Optica: Paraxial

aproximación paraxial: soluciones Gaussianas

Ecuación diferencial de onda paraxial

La ecuación de onda (ver Ondas: ecuacion de onda)

(1.1)

${\color {Sepia}\nabla ^{2}\psi -{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=0}$

para una onda monocromática Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \psi\left(\mathbf{r},t\right)=\psi\left(\mathbf{r}\right)\exp\left(-i\omega t\right) deviene en la ecuación de Helmholtz

(1.2)

$\nabla ^{2}\psi +\kappa ^{2}\psi =0,$

donde $\omega ^{2}/v^{2}=k^{2}$. Considere que la onda se propaga preferencialmente en la dirección z,

(1.3)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \psi=\tilde{u}\exp\left(ikz\right),

donde ${\tilde {u}}$ es un campo complejo . El gradiente es entonces

(1.4)

$\nabla \left[{\tilde {u}}\exp \left(ikz\right)\right]=\left(\nabla {\tilde {u}}+ik{\tilde {u}}{\hat {e}}_{z}\right)\exp \left(ikz\right)$

y el laplaciano escrito como la divergencia del gradiente es

(1.5)

$\nabla ^{2}\left[{\tilde {u}}\exp \left(ikz\right)\right]=\left[\nabla \cdot \left(\nabla {\tilde {u}}+ik{\tilde {u}}{\hat {e}}_{z}\right)\right]\exp \left(ikz\right)+\nabla \left[\exp \left(ikz\right)\right]\cdot \left(\nabla {\tilde {u}}+ik{\tilde {u}}{\hat {e}}_{z}\right)$

pero

(1.6)

$\nabla ^{2}\left[{\tilde {u}}\exp \left(ikz\right)\right]=\left[\nabla ^{2}{\tilde {u}}+ik{\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial z}}\right]\exp \left(ikz\right)+\left[ik{\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial z}}-k^{2}{\tilde {u}}\right]\exp \left(ikz\right)$

de manera que

(1.7)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla^{2}\left[\tilde{u}\exp\left(ikz\right)\right]=\left[\nabla^{2}\tilde{u}+2ik\frac{\partial\tilde{u}}{\partial z}-k^{2}\tilde{u}\right]\exp\left(ikz\right)

La ecuación de Helmhlotz (sin aproximaciones aún) es entonces

(1.8)

$\nabla ^{2}{\tilde {u}}+2ik{\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial z}}+{\tilde {u}}+(\kappa ^{2}-k^{2}){\tilde {u}}=0.$

La aproximación paraxial requiere que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \kappa^{2}-k^{2}= 0 y

(1.9)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \left|\frac{\partial^{2}\tilde{u}}{\partial z^{2}}\right|\ll\left|2ik\frac{\partial\tilde{u}}{\partial z}\right|,\left|\frac{\partial^{2}\tilde{u}}{\partial x^{2}}\right|,\left|\frac{\partial^{2}\tilde{u}}{\partial y^{2}}\right|

El operador nabla se puede expresar en términos de un operador transversal $\nabla _{T}$ mas un operador longitudinal ${\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {e}}_{z}$. En coordenadas cartesianas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla_{T}=\frac{\partial}{\partial x}\hat{e}_{x}+\frac{\partial}{\partial y}\hat{e}_{y} o en coordenadas cilíndricas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla_{T}= ${\frac {\partial }{\partial \rho }}{\hat {e}}_{\rho }+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}{\hat {e}}_{\theta }$. De manera que el laplaciano se puede sustituir por el laplaciano transversal para obtener la ecuación de onda paraxial

(1.10)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\color{Sepia}\nabla_{T}^{2}\tilde{u}+2ik\frac{\partial\tilde{u}}{\partial z}=0}

que es una ecuación parabólica.

solución de onda esférica

Una solución exacta de la ecuación de onda son las ondas esféricas

(2.1)

$\psi _{esf}={\frac {A_{0}}{r}}e^{ikr}.$

Demostración: El gradiente de la magnitud radial es $\nabla r={\hat {\mathbf {r} }}$. De manera que

(2.2)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla\psi_{esf}=\left(-\frac{A_{0}}{r^{2}}\hat{\mathbf{r}}+\frac{A_{0}}{r}ik\hat{\mathbf{r}}\right)e^{ikr}=\left(-\frac{1}{r}+ik\right)\hat{\mathbf{r}}\psi_{esf}.

