--cecy (discusión) 10:31 29 nov 2012 (CST)==Las ecuaciones de Cauchy-Riemann==
2.9 Si
es una región, defina
. Si
es holomorfa, defina
mediante
. Demuestre que
es holomorfa.
- Demostración:
Sea
, entonces
, tomando
. Definimos
funciones diferenciables tales que
, con lo cual
es holomorfa, entonces
Como
es diferenciable, entonces
tambien lo es, luego
es diferenciable.
Por lo tanto
es holomorfa.
--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 00:29 28 nov 2012 (CST)
2.10 Si
observe que
es simétrica con respecto al eje real por el ejercicio anterior se sigue que la función
dada por
es holomorfa.
- Demostración
Del ejercicio anterior se tiene que si
es holomorfa, entonces
es holomorma y en consecuencia diferenciables, de la proposición 2.1 la suma de dos funciones diferenciables es diferenciable, luego
es diferenciable, por lo tanto
es holomorfa.
--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 01:01 28 nov 2012 (CST)
2.12. Muestre que la función
dada por
es diferenciable en todos los puntos de la recta
, pero no es holomorfa.
Sea
y
tenemos que:
Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle lim_{h \to 0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \lim_{h \to \0} \frac{(x+x_{0})^2+i(y+y_{0})^2-(x^2+iy^2)}{x_{0}+iy_{0}}}
Desarrollando los binomios, se eliminan los
Se obtiene:
Reagrupando:
Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle = lim_{h \to 0} \frac{x_{0}((2x+x_{0})+iy_{0}(2y+y_{0}{x_{0}+iy_{0}}.}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = lim_{h \to 0} \frac{(x_{0}+iy_{0})(2x+x_{0})(2y+y_{0}){x_{0}+iy_{0}}).}
Eliminando, se obtiene que:
Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle = \lim_{h \to 0} \(2x+x_{0})(2y+y_{0})}
Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \(2x+x_{0})(2y+y_{0}) = 4xy }
existe su límite y en la recta
se tiene que
por lo que existe en todo ese punto y es diferenciable sobre cualquier punto sobre la recta.
Y no es holomorfa porque no se cumple la ecuacion de Cauchy-Riemann.
Esto es que se debe cumplir:
Error al representar (error de sintaxis): \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\
Y Error al representar (error de sintaxis): \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\\
Sea
Y
no se cumple y por lo tanto no son holomorfas
--Jean Carlo Cruz Venegas (discusión) 06:54 29 nov 2012 (CST)
2.13. ¿Cuáles de las funciones siguientes satisfacen las ecuaciones de Cauchy-
Riemann?
1)
:
2)
:
3)
:
Se debe de cumplir que:
Error al representar (error de sintaxis): \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\
:
Y:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\\
:
Para
:
Siendo,
y
:
las derivadas parciales son:
:
:
Y:
:
Error al representar (error de sintaxis): \frac{\partial v}{\partial x}\\ = -2y
:
no se cumple las ecuaciones de Cauchy- Riemann.:
Para
:
Siendo,
y
:
:
:
Y:
:
Error al representar (error de sintaxis): \frac{\partial v}{\partial x}\\ = 6xy
:
no se cumple las ecuaciones de Cauchy- Riemann.:
Para
:
Siendo,
:
:
:
Y:
:
Error al representar (error de sintaxis): \frac{\partial v}{\partial x}\\ = \frac{y}{x^2+y^2}
:
se cumple las ecuaciones de Cauchy- Riemann.:
--Jean Carlo Cruz Venegas (discusión) 07:23 29 nov 2012 (CST)
2.14) Encuentre todas las funciones holomorfas
- Solucion:
- Sea
donde:
- Derivando parcialmente:
:
- Ambas satisfacen las ecuaciones de Riemann
2.15) Demuestre que no hay funciones holomorfas
Solucion:
Entonces:
- Si z=0
![f'(0)= \lim_{h\to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{|h|^2}{h}= \lim_{h\to 0} \frac{h\overline{h}}{h} =
\lim_{h\to 0} \overline{h} = 0](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a96dc70834ee62c13936921ecd02d0b50242253d)
- Si z \ne 0
- Si
tenemos:
![\lim_{h\to 0} \ frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \overline{z} + z](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87b95a44aba2fa969086bd718abfe5e06c15e415)
- Si
entonces:
![\lim_{h\to 0} \ frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \overline{z} - z](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e754a7ab4ed686a867e2844008e1e8d9c96ad69)
- como
![z\ne 0 \Rightarrow \overline{z} + z \ne \overline{z} - z](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e3ebf0be2e5e5ccce2d0143c2f3bc5d50d1a216)
![\therefore f(z) \textrm{ no es diferenciable en } z\ne 0](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a714bd36bb0c062aa85378b58a856233623542)
--Cesar (discusión) 21:01 27 nov 2012 (CST)
2.16. Si
es holomorfa,
es de la forma
, demuestre que f es un polinomio de primer grado en z.
