Diferencia entre revisiones de «Compleja:z-ej-cap2.3»
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Línea 2: | Línea 2: | ||
'''2.24 Para la recta horizontal <math>\mathcal{L}=\left\{ z\epsilon\mathbb{C}:Im(z)=b\right\} </math>, demuestre que su imagen bajo la exponencial compleja <math>exp:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}-\left\{ 0\right\} </math> es un rayo basado en el origen quitando el cero.''': | '''2.24 Para la recta horizontal <math>\mathcal{L}=\left\{ z\epsilon\mathbb{C}:Im(z)=b\right\} </math>, demuestre que su imagen bajo la exponencial compleja <math>exp:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}-\left\{ 0\right\} </math> es un rayo basado en el origen quitando el cero.''': | ||
'''Procedimiento''' | |||
Sea <math>z=a+ib</math> y <math>w=u+iv</math> | Sea <math>z=a+ib</math> y <math>w=u+iv</math> | ||
Aplicando la exponencial compleja a z nos queda: | |||
<math>e^{z}=e^{a}( | <math>e^{z}=e^{a}(\cos b+i\sin b)</math> | ||
para hacer el mapeo igualamos: <math>w=e^{z} </math> | para hacer el mapeo igualamos: <math>w=e^{z} </math> | ||
Línea 13: | Línea 16: | ||
por lo que las componentes u,v nos quedan: | por lo que las componentes u,v nos quedan: | ||
<math>u=e^{a} | <math>u=e^{a}\cos\left(b\right) </math>: | ||
<math>v=e^{a} | <math>v=e^{a}\sin\left(b\right)</math> | ||
dividimos la segunda entre la primera ecuación: | dividimos la segunda entre la primera ecuación: | ||
<math>\frac{ | <math>\frac{u}{v}=\frac{e^{a}\cos\left(b\right)}{e^{a}\sin\left(b\right)} </math>: | ||
<math>\frac{ | <math>\frac{u}{v}=\tan(b)</math>: | ||
<math>v | <math>u=v\tan(b)</math> | ||
como <math>b=cte </math> nos queda una recta con pendiente <math> | como <math>b=cte </math> nos queda una recta con pendiente <math>tan(b)</math> | ||
Nota: no toca al cero pues la exponencial solo tocaría el cero cuando "a" fuera igual a infinito(hipotéticamente). | |||
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Realizado por: [[Usuario:Ignacio Peralta Martínez|Ignacio Peralta Martínez]] ([[Usuario discusión:Ignacio Peralta Martínez|discusión]]) 23:11 3 dic 2012 (CST) | |||
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Línea 35: | Línea 40: | ||
'''Procedimiento''' | |||
Hacemos los primeros pasos del ejercicio anterior: | |||
Sea <math>z=a+ib</math> y <math>w=u+iv</math> | Sea <math>z=a+ib</math> y <math>w=u+iv</math> | ||
aplicando la | aplicando la exponencial compleja a z nos queda: | ||
<math>e^{z}=e^{a}( | <math>e^{z}=e^{a}(\cos b+i\sin b)</math> | ||
para hacer el mapeo igualamos: <math>w=e^{z} </math> | para hacer el mapeo igualamos: <math>w=e^{z} </math> | ||
Línea 47: | Línea 54: | ||
por lo que las componentes u,v nos quedan: | por lo que las componentes u,v nos quedan: | ||
<math>u=e^{a} | <math>u=e^{a}\cos\left(b\right) </math>: | ||
<math>v=e^{a} | <math>v=e^{a}\sin\left(b\right)</math> | ||
pero ahora en vez de dividir, elevamos al cuadrado y sumamos los lados izquierdos y derechos: | pero ahora en vez de dividir, elevamos al cuadrado y sumamos los lados izquierdos y derechos: | ||
Línea 58: | Línea 65: | ||
--[[Usuario:Ignacio Peralta Martínez|Ignacio Peralta Martínez]] ([[Usuario discusión:Ignacio Peralta Martínez|discusión]]) 23:11 3 dic 2012 (CST) | ---- | ||
Realizado por: [[Usuario:Ignacio Peralta Martínez|Ignacio Peralta Martínez]] ([[Usuario discusión:Ignacio Peralta Martínez|discusión]]) 23:11 3 dic 2012 (CST) | |||
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2.26. Demuestre las identidades siguientes: | 2.26. Demuestre las identidades siguientes: | ||
1. <math>sen(-z) = -sen z.</math> | 1. <math>sen(-z) = -sen z.</math> | ||
Línea 74: | Línea 82: | ||
6. <math>sen(2z) = 2sen zcos z.</math> | 6. <math>sen(2z) = 2sen zcos z.</math> | ||
1) <math>sen(-z) = -sen z.</math> | 1) <math>sen(-z) = -sen z.</math> | ||
