Optica: Capitulo7-problemas

Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 7

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Ejercicio 7.7

Utilizando las ecuaciones 7.9, 7.10 y 7.11 muestre que la resultante de las dos ondas

$E_{1}=E_{01}sen\left[\omega t-k(x+\Delta x)\right]$

$E_{2}=E_{01}sen\left[\omega t-kx\right]$

es

Error al representar (error de sintaxis): E = 2 E_{01} cos\left(\dfrac{k \Delta x}{2}\right) sen\left[\omega t - k\left(x+\dfrac{\Delta x}{2}\right)\right]

Solución:

De las ondas 1 y 2 tenemos que $\alpha _{1}=-k(x+\Delta x)$ y $\alpha _{2}=-kx$. La ecuación 7.9 es

Error al representar (error de sintaxis): E_0^2 = E_{01}^2 + E_{02}^2 + 2 E_{01} E_{02} cos(\alpha_2 - \alpha_1)

y nos da la amplitud de la onda resultante, calculando para nuestro caso tenemos

$E_{0}^{2}=E_{01}^{2}+E_{01}^{2}+2E_{01}^{2}cos\left[-kx+k(x+\Delta x)\right]=2E_{01}^{2}+2E_{01}^{2}cos(k\Delta x)=2E_{01}^{2}\left[1+cos(k\Delta x)\right]=4E_{01}^{2}cos^{2}\left({\dfrac {k\Delta x}{2}}\right)$

donde se ha utilizado la identidad trigonométrica

$cos^{2}\left({\dfrac {x}{2}}\right)={\dfrac {1+cosx}{2}}$

Ahora para calcular la fase de la onda resultante utilizamos la ecuación 7.10 que es

$tan\alpha ={\dfrac {E_{01}sen\alpha _{1}+E_{02}sen\alpha _{2}}{E_{01}cos\alpha _{1}+E_{02}cos\alpha _{2}}}$

y en nuestro caso

$tan\alpha ={\dfrac {E_{01}sen[-k(x+\Delta x)]+E_{01}sen(-kx)}{E_{01}cos[-k(x+\Delta x)]+E_{01}cos(-kx)}}={\dfrac {sen[-k(x+\Delta x)]+sen(-kx)}{cos[-k(x+\Delta x)]+cos(-kx)}}$

y definiendo $\eta \equiv -k(x+\Delta x)$ y $\theta \equiv -kx$ tenemos

$tan\alpha ={\dfrac {sen\eta +sen\theta }{cos\eta +cos\theta }}=tan\left({\dfrac {\eta +\theta }{2}}\right)$

donde la igualdad final se cumple gracias a una identidad trigonométrica, por lo que la fase de la onda resultante será

$\alpha ={\dfrac {\eta +\theta }{2}}=-k\left[x+{\dfrac {\Delta x}{2}}\right]$

Y la relación 7.11 es

$E=E_{0}sen(\omega t+\alpha )$

por lo que nuestra onda resultante queda como

$E=4E_{01}^{2}cos^{2}\left({\dfrac {k\Delta x}{2}}\right)sen\left[\omega t-k\left(x+{\dfrac {\Delta x}{2}}\right)\right]$

Ivan de Jesús Pompa García (discusión) 21:00 5 nov 2018 (CST)

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Ejercicio 7.29

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La velocidad de propagación de una onda de superficie en un líquido de profundidad mucho mayor que $\lambda$ viene dada por:

$v={\sqrt {{\frac {g\lambda }{2\pi }}+{\frac {2\pi \Upsilon }{\rho \lambda }}}}$

donde g = aceleración de la gravedad, $\lambda$ = longitud de onda, $\rho$ = densidad, $\Upsilon$ = tensión superficial. Calcule la velocidad de grupo de un pulso en el límite de longitud de onda larga (se denominan ondas de gravedad).

