Ondas: probs c2 mov osc

De luz-wiki

vibraciones y ondas problemas capítulo 2 Óptica - Hecht

Problema 2.1

2.1¿Cuantas ondas de luz amarillas (\(\lambda=580nm\)) caben en una distancia en el espacio igual a un trozo de papel de (0.003 pulgadas)? ¿Hasta donde se extendera el mismo número de microondas \(\displaystyle{(\nu=10^{10}Hhz}\), es decir, \(\displaystyle{10GHz}\) y \(\displaystyle{v=3x10^8\frac{m}{s}})\)?

Para responder a la primera pregunta, basta con dividir el espesor del papel con el de la longuid de onda dada, es decir

\(ondas=\displaystyle{\frac{0.003 in}{580 mm}=\frac{0.003 in}{580 nm}\frac{25.4mm}{1 in}=\frac{0.0762 mm}{580 nm}=131 ondas}\)

Una microonda con frecuencia de \(\displaystyle{10 GHz}\) tiene una longuitud de onda de

\(\displaystyle{\lambda=\frac{c}{\nu}=\frac{3x10⁸}{10 GHz}=0.03m}\)

Por lo tanto 131 ondas con dicha longuitud se extenderán

\(\displaystyle{extensión=(131)(0.03m)=3.93 m}\)

Pérez Córdoba Sabino (discusión) 20:28 17 mar 2014 (UTC)


Problema 2.2

2.2 La velocidad de la luz en el vacio es aproximadamente de $3x10^{8}\frac{m}{s}$.Calcule la longitud de onda de la luz roja con una frecuencia de $5x10^{14}Hz$.Compárela con la longitud de onda de una onda electromagnética de$60Hz.$


Utilizamos la ecuación $\lambda=\frac{c}{\nu}$,donde $c$ es la velocidad de la luz y $\nu$ la frecuencia de la onda. Tendremos entonces:

\[\lambda=\frac{c}{\nu}=\frac{3x10^{8}\frac{m}{s}}{5x10^{14}Hz}=6x10^{-7}m\]

o la ecuación:

\[\lambda=600nm\]

que es la longitud de onda de la luz roja a la frecuencia solicitada en el problema. Ahora calculamos la longitud de onda de la onda electromagnética:


\[\lambda_{1}=\frac{c}{\nu}=\frac{3x10^{8}\frac{m}{s}}{60Hz}=5x10^{6}m\].

Al comparar $\lambda$ con $\lambda_{1}$ notamos que la longitud de onda ${\lambda}_{1}$correspondiente a la onda electromagnética es mucho mayor que la de la luz roja.

Pedro Pablo Ramírez Martínez (discusión) 02:15 17 mar 2014 (UTC)


Problema 2.3

Es posible generar ondas ultrasonicas en cristales con longitudes de onda similares a la luz $(5\times10^{-5}cm)$ pero con frecuencias mas bajas $(6\times10^{8}Hz)$. Calcule la velocidad correspondiente de dicha onda.

Pues bien teniendo los datos: $\lambda=5\times10^{-7}m$ y $f=6\times10^{8}Hz$


De la ecuacion $v=f\cdot\lambda$


$v=f\cdot\lambda$


$v=(5\times10^{-7}m)(6\times10^{8}Hz)$


$v=300\frac{m}{s}$

Mario Moranchel (discusión) 06:29 18 mar 2014 (UTC)


Problema 2.4

Un joven en un barco sobre un lagoestá mirando las ondas que parecen una suceción infinita de crestas idénticas, produciendose con un intervalo de medio segundo cada una. Si cada perturbación tarda 1.5s en cubrir la extensión del barco de 4.5 ¿cuál es la frecuencia, el periodo y la longitud de

onda de las olas?

Los datos dados en el problema, son los siguientes:

t = 1.5s, l = 4.5m,

Del enunciado, se deduce que el periodo, es el siguiente: $\tau=$0.5s.

De donde se calcula la frecuencia utilizando la definición de frecuencia:

\[ \nu=\frac{1}{\tau} \]


Al sustituir, en la ecuuación, se obtiene el siguiente resultado:

\[ \nu=\frac{1}{0.5s}=2Hz \]


Para obtener la longitud de onda, se utliliza la siguiente relación:

\[ \tau=\frac{\lambda}{v}\rightarrow\lambda=v\tau \]


De donde la velocidad se obtiene a partir de la siguiente definición: $v=\frac{l}{t}=\frac{4.5m}{1.5s}=3m/s$

Entonces $\lambda=(3m/s)(0.5s)=1.5m$.

Ana Alarid (discusión) 01:46 12 mar 2014 (UTC)


Problema 2.5

Con un martillo vibrante se golpea el extremo de una barra de metal larga de manera que una onda de compresion periodica con una longitud de onda de 4.3m recorra todo lo largo de la barra con una velocidad de $v=3.5\frac{km}{s}$

¿Cual sera la frecuencia de la vibración?


Teniendo los datos: $\lambda=4.3m$ y $v=3500\frac{m}{s}$


De la ecuacion $v=f\cdot\lambda$ obtendremos la frecuencia.

$v=f\cdot\lambda$


$f=\frac{v}{\lambda}$


$f=\frac{4.3m}{3500\frac{m}{s}}$


$f=1.22\times10^{-3}Hz$

Mario Moranchel (discusión) 06:42 18 mar 2014 (UTC)


Problema 2.6

Durante la boda de dos buceadores, se sumerge un violín en la piscina. Dado que la velocidad de las ondas de compresión en agua pura es de 1.498 m/s. ¿Cual es la longitud de una nota la, de 440 Hz que se toca en dicho instrumento?

Conocemos la velocidad de la onda en el agua que es $\upsilon=1.498\frac{m}{s}$ y conocemos también la frecuencia de la nota que es $\upsilon=440Hz=440\frac{ciclos}{s}$

Ahora bien si queremos encontrar la longitud de la onda, recurrimos a la ecuación

\[ \upsilon=\nu\lambda \]


De donde conocemos todo excepto la longitud de onda, solo requiere de un sencillo despeje para encontrar $\lambda$

Haciendo el despeje la ecuación queda:

\[ \lambda=\frac{\upsilon}{\nu} \]


Sustituimos nuestros datos

\[ \lambda=\frac{1.498\frac{m}{s}}{440\frac{ciclos}{s}} \]


Y obtendremos que \[ \lambda=0.0034m \]


Usuario:Daniel Olvera Moreno ) 05:29 21 mar 2014 (UTC)


Problema 2.7

Un pulso de onda tarda $2.0 s$ en recorrer $10 m$ a lo largo de una cuerda, se genera una perturbación armónica con una longitud de onda de $0.5 m$ en la cuerda. ¿Cuál es su frecuencia?