Solución: | '''Solución:''' | ||
Sabemos que <math>senz= \frac{z^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> entonces | Sabemos que <math>senz= \frac{z^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> entonces | ||
Línea 84: | Línea 95: | ||
2.- <math>cos(-z)=cos(z)</math> | 2.- <math>cos(-z)=cos(z)</math> | ||
Solución: | '''Solución:''' | ||
Como <math>cos(z) = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>, entonces | Como <math>cos(z) = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>, entonces | ||
Línea 91: | Línea 103: | ||
3.- <math>sen^2z+cos^2z = 1.</math> | 3.- <math>sen^2z+cos^2z = 1.</math> | ||
Solución: | '''Solución:''' | ||
<math>Sen^2z+cos^2z = (\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i})^2 + (\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2})^2 = \frac{e^{2iz}-2e^{iz}e^{-iz}+e^{-2iz}}{-4}+</math> <math>\frac{e^{2iz}+2e^{iz}e^{-iz}+e^{-2iz}}{4}</math> | <math>Sen^2z+cos^2z = (\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i})^2 + (\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2})^2 = \frac{e^{2iz}-2e^{iz}e^{-iz}+e^{-2iz}}{-4}+</math> <math>\frac{e^{2iz}+2e^{iz}e^{-iz}+e^{-2iz}}{4}</math> | ||
Línea 102: | Línea 114: | ||
4.- <math>sen(w+z) = senwcosz+senzcosw</math> | 4.- <math>sen(w+z) = senwcosz+senzcosw</math> | ||
Solución: | '''Solución:''' | ||
<math>senwcosz+senzcosw= \frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i} \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2i} + \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} \frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2}</math> | <math>senwcosz+senzcosw= \frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i} \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2i} + \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} \frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2}</math> | ||
Línea 116: | Línea 128: | ||
5.- <math>cos(w+z) = coswcosz-senwsenz</math> | 5.- <math>cos(w+z) = coswcosz-senwsenz</math> | ||
Solución: | '''Solución:''' | ||
<math>coswcosz-senwsenz = \frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2} \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} + \frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i} \frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i} | <math>coswcosz-senwsenz = \frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2} \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} + \frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i} \frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i} | ||
Línea 126: | Línea 138: | ||
Eliminando términos, queda; | Eliminando términos, queda; | ||
<math>= frac{2e^{(z+w)}-2e^{-i(z+w)}}{4i} = | <math>= \frac{2e^{(z+w)}-2e^{-i(z+w)}}{4i} = \frac{e^{(z+w)}-e^{-i(w+z)}}{2} = sen(z+w)</math> | ||
6.- <math>sen(2z)= 2senzcosz</math> | 6.- <math>sen(2z)= 2senzcosz</math> | ||
Solución: | '''Solución:''' | ||
<math>2senz2cosz = 2(\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2})</math> | <math>2senz2cosz = 2(\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2})</math> | ||
Línea 136: | Línea 148: | ||
Desarrollando <math>= \frac{e^{i(z+z)}-e^{-i(z-z)}+e^{-i(z-z)}-e^{-i(z+z)}}{2i} = \frac{e^{i(2z)}-e^{-i(2z)}}{2i} = sen(2z)</math> | Desarrollando <math>= \frac{e^{i(z+z)}-e^{-i(z-z)}+e^{-i(z-z)}-e^{-i(z+z)}}{2i} = \frac{e^{i(2z)}-e^{-i(2z)}}{2i} = sen(2z)</math> | ||
--[[Usuario:Jean Carlo Cruz Venegas|Jean Carlo Cruz Venegas]] ([[Usuario discusión:Jean Carlo Cruz Venegas|discusión]]) 11:49 4 dic 2012 (CST) | ---- | ||
Realizado por: [[Usuario:Jean Carlo Cruz Venegas|Jean Carlo Cruz Venegas]] ([[Usuario discusión:Jean Carlo Cruz Venegas|discusión]]) 11:49 4 dic 2012 (CST) | |||
