Compleja:z-ej-cap1.3

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Funciones de una variable compleja

1.61. Un punto \(z_{0}\epsilon\Omega \) se dice que es aislado si existe un disco \(B(z_{0};\varepsilon) \) con \(\varepsilon>0 \), tal que \(\Omega\cap B(z_{0};\varepsilon)=\left\{ z_{0}\right\} \). Demuestre que si \(z_{0}\epsilon\Omega \), entonces \(z_{0}\) es un punto aislado o un punto de acumulación de \(\Omega\).

En primer lugar supongamos que \(z_{0}\) un punto aislado de \(\Omega\), por lo que cumple que \(\Omega\cap B(z_{0};\varepsilon)=\left\{ z_{0}\right\} \), veremos si es un punto de acumulación, entonces \((B(z_{0};\varepsilon)-\left\{ z_{0}\right\} )\) nos da una bola de radio \(\varepsilon\) pero sin su centro (\(z_{0}\)) y la intersección de \(\Omega\cap(B(z_{0};\varepsilon)-\left\{ z_{0}\right\} )\) nos da necesariamente el vacio pues eliminamos al único elemento de \(\Omega\), \(z_{0}\). Por lo que nos es punto de acumulación.

Ahora supongamos que \(z_{0}\) s un punto de acumulación por lo tanto cumple que \(\Omega\cap(B(z_{0};\varepsilon)-\left\{ z_{0}\right\} )\neq\textrm{Ø} \) veremos si es un punto aislado. Al ver este caso nos percatamos que el caso más extremo es aquel en el que el punto de acumulación está afuera y la bola toca solo un punto frontera de \(Omega \) (los demás casos serían más simples de resolver), aquí vemos que \(z_{0}\) no se encuentra en \(\Omega\cap(B(z_{0};\varepsilon)-\left\{ z_{0}\right\} ) \) solo el punto al que nos referimos anteriormente. Por lo tanto no cumple con ser un punto aislado.

--Ignacio Peralta Martínez (discusión) 03:47 29 nov 2012 (CST)



1.62. Si \(z_{0}\epsilon\Omega \) es un punto aislado, demuestre que cualquier función \(f:\Omega\rightarrow\mathbb{C} \) es continua en \(z_{0}\).

Como es punto aislado cumple con la definición dada en el ejercicio anterior, aplicando la definición de continuidad a los conjuntos vemos para que sea continua la función para el disco abierto \(B(f(z_{0});\varepsilon) \) en un plano uv, existe un disco abierto \(B(f(z_{0});\delta) \) en el plano de xy, tal que para todo \(z\epsilon B(f(z_{0});\delta)\cap\Omega \) se tiene tiene \(f(z)\epsilon B(f(z_{0});\varepsilon) \). Lo cual es cierto para un punto aislado ya que bola en el plano xy con radio \(\delta \) se interseca con \(\Omega\) solamente en \(z_{0}\) por definición, para que cumpliera la continuidad ese elemento tiene que dar forzosamente a un punto en \( B(f(z_{0});\varepsilon) \) , en este caso es el centro; lo que era de esperarse pues era una condición impuesta al principio. Por lo tanto cualquier función es continua en un punto aislado.

--Ignacio Peralta Martínez (discusión) 03:47 29 nov 2012 (CST)



1.63. Una función \(f:\Omega \to \mathbb {C} \) se dice que es Lipschitz si existe una constante \( L > 0 \mbox{ tal que } |f(z)-f(w)| \le L |z-w| \mbox{ } \forall \mbox{ } z,w ∈ \Omega \). Demuestre que toda función de Lipschitz es uniformemente continua.

Recordemos que una función \(f:\Omega \to \mathbb {C} \) es uniformemente continua si para todo \( \epsilon>0 \mbox{ }\exists \mbox{ } \delta > 0 \mbox{ ( que sólo depende de } \epsilon \mbox{ ) tal que } |f(z)-f(w)|< \epsilon \) siempre que \( |z-w| < \delta \).

Demostración.
Puesto que \( |f(z)-f(w)| \le L |z-w| \mbox{ con } L>0 \mbox{ } \forall \mbox{ } z,w ∈ \Omega, \) dado \( \epsilon > 0 \mbox{ y } \delta = \frac {\epsilon}{2L}, \),
tenemos que, si \( |z-w|< \delta \Rightarrow |f(z)-f(w)| \le L |z-w| \le \frac{L\epsilon}{2L}<\epsilon, \)
i.e., \(\forall \mbox{ }\epsilon>0, \mbox{ } \exists \mbox{ } \delta = \frac{\epsilon}{2L} \mbox{ tal que } |f(z)-f(w)| < \epsilon \)
siempre que \(|z-w| < \delta \). Por tanto \(f\) es uniformemente continua.

--Belen (discusión) 21:50 22 nov 2012 (CST)


1.64 Si \(\emptyset\not=A\subseteq\Omega\subseteq\mathbb{C}\),demuestre que la función \(f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}\) dada por \(f(z)=d(z,A)\) es de Lipschitz

Demostración:

Sean \(z,w\in\Omega\),como \(A\not=\emptyset\), tiene sentido hablar de la distacia entre un punto en \(\Omega\) con un punto en \(A\), luego

\(|f(z)-f(w)|=|d(z,A)-d(w,A)|\leq|d(z,w)+d(w,A)-d(w,A)\)

pues \(0\leq d(z,A)\leq d(z,w)+d(w,A)\), entonces

\(|f(z)-f(w)|\leq|d(z,w)|=d(z,w)=|z-w|\), es decir

\(|f(z)-f(w)|\leq|x-w|\leq L|x-w|\), con \(L\geq1\)

Por lo tanto la función \(f(z)=d(z,A)\) es de Lipschitz

--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 20:31 27 nov 2012 (CST)


1.65 Demuestre que la función \(f:\mathbb{C}\longrightarrow\mathbb{C}\) dada por \(f(z)=|z|\) es de Lipschitz.

Demostración:

Sean \(z,w\in\mathbb{C}\), entonces

\(|f(z)-f(w)|=\bigg||z|-|w|\bigg|=\bigg||z+w-w|-|w|\bigg|\) por la desigualdad del triángulo

\(|f(z)-f(w)|\leq\bigg||z-w|+|w|-|w|\bigg|=\bigg||z-w|\bigg|=|z-w|\leq L|z-w|\) con \(L\geq1\)

Por lo tanto la función \(f(z)=|z|\) es de Lipschitz.

--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 20:31 27 nov 2012 (CST)


1.66. Demuestre que la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) dada por \(f(x)=x^2\) no es de Lipschitz.

Sean \(x_1, x_2 ∈ \mathbb{R} \).
Tenemos que \(|f(x_1)-f(x_2)|=|{x_1}^2- {x_2}^2|=|x_1+x_2|*|x_1-x_2| \),
pero como \(|x_1+x_2|\) se puede hacer arbitrariamente grande, resulta que \( f(x)=x^2\) no es de Lipschitz.

--Belen (discusión) 21:50 22 nov 2012 (CST)



--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)

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