Optica: Luz blanca

Prisma dispersando luz blanca

En términos de electromagnetismo clásico, la luz blanca compone la parte del espectro electromagnético que resulta visible para el ser humano, cuyo rango de longitud de onda va de los 380 a 750 nm. No obstante, la luz en términos tecnológicos es mucho más extensa y contiene las regiones adyacentes al límite de lo visible, es decir, parte desde los 200 nm (ultravioleta) y termina en longitudes de onda de 1 milímetro (infrarrojo). Esto es debido a que el espectro electromagnético que se emite en este rango comparte ciertas propiedades físicas, permitiendo darle usos en procesos como la interferometría.

El estudio de la luz es rastreable a la época de la civilización griega donde Pitágoras sugiere que el efecto de la vista surge de la emanación de luz de los ojos. Hoy en día sabemos que en realidad podemos ver porque los ojos captan la luz emitida por una fuente externa y hemos avanzado hasta crear modelos electromagnéticos clásicos y cuánticos. Con esto ha sido posible atribuirle ciertas propiedades y características que nos permiten describir el fenómeno del espectro visible de una manera adecuada, lo cual nos ha permitido el desarrollo de tecnologías e instrumentación que han repercutido de manera importante en áreas de estudio como la óptica, diseño , entre otras áreas.

Propiedades

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Para los efectos que la luz puede presentar en una situación cotidiana, podemos restringirnos a la teoría electromagnética clásica que describe de manera adecuada la luz como el acoplamiento de campos eléctricos y magnéticos que se propagan en el espacio. No obstante, esta teoría desarrollada en el siglo XIX parece insuficiente cuando se pretende estudiar las propiedades de la luz en bajas intensidades . Es en ese momento en el que entra la teoría electromagnética cuántica, que busca explicar la interacción de la luz en átomos y moléculas. Para ello, la teoría cuántica describe la luz como paquetes cuantizados de energía (fotones).

Es por esto que a la luz se le atribuye una naturaleza dual de onda-partícula y puede comportarse como una u otra dependiendo del fenómeno presentando. De esta manera, podemos describir algunas propiedades que engloban ambos comportamientos.

Frecuencia

Al tratarse de un fenómeno oscilatorio, la luz presenta periodicidad en sus campos eléctrico y magnético. Esto implica la asociación del término de frecuencia, la cuál indica el número de veces que oscilan los campos por unidad de tiempo. De esta manera, podemos expresarla matemáticamente como: \begin{equation*} \nu=\frac{1}{\tau}~[Hz] \end{equation*}

donde $\tau$ representa el periodo en segundos.

Longitud de onda

Se refiere a la distancia recorrida por por una onda en un ciclo. Las ondas electromagnéticas guardan una relación inversamente proporcional entre su longitud de onda y su frecuencia. Esto quiere decir que cuando la frecuencia aumenta, la longitud de onda disminuye y vicerversa. Así, podemos obtener la longitud de onda en función de la frecuencia por medio de la relación

\begin{equation*} \lambda = \frac{v}{\nu}[m] \end{equation*}

donde $v$ representa la velocidad de propagación de la onda.

Ancho de banda

Existen fuentes de radiación con capacidad de emitir luz cuasi-monocromática al tener frecuencias ópticas muy bien definidas, por el contrario, podemos encontrar fuentes que nos proporcionen grandes anchos de banda de cientos de terahertz.

El ancho de banda es medido a la mitad de la curva por convención y es posible obtenerlo haciendo una diferencia de frecuencias con la ecuación

$l=\Delta \nu$

Representación del ancho de banda

Pulsos ultracortos de luz

Basado en la propiedad de los grandes anchos de banda, existe la posibilidad de generar pulsos extremadamente cortos (flashes de luz) que rondan el orden de los picosegundos. Con ello se incursionan áreas como la generación del supercontinuo que es comúnmente utilizado para el estudio de la composición de materiales o sus propiedades físicas y moleculares.

Coherencia

Representación gráfica de coherencia temporal para un paquete de onda modulada

Es la relación que se presenta en la fase de las ondas de un haz de radiación de una sola frecuencia. Un ejemplo de ello son los láseres. Existen varios tipos de coherencia como la temporal y espacial

• La coherencia temporal se refiere al tiempo $(\Delta t_c)$ que satisface la expresión para la frecuencia de los anchos de banda $(\Delta v \cong 1/\Delta t$).

• La longitud de coherencia es la extensión de espacio en el cuál la onda es perfectamente sinusoidal y puede ser predicha fácilmente. Se rige por la expresión

\begin{equation*} \Delta l_c = c \Delta t_c \end{equation*}

donde $c$ es la velocidad de la luz.

• La coherencia parcial es un término utilizado para describir que tan coherente es un haz de luz. Esto es porque la luz coherente es únicamente una idealización.