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'''2.27''' Demuestre que los ceros de las funciones seno y coseno complejas son los mismos que los de las funciones reales correspondientes. | '''2.27''' Demuestre que los ceros de las funciones seno y coseno complejas son los mismos que los de las funciones reales correspondientes. | ||
'''Función Seno''' | |||
Para la función seno tenemos | Para la función seno tenemos | ||
Si <math>\sin sen(z)=\frac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz})=0</math>, entonces <math>e^{iz}=e^{-iz}</math>, como <math>z\in\mathbb{C}, z=a+bI, a,b\in\mathbb{R}</math>, asi | Si | ||
<math>\sin sen(z)=\frac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz})=0</math>, entonces <math>e^{iz}=e^{-iz}</math>, como <math>z\in\mathbb{C}, z=a+bI, a,b\in\mathbb{R}</math>, asi | |||
<math>e^{ai-b}=e^{-ai+b}\Longrightarrow e^{-b}e^{ai}=e^be^{-ai}\Longrightarrow e^{-b}\big(cos(a)+isen(a)\big)=e^b\big(cos(a)-isen(a)\big)</math> | <math>e^{ai-b}=e^{-ai+b}\Longrightarrow e^{-b}e^{ai}=e^be^{-ai}\Longrightarrow e^{-b}\big(cos(a)+isen(a)\big)=e^b\big(cos(a)-isen(a)\big)</math> | ||
Línea 156: | Línea 169: | ||
<math>e^{-b}\cos(a)=e^bcos(a)\Longrightarrow(e^{-b}-e^b)cos(a)=0\cdots\cdots\cdots\cdots</math> '''(2)''' | <math>e^{-b}\cos(a)=e^bcos(a)\Longrightarrow(e^{-b}-e^b)cos(a)=0\cdots\cdots\cdots\cdots</math> '''(2)''' | ||
De '''(1)''' se observa que <math>e^{-b}+e^b\not=0</math>, por lo que necesariamente <math>sen(a)=0\Longrightarrow a=0</math>, sustituyendo <math>a</math> en '''(2)''' se tiene que | De '''(1)''' se observa que <math>e^{-b}+e^b\not=0</math>, por lo que necesariamente <math>sen(a)=0\Longrightarrow a=arcsen (0)\Longrightarrow a=2k\pi</math>, con <math>k\in\mathbb{Z}</math> sustituyendo <math>a</math> en '''(2)''' se tiene que | ||
<math>e^{-b}-e^b=0\Longrightarrow e^{-b}=e^b\Longrightarrow Ln(e^{-b})=Ln(e^b)\Longrightarrow -b=b\Longrightarrow b=0\Longrightarrow z= | <math>e^{-b}-e^b=0\Longrightarrow e^{-b}=e^b\Longrightarrow Ln(e^{-b})=Ln(e^b)\Longrightarrow -b=b\Longrightarrow b=0\Longrightarrow z=2k\pi</math> | ||
'''Función Coseno''' | |||
Para la función coseno tenemos | Para la función coseno tenemos | ||
Línea 173: | Línea 187: | ||
<math>e^{-b}cos(a)=-e^bcos(a)\Longrightarrow(e^{-b}+e^b)cos(a)=0\cdots\cdots\cdots\cdots</math> '''(4)''' | <math>e^{-b}cos(a)=-e^bcos(a)\Longrightarrow(e^{-b}+e^b)cos(a)=0\cdots\cdots\cdots\cdots</math> '''(4)''' | ||
De '''(4)''' se observa que <math>e^{-b}+e^b\not=0</math>, por lo que necesariamente <math>cos(a)=0\Longrightarrow a=\frac{\pi}{2}</math>, sustituyendo <math>a</math> en '''(3)''' se tiene que | De '''(4)''' se observa que <math>e^{-b}+e^b\not=0</math>, por lo que necesariamente <math>cos(a)=0\Longrightarrow a=arccos(0)\Longrightarrow a=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math>, sustituyendo <math>a</math> en '''(3)''' se tiene que | ||
<math>e^{-b}-e^b=0\Longrightarrow e^{-b}=e^b\Longrightarrow Ln(e^{-b})=Ln(e^b)\Longrightarrow -b=b\Longrightarrow b=0\Longrightarrow z=\frac{\pi}{2}</math> | <math>e^{-b}-e^b=0\Longrightarrow e^{-b}=e^b\Longrightarrow Ln(e^{-b})=Ln(e^b)\Longrightarrow -b=b\Longrightarrow b=0\Longrightarrow z=\frac{\pi}{2}</math> | ||
Línea 179: | Línea 193: | ||
Por lo tanto, el cero de las fuciones seno y coseno complejas son las mismas que el de las funciónes reales correspondientes. | Por lo tanto, el cero de las fuciones seno y coseno complejas son las mismas que el de las funciónes reales correspondientes. | ||
--[[Usuario:Sabino|Pérez Córdoba Sabino]] ([[Usuario discusión:Sabino|discusión]]) 15:47 28 nov 2012 (CST) | ---- | ||
Realizado por: [[Usuario:Sabino|Pérez Córdoba Sabino]] ([[Usuario discusión:Sabino|discusión]]) 15:47 28 nov 2012 (CST) | |||
---- | |||
