Diferencia entre revisiones de «Vibra: probs c2»
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así las ecuaciones de movimiento para cada bloque es: | así las ecuaciones de movimiento para cada bloque es: | ||
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\ddot{m_{1}x}_{1}=kx | \ddot{m_{1}x}_{1}=kx \qquad\qquad (1) | ||
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\begin{ | \begin{eqnarray*} | ||
m_{2}\ddot{x}_{2}=-kx | m_{2}\ddot{x}_{2}=-kx \qquad\qquad (2) | ||
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\begin{ | \begin{eqnarray*} | ||
\ddot{x}+\mu kx=0 | \ddot{x}+\mu kx=0 | ||
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Revisión del 16:08 27 sep 2023
Problemas capítulo 2 Vibraciones libres en la física.
Ejercicios resueltos acerca Vibraciones libres.
Del libro Vibrations and waves in physics del autor Iain G. Main. 3ra Edición. Y algunos problemas adicionales de diversos libros.
Problema 2.1
Un reloj hace tick 5 veces por segundo . Su rueda de equilibrio tiene un momento de inercia de $2\times10^{-6}\mathrm{kg\mathrm{m^{2}}}$. Calcular la rigidez trosional del resorte de balance . (Suponiendo que el periodo es de 2 ticks )
Tenemos que la frecuencia angular para vibraciones angulares esta dado por:
\begin{equation} \omega{}_{0}=\sqrt{\frac{c}{I}}=\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{I}} \end{equation}
Donde: $\omega{}_{0}$ es la frecuencia angular, $c$ es la rigidez
torcional e $I$ es el momento de inercia .
Sustituimos la ecuación (1) en la expresión para en periodo y despejamos c
\[ T=\frac{2\pi}{\omega{}_{0}}=\frac{2\pi\sqrt{I}}{\sqrt{c}} \]
\begin{equation}
c=\frac{4\pi^{2}I}{T^{2}}
\end{equation}
Por el enunciado el periodo es
\[ T=\frac{2}{5}s=0.4s \]
Sustituimos los datos proporcionados en el ejercicio
\[ c=\frac{4\pi^{2}(2\times10^{-6}\mathrm{kg\mathrm{m^{2}}})}{(0.4\mathrm{s})^{2}}=4.935\times10^{-4}\mathrm{kgm^{2}s^{-2}} \]
\[
c=4.935\times10^{-4}\mathrm{kgm^{2}s^{-2}}
\]
Aportación por usuarios: Rosario Maya (Usuario discusión:Rosario Maya) 17:02 17 feb 2015 (MVR), Luis Velázquez (Usuario discusión:Luis Velázquez) 11:37 17 feb 2015 (CST), Mario Moranchel (discusión) 04:16 22 ene 2014 (UTC).
Corregido por Manuel Rodríguez
Problema 2.2
Solución #1
Un reloj de pared hace tick una vez por segundo . Muestre que la longitud del péndulo debe ser de al menos de $1m$ de altura
El periodo de un péndulo vibracional se define como:
\begin{eqnarray*}
T=\frac{2\pi}{\omega{}_{0}} ...(1)
\end{eqnarray*}
despejando $\omega_{0}$ de (1), tenemos
\begin{eqnarray*}
\omega_{0}=\frac{2\pi}{T} ... (2)
\end{eqnarray*}
donde la frecuencia angular para el péndulo vibracional está dada por:
\begin{eqnarray*}
\omega_{0}=\sqrt{\frac{g}{l}} ... (3)
\end{eqnarray*}
Substituyendo la ecuación (3) en la ecuación (2)
\[ \frac{\sqrt{g}}{\sqrt{l}}=\frac{2\pi}{T} \]
Despejando $\sqrt{l}$, tenemos:
\[ \sqrt{l}=\frac{T\sqrt{g}}{2\pi} \]
\[
l=\frac{gT{}^{2}}{4\pi^{2}}
\]
Substituyendo los siguientes valores: $g=9.81\mathrm{ms^{-2}}$y $T=2s$,
el periodo es de 2s ya que la frecuencia de oscilación es de $0.5s^{-1}$ y ya que
el periodo es el inverso de la frecuencia de oscilación, tenemos que:
\[ l=\frac{(9.81\mathrm{ms^{-2}})(4s^{2})}{4\pi^{2}}=0.9939\mathrm{m} \]
\[
l\eqsim1\mathrm{m}
\]
Aportación por usuarios: Rosario Maya (Usuario discusión:Rosario Maya) 19:10 17 feb 2015 (MVR), Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 17:46 26 feb 2015 (CST)
Solución #2
Otra forma de resolver el problema es la siguiente:
El problema nos habla de un reloj que hace tictac una vez por segundo y nos pide demostrar que el reloj es de 1m de altura.
