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| ''Es consecuencia de a) usando que <math>-|a_n|\le a_n \le |a_n|</math>.'' | | ''Es consecuencia de a) usando que <math>-|a_n|\le a_n \le |a_n|</math>.'' |
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| <span style="color:#C71585">c) Sea <math> z_n = a_n + ib_n </math> con <math> a_n, b_n ∈ \mathbb{R} </math> , entonces <math> \sum_{n=0}^\infty z_n </math> converge si y sólo si <math> \sum_{n=0}^\infty a_n </math> converge y <math> \sum_{n=0}^\infty b_n </math> converge. <br/> | | <span style="color:#C71585">c) Sea <math> z_n = a_n + ib_n </math> con <math> a_n, b_n \in \mathbb{R} </math> , entonces <math> \sum_{n=0}^\infty z_n </math> converge si y sólo si <math> \sum_{n=0}^\infty a_n </math> converge y <math> \sum_{n=0}^\infty b_n </math> converge. <br/> |
| ''Esto es consecuencia de la proposición análoga para sucesiones y de la definición de serie.'' </span> | | ''Esto es consecuencia de la proposición análoga para sucesiones y de la definición de serie.'' </span> |
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| '''Demostración.''' | | '''Demostración.''' |
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| Sea <math> z_n = a_n + ib_n </math> con <math> a_n, b_n ∈ \mathbb{R} </math> y <math> \sum_{n=0}^\infty |z_n| </math> convergente.<br/> | | Sea <math> z_n = a_n + ib_n </math> con <math> a_n, b_n \in \mathbb{R} </math> y <math> \sum_{n=0}^\infty |z_n| </math> convergente.<br/> |
| Como <math> 0 \le |a_n| \le |z_n| \forall n</math>, por la proposición a) se deduce que <math> \sum_{n=0}^\infty |a_n| </math> converge. <br/> | | Como <math> 0 \le |a_n| \le |z_n| \forall n</math>, por la proposición a) se deduce que <math> \sum_{n=0}^\infty |a_n| </math> converge. <br/> |
| Ahora, por la proposición b) concluímos que <br/> <math> \sum_{n=0}^\infty a_n </math> converge. (A)<br/> | | Ahora, por la proposición b) concluímos que <br/> <math> \sum_{n=0}^\infty a_n </math> converge. (A)<br/> |
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| Y con ello vemos que una serie convergente no es necesariamente absolutamente convergente. | | Y con ello vemos que una serie convergente no es necesariamente absolutamente convergente. |
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| --[[Usuario:Belen|Belen]] ([[Usuario discusión:Belen|discusión]]) 19:48 22 nov 2012 (CST) | | ---- |
| | | Realizado por: [[Usuario:Belen|Belen]] ([[Usuario discusión:Belen|discusión]]) 19:48 22 nov 2012 (CST) |
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Sucesiones y series de números complejos
1.32 Si demuestre quees un punto de acumulación de .
Un punto se dice que es un punto de acumulación , si al menos alrededor de contiene un punto . Entonces si , este contiene todos sus puntos de acumulación
Ayudandonos del lema 1.12
si , un punto de acumulción de si y sólo sí existe una sucesión, tal que
.
Una sucesión convergente tiene exactamente un punto límite, su límite
si es un punto de acumulación de , y , por lo tanto
Hay una bola centrado en , y pasa que .
Por el ejercicio 1.21, tenemos que , entonces si hay una sucesión , tal que sea convergente, osea .
Realizado por: Luis Antonio (discusión) 18:39 28 nov 2012 (CST)
1.34 Demuestre que diámetro , para todo .
sea y con
por otro lado
Realizado por: Ignacio Peralta Martínez (discusión) 03:28 29 nov 2012 (CST)
1.36. Demuestre que toda serie absolutamente convergente es convergente. Dé un contra ejemplo de una serie convergente que no es absolutamente convergente.
Recordemos que una serie se dice absolutamente convergente si y sólo si converge.
Proposiciones preliminares:
a) Si converge, converge y , entonces converge.
Este resultado es consecuencia del criterio de comparación de las sucesiones.
b) Si converge, entonces converge.
Es consecuencia de a) usando que .
c) Sea con , entonces converge si y sólo si converge y converge.
Esto es consecuencia de la proposición análoga para sucesiones y de la definición de serie.
Demostración.
Sea con y convergente.
Como , por la proposición a) se deduce que converge.
Ahora, por la proposición b) concluímos que
converge. (A)
Y de forma análoga vemos que converge. (B)
Teniendo los resultados (A) y (B) y con la proposición c), tenemos que
converge.
Por otro lado, si tomamos la serie
, ésta converge, pero
.
Y con ello vemos que una serie convergente no es necesariamente absolutamente convergente.
Realizado por: Belen (discusión) 19:48 22 nov 2012 (CST)
1.40 Si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \alpha ∈ \mathbb{R}
y , demuestre que .
Proposición preliminar:
a) Sean Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \left\{ x_n \right\}, \left\{ y_n \right\}, \left\{ z_n \right\} \subseteq \mathbb{R} \mbox{ tal que } \lim \left\{x_n \right\} = a = \lim \left\{z_n \right\}, \mbox{ si } x_n \le y_n \le z_n \forall n ∈ \mathbb{N} \Rightarrow \lim \left\{y_n \right\} = a.
Demostración:
Tenemos que
Además
De aquí,
Demostración:
Sean
Primero supongamos que
Ya que , por la proposición a),
.
El recíproco:
Sea convergente, i.e., .
Supongamos
Tenemos que (*)
Por otra parte, fijemos .
Como
De esto y con (*) tenemos que
y como esto sucede .
--Belen (discusión) 21:13 22 nov 2012 (CST)
1.47 Demuestre que
Criterio del cociente o la razón
Sea una sucesión tal que: entonces:
- 1)Si B<1, la serie converge
- 2)Si B>1, la serie diverge
- 3)Si B=1, no hay información
Solución:
Se cumple que:
entonces:
Sean: , entonces:
, por lo que:
--Jean Carlo Cruz Venegas (discusión) 09:58 4 dic 2012 (CST)
--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)
Compleja:z-ej-cap1.0
Compleja:z-ej-cap1.1