Polarización de la luz

Esto se refiere principalmente a los estados polarizados que podamos obtener de la luz, ya que esta se compone de un vector de campo eléctrico perpendicular a la dirección de propagación.

Es posible polarizar un haz de luz de manera lineal, elíptica o circular, aunque se podría decir que las polarizaciones lineal y circular son una generalización de la polarización elíptica, ya que es posible obtenerlas como casos particulares de esta. La expresión para la polarización elíptica está dada por

\begin{equation*} \left(\frac{E_y}{E_{0y}}\right)^2+\left(\frac{E_x}{E_{0x}}\right)^2-2\left(\frac{E_y}{E_{0y}}\right)\left(\frac{E_x}{E_{0x}}\right)\cos~\epsilon = \sin ^2 ~\epsilon \end{equation*}

Varios tipos de polarización elíptica y lineal

Velocidad de la luz

La velocidad de la luz en el vacío $(c)$ se considera una constante física fundamental. El valor actualmente aceptado es de 299,792,458 metros por segundo . De acuerdo con las teorías físicas establecidas, no puede existir transporte de información o partículas más rápido que la velocidad $c$. Es por eso que cuando la luz viaja por un medio, su velocidad de propagación se ve reducida, por lo que, al estar relacionada de manera directamente proporcional con la longitud de onda ($c=\nu \lambda$), esta también se vuelve más corta.

Es así como se define el índice de refracción $n$ de un medio material

\begin{equation*} n=\frac{c}{v} \end{equation*}

donde $v$ representa la velocidad de la luz en el medio y debe ser menor que 1.

Transporte de energía y momento

Gracias a la teoría electromagnética cuántica, sabemos que la luz se puede definir como paquetes cuantizados de energía llamados fotones. Como resultado de esto, la energía relacionada a la luz puede ser expresada tanto en términos de la longitud de onda como de su frecuencia como

\begin{equation*} E=h\nu =\frac{hc}{\lambda}, \end{equation*}

Donde $h$ es la contante de Planck, $\nu$ es la frecuencia, $\lambda$ la longitud de onda y $c$ l velocidad de la luz.

Algunos efectos directos del transporte de energía y momento puede ser estudiar técnicas de espectroscopía láser, en donde al incidir un fotón sobre una red cristalina o molécula, la energía se transmite y podemos observar que la luz es dispersada de manera elástica, efecto descrito por la dispersión de Rayleigh. Debido a la conservación de la energía tendremos que la energía de dispersión ($\omega _{scatt}$) debe ser igual a la energía del fotón incidente ($\omega_p$), de manera que tenemos

\begin{equation*} \omega _{scatt}=\omega _p \end{equation*}

En el caso de la dispersión inelástica, que es la más relevante en técnicas espectroscópicas, el fenómeno es descrito por la dispersión Raman. De manera similar, la energía dispersada debe ser igual a la suma de la energía del fotón incidente mas la energía vibracional de la molécula.

\begin{equation*} \Rightarrow ~\omega _{scatt}=\omega _p+\omega _{osc} \end{equation*}

Caracterización de la luz

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Tonalidad

Aunque la luz blanca se compone de una superposición de longitudes de onda del espectro visible, es posible ver diferentes tipos de luz blanca. Es por eso que cuando estamos interesados en describir la luz blanca podemos hacerlo utilizando características de la luz como la calidez, luz de día y brillo. Estas diferencias pueden producir efectos psicológicos en el ser humano

• Blanco cálido o suave: Tiene tendencias cromáticas en colores amarillos y naranja.

• Blanco frío: Tiene tendencias cromáticas en el color azul y está asociado al término luz de día.

• Brillo: Está asociado a la intensidad con la que es emitida la luz.

Tonos de luz blanca a diferentes temperaturas

Estos tecnicismos son importantes en áreas como la arquitectura y distribución de espacios, pues la luz cálida crea sensaciones de comodidad y se utiliza en el acondicionamiento de espacios como dormitorios y salas. Por otra parte, la luz blanca crea un ambiente de productividad, por lo que usualmente se reserva a lugares como oficinas y hospitales.

Cromaticidad

Diagrama de cromaticidad CIE

Cuando queremos definir un color de manera precisa utilizamos un diagrama bidimensional conocido como diagrama de cromaticidad, en el cual se trazan las coordenadas de los valores triestímulo.

Este diagrama muestra todos los colores vistos por el observador estándar, indica las longitudes de onda espectrales de la frecuencia dominante. El punto D65 muestra el punto blanco, el cual, en este caso corresponde a un color de temperatura de 6500 K.