El hecho de que haga tictac una vez por segundo nos dice que tiene una frecuencia de medio segundo.
Entonces con este dato podemos obtener la frecuencia angular del reloj despejando la siguiente ecuación:
\[ \nu=\frac{\omega}{2\pi} \]
De esta relación podemos despejar $\omega$
\[ \omega=2\pi\nu....(1) \]
La ecuación para un péndulo simple es:
\[ \omega=\left[\frac{g}{L}\right]^{\frac{1}{2}} \]
De aquí se puede despejar la longitud $L$ para obtener: \[ L=\frac{g}{\omega^{2}}....(2) \] Entonces al substituir $w$ de la ecuación (1) en la ecuación (2), queda: \[ L=\frac{g}{(2\pi\nu)^{2}} \] Ya que conocemos todos los datos de la ecuación podemos substituir todo y obtendremos:
\[ L=\frac{(9.81\mathrm{ms^{-2}})}{4\pi^{2}(0.5^{2})}=0.9939\mathrm{m}\eqsim1\mathrm{m} \]
Aportación por usuarios: Daniel Olvera Moreno - 22:17 20 de feb 2014, Pablo (discusión) 22:49 19 feb 2015 (CST) , A. Martín R. Rabelo (discusión) 18:02 22 feb 2015 (CST).
Problema 2.3
Muestra que la compresibilidad isotérmica es igual a para un gas perfecto. Estima la diferencia porcentual que el uso de en lugar de haría al calculo del valor de para un frasco que contiene aire.
Solución
Usamos la ecuación de gas perfecto para obtener una expresión para la compresibilidad isotérmica usando su definición termodinámica Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): k_{t}=-\frac{1}{V}(\frac{\partial V}{\partial P}) . Primero despejamos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): V de la ecuación de gas perfecto y derivamos:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial V}{\partial P}=\frac{\partial V}{\partial P}(\frac{n R T}{P})=-\frac{n R T}{P^2}
Usando la ecuación de gas perfecto se reduce a:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial V}{\partial P}=-\frac{1}{P} (\frac{n R T}{P})=-\frac{1}{P} V
Ahora sustituimos en la definición de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): k_{t}
Entonces la expresión para la frecuencia angular, usando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): k_{t} queda:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \omega_{0}(k_{t})=(\frac{a}{l v \rho k_{s}})^{1/2}= (\frac{P a}{l v \rho})^{1/2}
Por otro lado, la expresión de la frecuencia angular usando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): k_{s} es:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \omega_{0}(k_{s})=[(\frac{a}{l v})(\frac{\gamma R T}{M})]^{1/2}
Donde es la razón de las capacidades caloríficas y se uso la ecuación de gas perfecto en términos de la masa molar Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): M , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \rho=\frac{M}{\gamma R T} .
Así la diferencia porcentual puede ser calculada con la razón de ambas frecuencias:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\omega_{0}(k_{t})}{\omega_{0}(k_{s})}=\frac{(\frac{P a}{l v \rho})^{1/2}}{[(\frac{a}{l v})(\frac{\gamma R T}{M})]^{1/2} }
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\omega_{0}(k_{t})}{\omega_{0}(k_{s})}=(\frac{P M}{\rho R T})^{1/2}
Y si usamos de nuevo la ecuación del gas perfecto, donde se tiene
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\omega_{0}(k_{t})}{\omega_{0}(k_{s})}= (P \gamma)^{1/2}
Finalmente la diferencia porcentual se obtiene multiplicando por 100 el resultado anterior.
Aportación por usuarios: Brenda Pérez Vidal (discusión) 23:15 16 feb 2014 (UTC) , Edgar Ortega Roano (discusión) 09:23 12 feb 2014 (UTC)
Problema 2.4
Estima el cambio aproximado en el tono del órgano si la temperatura en la iglesia cae a 20ºC (el tono de un vibrador se eleva a un semitono cada vez que su frecuencia aumenta en un 5,9 por ciento).
