Optica: Difraccion de Fraunhofer circulo-cuadrado

Difracción de apertura Círculo-Cuadrado.

La ecuación

$x^2+y^2-\frac{s^2}{a^2}{x}^2{y}^2=a^2(1)$

• Representa un círculo en el plano $xy$ de radio $a$ si $s=0$

$x^2+y^2=a^2$

• Representa un cuadrado de lado $2a$ si $s=1$

  

  Figura1. Solución para el cuadrado con las restricciones mencionadas

$(1-\frac{x^2}{a^2}{)}^{1/2}(1-\frac{y^2}{a^2}{)}^{1/2}=0$

Debido a que las variables están restringidas a valores mas pequeños o iguales a $a$ tenemos

$a^2\ge x^2,y^2$

Por lo tanto obtenemos la Fig6.

La ecuación (1) representa una figura intermedia con esquinas redondeadas que escribiéndola en coordenadas polares $(r,\phi )$

$[\frac{s^2}{4}{\sin }^{2}2\phi ]r^4-a^2{r}^2+a^2=0$

Encontramos que tiene solución

$r(a,\phi )=\{[2a^2\frac{1-[1-s^2{\sin }^2(2\phi ){]}^{1/2}}{s^2{\sin }^2(2\phi )}{\}}^{1/2}$

Puede demostrarse que el signo negativo en la expresión implica una y solo una posible solución que cumple la condición $r^2\le 2a^2$

La transformada de Fourier para una apertura arbitraria es como dijimos antes

$E(k_q,K_{\varphi })=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\rho \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{𝒜}(\rho ,\phi )e^{ı(kq\rho /R)\cos (\phi -\varphi )}\rho d\rho d\phi$

La función de apertura para este caso particular es

${𝒜}(\rho ,\phi )={\{}_{0para\rho >r(a,\phi )}^{1para\rho <r(a,\phi )}$

Si reescribimos esta función como el producto de una parte radial y una angular entonces

$r(a,\phi )=a{M}_s(\phi )$

con

$M_s(\phi )=[2\frac{1-[1-s^2{\sin }^2(2\phi ){]}^{1/2}}{s^2{\sin }^2(2\phi )}{]}^{1/2}$

Esta función tiene fronteras entre

$1\le M_s(\phi )\le \sqrt{2}$

Y puede verse que en el limite cuando $s⟶0,M_s(\phi )⟶1$

Si reescribimos la variable radial

$\rho =\rho \prime M_s(\phi )d\rho =d\rho \prime M_s(\phi )$

Entonces la ecuación de la función de apertura puede ser escrita independiente del ángulo $\phi$

$U(\rho \prime )={\{}_{0para\rho \prime >a}^{1para\rho \prime <a}$

Tal que

${𝒜}(a,\phi )={𝒜}(\rho \prime ,\phi )=U(\rho \prime )U(\varphi )=U(\rho \prime )$ $\phi$

Entonces la transformada de Fourier de un circulo-cuadrado es

$E(k_q,K_{\varphi })=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\rho \prime U(\rho \prime )\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{M}_s^2(\phi )e^{ı(kq\rho \prime M_s(\phi )/R)\cos (\phi -\varphi )}d\rho \prime d\phi$\

Círculo

Si ponemos $s=0$ entonces $M_s(\phi )=1$ y obtenemos

$\begin{array}{rlr}E(k_q,K_{\varphi })& =& \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\rho \prime U(\rho \prime )[\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}(\phi )e^{ı(kq\rho \prime /R)\cos (\phi -\varphi )}d\phi ]d\rho \prime \\ & =& \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\rho \prime U(\rho \prime )[J_0(kq\rho \prime /R)]d\rho \prime \\ & =& \underset{0}{\overset{a}{\int }}\rho \prime [J_0(kq\rho \prime /R)]d\rho \prime \\ & =& (R/kqa)J_1(kqa/R)\\ \end{array}$

Y recobramos el resultado ya presentado

Cuadrado

Obtenemos un cuadrado para $s=1$

Por consideraciones de simetría y tomando la parte real de la transformada de Fourier para el circulo-cuadrado obtenemos

$E(k_q,K_{\varphi })=\underset{0}{\overset{a}{\int }}\rho \prime \underset{-\pi /4}{\overset{3\pi /4}{\int }}{M}_s^2(\phi )\cos [(kq\rho \prime M_s(\phi )/R)\cos (\phi -\varphi )]d\rho \prime d\phi$

Tomando en cuenta que la función angular del cuadrado es

$M_{s=1}(\phi )={\{}_{\frac{1}{|\sin \phi |}para\pi /4a(3\pi /4)+n\pi }^{\frac{1}{|\cos \phi |}para-\pi /4a(\pi /4)+n\pi }$

