Diferencia entre revisiones de «Optica: Paraxial»
Línea 99: | Línea 99: | ||
Considere la solución para <math>\tilde{z}_{1}=a+ib</math> compleja, <math>x_{1},\; y_{1}=0</math>. | Considere la solución para <math>\tilde{z}_{1}=a+ib</math> compleja, <math>x_{1},\; y_{1}=0</math>. | ||
El término involucrando la dirección de propagación puede escribirse como | El término involucrando la dirección de propagación puede escribirse como | ||
<center><math> | (4.1)<center><math> | ||
\frac{1}{\left(z-\tilde{z}_{1}\right)}=\frac{z+a}{\left(z-a\right)^{2}+b^{2}}+\frac{ib}{\left(z-a\right)^{2}+b^{2}}=\frac{1}{R}+\frac{2i}{kw^{2}}</math></center> | \frac{1}{\left(z-\tilde{z}_{1}\right)}=\frac{z+a}{\left(z-a\right)^{2}+b^{2}}+\frac{ib}{\left(z-a\right)^{2}+b^{2}}=\frac{1}{R}+\frac{2i}{kw^{2}}</math></center> | ||
El primer término involucra la fase y se describe por el inverso de la función radio de curvatura | El primer término involucra la fase y se describe por el inverso de la función radio de curvatura | ||
<center><math> | (4.2)<center><math> | ||
R=\left(z-a\right)+\frac{b^{2}}{\left(z-a\right)}</math></center> | R=\left(z-a\right)+\frac{b^{2}}{\left(z-a\right)}</math></center> | ||
El segundo término, puesto que en la fase \eqref{eq: sol u pref} | El segundo término, puesto que en la fase \eqref{eq: sol u pref} | ||
está multiplicada por <math>ik</math>, es una amplitud decreciente en las direcciones transversales | está multiplicada por <math>ik</math>, es una amplitud decreciente en las direcciones transversales | ||
<center><math> | (4.3)<center><math> | ||
\exp\left(-\frac{k}{2}\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b\left[\frac{\left(z-a\right)^{2}}{b^{2}}+1\right]}\right).</math></center> | \exp\left(-\frac{k}{2}\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b\left[\frac{\left(z-a\right)^{2}}{b^{2}}+1\right]}\right).</math></center> | ||
De manera que corresponde a una Gaussiana en ambos ejes transversales | De manera que corresponde a una Gaussiana en ambos ejes transversales | ||
<math>\exp\left(-x_{j}^{2}/w^{2}\right)</math> que decae a <math>1/e</math> a una distancia | <math>\exp\left(-x_{j}^{2}/w^{2}\right)</math> que decae a <math>1/e</math> a una distancia | ||
<center><math> | (4.4)<center><math> | ||
w^{2}=b\frac{\lambda}{\pi}\left[\frac{\left(z-a\right)^{2}}{b^{2}}+1\right],</math></center> | w^{2}=b\frac{\lambda}{\pi}\left[\frac{\left(z-a\right)^{2}}{b^{2}}+1\right],</math></center> | ||
donde hemos utilizado la relación <math>k=\frac{2\pi}{\lambda}</math>. Para | donde hemos utilizado la relación <math>k=\frac{2\pi}{\lambda}</math>. Para | ||
definir el valor de las constantes ''a, b'' en términos de cantidades | definir el valor de las constantes ''a, b'' en términos de cantidades | ||
con mayor significado físico, considere el plano <math>z=a=z_{0}</math>, entonces | con mayor significado físico, considere el plano <math>z=a=z_{0}</math>, entonces | ||
<center><math> | (4.5)<center><math> | ||
w^{2}\left(z=z_{0}\right)=w_{0}^{2}=b\frac{\lambda}{\pi}\quad\Rightarrow\quad b=\frac{\pi}{\lambda}w_{0}^{2}</math></center> | w^{2}\left(z=z_{0}\right)=w_{0}^{2}=b\frac{\lambda}{\pi}\quad\Rightarrow\quad b=\frac{\pi}{\lambda}w_{0}^{2}</math></center> | ||
donde <math>w_{0}</math> es el valor mínimo de la función <math>w\left(z\right)</math> y se conoce como la cintura del haz | donde <math>w_{0}</math> es el valor mínimo de la función <math>w\left(z\right)</math> y se conoce como la cintura del haz | ||
<center><math> | (4.6)<center><math> | ||
w=w_{0}\sqrt{\frac{\left(z-a\right)^{2}}{b^{2}}+1}</math></center> | w=w_{0}\sqrt{\frac{\left(z-a\right)^{2}}{b^{2}}+1}</math></center> | ||
Por otro lado, si se considera el plano <math>z-a=b\equiv z_{R}</math>, entonces | Por otro lado, si se considera el plano <math>z-a=b\equiv z_{R}</math>, entonces | ||
Línea 124: | Línea 124: | ||
<math>\pi w^{2}</math>, en la distancia <math>z_{R}</math> el área se duplica. Ésta distancia | <math>\pi w^{2}</math>, en la distancia <math>z_{R}</math> el área se duplica. Ésta distancia | ||
se conoce en física como distancia de Rayleigh | se conoce en física como distancia de Rayleigh | ||
