Diferencia entre revisiones de «Optica: Difraccion de Fraunhofer circulo-cuadrado»
Sin resumen de edición |
|||
(No se muestran 25 ediciones intermedias de otro usuario) | |||
Línea 1: | Línea 1: | ||
== Difracción de apertura Círculo-Cuadrado. == | == Difracción de apertura Círculo-Cuadrado. == | ||
La ecuación <ref> Manuel Fernandez Guasti,''Analytic geometry of some rectilinear figures'',INT.J.MATH.EDUC.SCI.TECHNOL., 1992, VOL.23,No.6</ref> | La ecuación <ref> Manuel Fernandez Guasti,''Analytic geometry of some rectilinear figures'',INT.J.MATH.EDUC.SCI.TECHNOL., 1992, VOL.23,No.6</ref> | ||
<center> | <center> | ||
<math>x^{2}+y^{2}-\frac{s^{2}}{a^{2}}x^{2}y^{2}=a^{2}\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad (1) | <math>x^{2}+y^{2}-\frac{s^{2}}{a^{2}}x^{2}y^{2}=a^{2}\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad (1) | ||
</math></center> | </math></center> | ||
* Representa un círculo en el plano <math>xy</math> de radio <math>a</math> si <math>s=0</math> | * Representa un círculo en el plano <math>xy</math> de radio <math>a</math> si <math>s=0</math> | ||
<center> | <center> | ||
<math>x^{2}+y^{2}=a^{2}\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad | <math>x^{2}+y^{2}=a^{2}\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad | ||
</math></center> | </math></center> | ||
* Representa un cuadrado de lado <math>2a</math> si <math>s=1</math> [[Imagen:circcuadlisto.jpg |right|thumb|400x400px|Figura1. Solución para el cuadrado con las restricciones mencionadas]] | * Representa un cuadrado de lado <math>2a</math> si <math>s=1</math> [[Imagen:circcuadlisto.jpg |right|thumb|400x400px|Figura1. Solución para el cuadrado con las restricciones mencionadas]] | ||
<center> | <center> | ||
<math>(1-\frac{x^{2}}{a^{2}})^{1/2}(1-\frac{y^{2}}{a^{2}})^{1/2}=0</math> | <math>(1-\frac{x^{2}}{a^{2}})^{1/2}(1-\frac{y^{2}}{a^{2}})^{1/2}=0</math> | ||
</center> | </center> | ||
Debido a que las variables están restringidas a valores mas pequeños o iguales a <math>a</math> tenemos | Debido a que las variables están restringidas a valores mas pequeños o iguales a <math>a</math> tenemos | ||
<center> | <center> | ||
Línea 36: | Línea 26: | ||
Por lo tanto obtenemos la Fig6. | Por lo tanto obtenemos la Fig6. | ||
La ecuación (1) representa una figura intermedia con esquinas redondeadas que escribiéndola en coordenadas polares <math>(r,\varphi)</math> | La ecuación (1) representa una figura intermedia con esquinas redondeadas que escribiéndola en coordenadas polares <math>(r,\varphi)</math> | ||
<center> | <center> | ||
Línea 46: | Línea 33: | ||
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
Encontramos que tiene solución | Encontramos que tiene solución | ||
<center> | <center> | ||
<math>r(a,\varphi)=\{[2a^{2}\frac{1-[1-s^{2}\sin ^{2}(2\varphi)]^{1/2}}{s^{2}\sin ^{2}(2\varphi)}\}^{1/2} | <math>r(a,\varphi)=\{[2a^{2}\frac{1-[1-s^{2}\sin ^{2}(2\varphi)]^{1/2}}{s^{2}\sin ^{2}(2\varphi)}\}^{1/2} | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Puede demostrarse que el signo negativo en la expresión implica una y solo una posible solución que cumple la condición <math>r^{2}\leq 2a^{2}</math> | Puede demostrarse que el signo negativo en la expresión implica una y solo una posible solución que cumple la condición <math>r^{2}\leq 2a^{2}</math> | ||
