aproximación paraxial: soluciones Gaussianas
Ecuación diferencial de onda paraxial
La ecuación de onda
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\color{Sepia}\nabla^{2}\psi-\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}=0}
para una onda monocromática Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \psi\left(\mathbf{r},t\right)=\psi\left(\mathbf{r}\right)\exp\left(-i\omega t\right)
deviene en la ecuación de Helmholtz
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla^{2}\psi+\kappa^{2}\psi=0,
donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \omega^{2}/v^{2}=k^{2}
.
Considere que la onda se propaga preferencialmente en la dirección z,
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \psi=\tilde{u}\exp\left(ikz\right),
donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \tilde{u}
es un campo complejo [1]. El gradiente es entonces
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla\left[\tilde{u}\exp\left(ikz\right)\right]=\left(\nabla\tilde{u}+ik\tilde{u}\hat{e}_{z}\right)\exp\left(ikz\right)
y el laplaciano escrito como la divergencia del gradiente es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla^{2}\left[\tilde{u}\exp\left(ikz\right)\right]=\left[\nabla\cdot\left(\nabla\tilde{u}+ik\tilde{u}\hat{e}_{z}\right)\right]\exp\left(ikz\right)+\nabla\left[\exp\left(ikz\right)\right]\cdot\left(\nabla\tilde{u}+ik\tilde{u}\hat{e}_{z}\right)
pero
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla^{2}\left[\tilde{u}\exp\left(ikz\right)\right]=\left[\nabla^{2}\tilde{u}+ik\frac{\partial\tilde{u}}{\partial z}\right]\exp\left(ikz\right)+\left[ik\frac{\partial\tilde{u}}{\partial z}-k^{2}\tilde{u}\right]\exp\left(ikz\right)
de manera que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla^{2}\left[\tilde{u}\exp\left(ikz\right)\right]=\left[\nabla^{2}\tilde{u}+2ik\frac{\partial\tilde{u}}{\partial z}-k^{2}\tilde{u}\right]\exp\left(ikz\right)
La ecuación de Helmhlotz (sin aproximaciones aún) es entonces
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla^{2}\tilde{u}+2ik\frac{\partial\tilde{u}}{\partial z}+\tilde{u}+(\kappa^{2}-k^{2}) \tilde{u}=0.
La aproximación paraxial requiere que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \kappa^{2}-k^{2}= 0
y
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El operador nabla se puede expresar en términos de un operador transversal
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla_{T}
mas un operador longitudinal Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial}{\partial z}\hat{e}_{z}
.
En coordenadas cartesianas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla_{T}=\frac{\partial}{\partial x}\hat{e}_{x}+\frac{\partial}{\partial y}\hat{e}_{y}
o en coordenadas cilíndricas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla_{T}=
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial}{\partial\rho}\hat{e}_{\rho}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\theta}\hat{e}_{\theta}
.
De manera que el laplaciano se puede sustituir por el laplaciano transversal para obtener la ecuación de onda paraxial
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\color{Sepia}\nabla_{T}^{2}\tilde{u}+2ik\frac{\partial\tilde{u}}{\partial z}=0}
que es una ecuación parabólica.
solución de onda esférica
Una solución exacta de la ecuación de onda son las ondas esféricas
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \psi_{esf}=\frac{A_{0}}{r}e^{ikr}.
Demostración: El gradiente de la magnitud radial es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla r=\hat{\mathbf{r}}
. De manera que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla\psi_{esf}=\left(-\frac{A_{0}}{r^{2}}\hat{\mathbf{r}}+\frac{A_{0}}{r}ik\hat{\mathbf{r}}\right)e^{ikr}=\left(-\frac{1}{r}+ik\right)\hat{\mathbf{r}}\psi_{esf}.
El laplaciano es entonces
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{matrix} \nabla^{2}\psi_{esf} & = & \nabla\cdot\left[\left(-\frac{1}{r}+ik\right)\hat{\mathbf{r}}\psi_{esf}\right]\\ & = & \left(-\frac{1}{r}+ik\right)\psi_{esf}\nabla\cdot\hat{\mathbf{r}}+\nabla\left[\left(-\frac{1}{r}+ik\right)\psi_{esf}\right]\cdot\hat{\mathbf{r}}\end{matrix}}
pero Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla\cdot\hat{\mathbf{r}}=2/r
y
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla\left[\left(-\frac{1}{r}+ik\right)\psi_{esf}\right]\cdot\hat{\mathbf{r}}=\frac{1}{r^{2}}\psi_{esf}+\left(-\frac{1}{r}+ik\right)^{2}\psi_{esf}
de manera que el laplaciano deviene
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla^{2}\psi_{esf}=\left[\frac{2}{r}\left(-\frac{1}{r}+ik\right)+\frac{2}{r^{2}}-2\frac{ik}{r}-k^{2}\right]\psi_{esf}=-k^{2}\psi_{esf}
y se satisface la ecuación de onda monocromática.Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \square
solución aproximada de ecuación de onda
La expansión de la distancia radial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): r=\sqrt{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}+\left(z-z_{1}\right)^{2}}
en ejes cartesianos con una dirección preferencial, digamos z
es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): r\approx\left(z-z_{1}\right)+\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2\left(z-z_{1}\right)}.
