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| '''1.36. Demuestre que toda serie <math>\textstyle \sum_{n=0}^\infty z_n </math> absolutamente convergente es convergente. Dé un contra ejemplo de una serie convergente que no es absolutamente convergente.''' | | '''1.36. Demuestre que toda serie <math>\textstyle \sum_{n=0}^\infty z_n </math> absolutamente convergente es convergente. Dé un contra ejemplo de una serie convergente que no es absolutamente convergente.''' |
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| <span style="background:#D8BFD8"> Recordemos que una serie <math>\textstyle \sum_{n=0}^\infty z_n </math> se dice absolutamente convergente si y sólo si <math>\textstyle \sum_{n=0}^\infty |z_n| </math> converge. </span>
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| <big><span style="color:#C71585"> Recordemos que una serie <math>\textstyle \sum_{n=0}^\infty z_n </math> se dice absolutamente convergente si y sólo si <math>\textstyle \sum_{n=0}^\infty |z_n| </math> converge. </span></big> | | <big><span style="color:#C71585"> Recordemos que una serie <math>\textstyle \sum_{n=0}^\infty z_n </math> se dice absolutamente convergente si y sólo si <math>\textstyle \sum_{n=0}^\infty |z_n| </math> converge. </span></big> |
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| <span style="color:#C71585"> Proposiciones preliminares:
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| <span style="color:#C71585">a) Si <math> \sum_{n=0}^\infty a_n </math> converge, <math> \sum_{n=0}^\infty c_n </math> converge y <math> a_n \le b_n \le c_n \forall n \ge N </math>, entonces <math> \sum_{n=0}^\infty b_n </math> converge.<br/> | | Proposiciones preliminares: |
| ''Este resultado es consecuencia del criterio de comparación de las sucesiones.''</span> | | |
| | * <span style="color:#C71585">a) Si <math> \sum_{n=0}^\infty a_n </math> converge, <math> \sum_{n=0}^\infty c_n </math> converge y <math> a_n \le b_n \le c_n \forall n \ge N </math>, entonces <math> \sum_{n=0}^\infty b_n </math> converge.<br/> |
| | *''Este resultado es consecuencia del criterio de comparación de las sucesiones.''</span> |
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| <span style="color:#C71585">b) Si <math> \sum_{n=0}^\infty |a_n| </math> converge, entonces <math> \sum_{n=0}^\infty a_n </math> converge. <br/> | | * <span style="color:#C71585">b) Si <math> \sum_{n=0}^\infty |a_n| </math> converge, entonces <math> \sum_{n=0}^\infty a_n </math> converge. <br/> |
| ''Es consecuencia de a) usando que <math>-|a_n|\le a_n \le |a_n|</math>.'' | | * ''Es consecuencia de a) usando que <math>-|a_n|\le a_n \le |a_n|</math>.'' |
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| <span style="color:#C71585">c) Sea <math> z_n = a_n + ib_n </math> con <math> a_n, b_n \in \mathbb{R} </math> , entonces <math> \sum_{n=0}^\infty z_n </math> converge si y sólo si <math> \sum_{n=0}^\infty a_n </math> converge y <math> \sum_{n=0}^\infty b_n </math> converge. <br/> | | * <span style="color:#C71585">c) Sea <math> z_n = a_n + ib_n </math> con <math> a_n, b_n \in \mathbb{R} </math> , entonces <math> \sum_{n=0}^\infty z_n </math> converge si y sólo si <math> \sum_{n=0}^\infty a_n </math> converge y <math> \sum_{n=0}^\infty b_n </math> converge. <br/> |
| ''Esto es consecuencia de la proposición análoga para sucesiones y de la definición de serie.'' </span> | | * ''Esto es consecuencia de la proposición análoga para sucesiones y de la definición de serie.'' |
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| '''Demostración.''' | | '''Demostración.''' |
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| Sea <math> z_n = a_n + ib_n </math> con <math> a_n, b_n \in \mathbb{R} </math> y <math> \sum_{n=0}^\infty |z_n| </math> convergente.<br/> | | Sea <math> z_n = a_n + ib_n </math> con <math> a_n, b_n \in \mathbb{R} </math> y <math> \sum_{n=0}^\infty |z_n| </math> convergente.<br/> |
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| '''1.40 Si <math> \alpha ∈ \mathbb{R} </math> y <math> \left\{ a_n \right\} \subseteq \mathbb{R} </math>, demuestre que <math> \lim \left\{a_n \right\} = \alpha \iff \limsup \left\{a_n \right\}=\alpha = \liminf \left\{a_n \right\} </math>.''' | | '''1.40 Si <math> \alpha \in \mathbb{R} </math> y <math> \left\{ a_n \right\} \subseteq \mathbb{R} </math>, demuestre que <math> \lim \left\{a_n \right\} = \alpha \iff \limsup \left\{a_n \right\}=\alpha = \liminf \left\{a_n \right\} </math>.''' |
