Compleja:z-ej-cap1.2

Sucesiones y series de números complejos

1.32 Si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \boldsymbol{\Omega}\subseteq\mathbb{C} demuestre que${\boldsymbol {\Omega }}^{-}=\{Z\in {\mathfrak {C}}:Z\}$es un punto de acumulación de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \boldsymbol{\Omega} .

Un punto ${\mathcal {Z}}_{0}$ se dice que es un punto de acumulación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \boldsymbol{\Omega} , si al menos alrededor de ${\mathcal {Z}}_{0}$ contiene un punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mathcal{Z} . Entonces si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \boldsymbol{\Omega}^- , este contiene todos sus puntos de acumulación

Ayudandonos del lema 1.12

si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \boldsymbol{\Omega}\subseteq\mathfrak{C} , un punto de acumulción de ${\boldsymbol {\Omega }}$ si y sólo sí existe una sucesión$\{{\mathcal {Z}}_{n}\}\subseteq {\boldsymbol {\Omega }}-\{{\mathcal {Z}}\}$, tal que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mathcal{z}_0 = \lim\{\mathcal{Z}_n\} .

Una sucesión convergente tiene exactamente un punto límite, su límite

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \boldsymbol{\Omega}^- si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mathcal{Z} es un punto de acumulación de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \boldsymbol{\Omega} , y ${\mathcal {Z}}\in {\boldsymbol {\Omega }}$, por lo tanto ${\mathcal {Z}}\notin \left({\boldsymbol {C}}-{\boldsymbol {\Omega }}\right).$

Hay una bola $B\left({\mathcal {Z}};{\boldsymbol {\epsilon }}\right)$ centrado en ${\mathcal {Z}}$, y pasa que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \boldsymbol{\Omega}\cap\left(B\left(\mathcal{Z};\boldsymbol{\epsilon}\right)-\{\mathcal{Z}\}\right)\neq Ø} .

Por el ejercicio 1.21, tenemos que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mathcal{Z}\in \left(\boldsymbol{\Omega}-\{\mathcal{Z}\}\right)^- , entonces si hay una sucesión Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \{\mathcal{Z}_n\}\subseteq \boldsymbol{\Omega}-\{\mathcal{Z}\} , tal que sea convergente, osea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mathcal{Z}=\lim\{\mathcal{Z}_n\} .

--Luis Antonio (discusión) 18:39 28 nov 2012 (CST)

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1.34 Demuestre que diámetro $di{\acute {a}}mA=di{\acute {a}}m{\bar {A}}$, para todo $A\subseteq \mathbb {C}$.

sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z=a+bi y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): w=c+di con $z,w\subseteq A$

$di{\acute {a}}mA:=sup\left\{\mid z-w\mid ;z,w\epsilon A\right\}$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): sup\left\{ \mid(a+bi)-(c+di)\mid\right\}

$sup\left\{\mid (a-c)+(b-d)i\mid \right\}$

$sup\left\{{\sqrt {(a-c)^{2}+(b-d)^{2}}}\right\}$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): sup\left\{ \sqrt{a^{2}-2ac+c^{2}+b^{2}-2bd+d^{2}}\right\}

por otro lado

$di{\acute {a}}m{\bar {A}}:=\mid {\overline {z-w}}\mid =\mid {\overline {z}}-{\overline {w}}\mid$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): =sup\left\{ \mid(a-bi)-(c-di)\mid\right\}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): =sup\left\{ \mid(a-c)+(d-b)i\mid\right\}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): =sup\left\{ \sqrt{(a-c)^{2}+(d-b)^{2}}\right\}

$sup\left\{{\sqrt {a^{2}-2ac+c^{2}+b^{2}-2bd+d^{2}}}\right\}$

--Ignacio Peralta Martínez (discusión) 03:28 29 nov 2012 (CST)

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1.36. Demuestre que toda serie $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }z_{n}$ absolutamente convergente es convergente. Dé un contraejemplo de una serie convergente que no es absolutamente convergente.

Recordemos que una serie Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \textstyle \sum_{n=0}^\infty z_n se dice absolutamente convergente si y sólo si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \textstyle \sum_{n=0}^\infty |z_n| converge.

Proposiciones preliminares:

a) Si $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ converge, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \sum_{n=0}^\infty c_n converge y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): a_n \le b_n \le c_n \forall n \ge N , entonces $\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}$ converge.
Este resultado es consecuencia del criterio de comparación de las sucesiones.

b) Si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \sum_{n=0}^\infty |a_n| converge, entonces Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \sum_{n=0}^\infty a_n converge.
Es consecuencia de a) usando que $-|a_{n}|\leq a_{n}\leq |a_{n}|$.

c) Sea $z_{n}=a_{n}+ib_{n}$ con Error al representar (error de sintaxis): a_n, b_n ∈ \mathbb{R} , entonces $\sum _{n=0}^{\infty }z_{n}$ converge si y sólo si $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ converge y $\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}$ converge.
Esto es consecuencia de la proposición análoga para sucesiones y de la definición de serie.

Demostración.

Sea $z_{n}=a_{n}+ib_{n}$ con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): a_n, b_n ∈ \mathbb{R} y $\sum _{n=0}^{\infty }|z_{n}|$ convergente.
Como $0\leq |a_{n}|\leq |z_{n}|\forall n$, por la proposición a) se deduce que $\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|$ converge.
Ahora, por la proposición b) concluímos que
$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ converge. (A)
Y de forma análoga vemos que $\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}$ converge. (B)

Teniendo los resultados (A) y (B) y con la proposición c), tenemos que
$\sum _{n=0}^{\infty }z_{n}$ converge.

