La topología del plano complejo
1.17.- Demuestre que un semiplano cerrado es un conjunto cerrado
Demostración
Sea
Debemos mostrar que hay una bola abierta contenida en el plano superior.
Sea se tiene entonces que . Elegimos consideremos la bola abierta B, sea se tiene entonces que . Es decir y queremos ver que , procederemos por contradicción.
Supongamos que y<0, entonces
- =
Esto es una contradicción
- y el semiplano cerrado es un conjunto cerrado
--Cecilia Carrizosa Muñoz (discusión)
1.18 Describa los siguientes subconjuntos de
a)
Solución
Sea , z=a+ib. Si la parte Im(z)>0 entonces b>0.
la parte imaginaria de z {Im(z)}es una línea horizontal b>0
b)
Solución
Sea , z=a+ib. Si la parte , entonces
la parte Real de z {Re(z)}es una línea vertical
c)
Solución
Sea y z=a+ib, entonces
|z-1|=|a+ib-1|
||
Es una circunferencia con centro en (1,0) y radio 2
d)
Solución
Sea y z=a+ib, entonces
|z-1|=|a+ib-1|>2
||>2
> 4
Es una circunferencia con centro en (0,1) y radio 2
e)
Solución
Sea y z=a+ib, como
b>0 y
f) ,
Solución
Sea y z=a+ib, como
b>0 y , , entonces
hay una circunferencia con centro en (0,0) y radio 1
Cesar (discusión)
1.19 Sea . Demuestre que:
(a) es abierto si y sólo si .
(b) es cerrado si y sólo si .
(a) Si es abierto, entonces para cada z ∈ existe un tal que . Vemos que la unión de todas las bolas es . Además, esta unión es igual al interior de a saber, , puesto que para cualquier subconjunto abierto de se tiene que Error al representar (error de sintaxis): A \subset \bigcup \left \{ B(x,\epsilon) : x ∈ A \right \}.
Luego .
Por otro lado, si , entonces es abierto por que es abierto.
(b) Si es cerrado, entonces , por que es el superconjunto cerrado más pequeño de .
Por otra parte, si entonces es cerrado debido a que es cerrado por definición.
--Belen (discusión) 21:11 30 oct 2012 (UTC)
1.20 Sea . Demuestre que:
(a) .
(b) .
(c) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): ∂ \Omega = \Omega^{-} - \Omega ^{0}
.
(d) Error al representar (error de sintaxis): ∂ \Omega = \Omega^{-} \bigcap ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-}
.
(a)
- P.D.
Sabemos que
Entonces y es abierto, puesto que la cerradura es un conjunto cerrado y el complemento de un conjunto cerrado es abierto.
De manera que , pues el interior de un conjunto () es el mayor abierto contenido en ese conjunto ()
- P.D.
Sea Error al representar (error de sintaxis): x ∈ ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-}
, entonces Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x ∈ \mathbb{C} - \Omega
por que .
Como Error al representar (error de sintaxis): x ∈ \mathbb{C} - \Omega
, se tiene que Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \Omega
y también que Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \Omega ^{0}
ya que .
Puesto que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x ∉ \Omega ^{0} \Rightarrow x ∈ \mathbb{C} - \Omega ^{0}
, es decir, al complemento del interior de .
Tenemos entonces que , de donde .
- Ya que y , podemos decir que .
(b)
Sabemos que .
Ahora, del inciso anterior, , si . Sea ,
entonces: .
Y así .
(c)
Tenemos que Error al representar (error de sintaxis): x ∈ ∂ \Omega \Leftrightarrow x ∈ [ \Omega \cap ( \mathbb{C} - \Omega ) ]
.
Error al representar (error de sintaxis): \Leftrightarrow x ∈ [ \Omega^{-} \cap ( \mathbb{C} - \Omega )^{-} ]
(puesto que )
Error al representar (error de sintaxis): \Leftrightarrow x ∈ \Omega^{-}
y Error al representar (error de sintaxis): x ∈ (\mathbb{C} - \Omega) ^{-}
Error al representar (error de sintaxis): \Leftrightarrow x ∈ \Omega^{-}
y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x ∉ \mathbb{C} - (\mathbb{C} - \Omega) ^{-} = \Omega ^{0}
(por el inciso anterior)
Error al representar (error de sintaxis): \Leftrightarrow x ∈ ( \Omega^{-} - \Omega ^{0} )
.
(d)
Veamos a la frontera Error al representar (error de sintaxis): ∂ \Omega
como el conjunto de puntos que NO están en el interior ni en el exterior (la unión de todos los abiertos ajenos con , es decir, la unión de todos los abiertos contenidos en ). El exterior de es el interior de , o sea el conjunto .
Así, Error al representar (error de sintaxis): ∂ \Omega = \mathbb{C} - [ \Omega ^{0} \cup ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{0} ] = \mathbb{C} - \Omega ^{0} \cap \mathbb{C}- (\mathbb{C} - \Omega ) ^{0}
Sabemos del inciso (a) que y del inciso (b) que .
De tal forma que .
--Belen (discusión) 02:37 31 oct 2012 (UTC)
1.21 Sea . Demuestre que:
(a) Error al representar (error de sintaxis): z ∈ \Omega ^{0}
si y sólo si existe tal que .
Si Error al representar (error de sintaxis): z ∈ \Omega ^{0}
entonces existe un tal que , por que es abierto. Como , resulta que . En la otra dirección, si para algún , entonces por ser un conjunto abierto, se tiene que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z ∈ \Omega ^{0}
, por que es la unión de todos los subconjuntos abiertos de
(b) Error al representar (error de sintaxis): z ∈ \Omega ^{-}
si y sólo si para todo se tiene que
Supóngase que Error al representar (error de sintaxis): z ∈ \Omega ^{-}
, por 1.20 (b) Error al representar (error de sintaxis): z ∈ (\mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{0})
y de este modo . Con esto y por el inciso anterior, se obtiene que para cada , . De esta forma, para cada hay un punto que no pertenece a , con lo cual , y así . Ahora supóngase que , entonces , y por el inciso anterior existe un tal que . De esto se obtiene que .
--Ricardo velasco bazán (discusión) 02:41 6 nov 2012 (UTC)
1.24 Demuestre que es conexo si y sólo si es un intervalo.
Sea , y sea un subconjunto abierto de tal que y (como , no es abierto en , pero si en , es decir, es abierto relativo a ). Si se prueba que no es también cerrado, entonces se habrá probado que es conexo.
Puesto que es abierto, existe un tal que . Sea el mayor para el cual , es decir . De este modo se tiene que , pero , por que de lo contrario, puesto que es abierto, habría un tal que , contradiciendo la definición de . Luego , y por tanto . Si es también cerrado, entonces es abierto, y por tanto se puede encontrar un tal que , lo cual contradice el hecho de que . Por lo tanto, no puede ser cerrado.
Ahora supóngase que no es un intervalo, entonces existen dos puntos , tal que (un teorema afirma que es un intervalo si y sólo si para cualquier par de puntos , con se tiene que ). Entonces, existe un punto tal que . Como y se tiene que , donde y son conjuntos disjuntos no vacíos. Por lo tanto, no es conexo.
--Ricardo velasco bazán (discusión) 03:18 6 nov 2012 (UTC)
FUENTES (INFORMACIÓN ADICIONAL):
LEYES DE MORGAN