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| ==Deducción de la fórmula integral de difracción de Fraunhofer. ==
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| Utilizando la fórmula integral de F-K se puede obtener la difracción de Fraunhofer como sigue. Tenemos entonces la fórmula integral de F-K.
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| <center><math>Ψ(P)=-\frac{ik Ψ_0}{4π}\int_{Σ}^{}{\frac{e^{ikr}e^{ikr´}}{r r´}[cos(r,n)+1] dA}</math></center>
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| Sustituyendo que k=2π/ λ
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| <center><math>Ψ(P)=-\frac{iΨ_0}{2λ}\int_{Σ}^{}{\frac{e^{ikr}}{r}[cos(r,n)+1] dA}</math></center>
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| Si confinamos la atención a la región angular en la vecindad de la apertura normal, entonces a ángulos pequeños tenemos que:
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| <center><math>Ψ(P)=-\frac{iΨ_0}{λ}\int_{Σ}^{}{\frac{e^{ikr}}{r} dA}</math></center>
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| [[Imagen:DF1.jpg|right|thumb|400 × 400p|Diagrama ]] Considerando la situación de la figura el cual la onda plana es incidente a la normal de una apertura arbitraría. Escogemos un sistema coordenado con el origen colocado en algún punto dentro de la abertura. El punto P tiene coordenadas rectangulares (x,y,z) . Las variables de integración sobre la abertura son escogidas como ξ, η, tal que
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| <center><math>dA=dξ dη</math></center>
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| La distancia del punto variable de la integración (ξ, η) al punto (x, y ,z) es r :
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| <center><math>r^{2}=(x-ξ)^{2}+(y-η)^{2}+z^{2}
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| </math></center>
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| La distancia del origen de P es R, donde:
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| <center><math>R^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}
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| </math></center>
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| Por lo tanto
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| <center><math>r^{2}=R^{2}-2(xξ+yη)+(ξ^{2}+η^{2})
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| </math></center>
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| Por conveniencia usaremos los cosenos directores del vector <math>R</math>
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| <center><math>α≡\frac{x}{R} ; β≡\frac{y}{R}
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| </math></center>
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| Entonces nos queda de la forma
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| <center><math>r=R[1-\frac{2(α ξ+β η)}{R}+\frac{ξ^{2}+η^{2}}{R^{2}}]^{1/2}
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| </math></center>
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| Ahora, ya que la distacia R al punto de observación se asume muy grande, el segundo y tercer término de la ecuación anterior son considerados muy pequeños. Expandiendo con el binomio de Newton obtenemos la expresión para r que puede ser utilizada en la integral de F-K para difracción de Fraunhofer:
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| <center><math>r≅R[1-\frac{α ξ+β η}{R}+\frac{ξ^{2}+η^{2}}{2R^{2}}+...]
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| </math></center>
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| <center><math>≅R-(α ξ+β η)+\frac{ξ^{2}+η^{2}}{2R}+...
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| </math></center>
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| Se ha asumido x,y ≪R y ξ,η≪R , tal que el segundo y tercer término en la expresión anterior son de segundo orden muy pequeños. Consecuentemente el denominador r en la integral para la difracción de Fraunhofer es bien aproximado con R y puede salir de la integral. Sin embargo, los términos en la expansión de r, pueden ser despreciados en la exponencial de la integral sólo si su producto con k es muy pequeño comparado con 2π.
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| Pongamos que <math>d≳2(ξ^2+η^2)^{1/2}</math> sea la máxima dimensión de la apertura. Entonces el tercer término de r se puede despreciar en el límite de Fraunhofer que es:
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| <center><math>k\frac{d^{2}}{8R}≪2π</math></center> o de la forma <center><math>\frac{d^{2}}{8λ}≪R</math></center>
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| La difracción de Fraunhofer es usualmente observada en la práctica cuando el sistema óptico es removido el punto de observación a un punto óptico infinito. Si el punto de observación está muy cerca de la apertura, ya no se permite entonces despreciar los términos de <math>\frac{ξ^{2}+η^{2}}{2R^{2}}</math>. La difracción sobre esta condición se llama Difracción de Fresnel.
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| Para el caso de la difracción de Fraunhofer tenemos que aproximadamente:
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| <center><math>r=R-(α ξ+ β η)</math></center>
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| Y la integral de Fraunhofer es la siguiente
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| <center><math>Ψ (P)=-i \frac{Ψ_0 e^{ikR}}{λR}\int_{Σ}^{}{ e^{-ik(αξ+ηβ)} dξ dη}</math></center>
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| == Rendija Infinita. ==
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| Si la apertura de σ es una larga e infinita rendija de ancho 2a en la dirección de ξ. Como se muestra en el diagrama 2, entonces la integral de difracción es:
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| [[Imagen:Dif2.jpg|left|thumb|400 × 400p|Diagrama2]]
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| <center><math>Ψ (P)=C\int_{-a}^{a}{e^{-ikαξ} dξ}</math></center>
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| Donde la constante C incluye el coeficiente de la integral general vista anteriormente y también incluye la constante de la contribución sobre η. Así
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| <center><math>Ψ (P)=C \frac{i}{kα} e^{-ikαξ}|_{-a}^{a}=i\frac{C}{kα}(e^{-ikαa}-e^{ikαa})=\frac{2C}{kα} sin (kαa)</math></center>
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| La intensidad es por lo tanto
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| <center><math>I(P)=|Ψ(P)|^{2}=4C^{2}a^{2}(\frac{\sin φ}{φ})^{2}</math></center>
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| Donde<math>φ≡kαa</math>. Nos damos cuenta que la variable φ es:
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| <center><math>φ=kαa=2π sin (θ)</math></center>
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| Donde θ es el ángulo entre la normal de la apertura y la línea que conecta el punto medio de la apertura con el punto de observación, como se muestra en el diagrama 2. La mayoría de la intensidad del haz difractado es contenido en el centro máximo. La dispersión angular entre el mínimo de cada lado del punto central máximo es:
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| <center><math>Δθ=2 sin^{-1} (\frac{λ}{2a})≅\frac{λ}{a} </math></center>
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| Así, el patrón se volverá más difuso si la longitud de onda es incrementada o si la anchura de la rendija es reducida.