'''2.28''' Concluya del ejercicio anterior que las funciones complejas <math>sen(z)</math> y <math>cos(z)</math>, son periódicas con periodos reales de la forma <math>\tau=2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Es decir,sus dominios de periocidad son banda verticales de ancho <math>2\pi</math>. | '''2.28''' Concluya del ejercicio anterior que las funciones complejas <math>sen(z)</math> y <math>cos(z)</math>, son periódicas con periodos reales de la forma <math>\tau=2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Es decir,sus dominios de periocidad son banda verticales de ancho <math>2\pi</math>. | ||
'''Conclusión''' | |||
Del ejercicio anterior, se concluyó, para la función seno, que si <math>sen(z)=0</math>, con <math>z=a+bi</math>, entonces <math>sen(a)=0</math> & <math>b=0</math>, de donde <math>a=arcsen(0)=2k\pi,k\in\mathbb{Z}</math>, es decir, | |||
<math>z</math> es puramente real, de la forma <math>z=2k\pi</math>, cuyo ancho de banda es <math>2\pi</math>. | <math>z</math> es puramente real, de la forma <math>z=2k\pi</math>, cuyo ancho de banda es <math>2\pi</math>. | ||
Línea 191: | Línea 208: | ||
Para el caso del coseno, se concluyó que si <math>cos(a)=0</math>, entonces <math>a=arccos(0)=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> & <math>b=0</math>, nuevamente <math>z</math> es puramente real, de la forma <math>z=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math>. cuyo ancho de banda es <math>2\pi</math> | Para el caso del coseno, se concluyó que si <math>cos(a)=0</math>, entonces <math>a=arccos(0)=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> & <math>b=0</math>, nuevamente <math>z</math> es puramente real, de la forma <math>z=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math>. cuyo ancho de banda es <math>2\pi</math> | ||
--[[Usuario:Sabino|Pérez Córdoba Sabino]] ([[Usuario discusión:Sabino|discusión]]) 16:06 28 nov 2012 (CST) | ---- | ||
Realizado por: [[Usuario:Sabino|Pérez Córdoba Sabino]] ([[Usuario discusión:Sabino|discusión]]) 16:06 28 nov 2012 (CST) | |||
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'''2.29 Se definen las otras funciones trigonométricas complejas, en términos del seno y coseno complejos, como es usual: ''' | |||
<math>tan\left(\mathcal{z}\right)=\frac{sen\left(z\right)}{cos\left(z\right)}</math> | |||
<math>sec\left(z\right)=\frac{1}{cos\left(z\right)},</math> | |||
<math>cot\left(\mathcal{z}\right)=\frac{cos\left(z\right)}{sen\left(z\right)}</math> | |||
<math>sec\left(z\right)=\frac{1}{sen\left(z\right)}.</math> | |||
'''Comportamiento de las Funciones''' | |||
'''Encuentre sus dominios y muestre que son holomorfas en su dominio y sus derivadas son las esperadas.''' | '''Encuentre sus dominios y muestre que son holomorfas en su dominio y sus derivadas son las esperadas.''' | ||
Línea 267: | Línea 289: | ||
''Cumple con las ecuaciones de Cauchy-Riemann, en un intervalo diferenciable, por lo cual es Holomorfa(Analítica).'' | ''Cumple con las ecuaciones de Cauchy-Riemann, en un intervalo diferenciable, por lo cual es Holomorfa(Analítica).'' | ||
'''Derivadas de las Funciones''' | |||
''Ahora comprobemos sus derivadas respecto a z, y veamos que son las esperadas;'' | ''Ahora comprobemos sus derivadas respecto a z, y veamos que son las esperadas;'' | ||
Línea 272: | Línea 295: | ||
''<math>Tan\left(\mathcal{z}\right)=\frac{sen\left(\mathcal{z}\right)}{cos(\left(\mathcal{z}\right)}</math> y entonces <math>Tan | ''<math>Tan\left(\mathcal{z}\right)=\frac{sen\left(\mathcal{z}\right)}{cos(\left(\mathcal{z}\right)}</math> y entonces <math>Tan'\left(\mathcal{z}\right)=\frac{cos(\left(\mathcal{z}\right)cos(\left(\mathcal{z}\right)-sen\left(\mathcal{z}\right)\left(-sen\left(\mathcal{z}\right)\right)}{\left[cos(\left(\mathcal{z}\right)\right]^2}=\frac{cos^2\left(\mathcal{z}\right)+ sin^2\left(\mathcal{z}\right)}{\left[cos\left(\mathcal{z}\right)\right]^2}= \frac{1}{cos^2\left(\mathcal{z}\right)}= sec^2\left(\mathcal{z}\right). </math>'' | ||
