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| --[[Usuario:Luis Gutierrez|Luis Gutiérrez Melgarejo]] | | --[[Usuario:Luis Gutierrez|Luis Gutiérrez Melgarejo]] |
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| | ==Problema 4.63== |
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| | '''Prueba que <math>{ t }_{ \perp }+(-{ r }_{ \perp })=1</math> para todo <math>{ \theta }_{ i }</math> , primero de las condiciones de frontera y después de las ecuaciones de Fresnel.''' |
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| | '''Solucion:''' |
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| | Podemos notar que la continuidad de los componentes tangenciales de <math>\overrightarrow { E } </math> analizando cualquier limite en cualquier punto , el campo tangencial en el medio incidente es igual al del medio de transmisión. |
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| | <math>\therefore </math> Así obtenemos: |
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| | <math>{ \left[ { E }_{ 0i } \right] }_{ \perp }+{ \left[ { E }_{ 0r } \right] }_{ \perp }={ \left[ { E }_{ 0t } \right] }_{ \perp }</math> |
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| | <math>{ \left[ { E }_{ 0t } \right] }_{ \perp }-{ \left[ { E }_{ 0r } \right] }_{ \perp }={ \left[ { E }_{ 0i } \right] }_{ \perp }</math> |
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| | Dividimos cada término con el <math>{ \left[ { E }_{ 0i } \right] }_{ \perp }</math> para obtener: |
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| | <math>{ \left[ \frac { { E }_{ 0t } }{ { E }_{ 0i } } \right] }_{ \perp }-{ \left[ \frac { { E }_{ 0r } }{ { E }_{ 0i } } \right] }_{ \perp }={ \left[ \frac { { E }_{ 0i } }{ {E}_{ 0i } } \right] }_{ \perp }\quad </math> |
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| | <math>{ \left[ \frac { { E }_{ 0t } }{ { E }_{ 0i } } \right] }_{ \perp }-{ \left[ \frac { { E }_{ 0r } }{ { E }_{ 0i } } \right] }_{ \perp }=1\quad \quad \quad </math> |
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| | Sabemos que <math>\left[ \frac { { E }_{ 0t } }{ { E }_{ 0i } } \right]_{ \perp }=</math>Amplitud del coeficiente de transmisión<math>=t_{ \perp }</math> y también podemos notar que el cociente <math>\left[ \frac { { E }_{ 0r } }{ { E }_{ 0i } } \right] _{ \perp }=</math>Amplitud del coeficiente de reflexión<math>={ r }_{ \perp }</math> |
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| | Dado las dos aseveraciones anteriores podemos dar por echo entonces que: |
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| | <math>t_{ \perp }-r_{ \perp }=1</math> |
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| | <math>\therefore \quad \quad t_{ \perp }+\left( -r_{ \perp } \right) =1</math> |
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| | Por lo tanto esta probado |
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| | Otro camino para la comprobación anterior es la siguiente: |
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| | Sabemos que el cociente de reflexión de amplitud es: |
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| | <math>r_{ \perp }=-\frac { sen({ \theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) }{ sen({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } </math> |
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| | Y por otro lado el coeficiente de transmisión de amplitud es: |
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| | <math>t_{ \perp }=\frac { 2sen({ \theta }_{ t })cos({ \theta }_{ i }) }{ sen({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } </math> |
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| | <math>\rightarrow \quad \quad t_{ \perp }-r_{ \perp }=\frac { 2sen({ \theta }_{ t })cos({ \theta }_{ i }) }{ sen({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } -\left( -\frac { sen({ \theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) }{ sen({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } \right) </math> |