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| ==Doble rendija. ==
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| [[Imagen:Dif3.jpg|right|thumb|400 × 400p|Diagrama3]]
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| Ahora si aumentamos la complejidad de la situación añadiendo otra rendija como se muestra en el diagrama 3, tenemos que la integral de difracción de Fraunhofer es la siguiente suma de dos términos:
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| <center><math>Ψ (P)=C\int_{-d-a}^{-d+a}{e^{-ikαξ} dξ}+C\int_{d-a}^{d+a}{e^{-ikαξ} dξ}</math></center>
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| Los términos ya integrados pueden ser agrupados de la siguiente manera
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| <center><math>Ψ(P)=i \frac{C}{kα} [(e^{ikα(d-a)}-e^{-ikα(d-a)})-(e^{ikα(d+a)-e^{-ikα(d+a)})] </math></center>
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| <center><math>=-\frac{2C}{kα}[sin(kα(d-a))-sin(kα(d+a))]</math></center>
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| Expandiendo los términos del seno y simplificando, obtenemos
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| <center><math>Ψ(P)=\frac{4C}{kα}sin(kαa)sin(kαd)</math></center>
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| La intensidad es por lo tanto dada por
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| <center><math>I(P)=14C^{2}a^{2}(\frac{sin φ}{φ})^{2} cos^{2} δ </math></center>
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| Donde <math>φ≡kαa</math> y <math>δ≡kαd</math>. El patrón de difracción es como si fuera una sola rendija, pero multiplicado por un factor de 4 (para un sistema de N rendijas igualmente espaciadas, el centro máximo es aumentado por un factor de N^{2} por sobre una sola rendija) y modulada por el término
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| <math>cos^{2} δ</math>. Esto es, que la envolvente de un patrón de doble rendija es solamente el patrón de una sola rendija. Notamos que si a se vuelve muy pequeño comparado con d, el término <math>(\frac{sin φ}{φ})^{2}</math> se mantendrá esencialmente constante para muchas oscilaciones en el término de <math>cos^{2} δ</math>. Justo como en el caso del experimento de Young.
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| --[[Usuario:Tania Buendía|Tania Buendía]] ([[Usuario discusión:Tania Buendía|discusión]]) 00:15 24 nov 2015 (CST)
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| == Apertura Rectangular.==
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| Consideramos la configuración de la Fig.1 en tres dimensiones la cual puede verse de una forma mas simple si rotamos los ejes y solo vemos el perfil del eje <math>y</math> como en Fig.2, en donde tenemos una onda plana monocromática que se propaga en el eje <math>x</math> e incide en una pantalla que contiene una[[Imagen:figdif2.jpg|right|thumb|600x400px|Fig.1]] [[Imagen:figdif1.jpg|right|thumb|400x400px|Fig.2]] abertura de forma arbitraria .Deseamos calcular la distribución de la densidad de flujo correspondiente al campo lejano en un punto P distante arbitrario.
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| De acuerdo con el principio de Huygens-Fresnel un área diferencial <math>dS</math> de la apertura puede visualizarse como cubierta de fuentes puntuales secundarias coherentes.
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| Tomando que <math>dS</math> es mas pequeña que <math>\lambda</math> tal que todas las contribuciones en el punto
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| P permanecen en fase interfiriendo constructivamente.<ref> HECHT, Eugene, ''Óptica'', Adelphi University, Tercera edición, Addison Wesley Iberoamericana, Madrid, 2000,[463-466]</ref>
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| * Si <math>\varepsilon _{A}</math> es la intensidad de la fuente por unidad de área, suponiendo que es constante en toda la abertura
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| *La perturbación óptica en P debida a <math> dS</math> es
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| <center><math>
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| dE=\frac{\varepsilon _{A}}{r}e^{\imath(\omega t-kr)}dS
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| </math></center>
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| La distancia de <math>dS</math> a <math>P</math> es
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| <center><math>
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| r=[X^{2}+(Y-y)^{2}+(Z-z)^{2}]^{\frac{1}{2}}
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| </math></center>
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| Donde tomamos en cuenta la Fig.1 y posteriormente una figura similar para el perfil del eje z.
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| Como la condición de Fraunhofer se satisface para <math>r</math> muy grande, además si la abertura es muy pequeña remplazamos <math>r</math> por <math>R</math> y hacemos una aproximación para la fase
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| <center><math>
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| R=[X^{2}+Y^{2}+Z^{2}]^{\frac{1}{2}}
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| </math></center>
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| entonces
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| <center><math>
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| r=R[1+\frac{(y^{2}+z^{2})}{R^{2}}-\frac{2(Yy+Zz)^{2}}{R^{2}}]^{\frac{1}{2}}
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| </math></center>
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| Para el campo lejano <math>R</math> es muy grande comparado con las dimensiones de la apertura y el termino
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| <center><math>
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| R=\frac{(y^{2}+z^{2})}{R^{2}}\simeq 0
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| </math></center>
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| Por lo cual
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| <center><math>
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| r=R[1-\frac{2(Yy+Zz)^{2}}{R^{2}}]^{\frac{1}{2}}
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| </math></center>
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| Y mediante una expansión binomial obtenemos.