Solución:

Para longitudes de onda grandes, notemos que el segundo término de la suma dentro de la raíz es despreciable :

${\frac {2\pi \Upsilon }{\rho \lambda }}$

Entonces la velocidad de propagación de una onda de superficie se convierte en:

$v={\sqrt {\frac {g\lambda }{2\pi }}}$ ........(1)

EL número de onda esta dada,por:

$k={\frac {2\pi }{\lambda }}$ ................(2)

Sustituyendo la ecuación (2) en (1), la velocidad de propagación:

$v={\sqrt {\frac {g}{k}}}$.................(3)

De la relación entre la velocidad de grupo y velocidad de propagación es:

${v}_{g}=v+k{\frac {dv}{dk}}$.............(4)

Donde ${v}_{g}$, es la velocidad de grupo.

De la ecuación (3):

${\frac {dv}{dk}}={\frac {d}{dk}}\left({\sqrt {\frac {g}{k}}}\right)$

${\frac {dv}{dk}}={\sqrt {g}}{\frac {d}{dk}}\left({k}^{-{\frac {1}{2}}}\right)$

${\frac {dv}{dk}}={\sqrt {g}}\left(-{\frac {1}{2}}\right)\left({k}^{-{\frac {3}{2}}}\right)$

${\frac {dv}{dk}}={\sqrt {g}}\left(-{\frac {1}{2}}\right){\frac {1}{k{\sqrt {k}}}}$

${\frac {dv}{dk}}=\left(-{\frac {1}{2k}}\right){\sqrt {\frac {g}{k}}}$

Sustituyendo (3) en la última expresión:

${\frac {dv}{dk}}=\left(-{\frac {v}{2k}}\right)$..........(5)

Sustituyendo (5) en (4):

${v}_{g}=v+k\left({\frac {-v}{2k}}\right)$

Reduciendo, tenemos que la velocidad de grupo es:

${v}_{g}=v-{\frac {v}{2}}$

${v}_{g}={\frac {v}{2}}$

--Luis Manuel Chávez Antonio

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Ejercicio 7.30

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Demuestre que la velocidad de grupo puede escribirse como:

$v_{g}=v-\lambda {\frac {dv}{d\lambda }}$

Solución:

La expresión de la velocidad de grupo se puede escribir como:

$v_{g}=v+{\frac {kdv}{dk}}$

Donde:

$v_{g}$ es la velocidad de grupo

$v$ es la velocidad de fase

$k$ es el numero de onda

La expresión de numero de onda se puede escribir como:

$k={\frac {2\pi }{\lambda }}$

Donde $\lambda$ es la longitud de onda

La expresion de velocidad de grupo se puede escribir como:

$v_{g}=v+k{\frac {dv}{dk}}$

$v_{g}=v+k\left({\frac {dv}{d\lambda }}\right)\left({\frac {d\lambda }{dk}}\right)$

La expresión del numero de onda se diferencia con respecto a la longitud de onda como:

$k={\frac {2\pi }{\lambda }}$

${\frac {dk}{d\lambda }}=-2\pi \left({\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)$

${\frac {d\lambda }{dk}}=-{\frac {\lambda ^{2}}{2\pi }}$

Sustituimos ${\frac {d\lambda }{dk}}$ en la expresión anterior.

$v_{g}=v+k\left({\frac {dv}{d\lambda }}\right)\left({\frac {d\lambda }{dk}}\right)$

$v_{g}=v+k\left({\frac {dv}{d\lambda }}\right)\left(-{\frac {\lambda ^{2}}{2\pi }}\right)$

$v_{g}=v-{\frac {\lambda ^{2}k}{2\pi }}\left({\frac {dv}{d\lambda }}\right)$

Sustituimos ${\frac {2\pi }{\lambda }}$ por $k$ en la expresión anterior:

$v_{g}=v-{\frac {\lambda ^{2}}{2\pi }}\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)\left({\frac {dv}{d\lambda }}\right)$

$v_{g}=v-\lambda \left({\frac {dv}{d\lambda }}\right)$

Por lo tanto $v_{g}=v-\lambda \left({\frac {dv}{d\lambda }}\right)$

-- Enrique Ortiz Martinez