La transformada de Fourier para una apertura arbitraria es como dijimos antes | La transformada de Fourier para una apertura arbitraria es como dijimos antes | ||
<center> | <center> | ||
Línea 66: | Línea 48: | ||
</center> | </center> | ||
La función de apertura para este caso particular es | |||
La función de apertura para este caso particular es | |||
<center> | <center> | ||
<math>\mathcal{A}(\rho,\varphi)=\{ ^{1\quad para \quad \rho < r(a,\varphi)}_{0 \quad para\quad \rho >r(a,\varphi)} | <math>\mathcal{A}(\rho,\varphi)=\{ ^{1\quad para \quad \rho < r(a,\varphi)}_{0 \quad para\quad \rho >r(a,\varphi)} | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Si reescribimos esta función como el producto de una parte radial y una angular entonces | Si reescribimos esta función como el producto de una parte radial y una angular entonces | ||
<math>r(a,\varphi)=aM_{s}(\varphi)</math> | <math>r(a,\varphi)=aM_{s}(\varphi)</math> | ||
con | con | ||
<center> | <center> | ||
<math>M_{s}(\varphi)=[2\frac{1-[1-s^{2}\sin ^{2}(2\varphi)]^{1/2}}{s^{2}\sin ^{2}(2\varphi)}]^{1/2} | <math>M_{s}(\varphi)=[2\frac{1-[1-s^{2}\sin ^{2}(2\varphi)]^{1/2}}{s^{2}\sin ^{2}(2\varphi)}]^{1/2} | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Esta función tiene fronteras entre | Esta función tiene fronteras entre | ||
<math> \quad 1\leq M_{s}(\varphi)\leq \sqrt 2 </math> | <math> \quad 1\leq M_{s}(\varphi)\leq \sqrt 2 </math> | ||
Y puede verse que en el limite cuando <math>s\longrightarrow 0, \qquad M_{s}(\varphi)\longrightarrow 1</math> | Y puede verse que en el limite cuando <math>s\longrightarrow 0, \qquad M_{s}(\varphi)\longrightarrow 1</math> | ||
Si reescribimos la variable radial | Si reescribimos la variable radial | ||
<center> <math>\rho = \rho \prime M_{s}(\varphi)\quad | <center> <math>\rho = \rho \prime M_{s}(\varphi)\quad | ||
d\rho =d\rho \prime M_{s}(\varphi) | d\rho =d\rho \prime M_{s}(\varphi) | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Entonces la ecuación de la función de apertura puede ser escrita independiente del ángulo <math>\varphi</math> | Entonces la ecuación de la función de apertura puede ser escrita independiente del ángulo <math>\varphi</math> | ||
<center> | <center> | ||
<math>U(\rho\prime)=\{ ^{1\quad para \quad \rho\prime < a}_{0 \quad para\quad \rho\prime >a} | <math>U(\rho\prime)=\{ ^{1\quad para \quad \rho\prime < a}_{0 \quad para\quad \rho\prime >a} | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Tal que | Tal que | ||
<center> | <center> | ||
<math>\mathcal{A}(a,\varphi)=\mathcal{A}(\rho\prime,\varphi)=U(\rho\prime)U(\phi)=U(\rho\prime)</math> <math>\varphi</math> | <math>\mathcal{A}(a,\varphi)=\mathcal{A}(\rho\prime,\varphi)=U(\rho\prime)U(\phi)=U(\rho\prime)</math> <math>\varphi</math> | ||
</center> | </center> | ||
