Energia por variables complementarias

La energía de un sistema con respuesta lineal se puede obtener mediante el formalismo de variables complementarias .

Procedimiento tradicional

Recordando el procedimiento tradicional, se parte de la segunda ley de Newton

\begin{equation} \textbf{F}= m\ddot{\textbf{r}}. \label{new} \end{equation}

Donde $\textbf{F}$ es fuerza, $m$ la masa y $\ddot{\textbf{r}}$ es la segunda derivada de la posición respecto al tiempo , por lo tanto es la aceleración.

Después se usa la definición de trabajo, donde se realiza la integral del producto escalar de \ref{new} con $d\textbf{r}$,

\begin{equation} \int \textbf{F}\cdot d\textbf{r}= m \int \ddot{\textbf{r}} \cdot d\textbf{r}. \end{equation}

Ya se mencionó que $\ddot{\textbf{r}}$ es la aceleración, pero se sabe que la aceleración es el resultado de la primera derivada de la velocidad $\dot{\textbf{v}}$, entonces se puede sustituir eso,

\begin{eqnarray*} \int \textbf{F}\cdot d\textbf{r}= m \int \dot{\textbf{v}} \cdot d\textbf{r}. \end{eqnarray*}

Cambiando un poco la notación, se puede sustituir $\dot{\textbf{v}}$ por $\frac{d \textbf{v}}{dt}$ para poder asociar la derivada respecto al tiempo a $d\textbf{r}$,

\begin{eqnarray*} \int \textbf{F}\cdot d\textbf{r}= m \int \frac{d\textbf{v}}{dt} \cdot d\textbf{r}=m\int d\textbf{v} \cdot \frac{d\textbf{r}}{dt}. \end{eqnarray*}

La expresión $\frac{d\textbf{r}}{dt}$ es otra vez la definición de la velocidad, se sustituye y al integrar se obtiene lo siguiente

\begin{eqnarray*} \int^{2}_{1} \textbf{F}\cdot d\textbf{r}=m\int_{0}^{v} d\textbf{v'} \cdot \textbf{v'}=\frac{1}{2}mv^{2}. \end{eqnarray*}

Note que se cambio la notación en la integral para poder diferenciar la variable con el límite de integración.

A lo resultante se le conoce como la relación trabajo-energía cinética

\begin{equation} \int^{2}_{1} \textbf{F}\cdot d\textbf{r}=\frac{1}{2}mv^{2}=\Delta\mathcal{E}_{k}. \label{cine1} \end{equation}

Donde $\mathcal{E}_{k}$ es la energía cinética. Cabe resaltar que, aunque el resultado de la integral fue $\frac{1}{2}mv^{2}$, sigue siendo una diferencia entre energías, sólo que una de ellas ( la inicial ) vale cero.

El siguiente paso es hacer un análisis para la energía potencial. Se tomará en cuenta un campo de fuerza $\textbf{F}$ conservativo. Para que sea un campo conservativo se tiene que cumplir que el trabajo no dependa del tiempo ni de la trayectoria entre los puntos 1 y 2, es decir

\begin{equation} \int^{2}_{1_{C1}}\textbf{F} \cdot d\textbf{r}=\int^{2}_{1_{C2}}\textbf{F} \cdot d\textbf{r}, \end{equation}

donde $C_{1}$ y $C_{2}$ son distintas trayectorias.

Del teorema de Stokes se obtiene

\begin{equation} \int^{2}_{1_{C1}}\textbf{F} \cdot d\textbf{r}+\int^{1}_{2_{C2}}\textbf{F} \cdot d\textbf{r}=\oint\textbf{F} \cdot d\textbf{r}=0, \end{equation}

por lo tanto

\begin{eqnarray*} \nabla \times \textbf{F} = 0. \end{eqnarray*}

En lo anterior se puede usar la siguiente identidad de los productos vectoriales

\begin{eqnarray*} \nabla \times \textbf{F} = \nabla \times \left( -\nabla \mathcal{E}_{p} \right) = 0. \end{eqnarray*}

Eso da como resultado que $\textbf{F}= -\nabla \mathcal{E}_{p} $, donde $\mathcal{E}_{p} $ es un campo escalar llamado energía potencial o función potencial y el signo negativo en el gradiente de $\mathcal{E}_{p}$ ($-\nabla \mathcal{E}_{p}$) se debe a los resultados físicos. Tomando en cuenta ésta última igualdad, se puede calcular el trabajo de la siguiente forma

\begin{equation} \int^{2}_{1} \textbf{F}\cdot d\textbf{r}=-\int^{2}_{1} \nabla \mathcal{E}_{p} \cdot d\textbf{r}= - \left( \mathcal{E}_{p2} -\mathcal{E}_{p1} \right) \end{equation}