Solución
Para resolver este problema, se considera el aire del ambiente bajo condiciones normales de temperatura y presión, comportándose como un gas ideal y obedeciendo la relación de los gases ideales:
\[ pV=RT \]
Para cambios adiabáticos en un gas ideal, se toma a $pV^{\gamma}$como
una constante en donde $\gamma=\frac{Cp}{Cv}$ con $Cp:$ constante de
presión y $Cv:$ constante de volumen.
Se sabe que la compresibilidad del aire (k), se calcula utilizando la siguiente relación:
\begin{equation} K=-\frac{1}{V}(\frac{dV}{dp}) \end{equation}
Donde d representa una derivada parcial.
De la relación anterior, se obtiene $ks$ para la expresión $\frac{1}{\gamma p}.$
Al ocupar la siguiente relación: $\omega_{0}\thickapprox(a/lvpk)^{1/2}$ y escribir la ecuación del gas ideal de la masa molar, el volumen y la constante R, se obtienen las siguientes relaciones:
\[ \rho=\frac{M}{V}=\frac{Mp}{RT} \]
\[
\rho KS=\frac{M}{\gamma RT}
\]
En donde$\rho ks$ representa la presión adiabática; al sustituir
las relaciones anteriores en la definición que se dio de $\omega_{0},$se
obtiene:
\[ \omega_{0}\thickapprox\left[\left(\frac{a}{lv}\right)\left(\frac{\gamma RT}{M}\right)\right]^{1/2} \]
En donde $a=10^{-4}m^{2},v=10^{-3}m^{3},,l=5x10^{-2}m$ son datos
atmosféricos y valores típicos para las dimensiones de un cilindro.
Lo siguiente es calcular la frecuencia al ocupar la siguiente relación: $\nu=\frac{\omega}{2\Pi}$
Se calcula la frecuencia para dos casos, el de la temperatura inicial y el de la temperatura final, y se obtienen los siguientes resultados:
$\omega_{0i}=\left[\left(\frac{10^{-4}}{10^{-3}(5x10^{-2})}\right)\left(\frac{1.4(8.3)(300)}{0.029}\right)\right]^{1/2}=490.3$ rad/s $\nu_{i}=\frac{490.3}{2\Pi}$=78 Hz
$\omega_{0f}=\left[\left(\frac{10^{-4}}{10^{-3}(5x10^{-2})}\right)\left(\frac{1.4(8.3)(6.85)}{0.029}\right)\right]^{1/2}$=74.09rad/s $\nu_{f}=\frac{74.09}{2\Pi}=11.8$ Hz
Ahora se calcula la diferencia entre ambas frecuencias:
$ $$\Delta\nu=-66.2$
Que resulta negativo porque decrece.
Para calcular el número de semitons, se divide la diferencia de frecuencias entre 0.59, y el número de semitonos es igual a -39.058.
Aportación por usuarios: Luis Velázquez (Usuario discusión:Luis Velázquez) 11:41 17 feb 2015 (CST), Ana Alarid (discusión) 01:05 22 feb 2014 (UTC)
Problema 2.5
Una unidad de altavoz en miniatura tiene un cono de 80 mm de diámetro montado en un agujero del mismo diámetro en un gabinete cerrado de dimensiones interiores 150 mm X 150 mm X 300 mm. La masa del cono es 5.0 g, y el montaje es tal que la rigidez de la suspensión puede ser despreciada. Estimar la frecuencia de vibración libre del cono.
Tenemos los siguientes datos:
Diámetro de la base = $0.80[m]$;
radio de la base del cono = $0.04 [m]$;
masa del cono = $0.005 [kg]$;
dimensiones de la suspensión= $0.15 [m] X 0.15 [m] X 0.3[m]$;
suponiendo que $l=0.3 [m]$, es decir, la misma altura de la suspensión.
Se utilizan las siguientes ecuaciones base para determinar vibraciones acústicas:
\begin{eqnarray*} \kappa=-\frac{1}{V}(\frac{\partial V}{\partial p}) ......(1) \end{eqnarray*}
donde $\kappa$ constante de compresibilidad del aire, $V$ es el volumen del cono, $p$ presión ejercida por el aire dentro del cono, $l$ altura del cono.
\begin{eqnarray*} \omega_{0}=(\frac{a}{lV\rho\kappa})^{\frac{1}{2}} ......(2) \end{eqnarray*}
donde $\omega_{0}$ la frecuencia libre, $a$ superficie transversal del cono (base circular), $\rho$ densidad del cono, $\kappa$ constante de compresibilidad del aire, $l$ altura del cono.
