Vibra: probs c4

Main cap.4

4.1 Show that the relaxation time for very heavily damped LCR circuit is RC.

Muestre que el tiempo de mitigación para cada circuito LCR severamente amortiguado es RC.

R= Nuestra formula para oscilaciones es: ${\frac {d^{2}\psi }{dt^{2}}}+\gamma {\frac {d\psi }{dt}}+\omega _{0}^{2}\psi =0$ ... (1)

con: $\gamma ={\frac {b}{m}}$

$\omega _{0}^{2}={\frac {s}{m}}$

En este caso de oscilaciones en un circuito LCR óLRC tenemos la formula (por Kirchhoff)

$L\left({\frac {d^{2}\psi }{dt^{2}}}\right)+R\left({\frac {d\psi }{dt}}\right)+\left({\frac {1}{C}}\right)\psi =0$

dividiendo todo por L.

${\frac {d^{2}\psi }{dt^{2}}}+{\frac {R}{L}}\left({\frac {d\psi }{dt}}\right)+{\frac {1}{LC}}\psi =0$ ... (2)

comparando (1) y(2) observamos que

$\gamma ={\frac {R}{L}}$

$\omega _{0}^{2}={\frac {1}{LC}}$

por lo tanto, el “relaxation time” esta dado por:

$\tau _{r}={\frac {\gamma }{\omega _{0}^{2}}}={\frac {\frac {R}{L}}{\frac {1}{LC}}}={\frac {RLC}{L}}=RC$

$\Rightarrow \tau _{r}=RC$

--Leticia González Zamora (discusión) 15:00 25 may 2013 (CDT)

---

4.2 De las Ecuaciones (4.1) y (3.3)

Solucion para amortiguamiento critico

$\psi (t)=(C_{1}+C_{2}w_{0}t)$

Condiciones iniciales

1) $\psi (0)=V_{1}C$ Entonces $V_{1}C=C_{1}\Longrightarrow C_{1}=V_{1}C$

2) $i(0)={\frac {d\psi }{dt}}(0)=0$

$i(t)={\frac {d}{dt}}\psi (t)$

$i(t)={\frac {d}{dt}}\left[(C_{1}+C_{2}w_{0}t)\exp ^{-w_{0}t}\right]$

$i(t)=C_{2}w_{0}\exp ^{-w_{0}t}+(C_{1}+C_{2}w_{0}t)(-w_{0})\exp ^{-w_{0}t}$

$i(t)=(C_{2}-C_{1})w_{0}\exp ^{-w_{0}t}-C_{2}w_{0}^{2}\exp ^{-w_{0}t}$

Entonces $0=i(0)=C_{2}w_{0}-w_{0}C_{1}$

Asi que $C_{1}=C_{2}\Longrightarrow C_{2}=V_{1}C$

Asi $\psi (t)=V_{1}C(1+w_{0}t)\exp ^{-w_{0}t}$

$i(t)=V_{1}Cw_{0}^{2}t\exp ^{-w_{0}t}$

Con $i(t)=\left|{\frac {d\psi }{dt}}\right|$

${\frac {di}{dt}}=V_{1}Cw_{0}^{2}\left[\exp ^{-w_{0}t}-w_{0}t\exp ^{-w_{0}t}\right]$

Si ${\frac {di}{dt}}=0$ Entonces $\exp ^{-w_{0}t}-w_{0}t\exp ^{-w_{0}t}=0$

$\exp ^{-w_{0}t}(1-w_{0}t)=0$

Asi que $(1-w_{0}t)=0$

${\dot {t}}={\frac {1}{w_{0}}}$

Luego $i_{max}({\dot {t}})=V_{1}Cw_{0}^{2}{\dot {t}}\exp ^{-w_{0}{\dot {t}}}$

$i_{max}({\dot {t}})=V_{1}Cw_{0}^{2}{\frac {1}{w_{0}}}\exp ^{-w_{0}{\frac {1}{w_{0}}}}$