Eso significa que la energía potencial se define como el opuesto del trabajo realizado de ir de un punto a otro. Hay que resaltar los resultados de las integrales como cambios en las energías.

\begin{equation} \int^{2}_{1} \textbf{F}\cdot d\textbf{r}=\Delta \mathcal{E}_{k}. \end{equation}

\begin{equation} \int^{2}_{1} \textbf{F}\cdot d\textbf{r}=-\Delta\mathcal{E}_{p} . \end{equation}

Ambas ecuaciones nos dan como resultado la siguiente relación

\begin{equation} -\Delta \mathcal{E}_{p}= \Delta \mathcal{E}_{k} \end{equation}

De lo anterior, retomando los resultados de las integrales, podemos sacar una relación todavía más importante, primero se igualan

\begin{eqnarray*} -\left( \mathcal{E}_{p2}-\mathcal{E}_{p1} \right)= \mathcal{E}_{k2}-\mathcal{E}_{k1}, \end{eqnarray*}

y luego se reescribe de la siguiente forma \begin{eqnarray*} \mathcal{E}_{k1}+ \mathcal{E}_{p1} = \mathcal{E}_{k2}+\mathcal{E}_{p2}. \end{eqnarray*} Lo que nos da como resultado

\begin{equation} \mathcal{E}=\mathcal{E}_{k}+\mathcal{E}_{p}. \label{mec} \end{equation}

Donde $\mathcal{E}$ es la energía mecánica y \ref{mec} nos muestra la equivalencia de la energía mecánica en energía cinética y potencial.

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Aportacion de: Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 18:56 15 jun 2020 (CDT)

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Algoritmo

Dadas dos ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden, evalúe el producto de la solución de una de ellas multiplicada por la otra ecuación diferencial y viceversa. Toma la diferencia entre las dos expresiones. La invariante es obtenida de la integración de este resultado.

LeonardoFR (discusión) 18:09 9 jun 2020 (CDT)

Energía de un oscilador armónico simple

La ecuación diferencial de un oscilador con posición $x$ y constante restitutiva $\kappa$ es \[m\ddot{x}+\kappa x=0,\] donde los puntos representan derivadas, de manera que $\ddot{x}$ representa la segunda derivada temporal de la posición, es decir, la aceleración.

Energía de un oscilador armónico con parámetro dependiente del tiempo

Permitamos ahora que $\kappa$, sea ahora una variable restitutiva dependiente del tiempo $\kappa=\kappa(t)$,

Energía de un medio continuo en una dimensión

Un medio mecánico continuo es la idealización de un medio que no está constituido por átomos. Observamos el material en volúmenes suficientemente grandes para que el conjunto de átomos exhiba solamente propiedades del conjunto pero suficientemente pequeño para describir el sistema como función de la posición.

Energía de una cuerda

Consideremos como primer ejemplo la energía de una cuerda tensa cuyos extremos se encuentran fijos. El eje $z$ pasa por los dos puntos extremos.

La ecuación de onda que satisface la perturbación $\psi$ de la cuerda en la dirección perpendicular a los extremos fijos, es:

\begin{equation} \partial_{z}^{2}\psi-\frac{1}{v^{2}}\partial_{t}^{2}\psi=0,\label{eq:waveq} \end{equation}

Evaluando la derivada temporal de la ecuación de onda (\ref{eq:waveq}),:

\begin{equation} \partial_{z}^{2}\dot{\psi}-\frac{1}{v^{2}}\partial_{t}^{2}\dot{\psi}=0,\label{eq:wavec der} \end{equation}

Donde $\dot{\psi}=\partial_{t}\psi$. Tomando el producto de la función velocidad $\dot{\psi}$ por la funcion de onda (\ref{eq:waveq}),

\begin{equation} \dot{\psi}\partial_{z}^{2}\psi-\frac{1}{v^{2}}\dot{\psi}\partial_{t}^{2}\psi=0.\label{eq:wavec phi dot} \end{equation} Evaluando el producto de la función de perturbación $\psi$ por la derivada de la ecuación de onda(\ref{eq:wavec der}),

\[ \psi\partial_{z}^{2}\dot{\psi}-\frac{1}{v^{2}}\psi\partial_{t}^{2}\dot{\psi}=0. \]