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| <center><math>
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| r=R[1-\frac{(Yy+Zz)^{2}}{R^{2}}]
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| </math></center>
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| Por lo tanto la perturbación total que llega a <math>P</math> es
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| <center><math>
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| \tilde{E}=\frac{\varepsilon _{A}e^{\imath(\omega t-kR)}}{R}\int_{Abertura}\int e^{\imath k (Yy+Zz)/R} dS
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| </math></center>
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| Consideramos ahora la configuración de la fig.3 con lo cual la ecuación para el campo se puede escribir como [[Imagen:figdi3.jpg|right|thumb|500x550px|Fig.3]]
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| <center><math>
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| \tilde{E}=\frac{\varepsilon _{A}e^{\imath(\omega t-kR)}}{R}\int_{-b/2}^{b/2}e^{\imath k Yy/R}dy \int_{-a/2}^{a/2}e^{\imath k Zz/R} dz
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| </math></center>
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| Si definimos <math>\beta=\frac{kby}{2R},\qquad\alpha=\frac {kaz}{2R}</math> obtenemos
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| <center><math>
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| \int_{-b/2}^{b/2}e^{\imath k Yy/R}dy=\frac{R}{\imath kY}(e^{\imath kYb/2R}-e^{-\imath kYb/2R})=\frac{2R}{kY}\sin (\frac{bkY}{2R})=b\frac{\sin( \beta)}{\beta}
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| </math></center>
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| <center><math>
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| \int_{-a/2}^{a/2}e^{\imath k Zz/R}dz=\frac{R}{\imath kZ}(e^{\imath kZa/2R}-e^{-\imath kZa/2R})=\frac{2R}{kY}\sin (\frac{akZ}{2R})= a\frac{\sin\alpha}{\alpha}
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| </math></center>
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| Por lo tanto
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| <center><math>
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| \tilde{E}=\frac{\varepsilon _{A}e^{\imath(\omega t-kR)}}{R}A(\frac{\sin \beta}{\beta})(\frac{\sin\alpha}{\alpha})
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| </math></center>
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| Como <math>I=<(Re)\tilde{E}>_{T}</math>
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| <center><math>
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| I(Y,Z)=I(0)(\frac{\sin \beta}{\beta})(\frac{\sin\alpha}{\alpha})
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| </math></center>
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| Donde <math>I(0)</math> es la Irradiancia en <math>P_{0}</math>
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| En valores de <math>Y,Z</math> tales que <math>\alpha, \beta</math> sean cero <math>I(Y,Z)</math> adquiere la forma de la difracción de una rendija
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| [[Imagen:aperture1.jpg|left|thumb|200x150px|Distribución de campo lejano de una apertura cuadrada]][[Imagen:Aperture2.jpg|right|thumb|1000x1000px|La misma distribución a color]]
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| [[Imagen:irradianciacuadro.jpg|center|thumb|500x500px|Distribución de la irradiancia para una apertura cuadrada]]
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| Podemos modelar algunos patrones de difraccion rectangular en [http://wyant.optics.arizona.edu/rectangularAperture/rectangularAperture.htm / esta pagina]
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| == Apertura Circular. ==
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| [[Imagen:figdif4.jpg|right|thumb|400x400px|Fig.4]]
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| *Ahora consideramos nuevamente la Fig.4 solo que en esta ocasión la apertura es circular.
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| *Las aberturas circulares son muy importantes para el estudio de la instrumentación óptica.
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| *Retomando nuevamente la expresión de la perturbación óptica en P para la abertura arbitraria en el caso del campo lejano
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| <center><math>
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| \tilde{E}=\frac{\varepsilon _{A}e^{\imath(\omega t-kR)}}{R}\int_{Abertura}\int e^{\imath k (Yy+Zz)/R} dS (1)
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| </math></center>
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| La simetría del problema sugiere el uso de coordenadas esféricas tanto en el plano de la apertura como en el plano de observación<ref> HECHT, Eugene, ''Óptica'', Adelphi University, Tercera edición, Addison Wesley Iberoamericana, Madrid, 2000,[466-471]</ref>
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| <center><math>
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| z=\rho \cos \varphi, Z=q\cos \phi
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| </math></center>
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| <center><math>
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| y=\rho \sin \varphi, Y=q\sin \phi
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| </math></center>
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| Entonces sustituyendo en la expresión de la rendija arbitraria
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| <center><math>
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| \tilde{E}=\frac{\varepsilon _{A}e^{\imath(\omega t-kR)}}{R}\int_{\rho=0}^{a}\int _{\varphi=0}^{2\pi}e^{(\imath k \rho q/R)\cos (\varphi-\phi)}\rho d\rho d\varphi
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| </math></center>
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| Por la simetría axial la solución es independiente de <math>\phi</math>
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| <center><math>
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| \int _{\varphi=0}^{2\pi}e^{(\imath k \rho q/R)\cos (\varphi)} d\varphi
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| </math></center>
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| Esta ultima ecuación es una función única que no puede reducirse otra forma más corriente, como funciones hiperbólicas exponenciales o trigonométricas
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| La cantidad
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| <center><math>
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| J_{0}(u)=\frac{1}{2\pi}\int _{0}^{2\pi}e^{\imath u\cos v} dv
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| </math></center>
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| Se denomina función de Bessel de primera especie y orden cero
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| En general
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| <center><math>
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| J_{m}(u)=\frac{\imath ^{-m}}{2\pi }\int _{0}^{2\pi}e^{\imath( mv+u\cos v)} dv
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| </math></center>
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| Representa la función de Bessel de orden m
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| Si
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| <center><math>u=\frac {k\rho q}{R}</math>
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| </center>
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| Podemos escribir
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| <center><math>
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| \tilde{E}=\frac{\varepsilon _{A} e^{\imath(\omega t-kR)}}{R}\int_{0}^{a}J_{0}(\frac{k\rho q}{R})\rho d\rho
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| </math></center>
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| Otra propiedad de la funciones de Bessel es la relación de recurrencia
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| <center><math>
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| \frac{d}{du}[u^{m}J_{m}(u)]=u^{m}J_{m-1}(u)
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| </math></center>
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| Con <math>m=1</math>
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| <center><math>
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| \int_{0}^{u}u\prime J_{0}(u\prime)du\prime =uJ_{1}(u)
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| </math></center>
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| Entonces si nombramos a <math> w </math> como <math> w=\frac{k\rho q}{R}\quad </math>
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| obtenemos <center> <math> \qquad dw=\frac{kq}{R}d\rho, \qquad d\rho=\frac{R}{kq}dw \qquad \rho =\frac{wR}{kq}</math>
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| </center>
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| Mediante la regla de recurrencia tenemos
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| <center><math>
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| \tilde{E}=\frac{\varepsilon _{A}e^{\imath(\omega t-kR)}}{R} 2\pi a^{2}(\frac{R}{kaq})J_{1}(\frac{k a q}{R})
| |
| </math></center>
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| Y la irradiancia en P es <math>\frac{1}{2}\tilde{E}\tilde{E}^{*}</math>
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| <center><math>
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| I=2(\frac{\varepsilon _{A}}{R}A)^{2}[\frac{J_{1}(\frac{k a q}{R})}{\frac{k a q}{R}}]^{2}
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| </math></center>
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| Para calcular la irradiancia en el centro ponemos <math>q=0</math>
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| Y usando la ley de recurrencia.