Con $w_{0}^{2}={\frac {1}{LC}}$

$i_{max}({\dot {t}})=V_{1}Cw_{0}\exp ^{-1}$

$i_{max}({\dot {t}})=V_{1}C{\sqrt {\frac {1}{LC}}}\exp ^{-1}$

$i_{max}({\dot {t}})=v_{1}{\sqrt {\frac {c}{L}}}\exp ^{-1}$

Puesto que la resistecia critica de amortiguamiento es

$R=2w_{0}L$

$R=2{\sqrt {\frac {1}{LC}}}L$

$R=2{\sqrt {\frac {L}{C}}}\Longrightarrow {\sqrt {\frac {C}{L}}}={\frac {2}{R}}$

Asi entonces $i_{max}={\frac {2V_{1}}{\exp R}}$

--Mario Moranchel (discusión) 12:58 19 jun 2013 (CDT)

---

---

--mfg-wiki (discusión) 12:00 9 may 2013 (CDT)

---

4.1Show that the relaxation time for very heavy damped LCR circuit is RC

Muestre que el tiempo de mitigación para cada circuito LCR severamente amortiguado es RC.

(otra forma de resolver)

Tomando como base las expresiones de los apuntes,para un circuito RCL muy pesadamente amortiguado en el cual $\gamma \succ \succ \succ w_{0}.$ La amplitud del movimiento se reduce a:

$\thickapprox A_{1}\exp \left({\frac {-W_{0}^{2}t}{\gamma }}\right)\cdots \left(1\right)$ El tiempo de reljación para este tipo de circuitos es aquel en el que el factor de decaimiento se reduce por un factor de ${\frac {1}{e}}$ por lo tanto,igualamos el factor de decaimiento exponencial de la expresión $\left(1\right)$ a ${\frac {1}{e}}$ tenemos:

${\frac {1}{e}}=\exp \left({\frac {-W_{0}^{2}t}{\gamma }}\right)\cdots \left(2\right)$

sacando logaritmo natural a ambos lados de la expresión $\left(2\right)$

$\log \left({\frac {1}{e}}\right)=\log \left(\exp \left({\frac {-W_{0}^{2}t}{\gamma }}\right)\right)\Rightarrow \log \left(1\right)-\log \left(e\right)={\frac {-W_{0}^{2}t}{\gamma }}\Rightarrow 0-1=-\left({\frac {W_{0}^{2}t}{\gamma }}\right)\cdots \left(3\right)$

Despejando el tiempo de $\left(3\right)$ para el cual se cumple esta relación tenemos:

$\left(-{\frac {W_{0}^{2}t}{\gamma }}\right)=1\Rightarrow t=\left({\frac {\gamma }{W_{0}^{2}}}\right)\cdots \left(4\right)$

Pero:

$\gamma =\left({\frac {R}{L}}\right)$

Y

$W_{0}=\left({\frac {1}{\sqrt {LC}}}\right)\Rightarrow W_{0}^{2}=\left({\frac {1}{LC}}\right)\cdots \left(5\right)$

Sustituyendo $\left(5\right)$ en $\left(4\right)$

$t={\frac {R}{L}}/{\frac {1}{LC}}={\frac {RLC}{L}}=RC$

Por lo tanto el tiempo de relajamiento para un circuito RLC pesadamente amortiguado es

$\tau _{r}=RC$

--MISS (discusión) 00:22 20 jun 2013 (CDT)

---

4.5 Una masa 0.1 kg es pegada a un resorte. Es jalado 200 mm a la derecha de su posición cuando el resorte no esta ni estirado ni comprimido y entonces es liberado del reposo. Las vibraciones libres resultantes, que están amortiguadas por fricción tienen una frecuencia de 2.0 Hz. Se observa que cada oscilación hacia la derecha la masa toma un punto 30 mm hacia la izquierda de su límite previo. La masa finalmente llega al reposo a 235 mm hacia la izquierda del punto del cual fue liberado. (a) Calcule la fuerza de fricción de deslizamiento.(b) Calcular los límites superior e inferior para la fuerza de pegado.

