Optica: Vector de Poynting

Vector de Poynting

Deducción del Vector de Poynting

El vector de Poynting es un vector cuyo módulo representa la intensidad instantánea de energía electromagnética y cuya dirección y sentido son los de propagación de la onda electromagnética. Representado en función del campo eléctrico y magnético

$\mathbf {S} ={\frac {c}{4\pi }}\mathbf {E} \times \mathbf {H}$

y en forma compleja

$\left\langle \mathbf {S} \right\rangle ={\frac {c}{8\pi }}Re(\mathbf {E} \times \mathbf {H} ^{*})$

Para deducir esta ecuación utilizaremos el principio de conservación de energía que se define por una ecuacion de conservacion

$\nabla \cdot \mathbf {J} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}$

donde j es el flujo que sale de una superficie de volumen y la parte derecha de la ecuación es el cambio en la densidad dentro del volumen.

La ecuación de conservación de energía se encuentra limitada por restricciones impuestas por la teoría de la relatividad ya que al definir eventos simultáneos estos unicamente pueden ser medidos al ser cercanos entre ellos, por lo que nos reduce esta conservación de la energía a "localidades".

Por otra parte tenemos una un vector el cual representa un flujo de energía a través de una superficie aun que en el lugar no exista una densidad de energía.

De esta forma podemos extrapolar el principio de conservación de la energía a el electromagnetismo donde definimos u como la densidad de energía y S el vector de flujo de la energía .

${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {S}$

Pero esta ecuación por si sola no representa por completo a la conservación "local" de la energía, ya que el campo que sale del volumen no se conserva debido a que debemos de tomar en cuenta la transformación de materia en energía y viceversa, debido a esto debemos de incluir un termino extra para incluir el trabajo dentro del volumen.

$-{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{v}\mathbf {u} \,dv=\int _{S}\mathbf {S} \cdot \mathbf {n} \,da+\int _{v}\mathbf {E} \cdot \mathbf {j} \,dv$

$-{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}=\nabla \cdot \mathbf {S} +\mathbf {E} \cdot j$

en este punto se realizan dos suposiciones , una es que el medio macroscópico es lineal para las propiedades magnéticas y eléctricas, por lo que no hay dispersión ni perdidas, y la segunda es que la suma de los campos representa la densidad total de energía electromagnética, aun para campos que varían en el tiempo.

Ahora utilizaremos las ecuaciones de Maxwell

$\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {\jmath } +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$ podemos obtener las igualdades para los terminos de esta ecuación al despejar $\mathbf {j}$ de la ecuacion y con el producto $\mathbf {E} \cdot \mathbf {j}$ donde

$\mathbf {E} \cdot \mathbf {j} =\epsilon _{0}c^{2}\mathbf {E} \cdot (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} )-\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

Donde la parte izquierda de la expresión podemos expresarla en la siguiente forma

$\epsilon _{0}\mathbf {E} {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=({\frac {\partial }{\partial t}})({\frac {1}{2}}\epsilon _{0}\mathbf {E} \cdot \mathbf {E} )$

El termino de la izquierda hay que tener cuidado al trabajarlo debido a que la divergencia actúa sobre los dos campos y no es posible realizar unicamente el álgebra para re acomodar los vectores.

$\mathbf {\nabla \cdot (B\times E)} \neq \mathbf {E\cdot (\nabla \times B)}$

definiremos la divergencia entonces de forma que se aplique sobre ambos campos

$\mathbf {\nabla \cdot (B\times E)} =\mathbf {\nabla _{B}\cdot (B\times E)} +\mathbf {\nabla _{E}\cdot (B\times E)}$

Donde el gradiente se divide en cada uno de los campos sobre el que se aplica, esto es de la misma forma que se utilizara una derivada de un producto y podemos entonces aplicar el álgebra vectorial a estos productos.

$\mathbf {a\cdot b\times c=b\cdot c\times a}$

Por lo que obtendremos un termino

$\mathbf {B\cdot E\times \nabla _{E}}$

$\mathbf {B\cdot (E\times \nabla _{E})=-B(\nabla _{E}\times E)}$

y así la expresión

$\mathbf {\nabla \cdot (B\times E)=E\cdot (\nabla _{B}\times B)-B(\nabla _{E}\times E)}$

puede reescribirse en la notación normal

$\mathbf {\nabla \cdot (B\times E)=E\cdot (\nabla \times B)-B(\nabla \times E)}$

ahora tendremos nuestra ecuación de energía

$\mathbf {E\cdot j} =\epsilon _{0}c^{2}\mathbf {\nabla \cdot (B\times E)} +\epsilon _{0}c^{2}\mathbf {B\cdot (\nabla \times E)} -{\frac {\partial }{\partial t}}({\frac {1}{2}}\epsilon _{0}\mathbf {E\cdot E} )$

ahora utilizaremos otra ves a las ecuaciones de maxwell para sustituir el rotacional de E

$\mathbf {B\cdot (\nabla \times E)=B\cdot } \left(-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {\mathbf {B\cdot B} }{2}}\right)$

tendremos los demás términos.

$\mathbf {E} \cdot \mathbf {j} =\nabla \cdot (\epsilon _{0}c^{2}\mathbf {B} \times \mathbf {E} )-{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {\epsilon _{0}c^{2}}{2}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} +{\frac {\epsilon _{o}}{2}}\mathbf {E} \cdot \mathbf {E} \right)$

De donde al comparar con la ecuación de conservación podemos obtener la expresión para el Vector de Poynting.