<center><math> | (4.7)<center><math> | ||
{ | {z_{R}=\frac{k}{2}w_{0}^{2}=\frac{\pi}{\lambda}w_{0}^{2}}.</math></center> | ||
En el ámbito fotográfico, es una medida de la profundidad de campo | En el ámbito fotográfico, es una medida de la profundidad de campo | ||
que estima la nitidez de las imágienes en distintos planos. | que estima la nitidez de las imágienes en distintos planos. | ||
El radio del haz (donde decae a <math>1/e</math>) es entonces | El radio del haz (donde decae a <math>1/e</math>) es entonces | ||
<center><math> | (4.8)<center><math> | ||
{ | {w\left(z\right)=w_{0}\sqrt{\frac{\left(z-z_{0}\right)^{2}}{z_{R}^{2}}+1}}</math></center> | ||
El radio de curvatura es | El radio de curvatura es | ||
<center><math> | (4.9)<center><math> | ||
{\color{Red}R\left(z\right)=\left(z-z_{0}\right)+\frac{z_{R}^{2}}{\left(z-z_{0}\right)}}</math></center> | {\color{Red}R\left(z\right)=\left(z-z_{0}\right)+\frac{z_{R}^{2}}{\left(z-z_{0}\right)}}</math></center> | ||
La representación polar de <math>\frac{1}{\left(z-\tilde{z}_{1}\right)}=\frac{1}{R}+\frac{2i}{kw^{2}}</math> es | La representación polar de <math>\frac{1}{\left(z-\tilde{z}_{1}\right)}=\frac{1}{R}+\frac{2i}{kw^{2}}</math> es | ||
<center><math> | (4.10)<center><math> | ||
\frac{1}{R}+\frac{2i}{kw^{2}}=\sqrt{\frac{1}{R^{2}}+\frac{4}{k^{2}w^{4}}}\exp\left[i\arctan\left(\frac{2R}{kw^{2}}\right)\right]</math></center> | \frac{1}{R}+\frac{2i}{kw^{2}}=\sqrt{\frac{1}{R^{2}}+\frac{4}{k^{2}w^{4}}}\exp\left[i\arctan\left(\frac{2R}{kw^{2}}\right)\right]</math></center> | ||
<math>\frac{R}{w^{2}}</math> puede reescribirse como <center><math> | <math>\frac{R}{w^{2}}</math> puede reescribirse como | ||
(4.11)<center><math> | |||
\frac{R}{w^{2}}=\frac{k\; z_{R}}{2\left(z-z_{0}\right)}</math></center> | \frac{R}{w^{2}}=\frac{k\; z_{R}}{2\left(z-z_{0}\right)}</math></center> | ||
y<center><math> | y | ||
(4.12)<center><math> | |||
\frac{1}{R^{2}}+\frac{4}{k^{2}w^{4}}=\frac{1}{\left(z-z_{0}\right)^{2}+z_{R}^{2}}=\left(\frac{w_{0}}{z_{R}w}\right)^{2}</math></center> | \frac{1}{R^{2}}+\frac{4}{k^{2}w^{4}}=\frac{1}{\left(z-z_{0}\right)^{2}+z_{R}^{2}}=\left(\frac{w_{0}}{z_{R}w}\right)^{2}</math></center> | ||
de manera que<center><math> | de manera que | ||
(4.13)<center><math> | |||
\sqrt{\frac{1}{R^{2}}+\frac{4}{k^{2}w^{4}}}\exp\left[i\arctan\left(\frac{2R}{kw^{2}}\right)\right]=\frac{w_{0}}{z_{R}w}\exp\left[i\arctan\left(\frac{z_{R}}{z-z_{0}}\right)\right]</math></center> | \sqrt{\frac{1}{R^{2}}+\frac{4}{k^{2}w^{4}}}\exp\left[i\arctan\left(\frac{2R}{kw^{2}}\right)\right]=\frac{w_{0}}{z_{R}w}\exp\left[i\arctan\left(\frac{z_{R}}{z-z_{0}}\right)\right]</math></center> | ||
mientras que la fase es<center><math> | mientras que la fase es | ||
(4.14)<center><math> | |||
ik\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2\left(z-z_{1}\right)}=ik\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2R}-\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{w^{2}}</math></center> | ik\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2\left(z-z_{1}\right)}=ik\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2R}-\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{w^{2}}</math></center> | ||
La amplitud compleja es entonces<center><math> | La amplitud compleja es entonces | ||
(4.15)<center><math> | |||
\tilde{u}=A_{0}\frac{w_{0}}{z_{R}w}\exp\left[i\arctan\left(\frac{z_{R}}{z-z_{0}}\right)\right] | \tilde{u}=A_{0}\frac{w_{0}}{z_{R}w}\exp\left[i\arctan\left(\frac{z_{R}}{z-z_{0}}\right)\right] | ||
\exp\left(-\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{w^{2}}\right)\exp\left(ik\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2R}\right) | \exp\left(-\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{w^{2}}\right)\exp\left(ik\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2R}\right) | ||
</math></center> | </math></center> | ||
La solución de la ecuación diferencial en la aproximación paraxial es una Gaussiana dada por | La solución de la ecuación diferencial en la aproximación paraxial es una Gaussiana dada por | ||
<center><math> | (4.16)<center><math> | ||