La solución aproximada del resultado esférico exacto es entonces
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \psi_{esf}^{aprox}=\frac{A_{0}}{\left(z-z_{1}\right)}\exp\left(ik\left(z-z_{1}\right)\right)\exp\left(ik\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2\left(z-z_{1}\right)}\right)
Si se expresa ésta ecuación en términos de la forma preferencial
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\color{OliveGreen}\psi=\tilde{u}\exp\left(ikz\right)},</center>
, se obtiene
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\color{OliveGreen}\tilde{u}=\frac{A_{0}}{\left(z-z_{1}\right)}\exp\left(ik\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2\left(z-z_{1}\right)}\right)}
solución exacta de la ecuación paraxial
Éste resultado es la solución exacta a la ecuación diferencial aproximada.
Demostración: El gradiente transversal esError al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla_{T}\tilde{u}=\frac{ik}{\left(z-z_{1}\right)}\tilde{u}\left[\left(x-x_{1}\right)\hat{e}_{x}+\left(y-y_{1}\right)\hat{e}_{y}\right]
y el laplaciano transversalError al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{matrix} \nabla_{T}^{2}\tilde{u} & = & \frac{ik}{\left(z-z_{1}\right)}\tilde{u}\nabla_{T}\cdot\left[\left(x-x_{1}\right)\hat{e}_{x}+\left(y-y_{1}\right)\hat{e}_{y}\right]\\ & & +\left[\frac{ik}{\left(z-z_{1}\right)}\nabla_{T}\tilde{u}\right].\left[\left(x-x_{1}\right)\hat{e}_{x}+\left(y-y_{1}\right)\hat{e}_{y}\right]\end{matrix}}
que puede escribirse comoError al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla_{T}^{2}\tilde{u}=\frac{2ik}{\left(z-z_{1}\right)}\tilde{u}+\frac{-k^{2}}{\left(z-z_{1}\right)^{2}}\tilde{u}\left[\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}\right]
Mientras que la primera derivada longitudinal esError al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial\tilde{u}}{\partial z}=\tilde{u}\left(-\frac{1}{\left(z-z_{1}\right)}\right)+\tilde{u}\left(-ik\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2\left(z-z_{1}\right)^{2}}\right)
de manera que satisface exactamente la ecuación paraxial.Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \square
Ondas Gaussianas - solución acotada
Considere la solución para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \tilde{z}_{1}=a+ib
compleja, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x_{1},\; y_{1}=0
.
El término involucrando la dirección de propagación puede escribirse como
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{1}{\left(z-\tilde{z}_{1}\right)}=\frac{z+a}{\left(z-a\right)^{2}+b^{2}}+\frac{ib}{\left(z-a\right)^{2}+b^{2}}=\frac{1}{R}+\frac{2i}{kw^{2}}
El primer término involucra la fase y se describe por el inverso de la función radio de curvatura
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): R=\left(z-a\right)+\frac{b^{2}}{\left(z-a\right)}
El segundo término, puesto que en la fase \eqref{eq: sol u pref}
está multiplicada por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): ik
, es una amplitud decreciente en las direcciones transversales
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \exp\left(-\frac{k}{2}\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b\left[\frac{\left(z-a\right)^{2}}{b^{2}}+1\right]}\right).
De manera que corresponde a una Gaussiana en ambos ejes transversales
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \exp\left(-x_{j}^{2}/w^{2}\right)
que decae a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): 1/e
a una distancia
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): w^{2}=b\frac{\lambda}{\pi}\left[\frac{\left(z-a\right)^{2}}{b^{2}}+1\right],
donde hemos utilizado la relación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): k=\frac{2\pi}{\lambda}
. Para
definir el valor de las constantes a, b en términos de cantidades
con mayor significado físico, considere el plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z=a=z_{0}
, entonces
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): w^{2}\left(z=z_{0}\right)=w_{0}^{2}=b\frac{\lambda}{\pi}\quad\Rightarrow\quad b=\frac{\pi}{\lambda}w_{0}^{2}
donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): w_{0}
es el valor mínimo de la función y se conoce como la cintura del haz
Por otro lado, si se considera el plano , entonces
. Puesto que el área del haz es
, en la distancia el área se duplica. Ésta distancia
se conoce en física como distancia de Rayleigh
En el ámbito fotográfico, es una medida de la profundidad de campo
que estima la nitidez de las imágienes en distintos planos.
El radio del haz (donde decae a ) es entonces
El radio de curvatura es
La representación polar de es
puede reescribirse como
y
de manera que
mientras que la fase es
La amplitud compleja es entonces
La solución de la ecuación diferencial en la aproximación paraxial es una Gaussiana dada por
Gráficas de esta función se encuentran en la página de Ondas:_Gaussianas
- ↑ Siegman A., Lasers, University Science Books, 1986 [cap.16 p. 626]
--Mfg 16:57 1 jul 2008 (CDT)
corrección
--CAZ 00:50 9 jul 2008 (CDT)
--Mfg 21:48 6 ago 2008 (CDT)