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| Verificamos que
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| <center><math>
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| \lim_{u\rightarrow 0}\frac{J_{1}(u)}{u}=\frac{1}{2}
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| </math></center>
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| La irradiancia en <math>P_{0}</math> es
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| <center><math>I(0)=\frac{\varepsilon _{A}^{2}}{2R^{2}}A^{2}</math>
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| </center>
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| Que es el mismo resultado que la apertura rectangular [[Imagen:Disco_de_Airy.GIF|right|thumb|300x250px|Fig5. Disco de Airy]]
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| Como <math>\sin\theta =q/r</math>, la irradiancia se puede escribir como función de <math>\theta </math>
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| <center><math>I=I(0)[\frac{2J_{1}(ka\sin \theta)}{k a\sin \theta }]^{2}
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| </math></center>
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| El máximo central corresponde al llamado disco de Airy (Fig5.)
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| Si derivamos respecto a la distancia q obtenemos la condición para los mínimos y máximos
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| <center><math>\frac{dI}{dq}=-2I(0)u/q[\frac{J_{1}(u)}{u}][\frac{J_{2}(u)}{u}]=0
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| </math></center>
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| El primer mínimo corresponde al primer cero de la función <math>J_{1}(0)</math>
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| Podemos calcular la distancia del centro de la distribución a los máximos y mínimos, con <math>u=3.83</math>.
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| <center>
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| <math>\frac{kaq}{R}=3.83\qquad q_{1}=\frac{1.22 R\lambda}{D}</math>
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| </center>
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| Los máximos secundarios ocurren para <math>J_{2}=0</math>
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| [[Imagen:Difcircularbw.gif|left|thumb|200x200px|Distribución de campo lejano de una apertura circular]]
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| [[Imagen:Circulo_rayos_x.jpg |right|thumb|200x200px|Distribución para difracción de rayos X]]
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| [[Imagen:irrcirclista.jpg|center|thumb|500x500px|Distribución de la irradiancia para una apertura circular]]
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| Podemos modelar algunos patrones de difracción circular en [http://wyant.optics.arizona.edu/circularAperture/circularAperture.htm / esta pagina]
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| == Métodos de Fourier. ==
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| La transformada de Fourier aporta una percepción diferente y hermosa del mecanismo de difracción de Fraunhofer
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| Partimos de la ecuación<ref> HECHT, Eugene, ''Óptica'', Adelphi University, Tercera edición, Addison Wesley Iberoamericana, Madrid, 2000,[543-544]</ref>
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| <center>
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| <math>\tilde{E}(Y,Z)=\frac{\varepsilon _{A}e^{\imath(\omega t-kR)}}{R}\int_{Abertura}\int e^{\imath k (Yy+Zz)/R} dS
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| </math>
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| </center>
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| * La cantidad R es la distancia del centro de la apertura
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| * si nos limitamos a una pequeña región <math>R</math> puede considerarse constante
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| *<math>\varepsilon_{A} </math> no es necesariamente invariante
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| * Las variaciones en <math>\varepsilon_{A}</math> y la constante multiplicativa pueden combinarse en una sola cantidad compleja
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| <center>
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| <math>\mathcal{A}(y,z)=\mathcal{A}_{0}(y,z)e^{\imath \phi (y,z)}</math>
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| </center>
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| Denominada función de abertura
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| Con esto podemos reescribir la ecuación anterior
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| <center>
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| <math>\tilde{E}(Y,Z)=\int\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{A}(y,z) e^{\imath k (Yy+Zz)/R} dydz
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| </math></center>
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| Está función de apertura equivale a poner una función que indique la geometría de la apertura, por lo tanto los limites de la integral pueden extenderse hasta <math>\pm \infty</math>, ya que la función es no nula únicamente en la región de la abertura
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| Por ejemplo si tenemos una apertura cuadrada ponemos una función cuadrada e integramos en el espacio de menos infinito a infinito. Esto puede resultar muy útil cuando tratamos de indicar que la apertura es mas opaca en las orillas que en el centro
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| ya que podemos usar una función de apertura Gaussiana.
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| Definimos la frecuencias espaciales
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| <center>
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| <math>
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| K_{y}=kY/R=k\sin \phi =k\cos \beta \quad
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| K_{z}=kZ/R=k\sin \theta =k\cos \gamma</math>
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| </center>
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| El campo difractado puede ahora escribirse como
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| <center>
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| <math>\tilde{E}(K_{y},K_{z})=\int\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{A}(y,z) e^{\imath k (K_{y}y+K_{z}z)/R} dydz
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| </math></center>
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| Ahora tenemos que "la distribución del campo en la figura de difracción de Fraunhofer es la transformada de Fourier de la distribución
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| del campo sobre la abertura"
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| Simbólicamente
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| <center>
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| <math>E(K_{y},K_{z})=\mathcal{F}{\mathcal{A}(y,z)}
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| </math></center>
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| La distribución del campo en el plano imagen es el espectro de frecuencia espacial de la función de la abertura.