De acuerdo al problema, se nos pide encontrar la frecuencia libre del cono, entonces primeramente determinamos el volumen de nuestro objetivo y enseguida su densidad:
\begin{eqnarray*}
V=\frac{1}{3}*\pi*r^2*l ......(3)
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} V=(\frac{1}{3})(\pi)(0.04)^2(0.3) \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} V=5.02*10^{-4}[m^3] \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} \rho=\frac{m}{V}......(4) \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} \rho=\frac{0.005}{5.02*10^{-4}} \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} \rho=9.96 [\frac{kg}{m^3}] \end{eqnarray*}
Considerando que alguna partícula está dentro del altavoz posicionada en la fuente (origen), en reposo y con masa despreciable (como se indica en la figura) efectuará un movimiento uniforme cuando el impulso de sonido, originado en la fuente, produzca un frente de onda que lleve a la partícula perpendicularmente sobre la sección transversal denotada por $a$, entonces podemos determinar la aceleración del sonido en el cuerpo cónico:
Sabemos que la rapidez del sonido en el aire a 20[°C] es $v=343 [\frac{m}{s}]$
\begin{eqnarray*} (v_{f})^2=(v_{i})^22a(x_{f}-x_{i}); v_{i}=0, x_{i}=0 \end{eqnarray*}
Despejando a \begin{eqnarray*} a=\frac{(v_{f})^2}{2x_{f}} \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} a=\frac{(343)^2}{2(0.3)} \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} a=196.08*10^3 [\frac{m}{s^2}] \end{eqnarray*}
La fuerza se determina a través de la segunda ley de Newton: $F=m*a$, tenemos la aceleración del sonido, sin embargo también necesitamos la masa del medio, es decir del aire, para ello utilizaremos la expresión de densidad, pues conocemos el volumen del recipiente que contiene al gas y la densidad del mismo:
Densidad del aire
\begin{eqnarray*} \rho= 1 [\frac{kg}{m^3}] \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} \rho= \frac{m}{V} \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} m=\rho*V \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
m=(1)(5.02*10^{-4})
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} m=5.02*10^{-4}[kg] \end{eqnarray*}
Ahora sustituyendo en la segunda ley de Newton $F=m*a$:
\begin{eqnarray*} F=(5.02*10^{-4})(196.08*10^3 ) \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} F=98.432 [N] \end{eqnarray*}
Ahora encontramos la presión que se ejerce sobre la superficie transversal $a$:
\begin{eqnarray*} p=\frac{F}{A} \end{eqnarray*}
Conocemos el radio de la base del cono, así podemos determinar el área de la sección transversal: $a=A=\pi*r^2$ entonces $A=5.026*10^{-3}$:
\begin{eqnarray*} p=\frac{98.432}{5.026*10^{-3}} \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
p=19584.592 [Pa]
\end{eqnarray*}
Utilizando las expresiones de densidad, fuerza y presión podremos encontrar $\kappa$ indicada con (1), $\kappa$ representa la propiedad relevante del aire: su compresibilidad.
\begin{eqnarray*} \kappa=-\frac{1}{V}(\frac{\partial V}{\partial p}) \end{eqnarray*}
Para sustituir correctamente los datos en (1), es necesario poner el volumen en función de la presión debida al aire.