De los datos proporcionados sabemos que si la perturbación armónica tiene una longitud de onda de $\lambda=0.5 m$ de manera que el pulso completa 20 "ciclos" en los $10 m$ recorridos.

De esta forma el periodo de la perturbación es\[ \tau= \frac{2 s}{20}= 0.1 s\]

Entonces la frecuencia es\[ f= \frac{1}{\tau}=\frac{1}{0.1 s}=10 Hz \]


Brenda Pérez Vidal (discusión) 18:16 27 mar 2014 (UTC)


Problema 2.8

2.8 Demuestre que para una onda periódica $\omega=(\frac{2\pi}{\lambda})v$

La mayoría de las ondas son el resultado de muchas perturbaciones sucesivas del medio. Cuando dichas perturbaciones se producen a intervalos regulares y todas son de la misma forma, estamos frente a una onda periódica.

Una onda periódica posee periodo (número de unidades de tiempo por onda) y frecuencia (número de ondas por unidad de tiempo), establecidas por:

$Periodo$ \begin{equation} \tau=\frac{\lambda}{v}.... (i) \end{equation} donde $\tau$ es el periodo de onda, $\lambda$ es la longitud de onda y $v$ se refiere a la velocidad con la que viaja la onda.

$Frecuencia$ \begin{equation} \nu=\frac{\omega}{2\pi}....(ii) \end{equation} donde $\nu$ es la frecuencia de la onda, $\omega$ es la frecuencia angular de la onda.

De $(ii)$ despejamos $\omega$

\begin{equation} \omega=\nu 2\pi ....(iii) \end{equation}

También sabemos que el inverso del periodo es la frecuencia $(\nu=\frac{1}{\tau})$

Utilizando la expresión $(iv)$ y sustituyendola en $(iii)$

\begin{equation} \nu=\frac{1}{\tau} ....(iv) \end{equation}

\begin{equation} \omega= \frac{2\pi}{\tau} \end{equation}

Sustituyendo $(i)$ en $\tau$

\begin{equation} \omega= \frac{2\pi}{\frac{\lambda}{v}} \end{equation}

Por lo tanto:

\begin{equation} \omega= (\frac{2\pi}{\lambda})(v) \end{equation}


Angel Nahir Molina Guadarrama (discusión) 11:13 23 mar 2014 (UTC)


Problema 2.12

2.12 El perfil de una onda armónica, que viaja con velocidad de 1.2 m/s en una cuerda,esta dado por

\(\displaystyle{y=\left(0.02m\right)\sin\left(157m^{-1}\right)x}\)

Calcule su amplitud, su longitud de onda, su frecuencia y su periodo

Se observa que la ecuación no muestra dependencia del tiempo, por lo obedece a la ecuación (2.12) del libro

\(\displaystyle{\psi(x)=A\sin(kx)}\)

de donde es inmediatos su amplitud A=0.02m y número de onda \(k=157m^{-1}\), por lo que su longuitud de onda esta dada por:

\(\displaystyle{\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{157m^{-1}}=0.04m}\)

su frecuencia esta dada ṕor la ecuación (2.19), entonces:

\(\displaystyle{\nu=\frac{v}{\lambda}=\frac{1.2\frac{m}{s}}{0.04m}=30Hhz}\)

Finalmente, su periodo esta dado por:

\(\displaystyle{\tau=\frac{1}{\nu}=\frac{1}{30}s}\)

Pérez Córdoba Sabino (discusión) 17:56 26 mar 2014 (UTC)


Problema 2.13

2.13 Usando las funciones de onda

\(\psi_{1}=4\sin2\pi\left(0.2x-3t\right) \)

\(\psi_{2}=\frac{\sin\left(7x+3.5t\right)}{2.5} \)

determine en cada caso los valores de

a)amplitud,

b)frecuencia,

c)velocidad de fase,

d)longitud de onda,

e)periodo,

f)dirección del movimiento.


El tiempo se expresa en segundos y x en metros.


Solución:

Partimos de la ecuación de onda: \[ \psi=Asin(kx \pm \omega t)...(1) \] En donde podemos factorizar $2 \pi$ del alrgumento y escribir:

\[ \psi=Asin2 \pi (\frac{k}{2 \pi} x \pm \frac{\omega}{2\pi}t) ...(2)\]

Definimos a:

\[ \frac{k}{2\pi}=\chi \] \[ \frac{\omega}{2\pi}=\nu \]

\[ \psi=Asin 2\pi(\chi x \pm \nu t)...(3) \] De esta ecuación podemos identificar la:

Amplitud: $A$

Frecuencia: $\nu$

Número de onda: $\chi$

Tambien sabemos que:

Velocidad de fase: $V= \pm \frac{\omega}{k}$

Longutud de onda: $\frac{V}{\nu}$


Con lo anterior, dada $ \psi_1 = 4 sin2\pi (0.2 x - 3t)$

a) Amplitud = 4 m

b) Frecuencia = 3 Hz

c) Velocidad de fase = $\frac{\omega}{k}=\frac{\nu}{\chi}=\frac{3 Hz}{0.2 m^{-1}}=15 m/s$

d) Longitud de onda = $\frac{V}{\nu}= \frac{15}{3}=5 m$

e) Periodo = $\frac{1}{\nu}=0.333... s$

d) dirección del movimiento:

Hacia la derecha.



Para la función $ \psi_2 \frac{1}{2.5} sin(7x + 3.5t) $

a) Amplitud = $\frac{1}{2.5}=0.4 m$

b) Frecuencia = $\frac{\omega}{2\pi}=\frac{3.5}{2\pi}=0.55 Hz$

c) Velocidad de fase = $\frac{\omega}{k}=\frac{3.5}{7}=0.5 m/s$

d) Longitud de onda = $\frac{2\pi}{k}= \frac{2/pi}{7}=0.897 m$

e) Periodo = $\frac{2\pi}{\omega}=1.795 s$

d) dirección del movimiento:

Hacia la izquierda.