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| | <math>\quad \quad t_{ \perp }-r_{ \perp }=\frac { 2sen({ \theta }_{ t })cos({ \theta }_{ i }) }{ sen({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } +\left( \frac { sen({ \theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) }{ sen({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } \right) </math> |
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| | <math>\quad \quad t_{ \perp }-r_{ \perp }=\frac { 2sen({ \theta }_{ t })cos({ \theta }_{ i })+sen({ \theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) }{ sen({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } </math> |
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| | Utilizando la fórmula de suma y diferencia Bhaskara Acharya : |
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| | <math>\quad t_{ \perp }-r_{ \perp }=\frac { 2sen({ \theta }_{ t })cos({ \theta }_{ i })+sen({ \theta }_{ i })cos({ \theta }_{ t })-sen({ \theta }_{ t })cos({ \theta }_{ i }) }{ sen({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } </math> |
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| | <math>\quad \quad t_{ \perp }-r_{ \perp }=\frac { sen({ \theta }_{ t })cos({ \theta }_{ i })+sen({ \theta }_{ i })cos({ \theta }_{ t }) }{ sen({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } </math> |
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| | <math>\quad \quad t_{ \perp }-r_{ \perp }=\frac { sen({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) }{ sen({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } </math> |
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| | <math>\quad \therefore \quad \quad t_{ \perp }-r_{ \perp }=1</math> |
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| | --[[Usuario:Ruben Espinosa|Ruben Espinosa Guzmán]] |
Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 4,
con el siguiente formato:
Problema 1
Planteamiento del problema
Solución
y su respectiva firma
--Gael
Ejercicio 4.45
Un rayo láser incide en la interfaz entre el aire y algunos dieléctricos de índice n. Para valores pequeños de
muestre que
, Usa esto y la ec. (4.42) para establecer que en una incidencia casi normal
- Solución:
- Tenemos los siguientes datos conocidos:
- Indice de refracción del aire
es: 1
- Indice de refracción del dieléctrico
es :![n](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
- Ángulo de incidencia =
![{ \theta }_{ i }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b8c831bc9999cd25d02f49a0e82168d7261103b)
- Ángulo de refracción =
![{ \theta }_{ t }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60fb8765911c7128249113249d9e2c6d12c4fe9e)
- Aplicando la ley de Snell:
![{ n }_{ i }sin{ \theta }_{ i }={ n }_{ t }sin{ \theta }_{ t }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb07b045bf49768e6d38d507e72fc861e8e8a365)
![sin{ \theta }_{ i }=nsin{ \theta }_{ t }\quad ......(1)](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1256fc9f7564a626ea8837f66a31b55e095e9ba8)
- Para valores pequeños de theta, tenemos las siguientes relaciones:
![sin{ \theta }_{ t }={ \theta }_{ i }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81fb1a92f269b9a1fa798d39693e38cc25015428)
![sin{ \theta }_{ t }={ \theta }_{ t }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2b43627ee4e05d19177f94b5d65a0420987fa4a)
- La Ecuación (1) se reduce:
![n{ \theta }_{ t }={ \theta }_{ i }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0117a11dd3cbf4d93b8912f25d9f2e46b31f854e)
- De la última expresión tenemos:
![{ \theta }_{ t }=\frac { { \theta }_{ i } }{ n }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ca4c93948fbfd221953fd94bdac943b1535b532)
- Ahora ocupando la ecuación 4.42 y considerando
muy pequeñas :
![{ r }_{ \bot }=-\frac { sin({ \theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) }{ sin({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } \quad .....(a)](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc0f04feb175e6b0da33754ad7d22dcd1345edcb)
- Haciendo la consideración:
![{ r }_{ \bot }=\frac { ({ \theta }_{ t }-{ \theta }_{ i }) }{ ({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2d9c51f45c45d7359b410ad283cef50eb447514)
- ocupando
, y sustituyendo en la ultima ecuación:
![{ r }_{ \bot }=\frac { (\frac { { \theta }_{ i } }{ n } -{ \theta }_{ i }) }{ ({ \theta }_{ i }+\frac { { \theta }_{ i } }{ n } ) }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9fae32ed3458840bd871d603def1c922cad502e)
- Factorizando
![{ \theta }_{ i }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b8c831bc9999cd25d02f49a0e82168d7261103b)
![{ r }_{ \bot }=\frac { { \theta }_{ i }(\frac { 1 }{ n } -1) }{ { \theta }_{ i }(1+\frac { 1 }{ n } ) }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d5549a965b14d4140b2ae03d656148ff88f4393)
- Reduciendo:
![{ r }_{ \bot }=\frac { (1-n) }{ (1+n) }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/528f2f1c5765e32d2d7ab8d2a1923d753ba03b64)
- Finalmente tenemos:
![{ \left( -{ r }_{ \bot } \right) }_{ { \theta }_{ i }\approx 0 }=\frac { n-1 }{ n+1 }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cdc8f5105c6dc37dabe9d197ea672f58256facd)
- --Luis Manuel Chávez Antonio
Ejercicio 4.64
Verifique que:
.........[4.49]
para
en una interfaz de vidrio crown y aire
- Solución:
Datos:
Angulo de incidencia
= 30°
Indice de refracción del cristal
= 1.52
Indice de refracción del aire = 1
Angulo de transmisión
Usando la ley de Snell obtenemos:
En angulo de transmisión
sera:
El componente perpendicular del coeficiente de transmisión es:
Ahora, la componente perpendicular del coeficiente de reflexión es:
Al sumar los valores de
y
obtenemos:
Por lo tanto
- --Enrique Ortiz Martinez
Ejercicio 4.21
Trace un gráfico de θ_i con respecto a θ_t para una frontera aire-vidrio donde
. Discuta la forma de la curva.
Solución:
- La ecuación de la refracción de Snell está dada por:
Error al representar (error de sintaxis): n_i sin(θ_i )=n_t sin(θ_t )
- Pero n_i=1
- Por lo tanto
Error al representar (error de sintaxis): n_i sin(θ_i )=n_t sin(θ_t )
Despejando θ_t se tiene que
Error al representar (error de sintaxis): θ_t=sin^(-1)(sinθ_i /n_t )
En este caso se realizan cambios de 2 grados de diferencia, se tuvo la siguiente gráfica
Podemos observar que a pesar que al comparar los ángulos, se puede apreciar que los valores tienden a un número que en este caso es aproximadamente 42°. Esto se podría interpretar como el ángulo máximo que puede tomar el haz, en este caso, en el agua.
Los datos están en el siguiente documento.
--Fernando Valencia Hernández
Problema 4.72
Mostrar que:
Y
Solución:
La componente perpendicular de la transmitancia
esta dada por:
Pero el coeficiente de amplitud de transmisión es:
Sustituyendo el valor calculado de
en la Ec.
, se obtiene:
De la ley de Snell
Sustituyendo el valor de
de la Ec.
en la Ec.
, obtenemos:
Comprobando que:
Del mismo modo podemos proceder para el comportamiento paralelo de
, se la siguiente manera:
El comportamiento paralelo de la transmitancia
, se expresa como:
Pero sabemos que la amplitud del coeficiente de transmisión es:
Sustituyendo el valor de
, en la Ec.
, obtenemos:
De la Ec.
Comprobando que:
--Luis Gutiérrez Melgarejo
Problema 4.63
Prueba que
para todo
, primero de las condiciones de frontera y después de las ecuaciones de Fresnel.
Solucion:
Podemos notar que la continuidad de los componentes tangenciales de
analizando cualquier limite en cualquier punto , el campo tangencial en el medio incidente es igual al del medio de transmisión.
Así obtenemos:
Dividimos cada término con el
para obtener:
Sabemos que
Amplitud del coeficiente de transmisión
y también podemos notar que el cociente
Amplitud del coeficiente de reflexión
Dado las dos aseveraciones anteriores podemos dar por echo entonces que:
Por lo tanto esta probado
Otro camino para la comprobación anterior es la siguiente:
Sabemos que el cociente de reflexión de amplitud es:
Y por otro lado el coeficiente de transmisión de amplitud es:
Utilizando la fórmula de suma y diferencia Bhaskara Acharya :
--Ruben Espinosa Guzmán