\begin{eqnarray*} p=\frac{F}{A}=\frac{F}{\pi*r^2} \end{eqnarray*} Despejando $r^2$
\begin{eqnarray*} r^2=\frac{F}{\pi*p} \end{eqnarray*}
Sustituyendo $r^2$ en el volumen
\begin{eqnarray*}
V=\frac{1}{3}*\pi*r^2*l
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} V=\frac{1}{3}Flp^{-1} \end{eqnarray*}
Aplicando derivada parcial respecto de la presión:
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial V}{\partial p}=-\frac{1}{3}Flp^{-2}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial V}{\partial p}=-\frac{Fl}{3p^{2}}
\end{eqnarray*}
Ahora sólo sustituimos en (1)
\begin{eqnarray*} \kappa=-\frac{1}{V}(\frac{\partial V}{\partial p}) \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} \kappa=-(\frac{1}{V})(-\frac{Fl}{3p^{2}}) \end{eqnarray*}
Evaluando
\begin{eqnarray*} \kappa=\frac{1}{5.02*10^{-4}}(\frac{(98.432)(0.3)}{3(19584.592)^{2}}) \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} \kappa= 5.112*10^{-5} [\frac{ms^{2}}{kg}] \end{eqnarray*}
Finalmente sustituimos todos los valores en (2)
\begin{eqnarray*} \omega_{0}=(\frac{a}{lV\rho\kappa})^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} \omega_{0}=(\frac{5.026*10^{-3}}{(0.39)(5.02*10^{-4})(9.96)})^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}
El resultado es:
\begin{eqnarray*} \omega_{0}=255.867 [s^{-1}] \end{eqnarray*}
Aportación por usuarios: Luis Velázquez (Usuario discusión:Luis Velázquez) 11:50 17 feb 2015 (CST), Angel Nahir Molina Guadarrama (discusión) 08:10 21 feb 2014 (UTC), Pablo (discusión) 20:54 22 feb 2015 (CST)
Problema 2.6
Dos masas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): m_{1} and Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): m_{2} están unidas por un resorte de rigidez Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): s . Pueden vibrar a lo largo de la línea de sus centros, acercándose y alejándose alternativamente uno del otro. Para esta vibración, demuestre que donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mu=m_{1}m_{2}/\left(m_{1}+m_{_{2}}\right)\thickapprox m_{1} if m_{1}\lll m_{2}
Solución:
En la figura dos cuerpos de masa mencionada están unidos a un resorte de constante S y consideremos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x_{1}
y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x_{2}
las coordenadas de posición de los cuerpos respecto a un sistema fijo de coordenadas.En este caso Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x_{1}
es la distancia desde los puntos hasta el bloque de masa y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x_{2}
va de los puntos hasta Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): m_{2}
, entonces la longitud del resorte sera Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x_{2}-x_{1}
y si su longitud para la deformación nula es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): d
, el alargamiento del resorte es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x=x_{2}-x_{1}-d
.
El movimiento de los bloques solo esta dado en una dirección en este
caso elegimos la dirección $\hat{i}$ y entonces el problema a tratar
es unidimensional
Aplicando la segunda ley de Newton
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): -kx=m\ddot{x}:
Dividiendo entre “m” e igualando la expresión a cero, se tiene :
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \ddot{x}+\frac{k}{m}x=0:
La fuerza que se ejerce sobre $m_{2}$es :
\[ F_{2}=-kx \]
y la fuerza sobre $m_{1}$es:
\[ F_{1}=-(-kx) \]
así las ecuaciones de movimiento para cada bloque es:
\begin{eqnarray*} \ddot{m_{1}x}_{1}=kx \qquad\qquad (1) \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
m_{2}\ddot{x}_{2}=-kx \qquad\qquad (2)
\end{eqnarray*}
para resolver las ecuaciones diferenciales multiplicamos a $(1)$
por $m_{2}$ y a $(2)$ por $m_{1}$y así obtenemos:
\[ m_{1}m_{2}\ddot{x}_{1}=m_{2}kx\qquad,\qquad m_{1}m_{2}\ddot{x}_{2}=-m_{1}kx \]
y al restarlas llegamos a:
\[ m_{1}m_{2}(\ddot{x}_{2}-\ddot{x}_{1})=-kx(m_{1}+m_{2}) \]
pero sabemos que $x=x_{2}-x_{1}-d\qquad entonces\qquad\ddot{x}=\ddot{x}_{2}-\ddot{x}_{1}$
por lo tanto la ecuación diferencial queda como
\[ \ddot{x}+(\frac{m_{1}+m_{2}}{m_{1}m_{2}})kx=0\qquad haciendo\qquad\mu=\frac{m_{1}+m_{2}}{m_{1}m_{2}} \]
\begin{eqnarray*}
\ddot{x}+\mu kx=0
\end{eqnarray*}
ahora, sí $m_{1}\ll m_{2}$encontramos que $\mu\approx m_{1}$y entonces
la ecuación diferencial sería la de un solo bloque.
Aportación por usuarios: Luis Miguel Sánchez Mtz. (discusión) 01:59 26 ene 2014 (UTC), Realizando cambios al problema 2.6, en la parte teórica de la aplicación de la segunda ley de NewtonRicardo Garcia Hernandez (discusión) 00:21 23 feb 2015 (CST)
Problema 2.7
Solución #1
2.7. Muestra un arreglo que podría ser usado para establecer un circuito LC en oscilación. El condensador está primero cargado a una voltaje $V$ con la batería. En el tiempo $t = 0$ el interruptor se cambia para conectar el condensador cargado a través de la bobina. Calcular:
a) La amplitud. b) La constante de fase de la oscilación resultante.