Resuelto por: --Luis Santos (discusión) 13:13 28 mar 2015 (CDT)

Problema 2.14

2.14 Demuestre que, \(\psi(x,t)=Asen(k(x-vt))\) es una solucion de la ecuacion diferencial de onda.

Demostración

De la solución propuesta se observa que se trata de la ecuación de direferncial de onda en una dimensión, luego, para ser soloción debe satisfacer la ecuación

\(\displaystyle{\frac{\partial² \psi}{\partial x²}=\frac{1}{v²}\frac{\partial² \psi}{\partial t²}}\)

La segunda derivada parcial respecto de x esta dada por

\(\displaystyle{\frac{\partial² \psi}{\partial x²}=\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial \psi}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(kA\cos(kx-kvt))=-k²A\sin(kx-kvt)}\)

La segunda derivada parcial respecto de t esta dada por

\(\displaystyle{\frac{\partial² \psi}{\partial t²}=\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial \psi}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}(-kvA\cos(kx-kvt))=-k²v²A\sin(kx-kvt)}\)

Al sustituilas en la ecuacion diferencial de onda se tiene

\(\displaystyle{-k^{2}A\sin(kx-kvt)=-\frac{1}{v^{2}}kv^{2}A\sin(kx-kvt)}\)

Como la última igualdad es cierta, entonces es solución de la ecuación diferencial de onda en una dimensión.

Pérez Córdoba Sabino (discusión) 21:17 17 mar 2014 (UTC)


Problema 2.15

2.15 Demuestre que si el desplazamiento de la cuerda de la figura 2.7 está dado por \(y(x,t)=A \sin[kx - \omega t + \varepsilon]\) entonces la mano que genera la onda se debe mover verticalmente con movimiento armónico simple.

Vemos que el movimiento de la cuerda en la figura $2.7$ corresponde al de una onda armónica que se desplaza a lo largo del eje $x$ durante un tiempo de un período, en este caso cualquier punto de la cuerda se desplaza sólo verticalmente, entonces podemos derivar la ecuación de movimiento como sigue:

\[ \frac{\partial}{\partial x} y(x,t)=k A \cos[kx - \omega t + \varepsilon] \]

\[ \frac{\partial^2}{\partial x^2} y(x,t) = k^2 A \sin[kx - \omega t + \varepsilon] \]

Vemos que en la segunda derivada aparece la primer derivada, al sustituirla se llega a la siguiente expresión:

\[ \ddot{y}=-k^2 y(x,t) \rightarrow \ddot{y}+k^2y=0 \]

Se observa que corresponde a la ecuación de un movimiento armónico simple realizado verticalmente.

Brenda Pérez Vidal (discusión) 16:49 27 mar 2014 (UTC)


Problema 2.16

2.16 Escriba la expresion para la onda armonica de amplitud \(10^{3}V/m\) , periodo \(2.2x10^{-15}s\) ,y velocidad \(3x10^{8}m/s\) .La onda se propaga en la direccion negativa de X y tiene un valor de \(10^{3}V/m\) en t=0 y x=0.

R\[\tau=2.2x10^{-15}s\]


sabiendo que \(\nu=\frac{1}{\tau}\)


\(\nu=\frac{1}{2.2x10^{-15}s}=4.5x10^{14}Hz\)


obtenemos la longitud de onda con \(v=\nu\lambda\)


es decir \(\lambda=\frac{v}{\nu}=\frac{3.8x10^{8}m/s}{4.5x10^{14}Hz}\)


\(\lambda=6.6x10^{-7}m\)


obtenemos K de la formula \(k=\frac{2\pi}{\lambda}=9.5x10^{6}m^{-1}\)


Sabiendo que la expresion de la ecuacion de onda es

\(\psi(x,t)=A\cos\left[kx+\omega t\right]\)


sustituimos los datos antes encontrados para hallar la expresion que nos piden.

\(\psi(x,t)=\left(10^{3}\right)\cos\left[9.5x10^{6}\left(x+3x10^{8}t\right)\right]\)

- --Leticia González Zamora (discusión) 15:27 20 jun 2013 (CDT)


Problema 2.17

2.17 Considere el pulso descrito en términos de sus desplazamientos en $t=0$ por $y(x,t)|_{t=0}=\frac{C}{2+x^{2}}$ donde $C$ es una constante. Dibuje el perfil de onda. Escriba una expresión para la onda que tiene una velocidad $v$ en la dirección negativa de $x$, como función del tiempo $t$. Si $v=1\frac{m}{s}$, dibuje el perfil en $t=2s$.


$\;$

De la expresión $y(x,t)|_{t=0}=\frac{C}{2+x^{2}}$ notamos que el máximo de la función se encuentra cuando $x=0$ y por tanto el máximo siempre estará en $y_{max}=\frac{C}{2}$.

Perfil11.png

De la expresión anterior debido a que esta al tiempo $t=0$ la velocidad de la onda no contribuía, ahora bien la expresión para una onda con cierta velocidad para ester perfil esta dada por \[ y(x,t)=\frac{C}{2+(x+vt)^{2}} \] el sigo se debe a que queremos ver la onda desplazada a la izquierda o dirección negativa del $eje\; x$.

La gráfica al tiempo $t=2s$ con una velocidad $v=1\frac{m}{s}$ se muestra a continuación.

Perfil123.png

Nuevamente se toman 3 valores distintos para $C$.


Luis Miguel Sánchez Mtz. (discusión) 05:46 26 mar 2014 (UTC)


Problema 2.18

2.18 Determine la magnitud de la función de onda $\psi(z,t)=Acos[k(z+vt)+\pi]$ en el punto $z=0$, cuanto $t=\frac{\tau}{2}$ y cuando $t=\frac{3\tau}{4}$.

Partimos de la ecuación de la onda

\[\psi(z,t)=Acos[k(z+vt)+\pi]\]

Evaluamos en $z=0$ y nos queda

\[\psi(0,t)=Acos[kvt+\pi]\]

sustituimos $kv=\omega$ y entonces tenemos

\[\psi(z,t)=Acos[\omega t+\pi]\]

pero como $-Acos[\omega t]=Acos[\omega t+\pi]$ tenemos que

\[\psi(z,t)=-Acos[\omega t]\]

Finalmente sustituimos para $t=\frac{\tau}{2}$ y luego para $t=\frac{3\tau}{4}$ y obtenemos los resultados siguientes para cada caso.