El laplaciano es entonces

(2.3)

${\begin{matrix}\nabla ^{2}\psi _{esf}&=&\nabla \cdot \left[\left(-{\frac {1}{r}}+ik\right){\hat {\mathbf {r} }}\psi _{esf}\right]\\&=&\left(-{\frac {1}{r}}+ik\right)\psi _{esf}\nabla \cdot {\hat {\mathbf {r} }}+\nabla \left[\left(-{\frac {1}{r}}+ik\right)\psi _{esf}\right]\cdot {\hat {\mathbf {r} }}\end{matrix}}$

pero Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla\cdot\hat{\mathbf{r}}=2/r y

(2.4)

$\nabla \left[\left(-{\frac {1}{r}}+ik\right)\psi _{esf}\right]\cdot {\hat {\mathbf {r} }}={\frac {1}{r^{2}}}\psi _{esf}+\left(-{\frac {1}{r}}+ik\right)^{2}\psi _{esf}$

de manera que el laplaciano deviene

(2.5)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla^{2}\psi_{esf}=\left[\frac{2}{r}\left(-\frac{1}{r}+ik\right)+\frac{2}{r^{2}}-2\frac{ik}{r}-k^{2}\right]\psi_{esf}=-k^{2}\psi_{esf}

y se satisface la ecuación de onda monocromática.Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \square

solución aproximada de ecuación de onda

La expansión de la distancia radial $r={\sqrt {\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}+\left(z-z_{1}\right)^{2}}}$ en ejes cartesianos con una dirección preferencial, digamos z es

(3.1)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): r\approx\left(z-z_{1}\right)+\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2\left(z-z_{1}\right)}.

La solución aproximada del resultado esférico exacto es entonces

(3.2)

$\psi _{esf}^{aprox}={\frac {A_{0}}{\left(z-z_{1}\right)}}\exp \left(ik\left(z-z_{1}\right)\right)\exp \left(ik{\frac {\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2\left(z-z_{1}\right)}}\right)$

Si se expresa ésta ecuación en términos de la forma preferencial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\color{OliveGreen}\psi=\tilde{u}\exp\left(ik(z-z_{1})\right)}, , se obtiene

(3.3)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \tilde{u}=\frac{A_{0}}{\left(z-z_{1}\right)}\exp\left(ik\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2\left(z-z_{1}\right)}\right)

solución exacta de la ecuación paraxial

Éste resultado es la solución exacta a la ecuación diferencial aproximada.

Demostración: El gradiente transversal es

(3.1.1)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla_{T}\tilde{u}=\frac{ik}{\left(z-z_{1}\right)}\tilde{u}\left[\left(x-x_{1}\right)\hat{e}_{x}+\left(y-y_{1}\right)\hat{e}_{y}\right]

y el laplaciano transversal

(3.1.2)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{matrix} \nabla_{T}^{2}\tilde{u} & = & \frac{ik}{\left(z-z_{1}\right)}\tilde{u}\nabla_{T}\cdot\left[\left(x-x_{1}\right)\hat{e}_{x}+\left(y-y_{1}\right)\hat{e}_{y}\right]\\ & & +\left[\frac{ik}{\left(z-z_{1}\right)}\nabla_{T}\tilde{u}\right].\left[\left(x-x_{1}\right)\hat{e}_{x}+\left(y-y_{1}\right)\hat{e}_{y}\right]\end{matrix}}

que puede escribirse como

(3.1.3)

$\nabla _{T}^{2}{\tilde {u}}={\frac {2ik}{\left(z-z_{1}\right)}}{\tilde {u}}+{\frac {-k^{2}}{\left(z-z_{1}\right)^{2}}}{\tilde {u}}\left[\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}\right]$

Mientras que la primera derivada longitudinal es

(3.1.4)

${\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial z}}={\tilde {u}}\left(-{\frac {1}{\left(z-z_{1}\right)}}\right)+{\tilde {u}}\left(-ik{\frac {\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2\left(z-z_{1}\right)^{2}}}\right)$

de manera que satisface exactamente la ecuación paraxial.Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \square

Ondas Gaussianas - solución acotada

Considere la solución para ${\tilde {z}}_{1}=a+ib$ compleja, $x_{1},\;y_{1}=0$. El término involucrando la dirección de propagación puede escribirse como

(4.1)

${\frac {1}{\left(z-{\tilde {z}}_{1}\right)}}={\frac {z+a}{\left(z-a\right)^{2}+b^{2}}}+{\frac {ib}{\left(z-a\right)^{2}+b^{2}}}={\frac {1}{R}}+{\frac {2i}{kw^{2}}}$

El primer término involucra la fase y se describe por el inverso de la función radio de curvatura

(4.2)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): R=\left(z-a\right)+\frac{b^{2}}{\left(z-a\right)}

El segundo término, puesto que en la fase \eqref{eq: sol u pref} está multiplicada por $ik$, es una amplitud decreciente en las direcciones transversales

(4.3)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \exp\left(-\frac{k}{2}\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b\left[\frac{\left(z-a\right)^{2}}{b^{2}}+1\right]}\right).