-El voltaje total en el circuito LC está dado por:
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): V_{T}=V_{C}+V_{L}....(1.1)
donde,
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): V_{L}=L\frac{dI}{dt}
entonces,
Sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \text{ψ}=q
por lo que de la ec. (1.1'), al desconectar el circuito tendremos:
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \text{ψ}''L+\text{ψ}\frac{1}{c}=0
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{1}{L}(\text{ψ}''L+\text{ψ}\frac{1}{c})=0...(1.2)
La solución general de la ec. (1.2) es,
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \psi_{(t)}=Acos(\omega t+\phi)....(1.3)
su derivada, la corriente $I$:
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \psi'_{(t)}=-\omega Asen(\omega t+\phi)....(1.4)
Ahora, cuando el circuito se haya conectado, esto es, en $t=0$
la igualdad de la ecuación (1.4') se satisface:
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Longleftrightarrow sen(\phi)=0
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Longrightarrow\phi=0
Y, por último la ecuación (1.3) en $t=0$ es:
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \psi_{(0)}=Acos(\phi)....(1.3')
como Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \phi=0
y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \psi=q
tenemos, entonces:
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Longrightarrow A=V_{C}C
Resuelto por usuarios: Daniela López Martínez (discusión) 17:06 29 may 2013 (CDT) ,A. Martín R. Rabelo (discusión) 16:45 22 feb 2015 (CST)
Solución #2
La figura 2.8 muestra un arreglo que puede ser usado para poner un circuito LC en oscilacion. El capacitor esta cargado inicialmente con un voltaje $V_{1}$en la batería. En el tiempo $t=0$ el switch se cambia para conectar el capacitor cargado a lo largo del circuito. Derive (a) la amplitud y (b) la constante de fase de la oscilación resultante.
La solución a este problema la realice de la siguiente manera:
Tenemos que la ecuación diferencial de este sistema está dada por:
\[ V_{1}+\varepsilon_{L}=0 \]
\[
L\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}=0
\]
\[
L\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+\frac{q}{C}=0
\]
Del polinomio característico de la ecuación y sabiendo que $\omega_{0}^{2}=\frac{1}{\sqrt{LC}}$,
tenemos que una solución para esta dada por:
\[ \psi(t)=Acos(\omega_{0}+\phi) \]
Notemos que, en nuestro caso, $\psi(t)=q(t)$ y $\frac{dq(t)}{dt}=i(t)$,
las cuales son la carga y la corriente respectivamente, luego, para
hallar (a) tenemos que:
\[ A=\frac{\psi(t)}{cos(\omega_{0}t+\phi)}=\frac{q(t)}{cos(\omega_{0}t+\phi)} \]
Ademas en nuestro problema en t=0 nuestro capacitor esta completamente cargado y es en ese instante que empezamos a "observar" el circuito; siendo asi por lo que la ecuación queda es decir la amplitud es la carga inicial en el capacitor
Para hallar (b), realicemos lo siguiente:
\[ \psi(t)=Acos(\omega_{0}t+\phi) \]
\[
\frac{d\psi(t)}{dt}=-A\omega_{0}sen(\omega_{0}t+\phi)
\]
Dividiendo ambas ecuaciones entre sí tenemos que:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\psi'(t)}{\psi(t)}=-\frac{\omega_{0}\sin\left(\omega_{0}t+\phi\right)}{\cos\left(\omega_{0}t+\phi\right)}\Rightarrow\frac{\psi'(t)}{\omega_{0}\psi(t)}=-\tan(\omega_{0}t+\phi)
\[
\omega_{0}t+\phi=arctan\left(\frac{-i(t)}{\omega_{0}q(t)}\right)
\]
\[
\Rightarrow\phi=arctan\left(\frac{-i(t)}{\omega_{0}q(t)}\right)-\omega_{0}t
\]
Aportación por usuarios: Cesar Ivan Avila Vasquez Traducción:Cesar Ivan Avila Vasquez 23:49 19 Feb 2014 (CDT), Uziel Sanchez Gutierrez (discusión) 00:01 23 feb 2015 (CST)
Problema 2.8
Muestra que las vibraciones verticales de una masa m suspendida de un resorte de rigidez s, cuyo otro extremo está fijo, tienen una frecuencia angular de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): (\frac{s}{m})^{1/2} . (Consejo: Mide los desplazamientos de la posición de equilibrio de la masa, donde su peso está balanceado por la fuerza del resorte.)