$\psi(0,\frac{\tau}{2})=-Acos[\omega\frac{\tau}{2}]=-Acos(\pi)^{-1}=A$


y para $\psi(0,\frac{3\tau}{4})=-Acos[\omega\frac{3\tau}{4}]=-Acos(\frac{3}{4}\pi)=0$

Pedro Pablo Ramírez Martínez (discusión) 01:48 28 mar 2014 (UTC)


Problema 2.19

2.19 ¿La siguiente función en la que $A$ es una constante, $\psi(y,t)=(y-vt)A$ representa una onda? Explique su raznamiento.

$\;$

Como $\psi(y,t)=(y-vt)A$ es solo función de $(y-vt)$ cumple las condiciones de una ecuación de onda, donde \[ \frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^{2}}=\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}=0 \]


y así esta función es una solución a la ecuación de onda. Sin embargo, \[ \psi(y,0)=Ay, \] por lo que no puede representar un perfil de onda.

Luis Miguel Sánchez Mtz. (discusión) 06:50 22 mar 2014 (UTC)


Problema 2.20

Utilice la ecuación (2.33) para calcular la velocidad de la onda cuya representación en unidades SI es $\psi(y,t) = A \cos\left[\pi\left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right)\right]$

La ecuación (2.33) nos dice que\[ \left(\dfrac{\partial x}{\partial t}\right)_\varphi = \pm \dfrac{\omega}{k} = \pm v \hspace{20pt} \cdots \hspace{20pt} (2.33) \]

pero nuestra representación está dada en términos de $\psi(y,t)$, por lo que podemos reescribir la ecuación como\[ \left(\dfrac{\partial y}{\partial t}\right)_\psi = \pm \dfrac{\omega}{k} = \pm v \]

y también sabemos que la ecuación está dada en términos del siguiente cociente(ecuación 2.32 del texto con las variables adecuadas)\[ \left(\dfrac{\partial y}{\partial t}\right)_\psi = \dfrac{-\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial t}\right)_y}{\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial y}\right)_t} \hspace{20pt} \cdots \hspace{20pt} (2.32) \]

Calculando ahora las derivadas\[ -\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial t}\right)_y = - \left\{ - 9x10^{14} A \pi \sin \left[ \pi \left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right) \right] \right\} = 9x10^{14} A \pi \sin \left[ \pi \left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right) \right] \\ \left(\dfrac{\partial \psi}{\partial y}\right)_t = - 3x10^{6} A \pi \sin \left[ \pi \left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right) \right] \]

Por lo que, sustituyendo en la ecuación (2.32)\[ \left(\dfrac{\partial y}{\partial t}\right)_\psi = \dfrac{-\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial t}\right)_y}{\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial y}\right)_t} = \dfrac{9x10^{14} A \pi \sin \left[ \pi \left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right) \right]}{- 3x10^{6} A \pi \sin \left[ \pi \left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right) \right]} = - \dfrac{9x10^{14}}{3x10^{6}} \]

Y realizando la operación obtenemos la velocidad deseada(en unidades SI como lo indica el enunciado)\[ v = \left(\dfrac{\partial y}{\partial t}\right)_\psi = -3x10^8 m/s = -c \]

donde el signo negativo($-$) indica que la dirección de propagación es hacia la izquierda.

Ivan de Jesús Pompa García (discusión) 00:50 27 mar 2015 (CDT)


Problema 2.21

2.21 Comenzando por el siguiente teorema: sí \(Z=f_{(x,y)}\),\(x=g_{(t)}\) y \(y=h_{(t)}\) Entonces\[\frac{\delta Z}{\delta t}=\frac{\partial Z}{\partial x}\frac{\delta x}{\delta t}+\frac{\partial Z}{\partial y}\frac{\delta y}{\delta t}\]


Derivar la ecuacion: (2.34)

\(\left.v=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial y}}\right\} 2.35\)


En general tenemos que una funcion de onda cualquiera posee la forma.

\(\Psi_{(\bar{r},t)}=\psi\)


Sin perdida de generalidad consideramos el mivimiento sobre un eje de porpagacion “y”

\(\Psi_{(y,t)}=\psi\)


Entonces por regla de la cadena (el teorema propuesto.)

\(\frac{\delta\psi}{\delta t}=\frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{\delta y}{\delta t}+\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{\delta t}{\delta t}\)


De aqui sabemos que para una perturbacion que no cambia con el tiempo\[\frac{\delta\psi}{\delta t}=0\]


Asimismo la diferencial del tiempo respecto al tiempo es uno, entonces, tras estas simplificaciones obtenemos.

\(0=\frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{\delta y}{\delta t}+\frac{\partial\psi}{\partial t}\)


Despejando\[\frac{\delta y}{\delta t}=v\]


\(v=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial y}}\)


La cual es la ecuacion 2.34. --Andrés Arturo Cerón Téllez (discusión) 23:48 5 jul 2013 (CDT)

El problema yo lo realice de la siguiente manera:

2.21. Empezando por el siguiente teorema: Si $z=f(x,y)$ y $x=g(t)$, $y=h(t)$, entonces:

\[ \frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt} \]


Derive la ecuación (2.34)

Sabemos que la ecuación (2.34) es:

\[ \pm v=-\frac{\left(\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)_{x}}{\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)_{t}} \]


Ya que sabemos que

\[ \frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt} \]


Luego:

\[ \left(\frac{d\psi}{d\varphi}\right)_{\varphi}=\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dx}{d\varphi}+\frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{dy}{d\varphi} \]


Y ya que en nuestro caso $\left(\frac{d\psi}{d\varphi}\right)$ es constante en $\varphi$, entonces la ecuación se vuelve

\[ \text{-}\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}=\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dx}{d\varphi} \]


\[ \frac{dx}{d\varphi}=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}} \]


Pero ádemas, es posible reescribir a $\frac{dx}{d\varphi}=\frac{\partial x}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}$, asi:

\[ \frac{\partial x}{\partial t}=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dt}{d\varphi}} \]


Asi finalmente, la ecuación se puede reescribir como:

\[ \pm v=\left(\frac{\partial x}{\partial t}\right)_{\varphi}=-\frac{\left(\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)_{x}}{\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)_{t}} \]


--Cesar Ivan Avila Vasquez 23 Marzo 2014 21:29 (CDT)


Problema 2.22

2.22. Utilizando los resultados del problema anterior, demuestre que para una onda armónica con una fase $\varphi(x,t)=k(x-vt)$ podemos calcular la velocidad estableciendo $\frac{d\varphi}{dt}=0$. Aplique la tecnica al problema 2.20 a fin de calcular la velocidad de dicha onda.