Entonces la transformada de Fourier de un circulo-cuadrado es<ref> M. Fernandez Guasti y M. de la Cruz Heredia,''Difracction pattern of a circle/square aperture'', JOURNAL OF MODERN OPTICS, 1993, VOL.40,No.6</ref> | Entonces la transformada de Fourier de un circulo-cuadrado es<ref> M. Fernandez Guasti y M. de la Cruz Heredia,''Difracction pattern of a circle/square aperture'', JOURNAL OF MODERN OPTICS, 1993, VOL.40,No.6</ref> | ||
<center> | <center> | ||
Línea 129: | Línea 95: | ||
</math>\</center> | </math>\</center> | ||
== Círculo | == Círculo == | ||
Si ponemos <math>s=0</math> entonces <math>M_{s}(\varphi)=1</math> y obtenemos | Si ponemos <math>s=0</math> entonces <math>M_{s}(\varphi)=1</math> y obtenemos | ||
<math>\begin{alignat}{4} | <math>\begin{alignat}{4} | ||
Línea 150: | Línea 113: | ||
Y recobramos el resultado ya presentado | Y recobramos el resultado ya presentado | ||
== Cuadrado | == Cuadrado == | ||
Obtenemos un cuadrado para <math>s=1</math> | Obtenemos un cuadrado para <math>s=1</math> | ||
Por consideraciones de simetría y tomando la parte real de la transformada de Fourier para el circulo-cuadrado obtenemos | Por consideraciones de simetría y tomando la parte real de la transformada de Fourier para el circulo-cuadrado obtenemos | ||
<math>E(k_{q},K_{\phi})=\int_{0}^{a}\rho \prime \int_{-\pi/4}^{3\pi /4}M_{s}^{2}(\varphi) | <math>E(k_{q},K_{\phi})=\int_{0}^{a}\rho \prime \int_{-\pi/4}^{3\pi /4}M_{s}^{2}(\varphi) | ||
\cos[ { (kq\rho \prime M_{s}(\varphi)/R) \cos(\varphi-\phi)}]d\rho\prime d\varphi | \cos[ { (kq\rho \prime M_{s}(\varphi)/R) \cos(\varphi-\phi)}]d\rho\prime d\varphi | ||
</math> | </math> | ||
Tomando en cuenta que la función angular del cuadrado es | Tomando en cuenta que la función angular del cuadrado es | ||
<math>M_{s=1}(\varphi)=\{^{\frac{1}{|\cos \varphi|} \quad para \quad -\pi/4 \quad a\quad (\pi/4)+n\pi} | <math>M_{s=1}(\varphi)=\{^{\frac{1}{|\cos \varphi|} \quad para \quad -\pi/4 \quad a\quad (\pi/4)+n\pi} | ||
_{\frac{1}{|\sin \varphi|}\quad para \quad \pi/4 \quad a\quad (3\pi/4)+n\pi} | _{\frac{1}{|\sin \varphi|}\quad para \quad \pi/4 \quad a\quad (3\pi/4)+n\pi} | ||
</math> | </math> | ||
Tenemos entonces que | Tenemos entonces que | ||
<math>E(k_{q},K_{\phi})=\int_{0}^{a}\rho \prime \int_{-\pi/4}^{\pi /4} | <math>E(k_{q},K_{\phi})=\int_{0}^{a}\rho \prime \int_{-\pi/4}^{\pi /4} | ||
Línea 178: | Línea 135: | ||
\frac{\cos [(kq\rho\prime/R) (\sin\phi+\cos\phi\cot\varphi)]}{\sin^{2}\varphi} d\varphi d\rho\prime | \frac{\cos [(kq\rho\prime/R) (\sin\phi+\cos\phi\cot\varphi)]}{\sin^{2}\varphi} d\varphi d\rho\prime | ||
</math> | </math> | ||
Nombramos la primera de la ecuación <math>G_{1}</math>,y la segunda parte <math>G_{2}</math> quedando | Nombramos la primera de la ecuación <math>G_{1}</math>,y la segunda parte <math>G_{2}</math> quedando | ||
<math>E(k_{q},K_{\phi})=G_{1}+G_{2} | <math>E(k_{q},K_{\phi})=G_{1}+G_{2} | ||
</math> | </math> | ||
Haciendo las integrales angulares | Haciendo las integrales angulares | ||