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| Entonces
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| <center>
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| <math>\mathcal{A}(y,z)=\frac{1}{(2\pi)^{2}}\int\int_{-\infty}^{\infty}E(K_{y},K_{z}) e^{\imath k (K_{y}y+K_{z}z)/R} dydz
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| </math></center>
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| o
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| <center>
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| <math>\mathcal{A}(y,z)=\mathcal{F}^{-1}E(K_{y},K_{z})
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| </math></center>
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| == Difracción de apertura Círculo-Cuadrado. == | | == Difracción de apertura Círculo-Cuadrado. == |
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| La ecuación <ref> Manuel Fernandez Guasti,''Analytic geometry of some rectilinear figures'',INT.J.MATH.EDUC.SCI.TECHNOL., 1992, VOL.23,No.6</ref> | | La ecuación <ref> Manuel Fernandez Guasti,''Analytic geometry of some rectilinear figures'',INT.J.MATH.EDUC.SCI.TECHNOL., 1992, VOL.23,No.6</ref> |
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| <center> | | <center> |
| <math>x^{2}+y^{2}-\frac{s^{2}}{a^{2}}x^{2}y^{2}=a^{2}\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad (1) | | <math>x^{2}+y^{2}-\frac{s^{2}}{a^{2}}x^{2}y^{2}=a^{2}\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad (1) |
| </math></center> | | </math></center> |
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| * Representa un círculo en el plano <math>xy</math> de radio <math>a</math> si <math>s=0</math> | | * Representa un círculo en el plano <math>xy</math> de radio <math>a</math> si <math>s=0</math> |
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| <center> | | <center> |
Línea 511: |
Línea 13: |
| </math></center> | | </math></center> |
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| | | * Representa un cuadrado de lado <math>2a</math> si <math>s=1</math> [[Imagen:circcuadlisto.jpg |right|thumb|400x400px|Figura1. Solución para el cuadrado con las restricciones mencionadas]] |
| * Representa un cuadrado de lado <math>2a</math> si <math>s=1</math> [[Imagen:circcuadlisto.jpg |right|thumb|400x400px|Fig6. Solución para el cuadrado con las restricciones mencionadas]] | |
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| <center> | | <center> |
| <math>(1-\frac{x^{2}}{a^{2}})^{1/2}(1-\frac{y^{2}}{a^{2}})^{1/2}=0</math> | | <math>(1-\frac{x^{2}}{a^{2}})^{1/2}(1-\frac{y^{2}}{a^{2}})^{1/2}=0</math> |
| </center> | | </center> |
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| Debido a que las variables están restringidas a valores mas pequeños o iguales a <math>a</math> tenemos | | Debido a que las variables están restringidas a valores mas pequeños o iguales a <math>a</math> tenemos |
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| <center> | | <center> |
Línea 529: |
Línea 26: |
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| Por lo tanto obtenemos la Fig6. | | Por lo tanto obtenemos la Fig6. |
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| La ecuación (1) representa una figura intermedia con esquinas redondeadas que escribiéndola en coordenadas polares <math>(r,\varphi)</math> | | La ecuación (1) representa una figura intermedia con esquinas redondeadas que escribiéndola en coordenadas polares <math>(r,\varphi)</math> |
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| <center> | | <center> |
Línea 539: |
Línea 33: |
| </math> | | </math> |
| </center> | | </center> |
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| Encontramos que tiene solución | | Encontramos que tiene solución |
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| <center> | | <center> |
| <math>r(a,\varphi)=\{[2a^{2}\frac{1-[1-s^{2}\sin ^{2}(2\varphi)]^{1/2}}{s^{2}\sin ^{2}(2\varphi)}\}^{1/2} | | <math>r(a,\varphi)=\{[2a^{2}\frac{1-[1-s^{2}\sin ^{2}(2\varphi)]^{1/2}}{s^{2}\sin ^{2}(2\varphi)}\}^{1/2} |
| </math></center> | | </math></center> |
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| Puede demostrarse que el signo negativo en la expresión implica una y solo una posible solución que cumple la condición <math>r^{2}\leq 2a^{2}</math> | | Puede demostrarse que el signo negativo en la expresión implica una y solo una posible solución que cumple la condición <math>r^{2}\leq 2a^{2}</math> |
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| La transformada de Fourier para una apertura arbitraria es como dijimos antes | | La transformada de Fourier para una apertura arbitraria es como dijimos antes |
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| <center> | | <center> |
Línea 559: |
Línea 48: |
| </center> | | </center> |
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| | | La función de apertura para este caso particular es |
| La función de apertura para este caso particular es. | |
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| <center> | | <center> |
| <math>\mathcal{A}(\rho,\varphi)=\{ ^{1\quad para \quad \rho < r(a,\varphi)}_{0 \quad para\quad \rho >r(a,\varphi)} | | <math>\mathcal{A}(\rho,\varphi)=\{ ^{1\quad para \quad \rho < r(a,\varphi)}_{0 \quad para\quad \rho >r(a,\varphi)} |
| </math></center> | | </math></center> |
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| Si reescribimos esta función como el producto de una parte radial y una angular entonces | | Si reescribimos esta función como el producto de una parte radial y una angular entonces |
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| <math>r(a,\varphi)=aM_{s}(\varphi)</math> | | <math>r(a,\varphi)=aM_{s}(\varphi)</math> |
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| con | | con |
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| <center> | | <center> |
