La función exponencial y el logaritmo complejo
2.24 Para la recta horizontal , demuestre que su imagen bajo la exponencial compleja es un rayo basado en el origen quitando el cero.:
Procedimiento
Sea y
Aplicando la exponencial compleja a z nos queda:
para hacer el mapeo igualamos:
por lo que las componentes u,v nos quedan:
:
dividimos la segunda entre la primera ecuación:
:
:
como nos queda una recta con pendiente
Nota: no toca al cero pues la exponencial solo tocaría el cero cuando "a" fuera igual a infinito(hipotéticamente).
Realizado por: Ignacio Peralta Martínez (discusión) 23:11 3 dic 2012 (CST)
2.25 Para la recta vertical , demuestre que su imagen bajo la exponencial compleja es un circulo con centro en el origen y radio
Procedimiento
Hacemos los primeros pasos del ejercicio anterior:
Sea y
aplicando la exponencial compleja a z nos queda:
para hacer el mapeo igualamos:
por lo que las componentes u,v nos quedan:
:
pero ahora en vez de dividir, elevamos al cuadrado y sumamos los lados izquierdos y derechos:
como es la ecuación de un circulo de radio .
Realizado por: Ignacio Peralta Martínez (discusión) 23:11 3 dic 2012 (CST)
2.26. Demuestre las identidades siguientes:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1)
Solución:
Sabemos que entonces
2.-
Solución:
Como , entonces
3.-
Solución:
Eliminando y reagrupando, se obtiene
Por lo tanto se comprueba que
4.-
Solución:
Desarrollando:
Eliminando términos, queda;
5.-
Solución:
Desarrollando:
Eliminando términos, queda;
6.-
Solución:
Desarrollando
Realizado por: Jean Carlo Cruz Venegas (discusión) 11:49 4 dic 2012 (CST)
2.27 Demuestre que los ceros de las funciones seno y coseno complejas son los mismos que los de las funciones reales correspondientes.
Función Seno
Para la función seno tenemos
Si
, entonces , como , asi
Al separar las partes reales e imaginarias, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones
(1)
(2)
De (1) se observa que , por lo que necesariamente , con sustituyendo en (2) se tiene que
Función Coseno
Para la función coseno tenemos
Si , entonces , luego
Al separar las partes reales e imaginarias, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones
(3)
(4)
De (4) se observa que , por lo que necesariamente , sustituyendo en (3) se tiene que
Por lo tanto, el cero de las fuciones seno y coseno complejas son las mismas que el de las funciónes reales correspondientes.
Realizado por: Pérez Córdoba Sabino (discusión) 15:47 28 nov 2012 (CST)
2.28 Concluya del ejercicio anterior que las funciones complejas y , son periódicas con periodos reales de la forma con . Es decir,sus dominios de periocidad son banda verticales de ancho .
Conclusión
Del ejercicio anterior, se concluyó, para la función seno, que si , con , entonces & , de donde , es decir,
es puramente real, de la forma , cuyo ancho de banda es .
Para el caso del coseno, se concluyó que si , entonces & , nuevamente es puramente real, de la forma . cuyo ancho de banda es
Realizado por: Pérez Córdoba Sabino (discusión) 16:06 28 nov 2012 (CST)
2.29 Se definen las otras funciones trigonométricas complejas, en términos del seno y coseno complejos, como es usual:
;
;
Encuentre sus dominios y muestre que son holomorfas en su dominio y sus derivadas son las esperadas.
El dominio del primer par de funciones es todo
El dominio del segundo par de funciones es todo
Donde
Para mostrar que son holomorfas en su dominio, basta demostrar las ecuaciones de Cauchy-Riemann. osea, que son diferenciables en su dominio, lo cual nos genera un intervalo abierto en el cual es diferenciable.
y
sabemos
Entonces tenemos que la parte real;
y la parte imaginaria es ;
Comprobemos las ecucuaciones de Cauchy-Riemann.
De manera similar obtenemos;
Cumple con las ecuaciones de Cauchy-Riemann, en un intervalo diferenciable, por lo cual es Holomorfa(Analítica).
Ahora comprobemos sus derivadas respecto a z, y veamos que son las esperadas;
y entonces
y entonces
y entonces
y entonces
Vemos que sus derivadas son las correspondientes.
Realizado por: Luis Antonio (discusión) 20:30 1 dic 2012 (CST)
2.31. Las funciones trigonométricas hiperbólicas se definen como sigue
:
:
:
:
:
:
1. Observe que senhz y coshz son holomorfas en todo C. Encuentre los mayores
dominios donde las otras funciones hiperbólicas anteriores son holomorfas
2. Obtenga expresiones para las derivadas de las funciones hiperbólicas.
3. Demuestre las identidades siguientes:
:
4. Demuestre las identidades siguientes:
donde
2.-
Usando la definición de tenemos:
recordando que
entonces se tiene que
Procedemos de manera similar, derivando la definición de .
recordando que
entonces se tiene que
Para la tangente hiperbólica se tiene,
Por definición del senhz y coshz podemos obtener:
=
Derivando,
Desarrollando y eliminando términos;
Usando el hecho de que y sustituyendo; se obtiene.
Demostracion:
Usando la definición de senhz y coshz se tiene
Desarrollando y eliminando términos, obtenemos.
El último termino se obtuvo utilizando la identidad de senhz.
Derivando la última expresión tenemos.
Usando el hecho de que 2coshz= e^z+e^{-z} y sustituyendo dentro de la ecuación anterior.
Derivando el cschz se tiene que,
Usando las identidades de senhz y coshz se tiene:
4.- Identidades
Demostrar
Por definición tenemos que: y
Se eliminan algunos términos y obtenemos,
Demostrar
Usando las definiciones, vemos que:
Se eliminan algunos términos y obtenemos,
Sea
Y por definición del y se tiene:
Por demostrar.
Sea
Y por definición del y se tiene:
Realizado por: Jean Carlo Cruz Venegas (discusión) 07:10 29 nov 2012 (CST)
2.35. Muestre que la función del ejemplo 2.9 no tiene una conjugada armónica.
El ejemplo al cuál se hace referencia es
Primero veremos que es armónica; para hacer esto se hace:
y dado que entonces se cumple que es armónica.
Para que u tenga conjugada armónica tiene que cumplir con las ecuaciones de Cauchy-Riemman.
Esto es que y $–u_{y}(x,y)=v_{x}(x,y)$
Entonces como
Manteniendo a fija e integrando la expresion anterior respecto a , se obtiene: , donde k es arbitraria y sólo depende de .
También se tiene que cumplir que
$ – u_{y} (x,y)= v_{x} (x,y)$ entonces y .
Luego $k'(x) –e^x cosy = -e^x cosy$ y despejando a tenemos . Integramos
Se obtiene que
Haciendo sus respectivas derivadas parciales obtenemos, y
Y observamos que no se cumplen las ecuaciones de Caucht-riemman.
Realizado por: Jean Carlo Cruz Venegas (discusión) 15:01 4 dic 2012 (CST)
--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)
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