1. Demuestre que el producto de números complejos cumple con la ley asociativa
Sean
con
Por demostrar
Por otra parte
Entonces se cumple .
--Gabita 22:15 28 sep 2009 (UTC)
SECCION 1.1.2
1. Demuestre que
Sean
Por otra parte
--Gabita 22:15 28 sep 2009 (UTC)
2. Exprese de la forma
Por las propiedades ,
Simplificando, se obtiene:
Resolviendo la división de números complejos, de la forma:
:
=.
--Josua Da Vinci 23:00 28 sep 2009 (UTC)
3. Demuestre que es raiz de un polinomio real si y solo si lo es.
Sea solucion de un polinomio real,
entonces
como , por lo tanto tambien es solucion.
--Luis Nava 06:35 30 sep 2009 (UTC)
5. Sean tales que cumplen , demuestre que estos tres puntos determinan un triángulo equilátero.
Tenemos que
y, por lo tanto,
De la Figura 1, vemos que cada una de esas normas de números complejos son exactamente los segmentos de recta que constituyen el triángulo ABC, a saber:
De (2) y (3) tenemos que:
Por triángulos semejantes, se tiene que el ángulo es igual al ángulo y éste a su vez al ángulo , es decir,
Y la ecuación (5) es precisamente la condición para que el triángulo ABC de la Figura 1 sea equilátero.
--Belen 02:48 29 sep 2009 (UTC)
6. Sea , pruebe que
Puesto que el número complejo z puede escribirse como
Se deduce que
Como el cuadrado de un número real no puede ser negativo
Entonces
O sea
O de otra manera
Sumando , a ambos lados se tiene
Como
Entonces
De donde
Sacando raíces cuadradas positivas
Por lo tanto
--Ralf Gutierrez 19:18 29 sep 2009 (UTC)
6-bis. Sea , pruebe que
Tenemos que , entonces de la teoria sabemos que
Tambien es inmediato que para z , , y que el cuadrado de cualquier numero real es siempre positivo, entonces de esto se tiene que
Desarrollando el binomio se tiene que
Y por la identidad (1) esto se puede escribir como
Ahora sumando en ambos lados obtenemos lo siguiente
Pero ademas como , lo sustituimos en el resultado anterior
Es facil ver que
Utilizando este resultado se deduce que
Y tomando las raices positivas llegamos al siguiente resultado
Que es lo que se queria mostrar.
--Oscar Adrian 03:56 1 oct 2009 (UTC)
REVISADO
7. Demuestre que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales es la suma de los cuadrados de los lados.
Archivo:Dibujobueno.jpg
Sacamos las normas de los números complejos
|z|=
|w|=
Por algebra de vectores
Donde |h| es la resultante de |z|+|w|
+
De la misma forma el dibujo nos indica q trasladamos la magnitudes de los vectores
|w| y |z| y por tanto también tendremos |z|+|w| =|h|
Entonces si |z|+|w| = |h|
Aplicando el teorema de pitagoras q nos dice
d = cateto
f = cateto
entonces tenemos que
Aplicamos pitagoras
Por tanto
se cumple la suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de la diagonal.
--Karla 22:47 4 oct 2009 (UTC)Sanchez
SECCION 1.1.3
1. Calcule las raìces cuadradas de y de .
Aplicando la formula para calcular raices cuadradas de numeros complejos.
si
Por lo tanto las raices de , son:
y para , son:
--Josua Da Vinci 23:44 30 sep 2009 (UTC)
REVISADO
2.- Calcule las raices sextas de -64 y las raices cubicas de 8i
Tenemos que definicion en forma polar
r=64
n=6 porque nos piden las raíces sextas
Entonces el argumento
Si
Entonces utilizando la definición de Moivre para obtener las raíces
Ahora tenemos
y g= raíz enesima = = 2
y los es porque tomamos en cuenta la periodicidad de la funció n y k son todos los múltiplos de
entonces sacando las raíces
k=0
k=1
k=2
k=3
k=4
k=5
Las soluciones son
r1= 2
r2= 2
r3= 2
r4= 2
r5= 2
r6= 2
Graficando en coordenadas polares nos queda:
Archivo:POLIGONO2.jpg
Haciendo algo similar para el 8i Tenemos
Archivo:DEMO3.jpg
el argumento
r= 8
n=3 porque nos pinden las raíces cubicas
y g= raíz enesima = = 2
k=0
k=1
k=2
r1= 2
r2= 2
r3= 2
Graficando en coordenadas polares tenemos
--Karla 21:35 4 oct 2009 (UTC)Sanchez
2.- Calcule las raices sextas de -64 y las raices cubicas de 8i
Sea
Por la formula de De Moivre
para k = 0,1,2,3,4,5
Evaluando k se obtiene
con k = 0
con k = 1
con k = 2
con k = 3
con k = 4
con k = 5
..............
Sea
para k = 0,1,2
Evaluando a k se obtiene
con k = 0
con k = 1
con k = 2
--Luis Nava 21:07 3 oct 2009 (UTC)
3. Demuestre que donde z es una raíz n-ésima de la unidad,
Sea
Ahora multiplicamos ambos lados por Z
Restando la segunda ecuación de la primera
Tenemos que
entonces
De donde
Como z es una raíz enesima de la unidad
Entonces
y
porque
Por lo tanto
--Ralf Gutierrez 22:00 2 oct 2009 (UTC)
4. Demuestre que:
Sugerencia: Factoriza la expresión usando las raices n-ésimas de la unidad, posteriormente evalue en .
Solución:
Las raices de son
entonces podemos escribir
dividiendo ambos lados por y haciendo :
de aqui hallamos que
tomando el conjugado complejo de ambos lados de (1)
Multiplicando la ecuación (1) por la (2) y aplicando que
tenemos
puesto que
la ecuación anterior se transforma en
despejando y sacando la raíz en ambos lados de la expresión:
lo que queda demostrada la igualdad.