| <math>M_{s}(\varphi)=[2\frac{1-[1-s^{2}\sin ^{2}(2\varphi)]^{1/2}}{s^{2}\sin ^{2}(2\varphi)}]^{1/2} | | <math>M_{s}(\varphi)=[2\frac{1-[1-s^{2}\sin ^{2}(2\varphi)]^{1/2}}{s^{2}\sin ^{2}(2\varphi)}]^{1/2} |
| </math></center> | | </math></center> |
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| Esta función tiene fronteras entre | | Esta función tiene fronteras entre |
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| <math> \quad 1\leq M_{s}(\varphi)\leq \sqrt 2 </math> | | <math> \quad 1\leq M_{s}(\varphi)\leq \sqrt 2 </math> |
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| Y puede verse que en el limite cuando <math>s\longrightarrow 0, \qquad M_{s}(\varphi)\longrightarrow 1</math> | | Y puede verse que en el limite cuando <math>s\longrightarrow 0, \qquad M_{s}(\varphi)\longrightarrow 1</math> |
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| Si reescribimos la variable radial | | Si reescribimos la variable radial |
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| <center> <math>\rho = \rho \prime M_{s}(\varphi)\quad | | <center> <math>\rho = \rho \prime M_{s}(\varphi)\quad |
| d\rho =d\rho \prime M_{s}(\varphi) | | d\rho =d\rho \prime M_{s}(\varphi) |
| </math></center> | | </math></center> |
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| Entonces la ecuación de la función de apertura puede ser escrita independiente del ángulo <math>\varphi</math> | | Entonces la ecuación de la función de apertura puede ser escrita independiente del ángulo <math>\varphi</math> |
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| <center> | | <center> |
| <math>U(\rho\prime)=\{ ^{1\quad para \quad \rho\prime < a}_{0 \quad para\quad \rho\prime >a} | | <math>U(\rho\prime)=\{ ^{1\quad para \quad \rho\prime < a}_{0 \quad para\quad \rho\prime >a} |
| </math></center> | | </math></center> |
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| Tal que | | Tal que |
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| <center> | | <center> |
| <math>\mathcal{A}(a,\varphi)=\mathcal{A}(\rho\prime,\varphi)=U(\rho\prime)U(\phi)=U(\rho\prime)</math> <math>\varphi</math> | | <math>\mathcal{A}(a,\varphi)=\mathcal{A}(\rho\prime,\varphi)=U(\rho\prime)U(\phi)=U(\rho\prime)</math> <math>\varphi</math> |
| </center> | | </center> |
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| Entonces la transformada de Fourier de un circulo-cuadrado es<ref> M. Fernandez Guasti y M. de la Cruz Heredia,''Difracction pattern of a circle/square aperture'', JOURNAL OF MODERN OPTICS, 1993, VOL.40,No.6</ref> | | Entonces la transformada de Fourier de un circulo-cuadrado es<ref> M. Fernandez Guasti y M. de la Cruz Heredia,''Difracction pattern of a circle/square aperture'', JOURNAL OF MODERN OPTICS, 1993, VOL.40,No.6</ref> |
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| <center> | | <center> |
Línea 622: |
Línea 95: |
| </math>\</center> | | </math>\</center> |
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| == Círculo. == | | == Círculo == |
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| Si ponemos <math>s=0</math> entonces <math>M_{s}(\varphi)=1</math> y obtenemos | | Si ponemos <math>s=0</math> entonces <math>M_{s}(\varphi)=1</math> y obtenemos |
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| <math>\begin{alignat}{4} | | <math>\begin{alignat}{4} |
Línea 643: |
Línea 113: |
| Y recobramos el resultado ya presentado | | Y recobramos el resultado ya presentado |
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| == Cuadrado. == | | == Cuadrado == |
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| Obtenemos un cuadrado para <math>s=1</math> | | Obtenemos un cuadrado para <math>s=1</math> |
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| Por consideraciones de simetría y tomando la parte real de la transformada de Fourier para el circulo-cuadrado obtenemos | | Por consideraciones de simetría y tomando la parte real de la transformada de Fourier para el circulo-cuadrado obtenemos |
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| <math>E(k_{q},K_{\phi})=\int_{0}^{a}\rho \prime \int_{-\pi/4}^{3\pi /4}M_{s}^{2}(\varphi) | | <math>E(k_{q},K_{\phi})=\int_{0}^{a}\rho \prime \int_{-\pi/4}^{3\pi /4}M_{s}^{2}(\varphi) |
| \cos[ { (kq\rho \prime M_{s}(\varphi)/R) \cos(\varphi-\phi)}]d\rho\prime d\varphi | | \cos[ { (kq\rho \prime M_{s}(\varphi)/R) \cos(\varphi-\phi)}]d\rho\prime d\varphi |
| </math> | | </math> |
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| Tomando en cuenta que la función angular del cuadrado es | | Tomando en cuenta que la función angular del cuadrado es |
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| <math>M_{s=1}(\varphi)=\{^{\frac{1}{|\cos \varphi|} \quad para \quad -\pi/4 \quad a\quad (\pi/4)+n\pi} | | <math>M_{s=1}(\varphi)=\{^{\frac{1}{|\cos \varphi|} \quad para \quad -\pi/4 \quad a\quad (\pi/4)+n\pi} |
| _{\frac{1}{|\sin \varphi|}\quad para \quad \pi/4 \quad a\quad (3\pi/4)+n\pi} | | _{\frac{1}{|\sin \varphi|}\quad para \quad \pi/4 \quad a\quad (3\pi/4)+n\pi} |
| </math> | | </math> |
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| Tenemos entonces que | | Tenemos entonces que |
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| <math>E(k_{q},K_{\phi})=\int_{0}^{a}\rho \prime \int_{-\pi/4}^{\pi /4} | | <math>E(k_{q},K_{\phi})=\int_{0}^{a}\rho \prime \int_{-\pi/4}^{\pi /4} |
Línea 671: |
Línea 135: |
| \frac{\cos [(kq\rho\prime/R) (\sin\phi+\cos\phi\cot\varphi)]}{\sin^{2}\varphi} d\varphi d\rho\prime | | \frac{\cos [(kq\rho\prime/R) (\sin\phi+\cos\phi\cot\varphi)]}{\sin^{2}\varphi} d\varphi d\rho\prime |
| </math> | | </math> |
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| Nombramos la primera de la ecuación <math>G_{1}</math>,y la segunda parte <math>G_{2}</math> quedando | | Nombramos la primera de la ecuación <math>G_{1}</math>,y la segunda parte <math>G_{2}</math> quedando |
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| <math>E(k_{q},K_{\phi})=G_{1}+G_{2} | | <math>E(k_{q},K_{\phi})=G_{1}+G_{2} |