''<math>Sec\left(\mathcal{z}\right)=\frac{1}{cos(\left(\mathcal{z}\right)}</math> y entonces <math>Sec | ''<math>Sec\left(\mathcal{z}\right)=\frac{1}{cos(\left(\mathcal{z}\right)}</math> y entonces <math>Sec'\left(\mathcal{z}\right)=-\frac{-sen(\left(\mathcal{z}\right)}{\left[cos(\left(\mathcal{z}\right)\right]^2}=\frac{sen\left(\mathcal{z}\right)}{\left[cos\left(\mathcal{z}\right)\right]^2}= \frac{tan\left(\mathcal{z}\right)}{cos\left(\mathcal{z}\right)}= tan\left(\mathcal{z}\right)sec\left(\mathcal{z}\right). </math>'' | ||
''<math>Cot\left(\mathcal{z}\right)=\frac{cos\left(\mathcal{z}\right)}{sen(\left(\mathcal{z}\right)}</math> y entonces <math>Cot | ''<math>Cot\left(\mathcal{z}\right)=\frac{cos\left(\mathcal{z}\right)}{sen(\left(\mathcal{z}\right)}</math> y entonces <math>Cot'\left(\mathcal{z}\right)=\frac{-sen\left(\mathcal{z}\right)sen\left(\mathcal{z}\right)-cos\left(\mathcal{z}\right)\left(cos\left(\mathcal{z}\right)\right)}{\left[sen(\left(\mathcal{z}\right)\right]^2}=\frac{-sen^2\left(\mathcal{z}\right)- cos^2\left(\mathcal{z}\right)}{\left[sen\left(\mathcal{z}\right)\right]^2}= \frac{-1}{sen^2\left(\mathcal{z}\right)}= -csc^2\left(\mathcal{z}\right). </math>'' | ||
''<math>Csc\left(\mathcal{z}\right)=\frac{1}{sen(\left(\mathcal{z}\right)}</math> y entonces <math>Csc | ''<math>Csc\left(\mathcal{z}\right)=\frac{1}{sen(\left(\mathcal{z}\right)}</math> y entonces <math>Csc'\left(\mathcal{z}\right)=-\frac{-cos(\left(\mathcal{z}\right)}{\left[sen(\left(\mathcal{z}\right)\right]^2}=-\frac{cos\left(\mathcal{z}\right)}{\left[sen\left(\mathcal{z}\right)\right]^2}= -cot\left(\mathcal{z}\right)csc\left(\mathcal{z}\right). </math>'' | ||
Línea 295: | Línea 318: | ||
---- | ---- | ||
Realizado por: [[Usuario:Luis Antonio|Luis Antonio]] ([[Usuario discusión:Luis Antonio|discusión]]) 20:30 1 dic 2012 (CST) | |||
---- | |||
2.31. Las funciones trigonométricas hiperbólicas se definen como sigue: | |||
<math>senhz =\frac{1}{2}(e^z-e^{-z})</math>: | <math>senhz =\frac{1}{2}(e^z-e^{-z})</math>: | ||
<math>coshz = \frac{1}{2}(e^z+e^{-z})</math>: | <math>coshz = \frac{1}{2}(e^z+e^{-z})</math>: | ||
<math>tanhz= \frac{senhz}{coshz}</math>: | <math>tanhz= \frac{senhz}{coshz}</math>: | ||
<math>cothz=\frac{coshz}{senhz}</math>: | <math>cothz=\frac{coshz}{senhz}</math>: | ||
<math>sechz=\frac{1}{coshz}</math>: | <math>sechz=\frac{1}{coshz}</math>: | ||
<math>cschz=\frac{1}{senhz}.</math>: | <math>cschz=\frac{1}{senhz}.</math>: | ||
Línea 325: | Línea 355: | ||
donde <math>z = x+iy.</math> | donde <math>z = x+iy.</math> | ||
<math>senhz =\frac{1}{2}(e^z-e^{-z})</math> | '''2. Derivadas''' | ||
<math>senhz =\frac{1}{2}(e^z-e^{-z})</math> | |||
Usando la definición de <math>senhz</math> tenemos: | Usando la definición de <math>senhz</math> tenemos: | ||
<math>(Senhz) | <math>(Senhz)'= (\frac{1}{2}(e^z-e^{-z}))' = \frac{1}{2}\frac{ d(e^z-e^{-z})}{dz} = \frac{1}{2}[e^z+e^{-z}] y por</math> | ||
recordando que <math>coshz = \frac{1}{2}[e^z+e^{-z}]</math> | recordando que <math>coshz = \frac{1}{2}[e^z+e^{-z}]</math> | ||
entonces se tiene que <math>(Senhz) | entonces se tiene que <math>(Senhz)'= coshz</math> | ||
Línea 342: | Línea 374: | ||
Procedemos de manera similar, derivando la definición de <math>coshz</math>. | Procedemos de manera similar, derivando la definición de <math>coshz</math>. | ||
<math>(Coshz) | <math>(Coshz)'= (\frac{1}{2}(e^z+e^{-z}))' = \frac{1}{2}\frac{ d(e^z+e^{-z})}{dz} = \frac{1}{2}[e^z-e^{-z}] y por</math> | ||
recordando que <math>senhz = \frac{1}{2}[e^z-e^{-z}]</math> | recordando que <math>senhz = \frac{1}{2}[e^z-e^{-z}]</math> | ||
entonces se tiene que <math>(Coshz) | entonces se tiene que <math>(Coshz)'= senhz</math> | ||
Para la tangente hiperbólica se tiene, | Para la tangente hiperbólica se tiene, | ||