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| <span style="color:#C71585"> Proposición preliminar:
| | Proposición preliminar: |
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| <span style="color:#C71585"> a) Sean <math> \left\{ x_n \right\}, \left\{ y_n \right\}, \left\{ z_n \right\} \subseteq \mathbb{R} \mbox{ tal que } \lim \left\{x_n \right\} = a = \lim \left\{z_n \right\}, \mbox{ si } x_n \le y_n \le z_n \forall n ∈ \mathbb{N} \Rightarrow \lim \left\{y_n \right\} = a.</math>
| | a) Sean <math> \left\{ x_n \right\}, \left\{ y_n \right\}, \left\{ z_n \right\} \subseteq \mathbb{R} \mbox{ tal que } \lim \left\{x_n \right\} = a = \lim \left\{z_n \right\}, \mbox{ si } x_n \le y_n \le z_n \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow \lim \left\{y_n \right\} = a.</math> |
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| <span style="color:#C71585"> Demostración: <br/>
| | Demostración: |
| Tenemos que <math> \lim \left\{ z_n - x_n \right\} = \lim \left\{z_n \right\} - \lim \left\{x_n \right\} = a - a. </math> <br/> | | Tenemos que <math> \lim \left\{ z_n - x_n \right\} = \lim \left\{z_n \right\} - \lim \left\{x_n \right\} = a - a. </math> |
| Además <math> 0 \le y_n - x_n \le z_n - x_n </math><br/> | | Además <math> 0 \le y_n - x_n \le z_n - x_n </math> |
| <math> \Rightarrow \lim \left\{ y_n - x_n \right\} = \lim \left\{y_n \right\} - \lim \left\{x_n \right\} = 0. </math><br/> | | <math> \Rightarrow \lim \left\{ y_n - x_n \right\} = \lim \left\{y_n \right\} - \lim \left\{x_n \right\} = 0. </math> |
| De aquí, <math> \lim \left\{ (y_n - x_n) + x_n \right\} = \lim \left\{ y_n - x_n \right\} + \lim \left\{ x_n \right\} = 0 + a. <br/> | | De aquí, <math> \lim \left\{ (y_n - x_n) + x_n \right\} = \lim \left\{ y_n - x_n \right\} + \lim \left\{ x_n \right\} = 0 + a. |
| \Rightarrow \lim \left\{y_n \right\} = a</math> | | \Rightarrow \lim \left\{y_n \right\} = a</math> |
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| '''Demostración:''' | | '''Demostración:''' |
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| Sean <math> \overline {a}_n = sup \left\{ a_i : i \ge n \right\} \mbox { y } \underline {a}_n = inf \left\{ a_i : i \ge n \right\} </math> | | Sean <math> \overline {a}_n = sup \left\{ a_i : i \ge n \right\} \mbox { y } \underline {a}_n = inf \left\{ a_i : i \ge n \right\} </math> |
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| y como esto sucede <math> \forall \epsilon > 0, \overline{\alpha} = \underline {\alpha} </math>. | | y como esto sucede <math> \forall \epsilon > 0, \overline{\alpha} = \underline {\alpha} </math>. |
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| --[[Usuario:Belen|Belen]] ([[Usuario discusión:Belen|discusión]]) 21:13 22 nov 2012 (CST) | | ---- |
| | | Realizado por: [[Usuario:Belen|Belen]] ([[Usuario discusión:Belen|discusión]]) 21:13 22 nov 2012 (CST) |
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| Solución: | | '''Solución:''' |
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| Se cumple que: | | Se cumple que: |
| <math> n! \ge 2^{n-1} \qquad \forall \qquad n\ge 1 \Rightarrow \frac{1}{2^{n-1}} \ge \frac{1}{n!} </math>entonces: | | <math> n! \ge 2^{n-1} \qquad \forall \qquad n\ge 1 \Rightarrow \frac{1}{2^{n-1}} \ge \frac{1}{n!} </math>entonces: |
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| <math> \lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n\to \infty} \frac{\frac{1}{(n+1)!}}{\frac{1}{n!}} = \lim_{n\to \infty} \frac{n!}{(n+1)!} = \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n+1} = 0</math> | | <math> \lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n\to \infty} \frac{\frac{1}{(n+1)!}}{\frac{1}{n!}} = \lim_{n\to \infty} \frac{n!}{(n+1)!} = \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n+1} = 0</math> |
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| --[[Usuario:Jean Carlo Cruz Venegas|Jean Carlo Cruz Venegas]] ([[Usuario discusión:Jean Carlo Cruz Venegas|discusión]]) 09:58 4 dic 2012 (CST) | | ---- |
| | | Realizado por: [[Usuario:Jean Carlo Cruz Venegas|Jean Carlo Cruz Venegas]] ([[Usuario discusión:Jean Carlo Cruz Venegas|discusión]]) 09:58 4 dic 2012 (CST) |
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Sucesiones y series de números complejos
1.32 Si
demuestre que
es un punto de acumulación de
.