De manera que corresponde a una Gaussiana en ambos ejes transversales Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \exp\left(-x_{j}^{2}/w^{2}\right) que decae a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): 1/e a una distancia

(4.4)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): w^{2}=b\frac{\lambda}{\pi}\left[\frac{\left(z-a\right)^{2}}{b^{2}}+1\right],

donde hemos utilizado la relación $k={\frac {2\pi }{\lambda }}$. Para definir el valor de las constantes a, b en términos de cantidades con mayor significado físico, considere el plano $z=a=z_{0}$, entonces

(4.5)

$w^{2}\left(z=z_{0}\right)=w_{0}^{2}=b{\frac {\lambda }{\pi }}\quad \Rightarrow \quad b={\frac {\pi }{\lambda }}w_{0}^{2}$

donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): w_{0} es el valor mínimo de la función $w\left(z\right)$ y se conoce como la cintura del haz

(4.6)

$w=w_{0}{\sqrt {{\frac {\left(z-a\right)^{2}}{b^{2}}}+1}}$

Por otro lado, si se considera el plano $z-a=b\equiv z_{R}$, entonces $w\left(z_{R}\right)={\sqrt {2}}w_{0}$. Puesto que el área del haz es $\pi w^{2}$, en la distancia $z_{R}$ el área se duplica. Ésta distancia se conoce en física como distancia de Rayleigh

(4.7)

${z_{R}={\frac {k}{2}}w_{0}^{2}={\frac {\pi }{\lambda }}w_{0}^{2}}.$

En el ámbito fotográfico, es una medida de la profundidad de campo que estima la nitidez de las imágienes en distintos planos.

El radio del haz (donde decae a $1/e$) es entonces

(4.8)

${w\left(z\right)=w_{0}{\sqrt {{\frac {\left(z-z_{0}\right)^{2}}{z_{R}^{2}}}+1}}}$

El radio de curvatura es

(4.9)

${\color {Red}R\left(z\right)=\left(z-z_{0}\right)+{\frac {z_{R}^{2}}{\left(z-z_{0}\right)}}}$

La representación polar de ${\frac {1}{\left(z-{\tilde {z}}_{1}\right)}}={\frac {1}{R}}+{\frac {2i}{kw^{2}}}$ es

(4.10)

${\frac {1}{R}}+{\frac {2i}{kw^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{R^{2}}}+{\frac {4}{k^{2}w^{4}}}}}\exp \left[i\arctan \left({\frac {2R}{kw^{2}}}\right)\right]$

${\frac {R}{w^{2}}}$ puede reescribirse como

(4.11)

${\frac {R}{w^{2}}}={\frac {k\;z_{R}}{2\left(z-z_{0}\right)}}$

y

(4.12)

${\frac {1}{R^{2}}}+{\frac {4}{k^{2}w^{4}}}={\frac {1}{\left(z-z_{0}\right)^{2}+z_{R}^{2}}}=\left({\frac {w_{0}}{z_{R}w}}\right)^{2}$

de manera que

(4.13)

${\sqrt {{\frac {1}{R^{2}}}+{\frac {4}{k^{2}w^{4}}}}}\exp \left[i\arctan \left({\frac {2R}{kw^{2}}}\right)\right]={\frac {w_{0}}{z_{R}w}}\exp \left[i\arctan \left({\frac {z_{R}}{z-z_{0}}}\right)\right]$

mientras que la fase es

(4.14)

$ik{\frac {\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2\left(z-z_{1}\right)}}=ik{\frac {\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2R}}-{\frac {\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{w^{2}}}$

La amplitud compleja es entonces

(4.15)

${\tilde {u}}=A_{0}{\frac {w_{0}}{z_{R}w}}\exp \left[i\arctan \left({\frac {z_{R}}{z-z_{0}}}\right)\right]\exp \left(-{\frac {\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{w^{2}}}\right)\exp \left(ik{\frac {\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2R}}\right)$

La solución de la ecuación diferencial en la aproximación paraxial es una Gaussiana dada por

(4.16)

$\psi =A_{0}{\frac {w_{0}}{z_{R}w}}\exp \left[i\arctan \left({\frac {z_{R}}{z-z_{0}}}\right)\right]\exp \left(-{\frac {\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{w^{2}}}\right)\exp \left(ik{\frac {\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2R}}\right)\exp \left(ikz\right)$

Gráficas de esta función se encuentran en la página de Ondas:_Gaussianas

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--Mfg 16:57 1 jul 2008 (CDT)

corrección

--CAZ 00:50 9 jul 2008 (CDT)

--Mfg 21:48 6 ago 2008 (CDT)