Línea 358: | Línea 390: | ||
Derivando, | Derivando, | ||
<math>(tanhz) | <math>(tanhz)'</math> <math>= \frac{(e^z+e{-z})(e^z+e^{-z})-(e^z-e^{-z})(e^z-e^{-z})}{(e^z+e^{-z})^2}</math> | ||
Desarrollando y eliminando términos; | Desarrollando y eliminando términos; | ||
Línea 366: | Línea 398: | ||
Usando el hecho de que <math>(2coshz)^2 = (e^2+e^{-2})^2</math> y sustituyendo; se obtiene. | Usando el hecho de que <math>(2coshz)^2 = (e^2+e^{-2})^2</math> y sustituyendo; se obtiene. | ||
<math>= \frac{4}{4cos^2hz} = \frac{1}{1cos^2hz} | <math>= \frac{4}{4cos^2hz} = \frac{1}{1cos^2hz}</math> | ||
Línea 375: | Línea 407: | ||
<math> Cothz = \frac{e^z+e^{-z}}{e^z-e^{-z}}</math> | <math> Cothz = \frac{e^z+e^{-z}}{e^z-e^{-z}}</math> | ||
<math>(cothz) | <math>(cothz)'= \frac{(e^z-e^{-z})(e^z-e^{-z})-(e^z+e^{-z})(e^z+e^{-z})}{(e^z+e^{-z})^2}</math> | ||
Desarrollando y eliminando términos, obtenemos. | Desarrollando y eliminando términos, obtenemos. | ||
Línea 400: | Línea 432: | ||
<math>cschz=\frac{1}{senhz} | <math>cschz=\frac{1}{senhz}</math> | ||
<math>\frac{1}{senhz}= \frac{2}{e^z-e^{-z}}</math> | <math>\frac{1}{senhz}= \frac{2}{e^z-e^{-z}}</math> | ||
Línea 406: | Línea 438: | ||
Derivando el cschz se tiene que, | Derivando el cschz se tiene que, | ||
<math>(cschz) | <math>(cschz)'= \frac{-2(e^z+e^{-z}}{(e^z-e^{-z})^2} =</math> | ||
Usando las identidades de senhz y coshz se tiene: | Usando las identidades de senhz y coshz se tiene: | ||
Línea 412: | Línea 444: | ||
<math>\frac{-2(2coshz)}{(2senhz)^2} = \frac{-4coshz}{4senh^2z}= \frac{coshz}{senh^2z}</math> | <math>\frac{-2(2coshz)}{(2senhz)^2} = \frac{-4coshz}{4senh^2z}= \frac{coshz}{senh^2z}</math> | ||
4. | '''4. Identidades''' | ||
Demostrar | |||
<math>senh(a+b) = senhacoshb+coshasenhb</math> | <math>senh(a+b) = senhacoshb+coshasenhb</math> | ||
Por definición tenemos que: <math>senhx = \frac{e^x-e^{-x}}{2}</math> y <math>cosnhy = \frac{e^y+e^{-y}}{2}</math> | Por definición tenemos que: <math>senhx = \frac{e^x-e^{-x}}{2}</math> y <math>cosnhy = \frac{e^y+e^{-y}}{2}</math> | ||
<math> | <math>Senh(a)cosh(b) +coshasenhb = (\frac{e^a-e^{-a}}{2})(\frac{e^b+e^{-b}}{2})+(\frac{e^a+e^{-a}}{2})(\frac{e^b-e^{-b}}{2})</math> | ||
<math>= \frac{1}{4}(e^{a+b}+ e^{a-b}- e^{-a+b}- e^{-a-b}+ e^{a+b}- e^{a-b}+ e^{-a+b}- e^{-a-b})</math> | <math>= \frac{1}{4}(e^{a+b}+ e^{a-b}- e^{-a+b}- e^{-a-b}+ e^{a+b}- e^{a-b}+ e^{-a+b}- e^{-a-b})</math> | ||
Línea 428: | Línea 461: | ||
Demostrar | Demostrar | ||
<math>cosh(a+b) = coshacoshb+senhasenhb</math> | <math>cosh(a+b) = coshacoshb+senhasenhb</math> | ||
Línea 457: | Línea 491: | ||
<math>senhz = senxcoshy+icosxsenhy</math> | <math>senhz = senxcoshy+icosxsenhy</math> | ||
Por demostrar. | Por demostrar. | ||
<math>Coshz = cosxcoshy-isenxsenhy.</math> | <math>Coshz = cosxcoshy-isenxsenhy.</math> | ||
Línea 475: | Línea 509: | ||
<math>\therefore</math> <math>coshz = cosxcoshy+isenxsenhy</math> | <math>\therefore</math> <math>coshz = cosxcoshy+isenxsenhy</math> | ||
--[[Usuario:Jean Carlo Cruz Venegas|Jean Carlo Cruz Venegas]] ([[Usuario discusión:Jean Carlo Cruz Venegas|discusión]]) 07:10 29 nov 2012 (CST) | ---- | ||
Realizado por: [[Usuario:Jean Carlo Cruz Venegas|Jean Carlo Cruz Venegas]] ([[Usuario discusión:Jean Carlo Cruz Venegas|discusión]]) 07:10 29 nov 2012 (CST) | |||
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2.35. Muestre que la función <math>u</math> del ejemplo 2.9 no tiene una conjugada armónica. | |||
'''Procedimiento''' | |||
El ejemplo al cuál se hace referencia es <math>u(x,y) = e^xseny</math> | |||
Primero veremos que es armónica; para hacer esto se hace: | |||
<math>u_{x}(x,y)=e^xseny \rightarrow u_{xx}(x,y) = e^xseny</math> | |||
<math>u_{y}(x,y)=e^xcosy \rightarrow u_{yy}(x,y) = -e^xseny</math> | |||