Veamos primero que dicha fase cumple con la definición, entonces tenemos lo siguiente:

\[ \psi(x,t)=Asen(k(x-vt)) \]


\[ \frac{\partial\psi}{\partial x}=kAsen(k(x-vt)) \]


\[ \frac{\partial\psi}{\partial t}=-kvAsen(k(x-vt)) \]


Luego:

\[ -\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}}=-\frac{(-kv)Asen(k(x-vt))}{kAsen(k(x-vt))}=v \]


Por lo cuál, la función cumple con la definición. Ahora veamos que si $\frac{d\varphi}{dt}=0$ entonces la funcion sigle cumpliendo.

Del problema (2.21) tenemos que por definición:

\[ \frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}=\frac{d\psi}{d\varphi}-\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dx}{d\varphi} \]


\[ \frac{\partial x}{\partial t}=\frac{\frac{d\psi}{d\varphi}-\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dt}{d\varphi}} \]


\[ \frac{\partial x}{\partial t}=\frac{\frac{d\psi}{d\varphi}\frac{d\varphi}{dt}\frac{dt}{d\varphi}-\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dt}{d\varphi}}=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial t}} \]

Cesar Ivan Avila Vasquez 23 Marzo 2014 21:36 (CDT)



Problema 2.23

2.23 Una onda gaussiana, tiene la forma $\psi(x,t)=A^{-a(bx+ct)^{2}}$.Utilize el que $\psi(x,t)=f(x\pm vt)$ para calcular su velocidad, comprobando luego su respuesta con la ecuación (2.3).

Se utliza la siguuente definición de velocidad: \[ \pm v=-\left(\frac{\left(\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)_{x}}{\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)_{y}}\right) \]


Se resuelven ambas partes de la ecuación por separado:

\[ \psi_{x}=(-2a)A(b)e^{-(abx+ct)^{2}} \]


\[ \psi_{y}=-(2a)Ace^{-(bx+ct)^{2}} \]


Al sustituir los resultados obtenidos en la definicón de velocidad:

\[ v=\frac{(-2a)Ace^{-(abx+ct)^{2}}}{(-2a)Abe^{-(abx+ct)^{2}}}=\frac{c}{b} \]


Se obitene el resultado de la ecuación 2.3: $v=\frac{c}{b}$

Ana Alarid (discusión) 18:43 27 mar 2014 (UTC)


Problema 2.24

2.24 Encuentre una expresión para el perfil de una onda armónica que viaja en la dirección de $z$ cuya magnitud en $z=-\frac{\lambda}{12}$ es 0.866, en $z=+\frac{\lambda}{6}$ es $\frac{1}{2}$ y en $z=\frac{\lambda}{4}$ es 0.

Utilizamos la función de onda armónica en el que $t=0$ puesto que $\varepsilon$ es una contribución constante a la fase y además es independiente del recorrido de la onda en términos de espacio y de tiempo: \begin{equation} \psi(z,0)=Asen(kz+\varepsilon); \end{equation} donde $\psi$ es la propagación de la onda, $A$ es la amplitud, $k$ es el número de onda que está dada por $k=\frac{2\pi}{\lambda}$, $z$ corresponde a la dirección de propagación y $\varepsilon$ es la fase inicial.

A continuación escribimos las condiciones iniciales:

\begin{equation} \psi(-\frac{\lambda}{12},0)=Asen(-\pi/6 + \varepsilon)=0.866 ....(I) \end{equation}

\begin{equation} \psi(\frac{\lambda}{6},0)=Asen(-\pi/3 + \varepsilon)=\frac{1}{2} ....(II) \end{equation}

\begin{equation} \psi(\frac{\lambda}{4},0)=Asen(-\pi/2 + \varepsilon)=0 ....(III) \end{equation}


Para obtener el valor numérico de $\psi$ es necesario encontrar los valores para $\varepsilon$ y por consiguiente la amplitud $A$ y en conclusión obtener el perfil que se nos pide. Para ello utilizamos la expresión $(III)$ puesto que es más sencilla de manipular y está igualada a 0. Utilizamos la identidad trigonométrica de suma de dos ángulos que involucra a senos y cosenos.

\begin{equation} A=sen(\pi/2+\varepsilon)=A[sen(\pi/2)cos(\varepsilon)+cos(\pi/2)sen(\varepsilon)] \end{equation}

Simplificamos

\begin{equation} =Acos(\varepsilon)=0 \end{equation}

Despejamos $\varepsilon$ y obtenemos su valor \begin{equation} \varepsilon=\frac{\pi}{2} \end{equation}

Ahora bien para encontrar $A$ podemos utilizar la expresión $(I)$ o $(II)$. Utilizando la expresión $(II)$ y sustituyendo el valor encontrado para $\varepsilon$:

\begin{equation} Asen(\pi/3 + \pi/2)=Asen(5\pi/6)=\frac{1}{2} \end{equation}

Así \begin{equation} A(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}; A=1 \end{equation}

Por lo tanto, la expresión para el perfil de una onda armónica que viaja en la dirección de $z$ es:

\begin{equation} \psi(z,0)=sen(kz+\pi/2) \end{equation}

Angel Nahir Molina Guadarrama (discusión) 01:37 23 mar 2014 (UTC)


Problema 2.26

2.26.Establezca cuáles de las expresiones siguientes describen ondas viajeras:

(a) $\psi(y,t)=\exp-(a^{2}y^{2}+b^{2}t^{2}-2aybt)$

(b) $\psi(z,t)=Asen(az^{2}-bt^{2})$

(c) $\psi(x,t)=Asen2\pi\left(\frac{x}{a}+\frac{t}{b}\right)^{2}$

(d) $\psi(x,t)=Acos^{2}2\pi(t-x)$

Para la onda (a), si la reescribimos como sigue:

$\psi(y,t)=\exp-(a^{2}y^{2}+b^{2}t^{2}-2aybt)\Rightarrow\exp-a^{2}(y-\frac{b}{a}t)^{2}$ es evidente que se trata de una onda viajera, ya que cumple con las características de una.

