right] \] Por lo tanto: \[ u(r,\theta)=e^{r^2 \cos(2\theta)} \cos(\sin(2\theta)), \; v(r,\theta)=e^{r^2 \cos(2\theta)} \sin(\sin(2\theta)) \]
Puede recuperarse la definición anterior usando $r=\sqrt{x^2+y^2}\;$ y $\;\theta=arctan(y/x)-\pi \, sign(y) \,\mathcal{U}(x)$, donde $\;\mathcal{U}(x)$ es la función escalón (vale 1 para cuando su argumento es mayor a 0 y 0 de lo contrario).
Tlacaelel Cruz (discusión) 21:45 23 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 17
Encuentre la parte real y la parte imaginaria de u y v de la siguiente función compleja “f” en términos de
Procedimiento
Si tenemos que el conjugado de es:
se obtuvo la solución de la parte real e imaginaria en coordenadas polares, y teniendo la expresión:
Solución
se tiene que
Elaborado por--Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 00:06 20 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 18
Encuentre la parte real y la parte imaginaria de u y v de la siguiente función compleja “f” en términos de $(r,\theta)$.
$f(z) = |z|$
Procedimiento
Tenemos que $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$
y $|z| = \sqrt{(r\cos\theta)^2 + (r\sin\theta)^2}$
= $\sqrt{r^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta)}$ = $\sqrt{r^2}$ = $r$
Solución
Por lo tanto.
$u(r,\theta) = r$
$v(r,\theta) = 0$
Resuelto por: Arnold B. Herrera Rubert (discusión) 22:01 20 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 19
Encuentre la parte real y la parte imaginaria de u y v de la siguiente función compleja “f” en términos de
Procedimiento
Partiendo de la formula de Moivre tenemos que es:
Se obtuvo las solución de la parte real e imaginaria en coordenadas polares , y teniendo la expresión:
Solución
se tiene que
Elaborado por --Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 23:48 19 mayo 2015 (CDT)
Método alternativo.
$f(z)=z^4$
Procedimiento
sabemos que un complejo puede escribirse de 3 maneras
binomial
$z=a+bi$
polar
$z=R\left(cos\left(\theta\right)+isen\left(\theta\right)\right)$
exponencial
$e^{\left(a+bi\right)}=e^{a}\left(cos\left(b\right)+isen\left(b\right)\right)=Re^{i\theta}.$
entonces tenemos en el ejercicio:
$z^{4}=\left(R\left(cos\left(\theta\right)+isen\left(\theta\right)\right)\right)^{4}=\left(Re^{i\theta}\right)^{4}$
aplicamos la siguiente propiedad:
$\left(Re^{i\theta}\right)^{n}=R^{n}e^{ni\theta}$ para n=0 y todos los enteros
entonces el ejercicio queda:
$z^{4}=R^{4}e^{4i\theta}$
Solución
U parte real $R^{4}$
V parte imaginaria $e^{4i\theta}$
Resuelto por: --Martin Flores Molina (discusión) 16:00 19 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 20
Encuentra la parte real $u$ e imaginaria $v$ del numero complejo dado en función de $r$ y $\theta$
$f(z)=z+\frac{1}{z}$
Procedimiento
Como queremos conocer la parte real e imaginaria de la función en su forma polar, sabemos que el numero $z$ en su forma polar es:
$z=r[cos\theta + isen\theta]$
Sustituyendo $z$ en la función dada
$f(z)=r[cos\theta + isen\theta] + \frac{1}{r[cos\theta + isen\theta]}$
Como podemos ver el segundo miembro de la suma puede verse como un cociente de números complejos donde el numerador es el numero complejo $1+0i$ , por lo que podemos verlo como:
$ \frac{1}{r[cos\theta + isen\theta]}=\frac{1}{r[cos\theta + isen\theta]} . \frac{r[cos\theta - isen\theta]}{r[cos\theta - isen\theta]}=\frac{r[cos\theta - isen\theta]}{r^2[cos^{2}\theta + sen^{2}\theta]}$
$=\frac{cos\theta}{r} - i \frac{sen\theta}{r}$
Sustituyendo este valor en la función
$f(z)=r[cos\theta + isen\theta] + (\frac{cos\theta}{r} - i \frac{sen\theta}{r})$