El espacio de color CIE 1931 es uno de los primeros espacios de color definidos matemáticamente. Fue establecido en 1931 por la Comisión Internacional de Iluminación y Color (CIE por sus sigas en francés), con base en experimentos realizados a finales de los años 1920. Se definieron los tres colores primarios a partir de los cuales pueden crearse todos los demás. El diagrama de cromaticidad es útil para comprender la interpretación del ojo humano a la luz recibida de un determinado espectro de emisión.

Los valores triestímulo representan el porcentaje de cada color primario (rojo, azul y verde) necesaria para caracterizar un color. Estos se denominan como $X(\lambda)$, $Y(\lambda)$ y $Z(\lambda)$. Su importancia radica en presentarnos la posibilidad de obtener coordenadas para el plano cromático bidimensional por medio de la relación

\begin{align*} x=\frac{X_e}{X_e+Y_e+Z_e},~ y=\frac{Y_e}{X_e+Y_e+Z_e} \end{align*}

Color observado por el ojo humano según el cambio en los valores triestímulo establecidos en 1931.

En el GIF anterior es observado, en el punto de la izquierda, el color resultante de acuerdo al cambio en los valores triestímulo que se muestran en la derecha. Este muestra algunas de las combinaciones posibles de acuerdo con los valores establecidos por la CIE en 1931. El ensanchamiento de las "fuentes de luz" en la izquierda se muestra acorde a la magnitud en la abscisa de la gráfica triestímulo.

Generación de luz blanca

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Debido a las propiedades técnicas antes mencionadas de la luz, es posible compararla con pulsos ultrarrápidos del orden de femtosegundos, pues ambos coinciden especialmente en el campo de las interacciones coherentes.Dentro de la óptica de femtosegundos, ya sean pulsos cortos o radiación continua la luz debería seguir las leyes de la óptica clásica, sin embargo las propiedades relacionadas con la propagación y doblamiento son específicas para pulsos de femtosegundos.

En la práctica, con láseres de femtosegundos suficientemente intensos, un ensanchamiento espectral de $20,000~ cm^{-1}$ es lograble por modulación de fase propia (SPM) en medios condensados, lo cual es esencialmente el continuo de luz blanca

Modulación de fase propia

La modulación de fase propia o SPM por sus siglas en inglés es el fenómeno en el cuál el haz de un láser interactúa con un medio e impone una modulación de fase para sí mismo. Su origen físico yace en el hecho de que un fuerte campo proveniente del haz de un láser es capaz de inducir un cambio apreciable en el índice refractivo dependiente de la intensidad en el medio. El medio reacciona de regreso e inflige un cambio de fase en la onda proveniente, resultando en una modulación de fase propia.

Para explicarlo mejor, consideramos el caso en que la propagación de un pulso láser en un medio isotrópico puede ser descrito por la ecuación de ondas que corresponde a ondas planas

\begin{align*} \left(\frac{\partial ^2}{\partial z^2}-\frac{n_0 ^2}{c^2}\frac{\partial ^2}{\partial t^2}\right)E=\frac{4\pi}{c^2}\frac{\partial ^2}{\partial t^2}P^{(3)} \end{align*}

Con

\begin{align*} E=\varepsilon (z,t) exp(ik_0z-i\omega_0 t),~P^{(3)}=\chi ^{(3)}|E|^2 E \end{align*}

Donde $E$ es el campo eléctrico, $P^{(3)}$ es la polarización de orden no lineal-3 y $n_0$ es el índice de refracción del medio.

Suponiendo que podemos despreciar el término $\frac{\partial ^2\varepsilon}{\partial t^2}$, del lado derecho nos queda $\frac{4\pi}{c^2}\chi ^{(3)} |\varepsilon|^2 \varepsilon$

\begin{align*} \Rightarrow~ \left(\frac{\partial ^2}{\partial z^2}-\frac{n_0 ^2}{c^2}\frac{\partial ^2}{\partial t^2}\right)\varepsilon=\frac{4\pi \omega_0 ^2}{i2k_0c^2}\chi ^{(3)} |\varepsilon|^2 \varepsilon \end{align*}

Con esto asumimos que la respuesta de $\chi ^{(3)}$ es instantánea. Aplicando $z'=z+ct/n_0$ y $\varepsilon=|\varepsilon|exp(i\phi)$ obtenemos

\begin{align*} \frac{\partial \varepsilon}{\partial z'}=0 \end{align*}

\begin{align*} \frac{\partial \phi}{\partial z'}=\frac{2\pi \omega _0 ^2}{c^2 k_0} \chi ^{(3)}|\varepsilon |^2 \end{align*}

Que tiene como solución imediata

\begin{align*} |\varepsilon|=|\varepsilon (t)| \end{align*}

\begin{align*} \phi (z,t)=\phi _0 +\frac{2 \pi \omega _0^2}{c^2 k_0}\chi^{(3)}|\varepsilon|^2 \end{align*}

Esto implica que un pulso láser se propaga en un medio sin distorsionar la forma del pulso y que el cambio de fase inducido ($\Delta \phi (t)=\phi(z,t)-\phi_0$) es simplemente un cambio de fase adicional experimentado por la onda en su propagación de $0$ a $z$ debido a la presencia de un índice de refracción $\Delta n=(2\pi /n_0)\chi^{(3)}|\varepsilon|^2$.