Para la onda (b), es claro que no se comporta como una onda viajera, ya que la función no es lineal, una característica de las ondas viajeras.

Para la onda (c), es viajera, por que el término dentro del argumento es lineal, y nos dice que la onda se desplaza en una dirección diferente, hacia la izquierda.

Para la onda (d), no es viajera, por que la función $cos^{2}(x)$ no cumple con la definición de onda viajera.

Cesar Ivan Avila Vasquez 23 Marzo 2014 21:37 (CDT)


Problmea 2.30

make up a table with columns headed by values of kx runing from \(x=\frac{\lambda}{2}\) to \(x=\lambda\) in intervals of x of \(\frac{\lambda}{4}\). In each columns place the corresponding values of cos kx and beneath that the values of cos kx+pi Next plot the functions cos kx, coskx+pi, and cos kx+coskx+pi

Hacer una tabla con columnas encabezadas por los valores de kx runing desde \(x=\frac{\lambda}{2}\) to \(x=\lambda\) en intervalos de x de \(\frac{\lambda}{4}\). En cada columna colocan los correspondientes valores de cos kx y bajo que los valores de cos kx + pi. Grafique las funciones cos kx, coskx + pi, y cos kx + coskx + pi.

Solución:


Tabla30.jpg
Graf30.jpg

Problema resuelto por --Luis Velázquez (discusión) 20:08 27 mar 2015 (CDT)


Problmea 2.31

2.31. Trabajando directamente con exponenciales, demuestre que la magnitud de $\psi=A\exp iwt$ es A. A continuación, vuelva a calcular el mismo resultado utilizando la fórmula de Euler. Demuestre que $\exp i\alpha\exp i\beta=\exp i(\alpha+\beta)$

Sabemos que la magnitud de $\psi$ sera igual a su modulo, es decir:

$|\psi|=\psi\psi*^{\nicefrac{1}{2}}$ y que $\psi*=A\exp-iwt$ por definición.

Luego:

$|\psi|=\left[\left(A\exp iwt\right)\left(A\exp-iwt\right)\right]^{\frac{1}{2}}=\left[A^{2}\exp iwt-iwt\right]^{\frac{1}{2}}=\left(A^{2}\exp0\right)^{\frac{1}{2}}=A$

Ahora, usando la fórmula de Euler, tenemos que:

$|\psi|=\left[\left(A\exp iwt\right)\left(A\exp-iwt\right)\right]^{\frac{1}{2}}$

$|\psi|=\left[A(coswt+isenwt)A(coswt-isenwt)\right]^{\frac{1}{2}}$

$|\psi|=\left[A^{2}\left(cos^{2}wt-isen(wt)cos(wt)+isen(wt)cos(wt)+sen^{2}wt\right)\right]^{\frac{1}{2}}$

$|\psi|=\left[A^{2}(cos^{2}wt+sen^{2}wt)\right]^{\frac{1}{2}}=(A^{2})^{\frac{1}{2}}=A$

Demostremos ahora que $\exp i\alpha\exp i\beta=\exp i(\alpha+\beta)$

$\exp i\alpha\exp i\beta=\left(cos\alpha+isen\alpha\right)\left(cos\beta+isen\beta\right)$

$\exp i\alpha\exp i\beta=cos\alpha cos\beta+icos\alpha sen\beta-icos\beta sen\alpha+i^{2}sen\beta sen\alpha$

$\exp i\alpha\exp i\beta=cos\alpha cos\beta+icos\alpha sen\beta-icos\beta sen\alpha-sen\beta sen\alpha=(cos\alpha cos\beta-sen\alpha sen\beta)+i(cos\alpha sen\beta+sen\alpha cos\beta)$

$\exp i\alpha\exp i\beta=cos(\alpha+\beta)+isen(\alpha+\beta)=\exp i(\alpha+\beta)$

Cesar Ivan Avila Vasquez 23 Marzo 2014 21:38 (CDT)


Problema 2.32

2.32 Demuestre que la parte imaginaria de un número complejo z esta dada por $\left(z-z^{\star}\right)/2i$.

Solución:

Sea z perteneciente a los complejos


$z=a+ib$


y su conjugado


$z^{\star}=a-ib$


entonces:


$z-z^{\star}=a+ib-(a-ib)$


$z-z^{\star}=2ib$

Dividimos entre $2i$


$z-z^{\star}/2i=2ib/2i$


$\left(z-z^{\star}\right)/2i=b$


que es la parte imaginaria del número complejo z.

Edgar Ortega Roano (discusión) 17:43 18 mar 2014 (CDT) Cesar Ivan Avila Vasquez (discusión) 21:53 26 Marzo 2014 (UTC)


Problema 2.34

2.34

Demuestre que las ecuaciones $\psi(x,y,z,t)=f(\alpha x+\beta y+\gamma z-vt)$ y $\psi(x,y,z,t)=f(\alpha x+\beta y+\gamma z+vt)$ que son ondas planas de forma arbitraria, cumplen con la ecuacion diferencial de onda tridimensional.

Solución:

De la ecuación de onda tridimensional ,$\nabla^{2}\psi=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}$, obtenemos el Laplaciano para nuestras ecuaciones, así $\nabla^{2}\psi=\alpha^{2}f^{´´}+\beta^{2}f^{´´}+\gamma^{2}f^{´´}$ es el Laplaciano para ambas ecuaciones.

Ahora al calcular $\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}$ obtenemos que $\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}=v^{2}f^{´´}$ para ambas ecuaciones.

Por lo que al sustituir en la ecuación de onda tridimensional obtenemos.

$f^{´´}(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2})=f^{´´}$

Por lo que para cualquier onda tridimensional se debe cumplir que $\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}=1$.

Edgar Ortega Roano (discusión) 17:52 18 mar 2014 (CDT)


Problema 2.35

2.35. La hipótesis de De Broglie afirma que cada partícula tiene asociada a ella una longitud de onda dada por la constante de Planck ($h=6.6x10^{-34}Js$), dividida por el momento de la partícula.