y dado que <math>u_{xx}(x,y)+u_{yy}(x,y)=0</math> entonces se cumple que es armónica. | |||
---- | Para que u tenga conjugada armónica tiene que cumplir con las ecuaciones de Cauchy-Riemman. | ||
Esto es que <math>u_{x}(x,y)= v_{y}(x,y)</math> y $–u_{y}(x,y)=v_{x}(x,y)$ | |||
Entonces como <math>u_{x}(x,y)=e^xseny = v_{y}(x,y)</math> | |||
Manteniendo a <math>x</math> fija e integrando la expresion anterior respecto a <math>y</math>, se obtiene: <math>v(x,y)= -e^xcosy+k(x)</math>, donde k es arbitraria y sólo depende de <math>x</math>. | |||
También se tiene que cumplir que | |||
$ – u_{y} (x,y)= v_{x} (x,y)$ entonces <math>u_{y}= -e^xcosy</math> y <math>v_{x}(x,y) = -e^xcosy+k'(x)</math>. | |||
Luego $k'(x) –e^x cosy = -e^x cosy$ y despejando a <math>k'(x)</math> tenemos <math>k'(x)=0</math> . Integramos <math>\int k'(x) = \int 0 = C</math> | |||
Se obtiene que <math>v(x,y) = e^xcosy +c</math> | |||
'''Conclusión''' | |||
Haciendo sus respectivas derivadas parciales obtenemos, <math>v_{x}(x,y) = e^xcosy +c'(y)</math> y <math>v_{x}(x,y)=e^xseny + c'(x)</math> | |||
Y observamos que no se cumplen las ecuaciones de Caucht-riemman. | |||
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Realizado por: [[Usuario:Jean Carlo Cruz Venegas|Jean Carlo Cruz Venegas]] ([[Usuario discusión:Jean Carlo Cruz Venegas|discusión]]) 15:01 4 dic 2012 (CST) | |||
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Revisión actual - 23:03 8 may 2023
La función exponencial y el logaritmo complejo
2.24 Para la recta horizontal , demuestre que su imagen bajo la exponencial compleja es un rayo basado en el origen quitando el cero.:
Procedimiento
Sea y
Aplicando la exponencial compleja a z nos queda:
para hacer el mapeo igualamos:
por lo que las componentes u,v nos quedan:
:
dividimos la segunda entre la primera ecuación:
:
:
como nos queda una recta con pendiente
Nota: no toca al cero pues la exponencial solo tocaría el cero cuando "a" fuera igual a infinito(hipotéticamente).
Realizado por: Ignacio Peralta Martínez (discusión) 23:11 3 dic 2012 (CST)
2.25 Para la recta vertical , demuestre que su imagen bajo la exponencial compleja es un circulo con centro en el origen y radio
Procedimiento
Hacemos los primeros pasos del ejercicio anterior:
Sea y
aplicando la exponencial compleja a z nos queda:
para hacer el mapeo igualamos:
por lo que las componentes u,v nos quedan:
:
pero ahora en vez de dividir, elevamos al cuadrado y sumamos los lados izquierdos y derechos:
como es la ecuación de un circulo de radio .
Realizado por: Ignacio Peralta Martínez (discusión) 23:11 3 dic 2012 (CST)
2.26. Demuestre las identidades siguientes:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1)
Solución:
Sabemos que entonces
2.-
Solución:
Como , entonces
3.-
Solución:
Eliminando y reagrupando, se obtiene
Por lo tanto se comprueba que
4.-
Solución:
Desarrollando:
Eliminando términos, queda;
5.-
Solución:
Desarrollando:
Eliminando términos, queda;
6.-
Solución:
Desarrollando
Realizado por: Jean Carlo Cruz Venegas (discusión) 11:49 4 dic 2012 (CST)
2.27 Demuestre que los ceros de las funciones seno y coseno complejas son los mismos que los de las funciones reales correspondientes.
Función Seno
Para la función seno tenemos
Si , entonces , como , asi
Al separar las partes reales e imaginarias, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones
(1)
(2)
De (1) se observa que , por lo que necesariamente , con sustituyendo en (2) se tiene que
Función Coseno
Para la función coseno tenemos
Si , entonces , luego
Al separar las partes reales e imaginarias, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones
(3)
(4)
De (4) se observa que , por lo que necesariamente , sustituyendo en (3) se tiene que
Por lo tanto, el cero de las fuciones seno y coseno complejas son las mismas que el de las funciónes reales correspondientes.