La frecuencia de modulación es

\begin{align*} \omega (t)=-\frac{\partial (\Delta \phi)}{\partial t}=-\frac{2\pi \omega _0 ^2}{c^2 k_0}'\chi^{(3)}\frac{\partial |\varepsilon|^2}{\partial t} z \end{align*}

Por lo que se espera que el espectro del campo de la fase modulada propia sea ensanchado y puede ser calculado por la transformada de Fourier

\begin{align*} |E(\omega)|^2=\left|\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \varepsilon (t) e^{i\omega _0 t +i\omega t}dt\right|^2 \end{align*}

Interferometría de pulso corto

Considerando que las mediciones se hacen con un interferómetro de Michelson, el campo en el detector resultado de la interferencia de $E_1$ y $E_2$ es $E=E_1(1-\tau)+E_2(t)$ donde $\tau$ es el tiempo de retardo. La intensidad en el interferómetro de salida está dado por el campo eléctrico al cuadrado promediado por el periodo $T$:

\begin{align*} \overline{I}(\tau)&=\frac{\epsilon_0cn}{4}\left[\left<\tilde{\varepsilon_1}^2\right>+ \left<\tilde{\varepsilon_2}^2\right>+\left<\tilde{\varepsilon_1}^*(t-\tau)\tilde{\varepsilon_2}(t)e^{i\omega_l\tau}+ \tilde{\varepsilon_1}(t-\tau)\tilde{\varepsilon_2}^*(t)e^{-i\omega_l\tau}\right>\right]\\ &=\epsilon_0cn [A_{11}(0)+A_{22}(0)+\tilde{A_{12}}^+(\tau)+\tilde{A_{12}}^-(\tau)] \end{align*}

Las dos funciones complejas corresponden a los componentes positivo y negativo de la función de correlación

\begin{align*} \tilde{A_{12}}^+(\tau)&=\frac{1}{4}\left<\tilde{\varepsilon_1}^*(t-\tau)\tilde{\varepsilon_2}(t)e^{i\omega_l\tau}\right>\\ &=\frac{1}{2}\tilde{\mathcal{A}}_{12}(\tau)e^{i\omega_l\tau} \end{align*}

La transformada de Fourier para la correlación de dos funciones es el producto de las transformadas de Fourier:

\begin{align*} {\tilde{A}_{12}}^+(\Omega)&=\int_{-\infty}^{\infty}\tilde{A_{12}}^+(\tau)e^{-i\Omega\tau}d\tau=\int_{-\infty}^{\infty}\tilde{\mathcal{A}}_{12}(\tau)e^{-i(\Omega_l\tau-\omega_l \tau)}\\ &=\frac{1}{4}\tilde{\varepsilon_1}^*(\Omega-\omega_l)\tilde{\varepsilon_2}(\Omega-\omega_l)\\ &=\tilde{E_1}^*(\Omega)\tilde{E_2}(\Omega) \end{align*}

Tomografía óptica coherente

Una aplicación de la luz blanca es la tomografía óptica coherente (OCT por sus siglas en inglés), ésta se utiliza para reconstruír una imagen a partir de la luz dispersada por los átomos y moléculas cercanas a la superficie de un tejido. El resultado es la generación de imágenes bidimensionales de una porción del tejido .

Esta técnica utiliza a su favor la coherencia espacial y temporal del haz de luz y el fenómeno de interferencia. La interferencia ocurre cuando dos o más ondas pasan a través del mismo punto. Cuando dos ondas electromagnéticas se intersectan , se superponen; creando un patrón de interferencia. Las áreas de más brillo es donde las crestas de las dos ondas se superponen (coherencia constructiva). Si la cresta de una onda se superpone con el valle de la otra, se le llama coherencia destructiva.

a)Coherencia constructiva. b)Coherencia destructiva.

Para la tomografía óptica coherente se utiliza un interferómetro. Se divide el haz de luz en dos haces perpendiculares, uno de lo haces se refleja de un espejo y el otro se dirige hacia el tejido del que se quiere una imagen. El patrón de interferencia es característico de una estructura anatómica del tejido irradiado con el láser. Con esta técnica se puden recontruír imágenes de la retina, lesiones en la piel y las arterias coronarias.

Referencias

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Gdelarosa (discusión) 09:14 12 nov 2020 (CST) Ana Laura Mariscal (discusión) 12:32 16 nov 2020 (CST)