Usuario discusión:Enrique Ortiz Martinez

Bienvenido a luz-wiki! Esperamos que contribuyas mucho y bien. Probablemente desearás leer las páginas de ayuda. Nuevamente, bienvenido y diviértete! Gsfwiki (discusión) 11:56 9 oct 2018 (CDT)

Hola Enrique

Me parecio que esta muy bien tu trabajo de ondas armónicas, y me recordaste mis clases de feti y crei que esto puede contribuir:

Análisis de Fourier

La determinación de los coeficientes $F_{m}$ , llamado análisis de Fourier, se puede llevar a cabo mediante un proceso que depende de una propiedad obvia de una función sinusoidal: que su integral en un número completo de longitudes de onda es cero. Por consiguiente, la integral del producto de dos funciones sinusoidales con longitudes de onda relacionadas integralmente en un número completo de ciclos de ambas funciones también es cero con una excepción: si las dos longitudes de onda son iguales y las dos funciones sinusoidales no están en cuadratura, entonces la integral no es cero. Por lo tanto, si integramos el producto de $f(x)$ (longitud de onda $\lambda$ ) con una función sinusoidal de longitud de onda ${\frac {\lambda }{n}}$ , el resultado será cero para todas las componentes de Fourier de $f(x)$ excepto el $nth$ , que tiene una longitud de onda ${\frac {\lambda }{n}}$, y el valor de la integral dará la amplitud del coeficiente $F_{n}$ .

Para expresar esto matemáticamente, encontremos el $nth$ coeficiente de Fourier multiplicando la función $f(x)$ por $e^{(-inkx)}$ e integrándola en una longitud de onda completa $\lambda$ . Es conveniente reemplazar $x$ por la variable angular $\theta =kx$ y luego tomar la integral $I_{n}$ en el rango $-\pi \leq \theta \leq \pi$ , que es una longitud de onda. Entonces:

$I_{n}=\int _{-\pi }^{\pi }f(\theta )e^{(-in\theta )}d\theta$

$I_{n}=\int _{-\pi }^{\pi }\sum _{-\infty }^{\infty }e^{(im\theta )}e^{(-in\theta )}d\theta$

Cada término en la suma es sinusoidal, con longitud de onda ${\frac {\lambda }{|n-m|}}$ , con la excepción de uno para el cual $m=n$ . Los términos sinusoidales, estando integrados sobre $|n-m|$ longitudes de onda, no contribuyen; así que eso:

$I_{n}=\int _{-\pi }^{\pi }F_{n}d\theta =2\pi F_{n}$

Así tenemos una expresión general para el $nth$ coeficiente de Fourier:

$F_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(\theta )e^{(-in\theta )}d\theta$

Tenga en cuenta que incluye el término cero, el valor medio de $f(\theta )$

$F_{0}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(\theta )d\theta$

Saludos.

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Buenas noches compañero.

Tu wiki esta muy bien explicada y tiene mucho material ilustrativo muy interesante para contribuir en la explicación de tu tema, encontré material el cual creo podría contribuir a tu trabajo.

Coeficientes complejos de Fourier

Las funciones reales $cos(\theta )$ y $sen(\theta )$ pueden considerarse partes reales e imaginarias del complejo exponencial $e^{i\theta }$ . Algebraicamente, hay muchas ventajas en el uso del complejo exponencial. Podemos escribir:

$f(x)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{m=1}^{\infty }\left[A_{m}cos(mkx)+B_{m}sen(mkx)\right]$ En: $f(x)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum F_{m}e^{(imkx)}$

donde el rango de suma aún no está especificado. Ahora vamos a igualar estas dos ecuaciones para una $f(x)$ real. Entonces tenemos:

$\sum F_{m}\left[cos(mkx)+isen(mkx)\right]$ $=\sum _{m=1}^{\infty }\left[A_{m}cos(mkx)+B_{m}sen(mkx)\right]$

Si asumimos que los rangos de la suma son idénticos y luego comparamos los términos coseno y seno de forma independiente, obtenemos:

$F_{m}=A_{m}$  ; $iF_{m}=B_{m}$

Esto lleva a $iA_{m}=B_{m}$ , que no puede ser cierto ya que $A_{m}$ y $B_{m}$ son reales. Tenemos que llevar a cabo la suma compleja en desde $n=-\infty$ hasta $+\infty$ para resolver el problema. Entonces hay dos coeficientes complejos independientes, $F_{m}$ y $F_{-m}$ correspondientes al par $A_{m}=$ , $B_{m}$ , y tenemos:

$F_{m}+F_{-m}=A_{m}$ ; $i(F_{m}-F_{-m})=B_{m}$

De dónde: $F_{m}={\frac {1}{2}}\left(A_{m}-iB_{m}\right)={\frac {1}{2}}C_{m}e^{(i\alpha _{m})}$

$F_{-m}={\frac {1}{2}}\left(A_{m}+iB_{m}\right)={\frac {1}{2}}C_{m}e^{(-i\alpha _{m})}$

La serie de Fourier está por lo tanto escrita en notación compleja como

$f(x)=\sum _{-\infty }^{\infty }F_{m}e^{(imkx)}$

Donde $F_{0}={\frac {1}{2}}A_{0}$ . Hasta ahora, la función $f(x)$ , y por lo tanto $A_{m}$ y $B_{m}$ , se han asumido como reales. Luego se deduce $F_{m}$ y $F_{-m}$ son conjugados complejos:

$F_{m}=F_{-m}^{*}$

En general, sin embargo, una función compleja $f(x)$ puede representarse por el complejo $A_{m}$ y $B_{m}$ que no tienen tal relación.

Saludos.