La diferencia entre estas dos Ecuaciones en derivadas parciales es:

\[ \left(\psi\partial_{z}^{2}\dot{\psi}-\dot{\psi}\partial_{z}^{2}\psi\right)-\frac{1}{v^{2}}\left(\psi\partial_{t}^{2}\dot{\psi}-\dot{\psi}\partial_{t}^{2}\psi\right)=0. \]

Los dos términos entre paréntesis se pueden escribir en términos de derivadas parciales para obtener una ecuación de continuidad

\[ \partial_{z}\left(\psi\partial_{z}\partial_{t}\psi-\partial_{t}\psi\partial_{z}\psi\right)+\frac{1}{v^{2}}\partial_{t}\left(\left(\partial_{t}\psi\right)^{2}-\psi\partial_{t}^{2}\psi\right)=0, \]

Donde $\dot{\psi}$ se escribió explícitamente como $\partial_{t}\psi$. En este caso de dimensión 1+1, el operador de divergencia es simplemente la derivada parcial con respecto a $z$. Invocando la ecuación de onda, para reescribir el término que involucra la segunda derivada en términos de la derivada espacial

\[ \partial_{z}\left(\psi\partial_{z}\partial_{t}\psi-\partial_{t}\psi\partial_{z}\psi\right)+\frac{1}{v^{2}}\partial_{t}\left(\left(\partial_{t}\psi\right)^{2}-v^{2}\psi\partial_{z}^{2}\psi\right)=0. \]

Multiplicando la ecuación por la tensión $T$ y sustituyendo $v^{2}=\frac{T}{\mu}$, para obtener la ecuación de continuidad de la cuerda

\begin{equation} \partial_{z}\left[\frac{1}{2}T\left(\psi\partial_{z}\partial_{t}\psi-\partial_{t}\psi\partial_{z}\psi\right)\right]+\partial_{t}\left[\frac{1}{2}\left(\mu\left(\partial_{t}\psi\right)^{2}-T\psi\partial_{z}^{2}\psi\right)\right]=0\label{eq:cont} \end{equation}

Entonces hay una cantidad evaluada,

\begin{equation} \varrho=\underset{\textrm{Energía cinética}}{\underbrace{\frac{1}{2}\mu\left(\partial_{t}\psi\right)^{2}}}+\underset{\textrm{Energía potencial}}{\underbrace{-\frac{1}{2}T\psi\partial_{z}^{2}\psi},}\label{eq:rho kin + pot} \end{equation}

Donde la ecuación diferencial (\ref{eq:cont}) se ha multiplicado por $\frac{1}{2}$ para cumplir con la definición usual de densidad de la energía cinética.

\begin{equation} \varrho_{\textrm{kin}}=\frac{1}{2}\mu\left(\partial_{t}\psi\right)^{2}.\label{eq:rho kin} \end{equation}

El término restante en la densidad evaluada debe ser entonces una energía potencial.

\begin{equation} \varrho_{\textrm{pot}}=-\frac{1}{2}T\psi\partial_{z}^{2}\psi.\label{eq:rho pot} \end{equation}

En esta etapa, esta afirmación puede considerarse como una hipótesis de trabajo. La cantidad $\varrho$ es entonces la densidad de energía total de la cuerda. El flujo correspondiente es

\begin{equation} \mathbf{\Phi}_{\varrho}=\frac{1}{2}T\left(\psi\partial_{z}\partial_{t}\psi-\partial_{t}\psi\partial_{z}\psi\right).\label{eq:flow} \end{equation}

Mfgwi (discusión) 14:24 2 jul 2020 (CDT)

Mfgwi (discusión) 17:18 8 jun 2020 (CDT)

Energía de una cuerda (traducción)

Consideremos como primer ejemplo la energía de una cuerda tensa cuyos extremos se encuentran fijos. El eje $z$ pasa por los dos puntos extremos. La ecuación de onda que satisface la perturbación $\psi$ de la cuerda en la dirección perpendicular a los extremos fijos, es

\begin{equation} \partial_{z}^{2}\psi-\frac{1}{v^{2}}\partial_{t}^{2}\psi=0,\label{eq:waveq'} \end{equation}