<math>G_{1}=\frac{4}{(kq/R)^{2}\sin\phi} \int_{0}^{a}\sin[(kq\rho\prime/R)\sin\phi]\cos[(kq\rho\prime/R)\cos\phi] | <math>G_{1}=\frac{4}{(kq/R)^{2}\sin\phi} \int_{0}^{a}\sin[(kq\rho\prime/R)\sin\phi]\cos[(kq\rho\prime/R)\cos\phi] | ||
Línea 194: | Línea 147: | ||
<math>G_{2}=\frac{4}{(kq/R)^{2}\cos\phi} \int_{0}^{a}\cos[(kq\rho\prime/R)\sin\phi]\sin[(kq\rho\prime/R)\cos\phi] | <math>G_{2}=\frac{4}{(kq/R)^{2}\cos\phi} \int_{0}^{a}\cos[(kq\rho\prime/R)\sin\phi]\sin[(kq\rho\prime/R)\cos\phi] | ||
</math> | </math> | ||
Integrando nuevamente | Integrando nuevamente | ||
<math>G_{1}=\frac{4}{(kq/R)^{2}\sin\phi}[(\frac{1-\cos[kqa/R(\sin\phi-cos\phi)]}{\sin\phi-\cos\phi}) | <math>G_{1}=\frac{4}{(kq/R)^{2}\sin\phi}[(\frac{1-\cos[kqa/R(\sin\phi-cos\phi)]}{\sin\phi-\cos\phi}) | ||
Línea 203: | Línea 154: | ||
<math>+(\frac{1-\cos[kqa/R(\sin\phi+\cos\phi)]}{\sin\phi+\cos\phi})] | <math>+(\frac{1-\cos[kqa/R(\sin\phi+\cos\phi)]}{\sin\phi+\cos\phi})] | ||
</math> | </math> | ||
<math>G_{2}=\frac{4}{(kq/R)^{2}\cos\phi}[(\frac{1-\cos[kqa/R(\cos\phi-\sin\phi)]}{\cos\phi-\sin\phi}) | <math>G_{2}=\frac{4}{(kq/R)^{2}\cos\phi}[(\frac{1-\cos[kqa/R(\cos\phi-\sin\phi)]}{\cos\phi-\sin\phi}) | ||
Línea 209: | Línea 159: | ||
<math>+(\frac{1-\cos[kqa/R(\sin\phi+\cos\phi)]}{\sin\phi+\cos\phi})] | <math>+(\frac{1-\cos[kqa/R(\sin\phi+\cos\phi)]}{\sin\phi+\cos\phi})] | ||
</math> | </math> | ||
Sumando <math>G_{1}+G_{2}</math> tenemos | Sumando <math>G_{1}+G_{2}</math> tenemos | ||
<math> | <math> | ||
Línea 221: | Línea 169: | ||
\end{array} | \end{array} | ||
</math> | </math> | ||
como | como | ||
<math>z=\rho \cos \varphi, Z=q\cos \phi</math> | |||
<math>y=\rho \sin \varphi, Y=q\sin \phi</math> | |||
<math>y=\rho \sin \varphi, Y=q\sin \phi | |||
</math> | |||
Obtenemos finalmente | Obtenemos finalmente | ||
<center> <math>E(k_{q},k_{\phi})=4a^{2}\mathrm{sinc}[(ka/R)\quad Y]\mathrm{sinc}[(ka/R)\quad Z]</math></center> | |||
<center> <math>E(k_{q},k_{\phi})=4a^{2}\mathrm{sinc}[(ka/R)\quad Y]\mathrm{sinc}[(ka/R)\quad Z] | |||
</math></center> | |||
Que es la ecuación para el campo de un cuadrado. | Que es la ecuación para el campo de un cuadrado. | ||
== Valores Intermedios de | == Valores Intermedios de $\mathit{S}$ == | ||
[[Imagen:anipic.gif|right|thumb| | [[Imagen:anipic.gif|right|thumb|300x300px|Figura2. Variación de s para la ecuación del círculo-cuadrado]] | ||
Las soluciones para los valores intermedios de la ecuación (1) pueden observarse en la Fig7. en donde se realizo una simulación para valores de <math>s</math> entre <math>0</math> y <math>1</math>. Podemos ver como poco a poco pasamos de un círculo a un cuadrado. | Las soluciones para los valores intermedios de la ecuación (1) pueden observarse en la Fig7. en donde se realizo una simulación para valores de <math>s</math> entre <math>0</math> y <math>1</math>. Podemos ver como poco a poco pasamos de un círculo a un cuadrado. | ||
Línea 252: | Línea 190: | ||
La distribución para la amplitud del campo se realizo calculando primeramente la integral angular para la transformada de Fourier y se hizo una animación variando el parametro <math>S</math> como se presenta en la Fig8. | La distribución para la amplitud del campo se realizo calculando primeramente la integral angular para la transformada de Fourier y se hizo una animación variando el parametro <math>S</math> como se presenta en la Fig8. | ||