| </math> | | </math> |
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| Haciendo las integrales angulares | | Haciendo las integrales angulares |
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| <math>G_{1}=\frac{4}{(kq/R)^{2}\sin\phi} \int_{0}^{a}\sin[(kq\rho\prime/R)\sin\phi]\cos[(kq\rho\prime/R)\cos\phi] | | <math>G_{1}=\frac{4}{(kq/R)^{2}\sin\phi} \int_{0}^{a}\sin[(kq\rho\prime/R)\sin\phi]\cos[(kq\rho\prime/R)\cos\phi] |
Línea 687: |
Línea 147: |
| <math>G_{2}=\frac{4}{(kq/R)^{2}\cos\phi} \int_{0}^{a}\cos[(kq\rho\prime/R)\sin\phi]\sin[(kq\rho\prime/R)\cos\phi] | | <math>G_{2}=\frac{4}{(kq/R)^{2}\cos\phi} \int_{0}^{a}\cos[(kq\rho\prime/R)\sin\phi]\sin[(kq\rho\prime/R)\cos\phi] |
| </math> | | </math> |
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| Integrando nuevamente | | Integrando nuevamente |
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| <math>G_{1}=\frac{4}{(kq/R)^{2}\sin\phi}[(\frac{1-\cos[kqa/R(\sin\phi-cos\phi)]}{\sin\phi-\cos\phi}) | | <math>G_{1}=\frac{4}{(kq/R)^{2}\sin\phi}[(\frac{1-\cos[kqa/R(\sin\phi-cos\phi)]}{\sin\phi-\cos\phi}) |
Línea 696: |
Línea 154: |
| <math>+(\frac{1-\cos[kqa/R(\sin\phi+\cos\phi)]}{\sin\phi+\cos\phi})] | | <math>+(\frac{1-\cos[kqa/R(\sin\phi+\cos\phi)]}{\sin\phi+\cos\phi})] |
| </math> | | </math> |
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| <math>G_{2}=\frac{4}{(kq/R)^{2}\cos\phi}[(\frac{1-\cos[kqa/R(\cos\phi-\sin\phi)]}{\cos\phi-\sin\phi}) | | <math>G_{2}=\frac{4}{(kq/R)^{2}\cos\phi}[(\frac{1-\cos[kqa/R(\cos\phi-\sin\phi)]}{\cos\phi-\sin\phi}) |
Línea 702: |
Línea 159: |
| <math>+(\frac{1-\cos[kqa/R(\sin\phi+\cos\phi)]}{\sin\phi+\cos\phi})] | | <math>+(\frac{1-\cos[kqa/R(\sin\phi+\cos\phi)]}{\sin\phi+\cos\phi})] |
| </math> | | </math> |
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| Sumando <math>G_{1}+G_{2}</math> tenemos | | Sumando <math>G_{1}+G_{2}</math> tenemos |
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| <math> | | <math> |
Línea 714: |
Línea 169: |
| \end{array} | | \end{array} |
| </math> | | </math> |
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| como | | como |
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| | <math>z=\rho \cos \varphi, Z=q\cos \phi</math> |
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| <math>z=\rho \cos \varphi, Z=q\cos \phi
| | <math>y=\rho \sin \varphi, Y=q\sin \phi</math> |
| </math>
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| <math>y=\rho \sin \varphi, Y=q\sin \phi | |
| </math> | |
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| Obtenemos finalmente | | Obtenemos finalmente |
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| | <center> <math>E(k_{q},k_{\phi})=4a^{2}\mathrm{sinc}[(ka/R)\quad Y]\mathrm{sinc}[(ka/R)\quad Z]</math></center> |
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| <center> <math>E(k_{q},k_{\phi})=4a^{2}\mathrm{sinc}[(ka/R)\quad Y]\mathrm{sinc}[(ka/R)\quad Z]
| | Que es la ecuación para el campo de un cuadrado. |
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| </math></center>
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| Que es la ecuación para el campo de un cuadrado.
| | == Valores Intermedios de $\mathit{S}$ == |
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| == Valores Intermedios de <math>S</math>. ==
| | [[Imagen:anipic.gif|right|thumb|300x300px|Figura2. Variación de s para la ecuación del círculo-cuadrado]] |
| [[Imagen:anipic.gif|right|thumb|400x400px|Fig7. Variación de s para la ecuación del círculo-cuadrado]] | |
| Las soluciones para los valores intermedios de la ecuación (1) pueden observarse en la Fig7. en donde se realizo una simulación para valores de <math>s</math> ente <math>0</math> y <math>1</math>.Podemos ver como poco a poco pasamos de un círculo a un cuadrado.
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| | Las soluciones para los valores intermedios de la ecuación (1) pueden observarse en la Fig7. en donde se realizo una simulación para valores de <math>s</math> entre <math>0</math> y <math>1</math>. Podemos ver como poco a poco pasamos de un círculo a un cuadrado. |
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| La distribución para la amplitud del campo se realizo calculando primeramente la integral angular para la transformada de Fourier y se hizo una animación variando el parametro <math>S</math> como se presenta en la Fig8. | | La distribución para la amplitud del campo se realizo calculando primeramente la integral angular para la transformada de Fourier y se hizo una animación variando el parametro <math>S</math> como se presenta en la Fig8. |
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| | | [[Imagen:irrapic1.gif|left|thumb|360px292px|Figura9. Variación de s para la distribucion de l campo]] |
| [[Imagen:irrapic1.gif|left|thumb|900x900px|Fig8. Variación de s para la distribucion de l campo]] | |
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| En las figuras subsecuentes se muestra la distribución del campo para varios valores de <math>S</math> asi como la curva de nivel del campo. | | En las figuras subsecuentes se muestra la distribución del campo para varios valores de <math>S</math> asi como la curva de nivel del campo. |
| | <br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br> |
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| | | <center> |
| [[Imagen:c-c-1.jpg|left|thumb|500x500px|<math>s=1</math>]] | | <gallery caption="parámetro de cuadradez" widths="200px" heights="200px" perrow="2"> |
| | | c-c-1.jpg|left|thumb|400x400px|<math>s=1</math> |
| | cnivel1.jpg|right|thumb|300x300px|<math>s=1</math> |
| | c-c-999.jpg|left|thumb|400x400px|<math>s=0.99</math> |
| | cnivel99.jpg|right|thumb|300x300px|<math>s=.99</math> |
| | c-c-95.jpg|left|thumb|400x400px|<math>s=0.95</math> |
| | c-c-95.jpg|left|thumb|400x400px|<math>s=0.95</math> |
| | c-c-8.jpg|left|thumb|400x400px|<math>s=0.8</math> |