Cuando la masa se cuelga del resorte y el sistema está en equilibrio, el resorte adquiere una longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): y=y_{0}
y ejerce una fuerza de restauración de la forma:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): F_{1}=s y_{0}
Usando la segunda ley de Newton, la suma de fuerzas en el equilibrio debe ser cero:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): m\frac{d^2 y}{dt^2}=F_{1}-m g= s y_{0}-m =0
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): s y_{0}=m g
El momento en que el sistema oscila verticalmente la masa se desplaza una distancia Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): y de la posición de equilibrio y se ejerce una fuerza de restauración:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): F_{2}=s(y_{0}+y)
En este caso la segunda ley de Newton queda:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): m\frac{d^2 y}{dt^2}= F_{2}-m g=s(y_{0}-y)-m g
Pero del equilibrio sabemos que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): m g=s y_{0} , entonces la segunda ley de Newton queda:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): m\frac{d^2 y}{dt^2}=s y_{0}+s y-s y_{0}= s y
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): m\frac{d^2 y}{dt^2}-s y=0
Al dividir la ecuación entre Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): m se tiene:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{d^2 y}{dt^2}- \frac{s}{m} y=0
Que es la forma de la ecuación de oscilación armónica simple Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{d^2 y}{dt^2}-\omega^{2} y =0 , de ahí concluimos que la frecuencia angular del sistema es:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \omega^{2}=\frac{s}{m} \Rightarrow \omega=(\frac{s}{m})^{1/2}
La forma en que resolvería el problema es:
Cuando se cuelga una masa $m$ al resorte, ésta alcanza la posición de equilibrio $y_0$. En esta posición tenemos que la segunda ley de Newton es
\begin{eqnarray*}
mg-sy_0=0.\qquad\qquad (1)
\end{eqnarray*}
Ahora, si desplazamos la masa una cantidad $y$ desde la posición de equilibrio $y_0$, la segunda ley de Newton es
\begin{eqnarray*} m\frac{d^2 y}{dt^2}&=& mg-s(y_0+y)\\ m\frac{d^2 y}{dt^2}&=&-sy,\qquad\qquad (2) \end{eqnarray*}
donde utilizamos $(1)$. La ec.de movimiento $(2)$ es igual a la ec. de movimiento en la dirección $x$, por tanto se tiene que $\omega^2=\frac{s}{m}$.
Aportaciones por usuarios: Ernesto (discusión) 14:11 14 may 2013 (CDT), Brenda Pérez Vidal (discusión) 20:42 9 feb 2014 (UTC)
Problema 2.9
Solución #1
Un astronauta sobre la superficie de la luna pesa muestras de roca utilizando un ligero dinamómetro. Ésta báscula, que fue calibrada en la tierra, tiene una escala de 100 mm de largo que lee de 0 a 1 kg. Él observa que cierta roca da una lectura estable de 0.40 kg y, cuando se le perturba, vibra con un periodo de 1.0 s. ¿ Cuál es la aceleración debido a la gravedad en la luna?
Sabemos por la redacción del problema que el dinamómetro utiliza en su interior un resorte ligero , así que tenemos:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): m\frac{d^{2}\psi}{dt^{2}}=-kx ...(1)
La ecuación (1) también puede expresarse de la siguiente forma:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{d^{2}\psi}{dt^{2}}+\frac{k}{m}s=0 ...(2)
En la ecuación (2) el primer término corresponde a la fuerza de gravedad lunar, mientras que el segundo corresponde a la fuerza del resorte. La suma de ambas fuerzas da como resultado cero porque las fuerzas están en equilibrio.
Para resolver el problema necesitamos encontrar el valor de la la constante de proporcionalidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): k
, y lo hacemos de la siguiente manera. Como sabemos que la roca al ser perturbada oscila armónicamente podemos utilizar la siguiente ecuación para la frecuencia angular (la frecuencia angular de un movimiento armónico simple).