[[Imagen:irrapic1.gif|left|thumb| | [[Imagen:irrapic1.gif|left|thumb|360px292px|Figura9. Variación de s para la distribucion de l campo]] | ||
En las figuras subsecuentes se muestra la distribución del campo para varios valores de <math>S</math> asi como la curva de nivel del campo. | En las figuras subsecuentes se muestra la distribución del campo para varios valores de <math>S</math> asi como la curva de nivel del campo. | ||
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br> | |||
[[Imagen:c-c-1.jpg|left|thumb| | <center> | ||
<gallery caption="parámetro de cuadradez" widths="200px" heights="200px" perrow="2"> | |||
c-c-1.jpg|left|thumb|400x400px|<math>s=1</math> | |||
cnivel1.jpg|right|thumb|300x300px|<math>s=1</math> | |||
c-c-999.jpg|left|thumb|400x400px|<math>s=0.99</math> | |||
cnivel99.jpg|right|thumb|300x300px|<math>s=.99</math> | |||
c-c-95.jpg|left|thumb|400x400px|<math>s=0.95</math> | |||
c-c-95.jpg|left|thumb|400x400px|<math>s=0.95</math> | |||
c-c-8.jpg|left|thumb|400x400px|<math>s=0.8</math> | |||
cnivel8.jpg|right|thumb|300x300px|<math>s=.8</math> | |||
c-c-6.jpg|left|thumb|400x400px|<math>s=0.6</math> | |||
cnivel6.jpg|right|thumb|300x300px|<math>s=.6</math> | |||
c-c-cero.jpg|left|thumb|400x400px|<math>s=0</math> | |||
cnivel0.jpg|right|thumb|300x300px|<math>s=0</math> | |||
</gallery> | |||
</center> | |||
<!-- | |||
[[Imagen:c-c-1.jpg|left|thumb|400x400px|<math>s=1</math>]] | |||
[[Imagen:cnivel1.jpg|right|thumb|300x300px|<math>s=1</math>]] | [[Imagen:cnivel1.jpg|right|thumb|300x300px|<math>s=1</math>]] | ||
[[Imagen:c-c-999.jpg|left|thumb|400x400px|<math>s=0.99</math>]] | |||
[[Imagen:c-c-999.jpg|left|thumb| | |||
[[Imagen:cnivel99.jpg|right|thumb|300x300px|<math>s=1</math>]] | [[Imagen:cnivel99.jpg|right|thumb|300x300px|<math>s=1</math>]] | ||
[[Imagen:c-c-95.jpg|left|thumb|400x400px|<math>s=0.95</math>]] | |||
[[Imagen:c-c-95.jpg|left|thumb| | [[Imagen:c-c-8.jpg|left|thumb|400x400px|<math>s=0.8</math>]] | ||
[[Imagen:c-c-8.jpg|left|thumb| | |||
[[Imagen:cnivel8.jpg|right|thumb|300x300px|<math>s=1</math>]] | [[Imagen:cnivel8.jpg|right|thumb|300x300px|<math>s=1</math>]] | ||
[[Imagen:c-c-6.jpg|left|thumb|400x400px|<math>s=0.6</math>]] | |||
[[Imagen:c-c-6.jpg|left|thumb| | |||
[[Imagen:cnivel6.jpg|right|thumb|300x300px|<math>s=1</math>]] | [[Imagen:cnivel6.jpg|right|thumb|300x300px|<math>s=1</math>]] | ||
[[Imagen:c-c-cero.jpg|left|thumb|400x400px|<math>s=0</math>]] | |||
[[Imagen:c-c-cero.jpg|left|thumb| | |||
[[Imagen:cnivel0.jpg|right|thumb|300x300px|<math>s=1</math>]] | [[Imagen:cnivel0.jpg|right|thumb|300x300px|<math>s=1</math>]] | ||
--> | |||
== Variación con el parámetro de cuadradez $\mathit{S}$ == | |||
Aqui se muestra una serie de imágenes con distintos párametros de cuadradez. El eje vertical representa intensidad, mientras que los otros dos ejes ortogonales representan posición bidimensional. | |||