Datos:

$m=.1kg$ $x_{i}=.2m$ $f=2Hz$ $A_{j}=A_{i}-30$ $x_{f}=x_{i}-235$

La ecuación de movimiento del sistema es

$m{\ddot {\psi }}+k\psi =F_{sl}$

o bien

${\ddot {\psi }}+\omega _{0}^{2}\psi ={\frac {F_{sl}}{m}}$

la primera oscilación se detiene cuando

$\mid \psi \mid =A_{0}-4{\frac {F_{s}}{s}}$

sabemos que

$4{\frac {F_{sl}}{s}}=30mm$

por otro lado

$s=m\omega _{0}^{2}$

$s=m(2\pi \nu )^{2}$

así que

$F_{sl}={\frac {30}{4}}*m(2\pi \nu )^{2}$

$F_{sl}={\frac {30}{4}}*.1(4\pi )^{2}$

$F_{sl}=.12N$

(b)

sabemos que la fuerza de pegado es igual

$F_{p}=s\mid \psi \mid$

la última oscilación está entre 50mm y 35 mm. Por lo que la fuerza máxima es

$F_{max}=15.79*50\times 10^{-3}$

$F_{max}=0.789$

así nos queda

$F_{min}=15.79*35\times 10^{-3}$

$F_{pmin}=.552N$

--Ignacio Peralta Martínez (discusión) 00:59 3 jul 2013 (CDT)

---

4.6Expresar el desplazamiento x(t) y la velocidad x'(t) del oscilador armónico sobre amortiguado utilizando funciones hiperbólicas

Para el caso sobre amortiguado x(t) y x'(t) se expresa

$x(t)=e^{-\beta t}[A_{1}e^{\omega _{2}t}+A_{2}e^{-\omega _{2}t}]$

$x'(t)=e^{-\beta t}[-\beta (A_{1}e^{\omega _{2}t}+A_{2}e^{-\omega _{2}t})+(A_{1}\omega _{2}e^{\omega _{2}t}+A_{2}\omega _{2}e^{-\omega _{2}t})]$

donde:

$\omega _{2}={\sqrt {\beta ^{2}-\omega _{0}^{2}}}$

las funciones hiperbolicas estan definidas como

$\cosh y={\frac {e^{y}+e^{-y}}{2}}$ , $\sinh y={\frac {e^{y}-e^{-y}}{2}}$

$e^{y}=\cosh y+\sinh y$

$e^{-y}=\cosh y-\sinh y$

sustituyendo en las escuacions

$x(t)=(\cosh \beta t-\sinh \beta t)[(A_{1}+A_{2})\cosh \omega _{2}t+(A_{1}-A_{2})\sinh \omega _{2}t]$

y

$x'(t)=(\cosh \beta t-\sinh \beta t)[(A_{1}\omega _{2}-A_{1}\beta )(\cosh \omega _{2}t+\sinh \omega _{2}t)-(A_{2}\beta +A_{2}\omega _{2})(\cosh \omega _{2}t-\sinh \omega _{2}t)$

--David Alberto Rojas Solis (discusión) 06:17 6 jul 2013 (CDT)

--sandy (discusión) 21:31 6 jul 2013 (CDT)--sandy (discusión) 21:31 6 jul 2013 (CDT)

$W={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}A^{2}$

$W=\sim {\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\left|\psi (t)\right|^{2}$

$\left|\psi (t)\right|=A_{0}-{\frac {4F_{ls}}{s}}({\frac {t}{\tau }})$

$W={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}(A_{0}-{\frac {4F_{ls}}{s}})({\frac {t}{\tau }})$

$\left|\psi \right|=A_{0}-{\frac {2F_{ls}}{s}}con{\frac {\tau }{2}}$

$\left|\psi \right|=A_{0}-{\frac {4F_{ls}}{s}}con\tau$

$\left|\psi \right|=A_{0}-{\frac {6F_{ls}}{s}}con{\frac {3\tau }{2}}$

$\left|\psi \right|=A_{0}-{\frac {8F_{ls}}{s}}con2\tau$