$f(z)=(rcos\theta + \frac{cos\theta}{r} + i(rsen\theta - \frac{sen\theta}{r})$
$f(z)=cos\theta(r+\frac{1}{r}) + i sen\theta(r-\frac{1}{r})$
Solución
Entonces:
$u(r,\theta)=cos\theta (r+\frac{1}{r})$
$v(r,\theta)=sen\theta (r-\frac{1}{r})$
Realizado por: Angelina Nohemi Mendoza Tavera (discusión) 19:04 23 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 21
Encuentre la parte real e imaginaria como función de $r$ y $\theta$ de
$f(z)=e^z$
Procedimiento
Sustituyendo
$z =x+iy$ en $f(z)$ se abtine:
$f(z)=e^{x+iy} =e^x e^{iy}$
Empleando
$e^{i\theta}=cos\theta +isen\theta$
Se tiene
$ =e^x(cosy +i seny)$
Donde:
$x = r cos\theta$
$y= rsen\theta$
Por lo que:
$f(x)=e^{rcos \theta} cos(rsen\theta) +i e^{r cos\theta} sen(rsen\theta)$
Solución
Finalmente se tienen la parte real e imaginaria como:
$u(r,\theta)=e^{rcos\theta} cos(rsen\theta)$
$v(r,\theta)=e^{rcos\theta} sen(rsen\theta)$
Resuelto por: --Luis Santos (discusión) 14:00 20 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 22
Encontrar la parte real e imaginaria u y v como función de $r$ y $\theta$ de f(z)=$x^2+y^2-yi$
Procedimiento
Tomamos a x & y en términos de $r$ y $\theta$
$ x = rcos\theta $
$ y= rsen\theta $
Sustituyendo en la función $f(z)$
$ f(z) = (rcos\theta)^2 + (rsen\theta)^2 - (rsen\theta)i $
$ f(z) = r^2 cos^2\theta + r^2 sen^2\theta -rsen\theta i $
$ f(z) = r^2(cos^2\theta + sen^2\theta) -rsen\theta i $
$ f(z) = r^2 - rsen\theta i $
pero
$ f(r,\theta) = u(r,\theta) + iv(r,\theta) $
Solución
Por tanto
$ u(r,\theta) = r^2 $
$ v(r,\theta) = - rsen\theta $
Resuelto por: --Samantha Martinez (discusión) 21:58:00 24 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 23
Encontrar el dominio de:
$f\left(z\right)=2Re\left(z\right)-iz^{2}$
Procedimiento
Sean $z=a+bi$ e $i^{2}=-1$
Entonces por la función dada tenemos que:
$2Re\left(z\right)=2a$
Por otro lado sabemos que
$z^{2}=a^{2}-b^{2}+2abi$
Además la función nos pide:
$-iz^{2}=\left(\left(a^{2}-b^{2}\right)+2abi\right)\left(-i\right)=2ab+\left(b^{2}-a^{2}\right)i$
Por lo tanto obtenemos
$2Re\left(z\right)-iz^{2}=2a\left(1+b\right)+\left(b^{2}-a^{2}\right)i$
Conclusión
Y así finalmente podemos decir que el dominio esta en todos los complejos ya que a y b pueden tomar cualquier valor.
$Dom(f)=C$
Resuelto por Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 22:03 24 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 24
Encuentra el dominio de:
$f(z)=\frac{3z +2i}{z^3+4z^2+z}$
Procedimiento
Por tratarse de una función racional el denominador no puede ser cero.
$ z^3+4z^2+z \neq 0$
Ahora solo falta resolver esta ecuación
$z(z^2+4z+1) \neq o$
Tenemos que
$z_1 \neq o$
Nos queda resolver:
$z^2+4z+1 \neq 0$
Por formula general:
$z \neq \frac{-4 \pm \sqrt{4^2-4}}{2} = \frac{-4 \pm2 \sqrt{3}}{2}$
Solución
Por tanto tenemos que:
$z_1 \neq 0$
$z_2 \neq -2+\sqrt{3}$
$z_3 \neq -2 - \sqrt{3}$
$Dom f(z)= z \in C -\left \{ 0,-2 - \sqrt{3},-2+\sqrt{3} \right \} $
Resuelto por: --Luis Santos (discusión) 14:16 20 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 32
Suponer que $z=x+yi$. Determine como expresar $x$ y $y$ en término de $z$ y $\overline{z}$. Entonces escriba las siguientes funciones en términos de $z$ y $\overline{z}$.
(a)$f(z)=x^{2}+y^{2}$
Procedimiento
Por definición sabemos que $z\overline{z}=x^{2}+y^{2}$ Pero podemos desarrollar:
donde $\overline{z}=x-yi$ tenemos
$(x+yi)(x-yi)=x^{2}+y^{2}=z\overline{z}$
Y así, la función queda de la forma:
Solución
\[ f(z)=z\overline{z} \]
(b)$f(z)=x-2y+2+(6x+y)i$
Procedimiento
Identificamos cada elemento de la función individualmente y jugamos con las definiciones.
