Energia por variables complementarias

La energía de un sistema con respuesta lineal se puede obtener mediante el formalismo de variables complementarias .

Procedimiento tradicional

Recordando el procedimiento tradicional, se parte de la segunda ley de Newton:

\begin{equation} \textbf{F}= m\ddot{\textbf{r}} \end{equation}

Donde $\textbf{F}$ es fuerza, $m$ la masa y $\ddot{\textbf{r}}$ es la segunda derivada de la posición respecto al tiempo , por lo tanto es es la aceleración.

Después se usa la definición de trabajo, donde se realiza la integral del producto escalar con $d\textbf{r}$,

\begin{equation} \int \textbf{F}\cdot d\textbf{r}= m \int \ddot{\textbf{r}} \cdot d\textbf{r} \end{equation}

Ya se mencionó que $\ddot{\textbf{r}}$ es la aceleración, pero se sabe que la aceleración es el resultado de la primera derivada de la velocidad $\dot{\textbf{v}}$, entonces se puede sustituir eso,

\begin{equation} \int \textbf{F}\cdot d\textbf{r}= m \int \dot{\textbf{v}} \cdot d\textbf{r} \end{equation}

Cambiando un poco la notación, se puede sustituir $\dot{\textbf{v}}$ por $\frac{d \textbf{v}}{dt}$ para poder asociar la derivada respecto al tiempo a $d\textbf{r}$,

\begin{equation} \int \textbf{F}\cdot d\textbf{r}= m \int \frac{d\textbf{v}}{dt} \cdot d\textbf{r}=m\int d\textbf{v} \cdot \frac{d\textbf{r}}{dt} \end{equation}

La expresión $\frac{d\textbf{r}}{dt}$ es otra vez la definición de la velocidad, se sustituye y al integrar se obtiene lo siguiente:

\begin{equation} \int^{2}_{1} \textbf{F}\cdot d\textbf{r}=m\int_{0}^{v} d\textbf{v'} \cdot \textbf{v'}=\frac{1}{2}mv^{2} \end{equation}

Note que se cambio la notación en la integral para poder diferenciar la variable con el límite de integración.

A lo resultante se le conoce como la relación trabajo-energía cinética:

\begin{equation} \int^{2}_{1} \textbf{F}\cdot d\textbf{r}=\frac{1}{2}mv^{2} \end{equation}

El siguiente paso es hacer un análisis para la energía potencial. Para esto hay que tomar en cuenta que la fuerza depende de la acelereación y, en este caso, la haceleración es $\textbf{g}$, la cual es una cantidad vectorial que apunta hacia abajo y eso nos da un signo negativo, por lo tanto queda la siguiente expresión:

\begin{equation} \int \textbf{F}\cdot d\textbf{r}=\int m \left( -\textbf{g} \right) \cdot d\textbf{r} \end{equation}

El siguiente paso es ponerle límites de integración y calcular la integral.

\begin{equation} \int^{2}_{1} \textbf{F}\cdot d\textbf{r}=-m \int^{h}_{0} \left( \textbf{g} \right) \cdot d\textbf{r} \end{equation}

Se calcula la integral y se obtiene el siguiente resultado:

\begin{equation} \int^{2}_{1} \textbf{F}\cdot d\textbf{r}=-mgh \end{equation}

Eso significa que la energía potencial se define como el opuesto del trabajo realizado de ir de un punto a otro. Hay que resaltar los resultados de las integrales como cambios en las energías, sólo que se les dió un valor igual a cero en el punto inicial, pero se pueden representar de la siguiente forma :

\begin{equation} \int^{2}_{1} \textbf{F}\cdot d\textbf{r}=\Delta K \end{equation}

donde $K$ es la energía cinética,

\begin{equation} \int^{2}_{1} \textbf{F}\cdot d\textbf{r}=- \Delta U \end{equation}

donde $U$ es la energía potencial.

Ambas ecuaciones nos dan como resultado la siguiente relación:

\begin{equation} - \Delta U=\Delta K \end{equation}

Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 18:56 15 jun 2020 (CDT)

Algoritmo

Given two second order ordinary differential equations, evaluate the product of the solution of one of them times the other differential equation and viceversa. Take the difference between the two expressions. An invariant is obtained from integration of this result. (falta traducir)

Dadas dos ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden, evalúe el producto de la solución de una de ellas multiplicada por la otra ecuación diferencial y viceversa. Toma la diferencia entre las dos expresiones. La invariante es obtenida de la integración de este resultado.

LeonardoFR (discusión) 18:09 9 jun 2020 (CDT)

Energía de un oscilador armónico simple

La ecuación diferencial de un oscilador con posición $x$ y constante restitutiva $\kappa$ es \[m\ddot{x}+\kappa x=0,\] donde los puntos representan derivadas, de manera que $\ddot{x}$ representa la segunda derivada temporal de la posición, es decir, la aceleración.