\psi=A_{0}\frac{w_{0}}{z_{R}w}\exp\left[i\arctan\left(\frac{z_{R}}{z-z_{0}}\right)\right] | \psi=A_{0}\frac{w_{0}}{z_{R}w}\exp\left[i\arctan\left(\frac{z_{R}}{z-z_{0}}\right)\right] | ||
\exp\left(-\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{w^{2}}\right)\exp\left(ik\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2R}\right)\exp\left(ikz\right) | \exp\left(-\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{w^{2}}\right)\exp\left(ik\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2R}\right)\exp\left(ikz\right) |
Revisión del 14:08 25 nov 2015
aproximación paraxial: soluciones Gaussianas
Ecuación diferencial de onda paraxial
La ecuación de onda (ver Ondas: ecuacion de onda)
(1.1)
para una onda monocromática deviene en la ecuación de Helmholtz
(1.2)
donde . Considere que la onda se propaga preferencialmente en la dirección z,
(1.3)
donde es un campo complejo [1]. El gradiente es entonces
(1.4)
y el laplaciano escrito como la divergencia del gradiente es
(1.5)
pero
(1.6)
de manera que
(1.7)
La ecuación de Helmhlotz (sin aproximaciones aún) es entonces
(1.8)
La aproximación paraxial requiere que y
(1.9)
El operador nabla se puede expresar en términos de un operador transversal mas un operador longitudinal . En coordenadas cartesianas o en coordenadas cilíndricas . De manera que el laplaciano se puede sustituir por el laplaciano transversal para obtener la ecuación de onda paraxial
(1.10)
que es una ecuación parabólica.
solución de onda esférica
Una solución exacta de la ecuación de onda son las ondas esféricas
(2.1)
Demostración: El gradiente de la magnitud radial es . De manera que
(2.2)
El laplaciano es entonces
(2.3)
pero y
(2.4)
de manera que el laplaciano deviene
(2.5)
y se satisface la ecuación de onda monocromática.
solución aproximada de ecuación de onda
La expansión de la distancia radial en ejes cartesianos con una dirección preferencial, digamos z es
(3.1)
La solución aproximada del resultado esférico exacto es entonces
(3.2)
Si se expresa ésta ecuación en términos de la forma preferencial , se obtiene
(3.3)
solución exacta de la ecuación paraxial
Éste resultado es la solución exacta a la ecuación diferencial aproximada.
Demostración: El gradiente transversal es
(3.1.1)
y el laplaciano transversal
(3.1.2)
que puede escribirse como
(3.1.3)
Mientras que la primera derivada longitudinal es
(3.1.4)
de manera que satisface exactamente la ecuación paraxial.
Ondas Gaussianas - solución acotada
Considere la solución para compleja, . El término involucrando la dirección de propagación puede escribirse como
(4.1)
El primer término involucra la fase y se describe por el inverso de la función radio de curvatura
(4.2)
El segundo término, puesto que en la fase \eqref{eq: sol u pref} está multiplicada por , es una amplitud decreciente en las direcciones transversales
(4.3)
De manera que corresponde a una Gaussiana en ambos ejes transversales que decae a a una distancia
(4.4)
donde hemos utilizado la relación . Para definir el valor de las constantes a, b en términos de cantidades con mayor significado físico, considere el plano , entonces
(4.5)
donde es el valor mínimo de la función y se conoce como la cintura del haz
(4.6)
Por otro lado, si se considera el plano , entonces . Puesto que el área del haz es , en la distancia el área se duplica. Ésta distancia se conoce en física como distancia de Rayleigh
(4.7)
En el ámbito fotográfico, es una medida de la profundidad de campo que estima la nitidez de las imágienes en distintos planos.
El radio del haz (donde decae a ) es entonces
(4.8)
El radio de curvatura es
(4.9)
La representación polar de es
(4.10)
puede reescribirse como
(4.11)
y
(4.12)
de manera que
(4.13)
mientras que la fase es
(4.14)
La amplitud compleja es entonces
(4.15)
La solución de la ecuación diferencial en la aproximación paraxial es una Gaussiana dada por
(4.16)
Gráficas de esta función se encuentran en la página de Ondas:_Gaussianas
- ↑ Siegman A., Lasers, University Science Books, 1986 [cap.16 p. 626]
--Mfg 16:57 1 jul 2008 (CDT)
corrección
--CAZ 00:50 9 jul 2008 (CDT)
--Mfg 21:48 6 ago 2008 (CDT)