Sucesiones y series de números complejos
1.32 Si
demuestre que
es un punto de acumulación de
.
Un punto
se dice que es un punto de acumulación
, si al menos alrededor de
contiene un punto
. Entonces si
, este contiene todos sus puntos de acumulación
Ayudandonos del lema 1.12
si
, un punto de acumulción de
si y sólo sí existe una sucesión
, tal que
.
Una sucesión convergente tiene exactamente un punto límite, su límite
si
es un punto de acumulación de
, y
, por lo tanto
Hay una bola
centrado en
, y pasa que
.
Por el ejercicio 1.21, tenemos que
, entonces si hay una sucesión
, tal que sea convergente, osea
.
Realizado por: Luis Antonio (discusión) 18:39 28 nov 2012 (CST)
1.34 Demuestre que diámetro
, para todo
.
sea
y
con
por otro lado
Realizado por: Ignacio Peralta Martínez (discusión) 03:28 29 nov 2012 (CST)
1.36. Demuestre que toda serie
absolutamente convergente es convergente. Dé un contra ejemplo de una serie convergente que no es absolutamente convergente.
Recordemos que una serie
se dice absolutamente convergente si y sólo si
converge.
Recordemos que una serie
se dice absolutamente convergente si y sólo si
converge.
Proposiciones preliminares:
a) Si
converge,
converge y
, entonces
converge.
Este resultado es consecuencia del criterio de comparación de las sucesiones.
b) Si
converge, entonces
converge.
Es consecuencia de a) usando que
.
c) Sea
con
, entonces
converge si y sólo si
converge y
converge.
Esto es consecuencia de la proposición análoga para sucesiones y de la definición de serie.
Demostración.
Sea
con
y
convergente.
Como
, por la proposición a) se deduce que
converge.
Ahora, por la proposición b) concluímos que
converge. (A)
Y de forma análoga vemos que
converge. (B)
Teniendo los resultados (A) y (B) y con la proposición c), tenemos que
converge.
Por otro lado, si tomamos la serie
, ésta converge, pero
.
Y con ello vemos que una serie convergente no es necesariamente absolutamente convergente.
Realizado por: Belen (discusión) 19:48 22 nov 2012 (CST)
1.40 Si Error al representar (error de sintaxis): \alpha ∈ \mathbb{R}
y
, demuestre que
.
Proposición preliminar:
a) Sean Error al representar (error de sintaxis): \left\{ x_n \right\}, \left\{ y_n \right\}, \left\{ z_n \right\} \subseteq \mathbb{R} \mbox{ tal que } \lim \left\{x_n \right\} = a = \lim \left\{z_n \right\}, \mbox{ si } x_n \le y_n \le z_n \forall n ∈ \mathbb{N} \Rightarrow \lim \left\{y_n \right\} = a.
Demostración:
Tenemos que
Además ![0 \le y_n - x_n \le z_n - x_n](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01ea4001390e5a2c72c49b0ef0ecb723c602a6b5)
![\Rightarrow \lim \left\{ y_n - x_n \right\} = \lim \left\{y_n \right\} - \lim \left\{x_n \right\} = 0.](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb34f5d5e684f38c5af92c7d6398e59d092cd71b)
De aquí,
Demostración:
Sean
Primero supongamos que
Ya que
, por la proposición a),
.
El recíproco:
Sea
convergente, i.e.,
.
Supongamos
Tenemos que
(*)
Por otra parte, fijemos
.
Como ![a_n-a_m = a_n -a +a - a_m, \Rightarrow \mbox{ (por desigualdad del triángulo) } , |a_n-a_m| \le |a_n-a|+|a_m-a| < \epsilon \mbox{ si } n,m>N.](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01e2a1ba4e55b2f0b2ba5b0e98b5fde0f5c32dbe)
De esto y con (*) tenemos que
y como esto sucede
.
--Belen (discusión) 21:13 22 nov 2012 (CST)
1.47 Demuestre que
Criterio del cociente o la razón
Sea
una sucesión tal que:
entonces:
- 1)Si B<1, la serie
converge
- 2)Si B>1, la serie
diverge
- 3)Si B=1, no hay información
Solución:
Se cumple que:
entonces:
Sean:
, entonces:
, por lo que:
--Jean Carlo Cruz Venegas (discusión) 09:58 4 dic 2012 (CST)
--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)
Compleja:z-ej-cap1.0
Compleja:z-ej-cap1.1