Energía de un oscilador armónico con parámetro dependiente del tiempo

Permitamos ahora que $\kappa$, sea ahora una variable restitutiva dependiente del tiempo $\kappa=\kappa(t)$,

Energía de un medio continuo en una dimensión

Un medio mecánico continuo es la idealización de un medio que no está constituido por átomos. Observamos el material en volúmenes suficientemente grandes para que el conjunto de átomos exhiba solamente propiedades del conjunto pero suficientemente pequeño para describir el sistema como función de la posición.

Energía de una cuerda

Consideremos como primer ejemplo la energía en una cuerda tensa cuyos extremos se encuentran fijos. La ecuación de onda es \begin{equation} \partial_{z}^{2}\psi-\frac{1}{v^{2}}\partial_{t}^{2}\psi=0,\label{eq:waveq} \end{equation} Evaluate the time derivative of wave equation (\ref{eq:waveq}), \begin{equation} \partial_{z}^{2}\dot{\psi}-\frac{1}{v^{2}}\partial_{t}^{2}\dot{\psi}=0,\label{eq:wavec der} \end{equation} where $\dot{\psi}=\partial_{t}\psi$. Take the product of the velocity function $\dot{\psi}$ times the wave equation (\ref{eq:waveq}), \begin{equation} \dot{\psi}\partial_{z}^{2}\psi-\frac{1}{v^{2}}\dot{\psi}\partial_{t}^{2}\psi=0.\label{eq:wavec phi dot} \end{equation} Evaluate the product of the perturbation function $\psi$ times the derivative of wave equation (\ref{eq:wavec der}), \[ \psi\partial_{z}^{2}\dot{\psi}-\frac{1}{v^{2}}\psi\partial_{t}^{2}\dot{\psi}=0. \] The difference between these two PDE's is \[ \left(\psi\partial_{z}^{2}\dot{\psi}-\dot{\psi}\partial_{z}^{2}\psi\right)-\frac{1}{v^{2}}\left(\psi\partial_{t}^{2}\dot{\psi}-\dot{\psi}\partial_{t}^{2}\psi\right)=0. \] The two terms in parenthesis can be written in terms of partial derivatives to obtain a continuity equation \[ \partial_{z}\left(\psi\partial_{z}\partial_{t}\psi-\partial_{t}\psi\partial_{z}\psi\right)+\frac{1}{v^{2}}\partial_{t}\left(\left(\partial_{t}\psi\right)^{2}-\psi\partial_{t}^{2}\psi\right)=0, \] where $\dot{\psi}$ has been explicitly written as $\partial_{t}\psi$. In this 1+1 dimensional case, the divergence operator is simply the partial derivative with respect to $z$. Invoke the wave equation to rewrite the term involving the second time derivative in terms of the spatial derivative \[ \partial_{z}\left(\psi\partial_{z}\partial_{t}\psi-\partial_{t}\psi\partial_{z}\psi\right)+\frac{1}{v^{2}}\partial_{t}\left(\left(\partial_{t}\psi\right)^{2}-v^{2}\psi\partial_{z}^{2}\psi\right)=0. \] Multiply the equation by the tension $T$ and substitute $v^{2}=\frac{T}{\mu}$, to obtain the string continuity equation \begin{equation} \partial_{z}\left[\frac{1}{2}T\left(\psi\partial_{z}\partial_{t}\psi-\partial_{t}\psi\partial_{z}\psi\right)\right]+\partial_{t}\left[\frac{1}{2}\left(\mu\left(\partial_{t}\psi\right)^{2}-T\psi\partial_{z}^{2}\psi\right)\right]=0\label{eq:cont} \end{equation} There is then an assessed quantity, \begin{equation} \varrho=\underset{\textrm{kinetic energy}}{\underbrace{\frac{1}{2}\mu\left(\partial_{t}\psi\right)^{2}}}+\underset{\textrm{potential energy}}{\underbrace{-\frac{1}{2}T\psi\partial_{z}^{2}\psi},}\label{eq:rho kin + pot} \end{equation} where the differential equation (\ref{eq:cont}) has been multiplied by $\frac{1}{2}$ to comply with the usual definition of kinetic energy density, \begin{equation} \varrho_{\textrm{kin}}=\frac{1}{2}\mu\left(\partial_{t}\psi\right)^{2}.\label{eq:rho kin} \end{equation} The remaining term in the assessed density must then be a potential energy \begin{equation} \varrho_{\textrm{pot}}=-\frac{1}{2}T\psi\partial_{z}^{2}\psi.\label{eq:rho pot} \end{equation} At this stage, this assertion can be considered as a working hypothesis. The quantity $\varrho$ is then the total energy density of the string. The corresponding flow is \begin{equation} \mathbf{\Phi}_{\varrho}=\frac{1}{2}T\left(\psi\partial_{z}\partial_{t}\psi-\partial_{t}\psi\partial_{z}\psi\right).\label{eq:flow} \end{equation}

Mfgwi (discusión) 14:24 2 jul 2020 (CDT)

Mfgwi (discusión) 17:18 8 jun 2020 (CDT)