--Wendy 23:10 4 oct 2009 (UTC)
5. Demuestre que
,
donde no es un multiplo par de .
Esta identidad se le atribuye a Lagrange.
Sugerencia: calcular la parte real de
, donde .
Solucion.
Sea
si multiplicamos por a se tiene que
ahora restemos estas dos ultimas expresiones
de lo que se obtiene que
Si en esta última expresion utilizamos entonces
toma la siguiente forma
que es equivalente a esta
Tomando el lado derecho de esta ultima expresión y llevar a cabo el producto con su conjugado , es decir:
Se obtiene del numerador lo siguiente
si tomamos solo la parte real se tiene que
por otra parte para el denominador se tiene:
al tomar la parte real de
,
sustituir lo encontrado para el numerador (parte real) y el denominador , y utilizar la siguiente
identidad
tenemos lo siguiente:
Lo cual es casi a lo que se queria llegar.
--Dali 00:01 5 oct 2009 (UTC)
- OTRA DEMOSTRACION DEL EJERCICIO1.1.3 NUMERO 5
5. Demuestre que
,
donde no es un multiplo par de .
Esta identidad se le atribuye a Lagrange.
Sugerencia: calcular la parte real de
, donde .
Solucion.
Sea
y como ..............& y por ser una serie geometrica la podemos escribir de la siguiente manera
Sea , aplicando & con
se tiene lo siguiente
y tomamos partes reales obtenemos
.............%
desarrolandola se tiene :
= =.
Con lo cual solo basta probar que
Veamos la demostracion
..............#
Si la igualdad # es cierta. Si no, es equivalente a
.
Lo cual es cierto por la formula de coseno diferencial . Por lo tanto queda demostrado que
.--Diana Rodriguez Almaraz. 04:47 15 oct 2010 (UTC)
SECCION 1.1.4
1. Demuestre que:
Se conoce como igualdad de Lagrange
Solución.
Esta demostración se hará por inducción, es decir, empezaremos suponiendo que el elemento se encuentra en el conjunto, pues entonces el resultado implica que el elemento esta en el conjunto.
Sea
Supongamos que esta en , es decir,
Tenemos que:
(recordemos algunas expresiones que no serán de utilidad en adelante
♠;
♣ en esta expresión se toma la suma de terminos y adicionar el Error al representar (error de sintaxis): n-ésimo
para tener el lado izquierdo de la expresión)
(En la expresión se utilizó ♣ para posteriormente en hacer un poco de algebra y llegar a la expresión .)
Necesitamos saber si alguno de los elementos de la expresión tiene parecido con algo conocido ó si se anulan entre si, es por eso que se desarrolla el 3er termino de la misma.
Donde nuevamente se utiliza la idea de la expresión ♣ .
Al comparar las expresiones con se observa que:
(Observese bien que el segundo termino de lado derecho de la expresión son los términos.)
Entonces si ahora utilizamos las expresiones , e podemos re-escribir de la manera siguiente:
(En las expresiones se utilizo ♠ y ♣ mas un poco de álgebra)
(En recordamos que , agrupamos términos y claro mas álgebra)
por lo tanto si .
--Dali 03:31 14 oct 2009 (UTC)
2.- Sean numeros complejos, ¿Bajo que condiciones se tiene que ?
Si , entonces
por otro lado
y por lo tanto
--Luis Nava 02:52 5 oct 2009 (UTC)
2.- Sean numeros complejos, ¿Bajo que condiciones se tiene que ?
Vemos que esto es realmente una igualdad cuando los puntos son colineales.
Por demostrar que
Para realizar esta demostración definiremos nuestros numeros en forma polar
Ahora sustuyendo esto en nuestra igualdad tenemos que:
Tamando la norma al cuadrado
Desarrollando temenos que
Simplificando un poco y factorizando del lado izquierdo llegamos a lo siguiente
Escribiendo estas exponenciales en terminos de senos y cosenos
Ya que la función es impar
Despejando
Entonces
para
Esto nos dice que esta igualdad solo se cumple cuando nuestros vectores son colineales, es decir son linealmente dependientes o uno de ellos es cero.
Generalizando esto para n, suponemos que se cumple para n-1
Donde nuestros primeros n-1 terminos lo redefinimos como y el n-esimo como
Y utlizamos el mismo razonamiento
Esto es muy claro ver cuando n=2, en una grafica.
Aquí les dejo el enlace de la pagina donde consulte el código para generar las graficas para los que les interese.
Demostracion grafica
--Oscar Adrian 03:41 16 oct 2009 (UTC)
--Oscar Adrian 03:07 6 oct 2009 (UTC)
3. Encuentre el ínfimo de en la región , y describa en qué puntos se alcanza.
Con una variante de la desigualdad del triángulo, tenemos que
Por tanto,
Entonces, el ínfimo de la expresión es 7.
Por otro lado, tenemos que, si
Si tomamos la cota inferior, , la expresión anterior es entonces:
Ya que la función coseno tiene su mínimo en el valor -1, tomemos una tal que . Para este caso, tenemos dos valores: y ,
de tal forma que, con estos valores,
Con la fórmula de De Moivre, tenemos que el ínfimo de la expresión dada toma ese valor en y tales que
y
Pero, además, por le geometría de los números complejos, tenemos otros dos valores y tales que
y
Por tanto, las expresiones (2), (3), (4) y (5) nos proporcionan los valores en que el ínfimo es tomado, a saber, y .
--Belen 04:08 12 oct 2009 (UTC)
Compleja:ej-cap1.2
Compleja:ej-cap1.3
Compleja:ej-cap1.4