Derivando respecto al tiempo la ecuación de onda (\ref{eq:waveq'})

\begin{equation} \partial_{z}^{2}\dot{\psi}-\frac{1}{v^{2}}\partial_{t}^{2}\dot{\psi}=0,\label{eq:wavec der'} \end{equation}

donde $\dot{\psi}=\partial_{t}\psi$. Haciendo el producto de la velocidad $\dot{\psi}$ por la ecuación de onda (\ref{eq:waveq'}),

\begin{equation} \dot{\psi}\partial_{z}^{2}\psi-\frac{1}{v^{2}}\dot{\psi}\partial_{t}^{2}\psi=0.\label{eq:wavec phi dot'} \end{equation}

Multiplicando la perturbación $\psi$ por la derivada de la ecuación de onda (\ref{eq:wavec der'}), \[ \psi\partial_{z}^{2}\dot{\psi}-\frac{1}{v^{2}}\psi\partial_{t}^{2}\dot{\psi}=0. \] La diferencia entre estas dos Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP) es \[ \left(\psi\partial_{z}^{2}\dot{\psi}-\dot{\psi}\partial_{z}^{2}\psi\right)-\frac{1}{v^{2}}\left(\psi\partial_{t}^{2}\dot{\psi}-\dot{\psi}\partial_{t}^{2}\psi\right)=0. \] Los dos términos entre paréntesis pueden ser escritos en términos de derivadas parciales para obtener una ecuación de continuidad \[ \partial_{z}\left(\psi\partial_{z}\partial_{t}\psi-\partial_{t}\psi\partial_{z}\psi\right)+\frac{1}{v^{2}}\partial_{t}\left(\left(\partial_{t}\psi\right)^{2}-\psi\partial_{t}^{2}\psi\right)=0, \] Donde $\dot{\psi}$ ha sido explícitamente escrito como $\partial_{t}\psi$. En este caso de dimensión 1+1, el operador de divergencia es simplemente la derivada parcial con respecto de $z$. Invocando la ecuación de onda para reescribir el término de la segunda derivada del tiempo en términos de una derivada espacial \[ \partial_{z}\left(\psi\partial_{z}\partial_{t}\psi-\partial_{t}\psi\partial_{z}\psi\right)+\frac{1}{v^{2}}\partial_{t}\left(\left(\partial_{t}\psi\right)^{2}-v^{2}\psi\partial_{z}^{2}\psi\right)=0. \] Multiplicando la ecuación por la tensión $T$ y sustituyendo $v^{2}=\frac{T}{\mu}$, para obtener la ecuación de continuidad de la cuerda

\begin{equation} \partial_{z}\left[\frac{1}{2}T\left(\psi\partial_{z}\partial_{t}\psi-\partial_{t}\psi\partial_{z}\psi\right)\right]+\partial_{t}\left[\frac{1}{2}\left(\mu\left(\partial_{t}\psi\right)^{2}-T\psi\partial_{z}^{2}\psi\right)\right]=0\label{eq:cont'} \end{equation}

Tenemos entonces una cantidad evaluada,

\begin{equation} \varrho=\underset{\textrm{energía cinética}}{\underbrace{\frac{1}{2}\mu\left(\partial_{t}\psi\right)^{2}}}+\underset{\textrm{energía potencial}}{\underbrace{-\frac{1}{2}T\psi\partial_{z}^{2}\psi},}\label{eq:rho kin + pot'} \end{equation}

Donde la ecuación diferencial (\ref{eq:cont'}) ha sido multiplicada por $\frac{1}{2}$ para cumplir con la definición usual de densidad de energía cinética,

\begin{equation} \varrho_{\textrm{cin}}=\frac{1}{2}\mu\left(\partial_{t}\psi\right)^{2}.\label{eq:rho kin'} \end{equation}

El término restante en la densidad evaluada debe ser entonces la energía potencial

\begin{equation} \varrho_{\textrm{pot}}=-\frac{1}{2}T\psi\partial_{z}^{2}\psi.\label{eq:rho pot'} \end{equation}

En este punto, esta afirmación puede ser considerada como una hipótesis de trabajo. La cantidad $\varrho$ es entonces la densidad de energía total de la cuerda. El flujo correspondiente es

\begin{equation} \mathbf{\Phi}_{\varrho}=\frac{1}{2}T\left(\psi\partial_{z}\partial_{t}\psi-\partial_{t}\psi\partial_{z}\psi\right).\label{eq:flow'} \end{equation}

Mfgwi (discusión) 14:24 2 jul 2020 (CDT)

Mfgwi (discusión) 17:18 8 jun 2020 (CDT)