Compare la longitud de onda de una piedra de 6.0 kg moviendosea una velocidad de 1 m/s con la de la luz.

Tenemos que:

\[ \lambda=\frac{h}{p} \]


Para la piedra tenemos entonces que:

\[ \lambda=\frac{6.6x10^{-34}Js}{(6kg)(1m/s)}=1.1x10^{-34}m \]


Y sabemos ádemas que la longitud de onda de la luz se encuentra en un intervalo de $\lambda=\left[3.8,7.5\right]x10^{-7}m$, entonces, comparando ambas longitudes de onda notamos que la asociada a la piedra es mucho más pequeña que la de la luz, si la longitud de onda de la luz fuera más pequeña que la de la piedra, la luz atravesaria la piedra.

Cesar Ivan Avila Vasquez 23 Marzo 2014 21:40 (CDT)


Problema 2.36

Escribe una expresión para la onda mostrada en la figura P.2.36. Encuentra la velocidad de onda, velocidad, frecuencia y periodo. Solución : Figure P.2.36.png

a) La forma matemática de la descripción de una función de onda es\[\psi(z,t)=Asen(kz \mp \omega t \pm \epsilon)\] Dado lo anterior podemos encontrar el número de onda K y la frecuencia \(\omega\), donde \(\epsilon\) a un tiempo cero, es igual a cero por lo tanto \(\epsilon =0 \). De las expresiones para el numero de onda \(K = \frac{2 \pi}{ \lambda}\) y \(\omega= \frac{2 \pi}{\tau}\), en donde \(\tau\) y \(\lambda\) son la frecuencia y la longitud de onda respectivamente, podremos reescribir la expresión para la onda como\[\psi(z,t)=A sen 2 \pi (\frac{z}{\lambda}-\frac{t}{\tau})\] El signo menos es por el desplazamiento de la función de onda a la derecha. Por el gráfico se observa que la longitud de onda es de cuatrocientos nanómetros, la amplitud es de 60 nanómetros y el periodo es de \(1.33x10^{-15}s\), dado que da un ciclo en ese tiempo. Por ende la expresión buscada es\[\psi(z,t)=A sen 2 \pi (\frac{z}{400x10^{-9} m}-\frac{t}{1.33X10^{-15}s})\]

b)Calculando la velocidad de onda\[v= \frac{\lambda}{\tau}=\frac{400x10^{-9}m}{1.33x10^{-15} s}=3x10^{8} \frac{m}{s}\]

c) Calculando la frecuencia y el periodo\[\nu = \frac{1}{\tau}= \frac{1}{1.33} x10^{15} Hz\]

\(\tau= 1.33x 10^{-15} s\)

--Pablo (discusión) 22:16 22 mar 2015 (CDT)


--Pablo (discusión) 22:23 21 mar 2015 (CDT)



Problema Adicional

La ecuación de onda transversal que se mueve a lo largo de una cuerda está dada por:

\(\Psi(z,t)=0.3\sin\pi\left(0.5z-50t\right) \)

Hallar la amplitud, la longitud de onda, el número de ondas, la frecuencia, el período y la velocidad de onda.

Solución:

Usando la ecuación


\[ \psi=A\sin2\pi\left(kz\pm\nu t\right) \]

\[ \psi=A\sin\pi\left(2kz\ - 2\nu t\right) \]

La amplitud\[A=0.3m\]

Longitud de onda

\(0.5=\frac{2}{\lambda}\)

\(\lambda=4m\)

Número de onda

\(2k=0.5\)

entonces

\(k=\frac{0.5}{2}\) \(k=0.25m^-1\)

La velocidad de onda \(v=(2) (50)\) \(v=100 m/s\)

Tomado de : Vibraciones y ondas. A. P. FRENCH pág. 277. Problema 7-2. Resuelto por:--Luis Velázquez (discusión) 10:56 26 mar 2015 (CDT)



Problema 2.1

¿Cuántas ondas de luz <<amarillas>> $(\lambda=580nm)$ caben en una distancia en el espacio igual al espesor de un trozo de papel $(0.003 pulgadas)$? ¿Hasta dónde se extenderá el mismo número de microondas $(\nu=10^{10}Hz$, es decir, $10GHz$ y $v=3x10^8m/s)$?

Solución:

La longitud de onda es la relación entre la velocidad de la onda y su frecuencia, que está dada por; \[\lambda=\frac{v}{\nu}\] Donde $v$ es la velocidad de la onda y $\nu$ es la frecuencia de la onda. La distancia $d$ recorrida por la onda es\[d=k*\lambda\]

Donde $k$ es el número de ondas propagadas, y $\lambda$ es la longuitud de onda.

ahora para saber cuántas ondas caben en el espesor del trozo de papel, convierto la longuitud de onda de la luz amarilla a metros\[\lambda_{amarillo} = (580nm) * \left(\frac{10^{-9}m}{1nm}\right)=580*10^{-9}m\]

despues convierto el espesor del papel en metros\[0.003in=(0.003in)* \left(\frac{2.54*10^{-2}m}{1in}\right)=7.62*10^{-5}m\]

calculamos el numero de ondas en la distancia en el espacio del espesor del papel, utilizamos lo que ya sabemos:

\[d=k*\lambda_{amarillo}\]

despejando y sustituyendo tenemos:

\[k=\frac{d_{papel}}{\lambda_{amarillo}}=\frac{7.62*10^{-5}m}{580*10^{-9}m}=131ondas\]

\(\therefore\) $131$ $ondas$ de luz amarilla caben en una distancia de $0.003$ $pulgadas$


para la segunda pregunta calculamos la longitud de onda con los datos que nos dan:

\[\lambda=\frac{v}{\nu}=\frac{3*10^8m/s}{10^{10}Hz}=0.03m\]

Ahora calculamos cuanta distancia se extenderá el mismo número de ondas con ésta longitud de onda:

\[\therefore d=k*\lambda=(131)(0.03m)= 3.9m\]


--Luis Martínez (discusión) 08:09 27 mar 2015 (CDT)



Problema 2.42

Escriba una expresión en coordenadas cartesianas para una onda plana armónica de amplitud $A$ y frecuencia $w$, que se propaga en la dirección del verctor $\overrightarrow{k}$, que a su vez, se encuentra en una línea que va desde el origen hasta el punto $(4,2,1)$. Hint: primero calcule $\overrightarrow{k}$ y luego haga el producto escalar con $\overrightarrow{r}=x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$.