Tenemos entonces que

$E(k_q,K_{\varphi })=\underset{0}{\overset{a}{\int }}\rho \prime \underset{-\pi /4}{\overset{\pi /4}{\int }}\frac{\cos [(kq\rho \prime /R)(\cos \varphi +\sin \varphi \tan \phi ]}{{\cos }^2\phi }d\phi d\rho \prime +\underset{0}{\overset{a}{\int }}\rho \prime \underset{\pi /4}{\overset{3\pi /4}{\int }}\frac{\cos [(kq\rho \prime /R)(\sin \varphi +\cos \varphi \cot \phi )]}{{\sin }^2\phi }d\phi d\rho \prime$

Nombramos la primera de la ecuación $G_1$,y la segunda parte $G_2$ quedando

$E(k_q,K_{\varphi })=G_1+G_2$

Haciendo las integrales angulares

$G_1=\frac{4}{(kq/R{)}^2\sin \varphi }\underset{0}{\overset{a}{\int }}\sin [(kq\rho \prime /R)\sin \varphi ]\cos [(kq\rho \prime /R)\cos \varphi ]$ $G_2=\frac{4}{(kq/R{)}^2\cos \varphi }\underset{0}{\overset{a}{\int }}\cos [(kq\rho \prime /R)\sin \varphi ]\sin [(kq\rho \prime /R)\cos \varphi ]$

Integrando nuevamente

$G_1=\frac{4}{(kq/R{)}^2\sin \varphi }[(\frac{1-\cos [kqa/R(\sin \varphi -cos\varphi )]}{\sin \varphi -\cos \varphi })$ $+(\frac{1-\cos [kqa/R(\sin \varphi +\cos \varphi )]}{\sin \varphi +\cos \varphi })]$

$G_2=\frac{4}{(kq/R{)}^2\cos \varphi }[(\frac{1-\cos [kqa/R(\cos \varphi -\sin \varphi )]}{\cos \varphi -\sin \varphi })$ $+(\frac{1-\cos [kqa/R(\sin \varphi +\cos \varphi )]}{\sin \varphi +\cos \varphi })]$

Sumando $G_1+G_2$ tenemos

$\begin{array}{lcl}E(k_q,K_{\varphi })& =& G_1+G_2\\ & =& \frac{4}{(kq/R{)}^2\cos \varphi \sin \varphi }[\sin (kqa/R\sin \varphi )\sin (kqa/R\cos \varphi )]\\ & =& 4a^2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(kqa/R\sin \varphi )\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(kqa/R\cos \varphi )\\ \end{array}$

como

$z=\rho \cos \phi ,Z=q\cos \varphi$

$y=\rho \sin \phi ,Y=q\sin \varphi$

Obtenemos finalmente

$E(k_q,k_{\varphi })=4a^2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}[(ka/R)Y]\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}[(ka/R)Z]$

Que es la ecuación para el campo de un cuadrado.

Valores Intermedios de $\mathit{S}$

Figura2. Variación de s para la ecuación del círculo-cuadrado

Las soluciones para los valores intermedios de la ecuación (1) pueden observarse en la Fig7. en donde se realizo una simulación para valores de $s$ entre $0$ y $1$. Podemos ver como poco a poco pasamos de un círculo a un cuadrado.

La distribución para la amplitud del campo se realizo calculando primeramente la integral angular para la transformada de Fourier y se hizo una animación variando el parametro $S$ como se presenta en la Fig8.

Figura9. Variación de s para la distribucion de l campo

En las figuras subsecuentes se muestra la distribución del campo para varios valores de $S$ asi como la curva de nivel del campo.

• parámetro de cuadradez
• 
  $s=1$
• 
  $s=1$
• 
  $s=0.99$
• 
  $s=.99$
• 
  $s=0.95$
• 
  $s=0.95$
• 
  $s=0.8$
• 
  $s=.8$
• 
  $s=0.6$
• 
  $s=.6$
• 
  $s=0$
• 
  $s=0$

Variación con el parámetro de cuadradez $\mathit{S}$

Aqui se muestra una serie de imágenes con distintos párametros de cuadradez. El eje vertical representa intensidad, mientras que los otros dos ejes ortogonales representan posición bidimensional.

• galería
• 
  $s=1$
• 
  $s=0.99$
• 
  $s=0.95$
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  $s=0.8$
• 
  $s=0.6$
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  $s=0.0$

Mfgwi (discusión) 13:43 6 dic 2019 (CST)

CAZ 16:32 29 ago 2008 (CDT)