$\mathbf {S} =\epsilon _{0}c^{2}(\mathbf {B} \times \mathbf {E} )$

Promediando Funciones Armónicas

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Al aplicar las consideraciones del vector de poynting a una onda plana linealmente polarizada la cual viaja en una dirección k

$\mathbf {E=E_{0}} cos(\mathbf {k\cdot r} -\omega t)$

$\mathbf {B=B_{0}} cos(\mathbf {k\cdot r} -\omega t)$

$\mathbf {S} =c^{2}\epsilon _{0}\mathbf {E_{0}B_{0}} cos^{2}(\mathbf {k\cdot r} -\omega t)$

Es evidente que $\mathbf {E} \times \mathbf {B}$ oscila entre máximos y mínimos, y debido a que es el cuadrado de la función esto oscila dos veces mas rápido que los campos separados, por lo tanto su valor instantáneo es muy poco practico de medir.

Por lo que se recomienda que emplear un promedios, es decir medir la energía radiante absorbida durante un intervalo finito de tiempo, puesto que un medidor no puede hacer una medición instantánea.

A este tipo de calculo también se le conoce como irradiancia la cual es la energía medida por unidad de área por unidad de tiempo.

$I\equiv \left\langle \mathbf {S} \right\rangle _{t}={\frac {c\epsilon _{0}}{2}}E_{0}^{2}$

Teorema de Poynting en una material linealmente dispersivo con perdidas

Partiendo de la conservación de la energía y al desarrollar el mismo procedimiento que se utilizo para obtener el vector de Poynting podemos llegar a la expresión

$\int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} d^{3}x=-\int _{V}\left[\nabla \cdot (\mathbf {E} \mathbf {\times } \mathbf {H} )+\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right]d^{3}x$

ahora como estamos en medios los cuales si presentan dispersión y perdidas ($\epsilon (\omega )$ y$\mu (\omega )$) debemos de hacer una descomposición de Fourier de los campos tal que

$\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=\int _{-\infty }^{\infty }dw\mathbf {E} (\mathbf {x} ,\omega )e^{-i\omega t}$

$\mathbf {D} (\mathbf {x} ,t)=\int _{-\infty }^{\infty }dw\mathbf {D} (\mathbf {x} ,\omega )e^{-i\omega t}$

Ahora supondremos la linealidad de los campos y su isotropía , por lo que implica que $\mathbf {D} (x,\omega )=\epsilon (\omega )\mathbf {E} (x,\omega )$ donde $\epsilon (\omega )$ es un numero complejo que es susceptible a la frecuencia, análogamente el campo magnético.

Esto también implica que los términos que tiene derivadas respecto del tiempo, no son la derivada unicamente, por lo que es necesario reescribirlos en términos de las integrales de Fourier con dependencias implícitas del tiempo.

$\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}=\int d\omega \int d\omega '\mathbf {E} ^{*}(\omega ')\left[-i\omega \epsilon (\omega )\right]\cdot \mathbf {E} (\omega )e^{-i(\omega -\omega ')t}$

dividiendo esta integral en partes y suponiendo que el campo eléctrico esta dominado por componentes de frecuencias en rangos relativamente cercanos a los intervalos de frecuencias característicos en los cuales $\epsilon (\omega )$ cambia apreciablemente obtendremos.

$\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}=\int d\omega \int d\omega '\mathbf {E} ^{*}(w')\cdot \mathbf {E} (\omega )\omega Im\epsilon (\omega )e^{-i(\omega -\omega ')t}+{\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {1}{2}}\int d\omega \int d\omega '\mathbf {E} ^{*}(\omega ')\cdot \mathbf {E} (\omega ){\frac {d}{d\omega }}\left[\omega \epsilon ^{*}(\omega )\right]e^{-i(\omega -\omega ')t}$

analogamente se puede calcular una expresion para $\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$ que si consideramos a $\epsilon$ y a $\mu$ como independientes de la frecuencia y reales, recueraremos los terminos del vector de poynting original .

Calcularemos ahora el valor para la ecuacion de continuidad con las ecuaciones dependientes del tiempo anteriores obtendremos el teorema de Poynting para medios dispersivos con perdidas

${\frac {\partial u_{e}ff}{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {S} =-\mathbf {J\cdot E} -\omega _{0}Im\epsilon (\omega _{0})\left\langle \mathbf {E} (x,t)\mathbf {\cdot E} (x,t)\right\rangle -\omega _{0}Im\mu (\omega _{0})\left\langle \mathbf {H} (x,t)\mathbf {\cdot H} (x,t)\right\rangle$

donde

$u_{e}ff={\frac {1}{2}}Re\left[{\frac {d(\omega \epsilon )}{d\omega }}(\omega _{0})\right]\left\langle \mathbf {E(x} ,t)\cdot \mathbf {E(x} ,t)\right\rangle +{\frac {1}{2}}Re\left[{\frac {d(\omega \mu )}{d\omega }}(w_{0})\right]\left\langle \mathbf {H(x} ,t)\cdot \mathbf {H(x} ,t)\right\rangle$

De esta ecuacion el primer termino de la derecha representa las perdidas ohmicas si las hay, el temino que le sigue la disipacion del medio, en una situacion real habra perdidas por calentamiento del medio lo cual lleva a el decaimiento de la energia en los campos .

Referencias

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Aportacion por Usuario: Rgloria 01:46 2 sep 2008 (CDT)

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