Solución:


para obtener el vector $\overrightarrow{k}$ necesitamos encontrar un vector unitario en la direccion que nos piden y multiplicándolo por $k$. el vector unitario es\[\hat{a}= \frac{\left[(4-0)\hat{i} + (2-0)\hat{j} + (1-0)\hat{k} \right]}{\sqrt{4^2 + 2^2 + 1^2}}= \frac{4\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}}{\sqrt{21}} \]

ahora el vector $\overrightarrow{k}$ está dado por\[\overrightarrow{k}= k*\hat{a}=\frac{k*(4\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k})}{\sqrt{21}}\]

la expresión en cordenadas cartesianas de una onda plana armónica viene dada por\[\psi (x,y,z,t)=A*sen(\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r} - wt)\]\[\therefore \psi (x,y,z,t)=A*sen \left[\frac{4k}{\sqrt{21}}x + \frac{2k}{\sqrt{21}}y + \frac{k}{\sqrt{21}}z - wt\right]\]



--Luis Martínez (discusión) 17:05 27 mar 2015 (CDT)



Problema adicional 2

Una onda se propaga por una cuerda según la ecuación $ y = 0.2\sin(6\pi t + \pi x + \dfrac{\pi}{4})$. Calcular:

a) La frecuencia, el periodo, la longitud de onda y la velocidad de propagación.


b) El estado de vibración, la velocidad y aceleración de una partícula situada en x = 0.2 m en 0.3 s


c) La diferencia de fase entre dos puntos separados 0.3 m


a) La forma general de la ecuación de onda $y(x, t)= A \sin(\omega t + Kx +\delta)$


Partiremos de la frecuencia angular $\omega = 2 \pi; f = 6\pi rad/s; f= 3 Hz $

El periodo $ T = \dfrac{1}{f}= 0.333s$

Para la velocidad usamos $c= \dfrac{\omega}{k} = \dfrac{6\pi}{\pi} = 6 m/s $

b) Para x = 0.2 m, t= 0.3s. $$ y= 0.2\sin(6\pi*0.3 + \pi*0.2 + \dfrac{\pi}{4})= 0.2 \sin(7.069) = 0.1414 m $$

Velocidad $$\dfrac{dy}{dx} = 0.2 *6 \pi \cos (6 \pi t + \pi x \dfrac{\pi}{4})= 0.2*6 \pi \cos (7.069)= 2.66 m/s$$

Aceleración $$\dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}= -0.2(36\pi^{2})\sin(6\pi t + \pi x + \dfrac{\pi}{4} = 0,2(36\pi^{2}cos (7.069)= -50.25 m/s^{2}$$


c) $\vartriangle x= 0.3 m$


$\delta_{1} = 6 \pi t + \pi x + \dfrac{\pi}{4}$

$$\vartriangle \delta = \delta_{2} - \delta_{1}= 0.3\pi rad $$


$\delta_{2} = 6 \pi t + \pi (x + 0.3) + \dfrac{\pi}{4}$

Física General 10° Edición, Frederick J. Bueche. Eugene Hetch.


--Esther Sarai (discusión) 18:25 28 mar 2015 (CDT)Esther Sari García González


Problema 2.37

Escriba una j en coordenadas cartesianas para una onda plana armonica de amplitud \(A\) y frecuencia \(\omega\) que se propaga en direccion positiva de \(x\).


Primero se escribe un vector de posicion \(\textbf{r}=x \hat{\mathbf{e}}_x+y \hat{\mathbf{e}}_y+z \hat{\mathbf{e}}_z\) que comienza en el orige y termina en cualquier otro punto \((x,y,x)\).


De esta forma, lo podemos escribir como


\((\textbf{r}-\textbf{r}_{0})=(x-x_{0})\hat{\mathbf{e}}_x+(y-y_{0})\hat{\mathbf{e}}_y+(z-z_{0})\hat{\mathbf{e}}_z\) y


\((\textbf{r}-\textbf{r}_{0})\cdot\textbf{k}=0\) donde obligamos al vector \((\textbf{r}-\textbf{r}_{0})\) a barrer un plano perpendicalar a \(\hat{\mathbf{e}}_x\)


al ir adquiriendo su punto exremo \((x,y,z)\) com \(i=i_{x}\hat{\mathbf{e}}_x+i_{y}\hat{\mathbf{e}}_y+i_{z}\hat{\mathbf{e}}_z\) que se puede escribir tambien como


\(i_{x}(x-x_{0})+i_{y}(y-y_{0})+i_{z}(z-z_{0})=0\)


o tambien


\(i_{x}x+i_{y}y+i_{z}z=a\) donde \(a=cte\)


Asi un plano perpendicular a \(i\) es \( \) \(\textbf{i}\cdot\textbf{r}=a\)


Tomemos la funcion \(\psi{(r)}=A\sin{(\textbf{i}\cdot\textbf{r})}\)


\(\psi{(r)}=Acos{(\textbf{i}\cdot\textbf{r})}\)


o \(\psi{(r)}=Ae^{i\hat{\imath}\cdot\textbf{r}}\)


y la funcion armonica se puede escribir como


\(\psi{(r)}=\psi{(r+\frac{\lambda \hat{\imath}}{k})}\)


Para que esta funcion sea cierta se debe tener que


\(e^{i\lambda \hat{\imath}}=e^{i2\pi}\)


Por consiguiente \(\lambda i = 2\pi\)


despejando \(i\) se tiene \(i= \frac{2\pi}{\lambda}\)


Se tiene entonces que


\(\psi{(r,t)}=Ae^{i(\hat{\imath}\cdot\textbf{r}\pm\omega t)}\)


Para que esta funcion este orientada sobre el eje \(x\) solo se toma la coordenada \(x\) del vector \(\vec{r}\)


\(\psi{(r,t)}=Ae^{i(ix\pm\omega t)}\) asi que


\(\psi{(x)}=Ae^{i(ix\pm\omega t)}\)

Por tanto esta es la onda armonica en coordenardas cartesianas que se propaga en el eje \(x\).


Hector resendiz --Héctor Reséndiz (discusión) 19:23 29 mar 2015 (CDT)