Como es holomorfa la función tiene que cumplir las ecuaciones de Cauchy-Riemann por lo que para la primera ecuación
con la que nos damos cuenta que las exponenciales combinadas con dos variables cumplen esta condición de igual forma los polinomios, pero al aplicar la segunda ecuación
vemos que la exponencial ya no cumple, pero los polinomios siguen cumpliendo, pues como la función "u" depende únicamente de x, su derivada con respecto a x se hace 0, de igual forma con "v" como depende solo de y, su parcial con respecto a x se hace 0; por lo que tienen que ser polinomios de primer grado u, v; por lo tanto z es polinomio de primer grado.
--Ignacio Peralta Martínez (discusión) 04:20 29 nov 2012 (CST)
2.17. Si
es holomorfa,
una región y
es constante, desmuestre que
es constante. Similarmente, si
es constante, entonces
es constante.
Sea
a)
por lo tanto
.
Y por las condiciones de Cauchy-Riemann (C-R)
.
Lo que implica que
b)
por lo tanto
.
Y por las condiciones C-R
.
Por tanto
--Belen (discusión) 23:24 22 nov 2012 (CST)
2.18. Si
es holomorfa,
una región y
es constante, desmuestre que
es constante.
Si
y, por tanto,
.
Como el lado derecho es una función holomorfa,
es holomorfa.
Ahora, como
las condiciones de C-R se traducen en:
,
y las mismas condiciones sobre
implican
.
Así que tenemos que ![\frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial y} \Rightarrow \frac{\partial v}{\partial y} =0](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/579287f76617fd9d0322f1b999afd02837463d98)
y, por lo tanto,
.
Análogamente,
y
.
Entonces
y
son constantes y por tanto
.
--Belen (discusión) 23:38 22 nov 2012 (CST)
2.34. Muestre que la imagen bajo la exponencial de la recta
, para
es una espiral logarítmica y bosqueje su imagen.
Sea
entonces
hacemos a
entonces
con lo que comparamos y nos queda la solución
nota: la parte imaginaria de z en realidad se le suma
donde k es cualquier entero.
Para el bosquejo simplemente se sustituye el valor de z en la exponencial compleja, y al pasarlas al plano uv, se puede graficar la espiral al valores a las siguientes componentes.
Archivo:Espiral.png
--Ignacio Peralta Martínez (discusión) 05:17 29 nov 2012 (CST)
3.35 muestre que la función u del ejemplo 2.9 no tiene conjugada armónica.
Sea
buscamos una función v tal que
por lo que para encontrar la v integramos respecto a y:
pero para verificar que es la buena veremos que cumpla con la condición de la segunda ecuación de Cauchy-Riemann
De igual forma integramos para obtener la v, pero ahora con respecto a x
como vemos los argumentos de la función no son iguales ni tampoco salió el signo negativo, por lo tanto la función no tiene armónica conjugada.
--Ignacio Peralta Martínez (discusión) 05:17 29 nov 2012 (CST)
2.38) Demuestre que si v es conjugado armónica de u, entonces las funciones uv y
son armónicas.
Demostración
Si v es la conjugada armónica de u, u es armónica en
, entonces
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\
Error al representar (error de sintaxis): \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\\
entonces:
Error al representar (error de sintaxis): \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 v}{\partial y \partial x} \\
y
Error al representar (error de sintaxis): \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -\frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y}\\
Error al representar (error de sintaxis): \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \\
=0
, entonces:
Error al representar (error de sintaxis): \frac{\partial v}{\partial x} =2y\\
y
Error al representar (error de sintaxis): \frac{\partial v}{\partial y} = 2x \\
integrando con respecto a x, tenemos:
v(x,y)=2xy +C
entonces:
y
como
:
v(x,y)=2xy+K
--cecy (discusión) 10:31 29 nov 2012 (CST)
--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)
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