= Variación con el parámetro de cuadradez | <!-- comentario --> | ||
<gallery caption="galería" mode="slideshow" heights="300px" > | |||
<gallery mode="slideshow"> | c-c-1.jpg|<math>s=1</math> | ||
c-c-999.jpg|<math>s=0.99</math> | |||
c-c-95.jpg|<math>s=0.95</math> | |||
c-c-8.jpg|<math>s=0.8</math> | |||
c-c-6.jpg|<math>s=0.6</math> | |||
c-c-cero.jpg|<math>s=0.0</math> | |||
</gallery> | </gallery> | ||
<references/> | |||
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 13:43 6 dic 2019 (CST) | |||
[[Usuario:Carlos A.Z.|CAZ]] 16:32 29 ago 2008 (CDT) | |||
[[Category:optica]] | [[Category:optica]] |
Revisión actual - 10:08 16 sep 2023
Difracción de apertura Círculo-Cuadrado.
La ecuación [1]
- Representa un círculo en el plano de radio si
- Representa un cuadrado de lado si
Debido a que las variables están restringidas a valores mas pequeños o iguales a tenemos
Por lo tanto obtenemos la Fig6.
La ecuación (1) representa una figura intermedia con esquinas redondeadas que escribiéndola en coordenadas polares
Encontramos que tiene solución
Puede demostrarse que el signo negativo en la expresión implica una y solo una posible solución que cumple la condición
La transformada de Fourier para una apertura arbitraria es como dijimos antes
La función de apertura para este caso particular es
Si reescribimos esta función como el producto de una parte radial y una angular entonces
con
Esta función tiene fronteras entre
Y puede verse que en el limite cuando
Si reescribimos la variable radial
Entonces la ecuación de la función de apertura puede ser escrita independiente del ángulo
Tal que
Entonces la transformada de Fourier de un circulo-cuadrado es[2]
Círculo
Si ponemos entonces y obtenemos
Y recobramos el resultado ya presentado
Cuadrado
Obtenemos un cuadrado para
Por consideraciones de simetría y tomando la parte real de la transformada de Fourier para el circulo-cuadrado obtenemos
Tomando en cuenta que la función angular del cuadrado es
Tenemos entonces que
Nombramos la primera de la ecuación ,y la segunda parte quedando
Haciendo las integrales angulares
Integrando nuevamente
Sumando tenemos
como
Obtenemos finalmente
Que es la ecuación para el campo de un cuadrado.
Valores Intermedios de $\mathit{S}$
Las soluciones para los valores intermedios de la ecuación (1) pueden observarse en la Fig7. en donde se realizo una simulación para valores de entre y . Podemos ver como poco a poco pasamos de un círculo a un cuadrado.
La distribución para la amplitud del campo se realizo calculando primeramente la integral angular para la transformada de Fourier y se hizo una animación variando el parametro como se presenta en la Fig8.
En las figuras subsecuentes se muestra la distribución del campo para varios valores de asi como la curva de nivel del campo.
Variación con el parámetro de cuadradez $\mathit{S}$
Aqui se muestra una serie de imágenes con distintos párametros de cuadradez. El eje vertical representa intensidad, mientras que los otros dos ejes ortogonales representan posición bidimensional.
Mfgwi (discusión) 13:43 6 dic 2019 (CST)
CAZ 16:32 29 ago 2008 (CDT)