| | cnivel8.jpg|right|thumb|300x300px|<math>s=.8</math> |
| | c-c-6.jpg|left|thumb|400x400px|<math>s=0.6</math> |
| | cnivel6.jpg|right|thumb|300x300px|<math>s=.6</math> |
| | c-c-cero.jpg|left|thumb|400x400px|<math>s=0</math> |
| | cnivel0.jpg|right|thumb|300x300px|<math>s=0</math> |
| | </gallery> |
| | </center> |
| | <!-- |
| | [[Imagen:c-c-1.jpg|left|thumb|400x400px|<math>s=1</math>]] |
| [[Imagen:cnivel1.jpg|right|thumb|300x300px|<math>s=1</math>]] | | [[Imagen:cnivel1.jpg|right|thumb|300x300px|<math>s=1</math>]] |
| | | [[Imagen:c-c-999.jpg|left|thumb|400x400px|<math>s=0.99</math>]] |
| [[Imagen:c-c-999.jpg|left|thumb|500x500px|<math>s=0.99</math>]] | |
| | |
| [[Imagen:cnivel99.jpg|right|thumb|300x300px|<math>s=1</math>]] | | [[Imagen:cnivel99.jpg|right|thumb|300x300px|<math>s=1</math>]] |
| | | [[Imagen:c-c-95.jpg|left|thumb|400x400px|<math>s=0.95</math>]] |
| [[Imagen:c-c-95.jpg|left|thumb|500x500px|<math>s=0.95</math>]] | | [[Imagen:c-c-8.jpg|left|thumb|400x400px|<math>s=0.8</math>]] |
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| [[Imagen:cnivel95.jpg|right|thumb|300x300px|<math>s=1</math>]]
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| [[Imagen:c-c-8.jpg|left|thumb|500x500px|<math>s=0.8</math>]] | |
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| [[Imagen:cnivel8.jpg|right|thumb|300x300px|<math>s=1</math>]] | | [[Imagen:cnivel8.jpg|right|thumb|300x300px|<math>s=1</math>]] |
| | | [[Imagen:c-c-6.jpg|left|thumb|400x400px|<math>s=0.6</math>]] |
| [[Imagen:c-c-6.jpg|left|thumb|500x500px|<math>s=0.6</math>]] | |
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| [[Imagen:cnivel6.jpg|right|thumb|300x300px|<math>s=1</math>]] | | [[Imagen:cnivel6.jpg|right|thumb|300x300px|<math>s=1</math>]] |
| | | [[Imagen:c-c-cero.jpg|left|thumb|400x400px|<math>s=0</math>]] |
| [[Imagen:c-c-cero.jpg|left|thumb|500x500px|<math>s=0</math>]] | |
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| [[Imagen:cnivel0.jpg|right|thumb|300x300px|<math>s=1</math>]] | | [[Imagen:cnivel0.jpg|right|thumb|300x300px|<math>s=1</math>]] |
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| | == Variación con el parámetro de cuadradez $\mathit{S}$ == |
| | Aqui se muestra una serie de imágenes con distintos párametros de cuadradez. El eje vertical representa intensidad, mientras que los otros dos ejes ortogonales representan posición bidimensional. |
| | <!-- comentario --> |
| | <gallery caption="galería" mode="slideshow" heights="300px" > |
| | c-c-1.jpg|<math>s=1</math> |
| | c-c-999.jpg|<math>s=0.99</math> |
| | c-c-95.jpg|<math>s=0.95</math> |
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| | </gallery> |
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| <references/> | | <references/> |
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| | [[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 13:43 6 dic 2019 (CST) |
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| --[[Usuario:Carlos A.Z.|CAZ]] 16:32 29 ago 2008 (CDT)
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| [[Category:optica]] | | [[Category:optica]] |
Difracción de apertura Círculo-Cuadrado.
La ecuación [1]
- Representa un círculo en el plano de radio si
Debido a que las variables están restringidas a valores mas pequeños o iguales a tenemos
Por lo tanto obtenemos la Fig6.
La ecuación (1) representa una figura intermedia con esquinas redondeadas que escribiéndola en coordenadas polares
Encontramos que tiene solución
Puede demostrarse que el signo negativo en la expresión implica una y solo una posible solución que cumple la condición
La transformada de Fourier para una apertura arbitraria es como dijimos antes
La función de apertura para este caso particular es
Si reescribimos esta función como el producto de una parte radial y una angular entonces
con
Esta función tiene fronteras entre
Y puede verse que en el limite cuando
Si reescribimos la variable radial
Entonces la ecuación de la función de apertura puede ser escrita independiente del ángulo
Tal que
Entonces la transformada de Fourier de un circulo-cuadrado es[2]
\
Círculo
Si ponemos entonces y obtenemos
Y recobramos el resultado ya presentado
Cuadrado
Obtenemos un cuadrado para
Por consideraciones de simetría y tomando la parte real de la transformada de Fourier para el circulo-cuadrado obtenemos
Tomando en cuenta que la función angular del cuadrado es
Tenemos entonces que
Nombramos la primera de la ecuación ,y la segunda parte quedando
Haciendo las integrales angulares
Integrando nuevamente
Sumando tenemos
como
Obtenemos finalmente
Que es la ecuación para el campo de un cuadrado.
Valores Intermedios de $\mathit{S}$
Figura2. Variación de s para la ecuación del círculo-cuadrado
Las soluciones para los valores intermedios de la ecuación (1) pueden observarse en la Fig7. en donde se realizo una simulación para valores de entre y . Podemos ver como poco a poco pasamos de un círculo a un cuadrado.
La distribución para la amplitud del campo se realizo calculando primeramente la integral angular para la transformada de Fourier y se hizo una animación variando el parametro como se presenta en la Fig8.
Figura9. Variación de s para la distribucion de l campo
En las figuras subsecuentes se muestra la distribución del campo para varios valores de asi como la curva de nivel del campo.
- parámetro de cuadradez
Variación con el parámetro de cuadradez $\mathit{S}$
Aqui se muestra una serie de imágenes con distintos párametros de cuadradez. El eje vertical representa intensidad, mientras que los otros dos ejes ortogonales representan posición bidimensional.
- galería
- ↑ Manuel Fernandez Guasti,Analytic geometry of some rectilinear figures,INT.J.MATH.EDUC.SCI.TECHNOL., 1992, VOL.23,No.6
- ↑ M. Fernandez Guasti y M. de la Cruz Heredia,Difracction pattern of a circle/square aperture, JOURNAL OF MODERN OPTICS, 1993, VOL.40,No.6
Mfgwi (discusión) 13:43 6 dic 2019 (CST)
CAZ 16:32 29 ago 2008 (CDT)