Para $x$:
$z+\overline{z}=(x+yi)+(x-yi)=2x$ por lo tanto $\frac{z+\overline{z}}{2}=x$
Para $-2y$ hacemos:
$2Im[\overline{z}]=-2y$
Para $2$ tenemos:
$z+\overline{z}=(x+yi)+(x-yi)=2x$ entonces dividimos: $\frac{2x}{Re[z]}$ o lo que es igual $\frac{z+\overline{z}}{Re[z]}$
Para $6xi$ aplicamos definición de $z^{2}$ y $\overline{z}^{2}$ y hacemos:
$\frac{3}{2}(z^{2}-\overline{z}^{2})=6xyi$ y dividimos $\frac{6xyi}{Im[z]}=6xi=\frac{3(z^{2}-\overline{z}^{2})}{2Im[z]}$
Y finalmente para $yi$
$z-\overline{z}=2yi$ y dividimos para obtener $\frac{2yi}{2}=\frac{z-\overline{z}}{2}$
Solución
Por lo tanto la función queda de la forma:
\[ f(z)=\frac{z+\overline{z}}{2}+2Im[\overline{z}]+\frac{z+\overline{z}}{Re[z]}+\frac{3(z^{2}-\overline{z}^{2})}{2Im[z]}+\frac{z-\overline{z}}{2} \]
(c)$f(z)=x^{2}-y^{2}-(5xy)i$
Procedimiento
Identificamos que $x^{2}-y^{2}=Re[z^{2}]$
Y con $z^{2}-\overline{z}^{2}=x^{2}-y^{2}+2xyi-x^{2}-+y+2xyi=4xyi$ obtenemos $-(5xy)i$ al hacer $-\frac{5}{4}(z^{2}-\overline{z}^{2})$
Solución
Por tanto la función queda de la forma:
\[ f(z)=Re[z^{2}]-\frac{5}{4}(z^{2}-\overline{z}^{2}) \]
Elaborado por --A. Martín R. Rabelo (discusión) 13:20 24 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 33
En este problema examinaremos algunas propiedades de la función exponencial compleja.
Inciso a
(A) Si $z=x +i y$ mostrar que: $| e^{z}| = e^{x}$
Procedimiento
Definimos a $z=x+iy$ entonces
$e^{x + iy}$ Por propiedades de la función exponencial esto se puede escribir como
$e^{x}e^{iy}$
La función se puede escribir como:
$e^{x}(\cos^{2}(y) +i\sin^{2}(y))$
o $e^{x}(\cos^{2}(y) +i\sin^{2}(y)$
Vamos a calcular el modulo para $e^{yi}$
$\sqrt{\cos^{2}(y) +i\sin^{2}(y)} = 1$
Conclusión
EL modulo resulto ser 1 debido a que es un exponente imaginario puro.
$| e^{z}|= e^{x}(1) =| e^{z}|= e^{x}$
Realizado por:Esther Sarai (discusión) 18:53 21 mayo 2015 (CDT)esther Sarai
Inciso b
(b) Hay algún numero complejo $z$ que cumpla con que $e^{z}=0$?
Procedimiento
Considerando a $z=x+iy$ y usando el resultado anterior tenemos que
$|e^{z}|=|0|\hspace{1em}\Rightarrow\hspace{1em}|e^{z}|=0\hspace{1em}\Rightarrow\hspace{1em}e^{x}=0$
Donde se uso $|e^{z}|=e^{x}$
Supongamos que hay una $x$ tal que se cumple la condición $e^{x}=0$
\[ e^{x}=0\hspace{1em}\Rightarrow\hspace{1em}x=ln(0) \]
Como sabemos la función logaritmo se define asi $lnx=\intop_{0}^{x}\frac{1}{t}dt$
Así que para este caso tendríamos lo siguiente
\[ ln(0)=\int_{0}^{0}\frac{1}{t}dt=0 \]
\[
\Rightarrow0=e^{0}
\]
\[
0=1
\]
Conclusión
Con lo cual obtenemos una contradicción, lo que significa que lo que supusimos desde un principio esta erróneo, por lo tanto no hay un numero complejo tal que $e^{z}=0$
Inciso c
(c) Mostrar que $f(z)=e^{z}$ es una función que es periódica con un periodo imaginario de $2\pi i$. Esto es, mostrar que $e^{z+2\pi i}=e^{z}$ para cualquier numero complejo z.
Procedimiento
Considerando a $z=x+iy$ tenemos que
\[ e^{z+2\pi i}=e^{x+i(y+2\pi)} \]
Por la definición de la exponencial compleja
\[ e^{x+i(y+2\pi)}=e^{x}\cos(y+2\pi)+ie^{x}\sin(y+2\pi) \]
Pero como sabemos las funciones seno y coseno son $Mod\hspace{1em}2\pi$
Conclusión
por lo tanto
\[ e^{x+i(y+2\pi)}=e^{x}\cos(y+2\pi)+ie^{x}\sin(y+2\pi)=e^{x}\cos y+ie^{x}\sin y=e^{x+iy}=e^{z} \]
Jose Emmanuel Flores Calderón (discusión) 22:14 21 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 34
34. Utilizar $e^z=e^xcosy+ie^xseny$ para demostrar que $e^{\bar{z}}=\bar{ e^z}$ para todo $z$ en los complejos.
Procedimiento
Sea $z=x+iy$ arbitrario en los complejos. Entonces:
$e^{\bar{z}}=e^{x-iy}= e^x(cos(-y)+isen(-y)) = e^x(cosy-iseny)...(1)$.
Por otro lado $\overline{e^z}=\overline{e^{x+iy}}=\overline{e^x(cosy+iseny)}=(e^x) \overline{(cosy+iseny)}=e^x(cosy-iseny)...(2)$
Conclusión
De $(1)$ y $(2)$ se concluye que $e^{\bar{z}}=\bar{ e^z}$
Alan Daniel Barrón Posadas (discusión) 22:31 21 mayo 2015 (CDT)