Un punto
se dice que es un punto de acumulación
, si al menos alrededor de
contiene un punto
. Entonces si
, este contiene todos sus puntos de acumulación
Ayudandonos del lema 1.12
si
, un punto de acumulción de
si y sólo sí existe una sucesión
, tal que
.
Una sucesión convergente tiene exactamente un punto límite, su límite
si
es un punto de acumulación de
, y
, por lo tanto
Hay una bola
centrado en
, y pasa que
.
Por el ejercicio 1.21, tenemos que
, entonces si hay una sucesión
, tal que sea convergente, osea
.
Realizado por: Luis Antonio (discusión) 18:39 28 nov 2012 (CST)
1.34 Demuestre que diámetro
, para todo
.
sea
y
con
por otro lado
Realizado por: Ignacio Peralta Martínez (discusión) 03:28 29 nov 2012 (CST)
1.36. Demuestre que toda serie
absolutamente convergente es convergente. Dé un contra ejemplo de una serie convergente que no es absolutamente convergente.
Recordemos que una serie
se dice absolutamente convergente si y sólo si
converge.
Proposiciones preliminares:
- a) Si
converge,
converge y
, entonces
converge.
- Este resultado es consecuencia del criterio de comparación de las sucesiones.
- b) Si
converge, entonces
converge.
- Es consecuencia de a) usando que
.
- c) Sea
con
, entonces
converge si y sólo si
converge y
converge.
- Esto es consecuencia de la proposición análoga para sucesiones y de la definición de serie.
Demostración.
Sea
con
y
convergente.
Como
, por la proposición a) se deduce que
converge.
Ahora, por la proposición b) concluímos que
converge. (A)
Y de forma análoga vemos que
converge. (B)
Teniendo los resultados (A) y (B) y con la proposición c), tenemos que
converge.
Por otro lado, si tomamos la serie
, ésta converge, pero
.
Y con ello vemos que una serie convergente no es necesariamente absolutamente convergente.
Realizado por: Belen (discusión) 19:48 22 nov 2012 (CST)
1.40 Si
y
, demuestre que
.
Proposición preliminar:
a) Sean
Demostración:
Tenemos que
Además
De aquí,
Demostración:
Sean
Primero supongamos que
Ya que
, por la proposición a),
.
El recíproco:
Sea
convergente, i.e.,
.
Supongamos
Tenemos que
(*)
Por otra parte, fijemos
.
Como ![a_n-a_m = a_n -a +a - a_m, \Rightarrow \mbox{ (por desigualdad del triángulo) } , |a_n-a_m| \le |a_n-a|+|a_m-a| < \epsilon \mbox{ si } n,m>N.](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01e2a1ba4e55b2f0b2ba5b0e98b5fde0f5c32dbe)
De esto y con (*) tenemos que
y como esto sucede
.
Realizado por: Belen (discusión) 21:13 22 nov 2012 (CST)
1.47 Demuestre que
Criterio del cociente o la razón
Sea
una sucesión tal que:
entonces:
- 1)Si B<1, la serie
converge
- 2)Si B>1, la serie
diverge
- 3)Si B=1, no hay información
Solución:
Se cumple que:
entonces:
Sean:
, entonces:
, por lo que:
Realizado por: Jean Carlo Cruz Venegas (discusión) 09:58 4 dic 2012 (CST)
--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)
Compleja:z-ej-cap1.0
Compleja:z-ej-cap1.1