Por otro lado, si tomamos la serie
$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n}}$, ésta converge, pero
$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$.
Y con ello vemos que una serie convergente no es necesariamente absolutamente convergente.

--Belen (discusión) 19:48 22 nov 2012 (CST)

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1.40 Si Error al representar (error de sintaxis): \alpha ∈ \mathbb{R} y $\left\{a_{n}\right\}\subseteq \mathbb {R}$, demuestre que $\lim \left\{a_{n}\right\}=\alpha \iff \limsup \left\{a_{n}\right\}=\alpha =\liminf \left\{a_{n}\right\}$.

Proposición preliminar:

a) Sean Error al representar (error de sintaxis): \left\{ x_n \right\}, \left\{ y_n \right\}, \left\{ z_n \right\} \subseteq \mathbb{R} \mbox{ tal que } \lim \left\{x_n \right\} = a = \lim \left\{z_n \right\}, \mbox{ si } x_n \le y_n \le z_n \forall n ∈ \mathbb{N} \Rightarrow \lim \left\{y_n \right\} = a.

Demostración:
Tenemos que $\lim \left\{z_{n}-x_{n}\right\}=\lim \left\{z_{n}\right\}-\lim \left\{x_{n}\right\}=a-a.$
Además $0\leq y_{n}-x_{n}\leq z_{n}-x_{n}$
$\Rightarrow \lim \left\{y_{n}-x_{n}\right\}=\lim \left\{y_{n}\right\}-\lim \left\{x_{n}\right\}=0.$
De aquí, $\lim \left\{(y_{n}-x_{n})+x_{n}\right\}=\lim \left\{y_{n}-x_{n}\right\}+\lim \left\{x_{n}\right\}=0+a.<br/>\Rightarrow \lim \left\{y_{n}\right\}=a$

Demostración:

Sean ${\overline {a}}_{n}=sup\left\{a_{i}:i\geq n\right\}{\mbox{ y }}{\underline {a}}_{n}=inf\left\{a_{i}:i\geq n\right\}$

Primero supongamos que $\limsup \left\{a_{n}\right\}=\alpha =\liminf \left\{a_{n}\right\}$
Ya que ${\underline {a}}_{n}\leq a_{n}\leq {\overline {a}}_{n}$, por la proposición a),
$\lim \left\{a_{n}\right\}=\alpha$.

El recíproco:
Sea $\left\{a_{n}\right\}$ convergente, i.e., $\lim \left\{a_{n}\right\}=\alpha$ .
Supongamos $\limsup \left\{a_{n}\right\}={\overline {\alpha }}{\mbox{ y }}\liminf \left\{a_{n}\right\}={\underline {\alpha }}.$
Tenemos que ${\overline {a}}_{n}-{\underline {a}}_{n}=sup\left\{|a_{i}-a_{j}|:i,j\geq n\right\}.$ (*)
Por otra parte, fijemos $\epsilon >0\Rightarrow \exists n_{0}{\mbox{ tal que }}|a_{n}-a|<{\frac {\epsilon }{2}}{\mbox{ si }}n\geq n_{0}$.
Como $a_{n}-a_{m}=a_{n}-a+a-a_{m},\Rightarrow {\mbox{ (por desigualdad del triángulo) }},|a_{n}-a_{m}|\leq |a_{n}-a|+|a_{m}-a|<\epsilon {\mbox{ si }}n,m>N.$
De esto y con (*) tenemos que ${\overline {a}}_{n}-{\underline {a}}_{n}\leq \epsilon ,{\mbox{ si }}n\geq n_{0}\Rightarrow |{\overline {\alpha }}-{\underline {\alpha }}|\leq \epsilon ,$
y como esto sucede $\forall \epsilon >0,{\overline {\alpha }}={\underline {\alpha }}$.

--Belen (discusión) 21:13 22 nov 2012 (CST)

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1.47 Demuestre que $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n!}}$ Criterio del cociente o la razón Sea $\{a_{n}\}$ una sucesión tal que: $a_{n}>0{\textrm {ysea}}B=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ entonces:

1)Si B<1, la serie $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ converge

2)Si B>1, la serie $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ diverge

3)Si B=1, no hay información

Solución: Se cumple que: $n!\geq 2^{n-1}\qquad \forall \qquad n\geq 1\Rightarrow {\frac {1}{2^{n-1}}}\geq {\frac {1}{n!}}$entonces: $\sum _{n=1}^{\infty }({\frac {1}{n!}})^{1/n}\leq \sum _{n=1}^{\infty }({\frac {1}{2^{n-1}}})^{1/n}$

$\sum _{n=1}^{\infty }({\frac {1}{n!}})^{1/n}\leq \sum _{n=1}^{\infty }({\frac {1}{2^{n-1}}})^{1/n}$

Sean: $a_{n}={\frac {1}{n!}}\qquad b_{n}={\frac {1}{2^{n-1}}}$, entonces: $\sum _{n=1}^{\infty }({\frac {1}{2^{n-1}}})=\sum _{n=0}^{\infty }({\frac {1}{2^{n}}})$, por lo que: $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\frac {1}{(n+1)!}}{\frac {1}{n!}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{(n+1)!}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n+1}}=0$

--Jean Carlo Cruz Venegas (discusión) 09:58 4 dic 2012 (CST)

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--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)

Compleja:z-ej-cap1.1