Realizado por: Pérez Córdoba Sabino (discusión) 15:47 28 nov 2012 (CST)
2.28 Concluya del ejercicio anterior que las funciones complejas y , son periódicas con periodos reales de la forma con . Es decir,sus dominios de periocidad son banda verticales de ancho .
Conclusión
Del ejercicio anterior, se concluyó, para la función seno, que si , con , entonces & , de donde , es decir,
es puramente real, de la forma , cuyo ancho de banda es .
Para el caso del coseno, se concluyó que si , entonces & , nuevamente es puramente real, de la forma . cuyo ancho de banda es
Realizado por: Pérez Córdoba Sabino (discusión) 16:06 28 nov 2012 (CST)
2.29 Se definen las otras funciones trigonométricas complejas, en términos del seno y coseno complejos, como es usual:
Comportamiento de las Funciones
Encuentre sus dominios y muestre que son holomorfas en su dominio y sus derivadas son las esperadas.
El dominio del primer par de funciones es todo
El dominio del segundo par de funciones es todo
Donde
Para mostrar que son holomorfas en su dominio, basta demostrar las ecuaciones de Cauchy-Riemann. osea, que son diferenciables en su dominio, lo cual nos genera un intervalo abierto en el cual es diferenciable.
y
sabemos
Entonces tenemos que la parte real;
y la parte imaginaria es ;
Comprobemos las ecucuaciones de Cauchy-Riemann.
De manera similar obtenemos;
Cumple con las ecuaciones de Cauchy-Riemann, en un intervalo diferenciable, por lo cual es Holomorfa(Analítica).
Derivadas de las Funciones
Ahora comprobemos sus derivadas respecto a z, y veamos que son las esperadas;
y entonces
y entonces
y entonces
y entonces
Vemos que sus derivadas son las correspondientes.
Realizado por: Luis Antonio (discusión) 20:30 1 dic 2012 (CST)
2.31. Las funciones trigonométricas hiperbólicas se definen como sigue:
:
:
:
:
:
:
1. Observe que senhz y coshz son holomorfas en todo C. Encuentre los mayores dominios donde las otras funciones hiperbólicas anteriores son holomorfas
2. Obtenga expresiones para las derivadas de las funciones hiperbólicas.
3. Demuestre las identidades siguientes: :
4. Demuestre las identidades siguientes:
donde
2. Derivadas
Usando la definición de tenemos:
recordando que
entonces se tiene que
Procedemos de manera similar, derivando la definición de .
recordando que
entonces se tiene que
Para la tangente hiperbólica se tiene,
Por definición del senhz y coshz podemos obtener:
=
Derivando,
Desarrollando y eliminando términos;
Usando el hecho de que y sustituyendo; se obtiene.
Demostracion:
Usando la definición de senhz y coshz se tiene
Desarrollando y eliminando términos, obtenemos.
El último termino se obtuvo utilizando la identidad de senhz.
Derivando la última expresión tenemos.
Usando el hecho de que 2coshz= e^z+e^{-z} y sustituyendo dentro de la ecuación anterior.
Derivando el cschz se tiene que,
Usando las identidades de senhz y coshz se tiene:
4. Identidades
Demostrar
Por definición tenemos que: y
Se eliminan algunos términos y obtenemos,
Demostrar
Usando las definiciones, vemos que:
Se eliminan algunos términos y obtenemos,
Sea
Y por definición del y se tiene:
Por demostrar.
Sea
Y por definición del y se tiene:
Realizado por: Jean Carlo Cruz Venegas (discusión) 07:10 29 nov 2012 (CST)
2.35. Muestre que la función del ejemplo 2.9 no tiene una conjugada armónica.
Procedimiento
El ejemplo al cuál se hace referencia es
Primero veremos que es armónica; para hacer esto se hace:
y dado que entonces se cumple que es armónica.
Para que u tenga conjugada armónica tiene que cumplir con las ecuaciones de Cauchy-Riemman.
Esto es que y $–u_{y}(x,y)=v_{x}(x,y)$
Entonces como
Manteniendo a fija e integrando la expresion anterior respecto a , se obtiene: , donde k es arbitraria y sólo depende de .
También se tiene que cumplir que
$ – u_{y} (x,y)= v_{x} (x,y)$ entonces y .
Luego $k'(x) –e^x cosy = -e^x cosy$ y despejando a tenemos . Integramos
Se obtiene que
Conclusión
Haciendo sus respectivas derivadas parciales obtenemos, y Y observamos que no se cumplen las ecuaciones de Caucht-riemman.
Realizado por: Jean Carlo Cruz Venegas (discusión) 15:01 4 dic 2012 (CST)