\begin{eqnarray*} \omega=\sqrt{\frac{k}{m}} ...(3) \end{eqnarray*}
De la ecuación (3) despejamos k elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación y obtenemos:
\begin{equation}k=m\omega^{2} ...(4)\end{equation}
El valor de la masa (de la roca) es un dato que nos proporciona el problema y como sabemos que la frecuencia angular para un movimiento armónico simple es:
\begin{equation}\omega = \frac{2\pi}{T} ...(5)\end{equation}
Por último par resolver el problema usamos la ecuación 1 y el hecho de que la segunda derivada de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \psi
respecto del tiempo es la aceleración de la gravedad lunar. Tendremos ahora una nueva ecuación, muy parecida a la ecuación 1:
\begin{equation}mg=kx...(6)\end{equation}
Despejamos g:
\begin{equation}g=\frac{kx}{m}...(7)\end{equation}
La solución queda:
\begin{equation}mg=m\omega^{2}x \end{equation}
\begin{equation}g=\frac{kx}{m}=\frac{(10kg/s^{2})(0.4m)}{(0.2533kg)}=1.57m/s^{2}\end{equation}
\begin{equation}g=\omega^{2}x=(\frac{2\pi}{T})^{2}x=1.57m/s^{2}\end{equation}
Aportación por usuario: Pedro Pablo Ramírez Martínez (discusión) 21:48 16 feb 2014 (UTC)
Forma adicional
2.9 Un astronauta sobre la superficie de la luna pesa muestras de roca utilizando un ligero dinamómetro. Ésta báscula, que fue calibrada en la tierra, tiene una escala de 100 mm de largo que lee de 0 a 1 kg. Él observa que cierta roca da una lectura estable de 0.40 kg y, cuando se le perturba, vibra con un periodo de 1.0 s. ¿ Cuál es la aceleración debido a la gravedad en la luna?
Solución
El problema plantea una báscula, esta tiene un dinamómetro y que a su vez contiene un resorte que se estira, para soportar cierta carga de rocas; como se ha visto en el capítulo 1, ejercicio1, sabemos que la ecuación de un movimiento armónico simple es:
$ \ddot{\varPsi}+\frac{s}{m}\varPsi=0 $
Esta ecuación diferencial se puede expresar también de la forma:
$ \ddot{\varPsi}+w^{2}\varPsi=0...(1) $
donde:
$w^{2}=\frac{s}{m}$
y entonces, despejando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): s se tiene:
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): s=mw^{2}...(2)
Por otro lado la fuerza del resorte esta dado por:
$F=s\varPsi...(3) $
pero sabemos por el problema, que el astronauta esta posando en la superficie lunar , lo que nos habla de una fuerza gravitatoria que es:
$F=mg...(4) $
Igualando ecuación $(3)$ y $(4)$ se tiene:
$s\varPsi=mg...(5) $
despejando “g” , y sustituyendo $(2)$ en ecuación $(5)$ , y reduciendo se tiene:
$g=w^{2}\varPsi$
sustituyendo los datos del problema y recordando que la frecuencia angular se puede escribir como Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): w =\frac{2\pi}{T}
, se tiene:
$g=\left(\frac{2\pi}{T}\right)^{2}\varPsi $
$g=1.57\frac{m}{s^{2}} $
Aportación por usuarios: Ricardo García HernándezRicardo Garcia Hernandez (discusión) 00:53 23 feb 2015 (CST),Pablo (discusión) 20:37 22 feb 2015 (CST)
Forma adicional 2
El problema plantea una báscula, esta tiene un dinamómetro y que a su vez contiene un resorte que se estira, para soportar cierta carga de rocas; como se ha visto en el capítulo 1, ejercicio1, sabemos que la ecuación de un movimiento armónico simple es:
$ \ddot{\varPsi}+\frac{s}{m}\varPsi=0 $
Esta ecuación diferencial se puede expresar también de la forma:
$ \ddot{\varPsi}+w^{2}\varPsi=0...(1) $
donde:
$w^{2}=\frac{s}{m}$
y entonces, despejando $s$ se tiene:
$s=mw^{2}...(2) $
Por otro lado la fuerza del resorte esta dado por:
$F=s\varPsi...(3) $
pero sabemos por el problema, que el astronauta esta posando en la superficie lunar , lo que nos habla de una fuerza gravitatoria que es:
$F=mg...(4) $
Igualando ecuación $(3)$ y $(4)$ se tiene:
$s\varPsi=mg...(5) $
despejando “g” , y sustituyendo $(2)$ en ecuación $(5)$ , y reduciendo se tiene:
$g=w^{2}\varPsi$
sustituyendo los datos del problema y recordando que la frecuencia angular se puede escribir como Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): w =\frac{2\pi}{T}
, se tiene:
$g=\left(\frac{2\pi}{T}\right)^{2}\varPsi $
$g=1.57\frac{m}{s^{2}} $
Aportación por usuario: Luisa Alejandra Vega Sanchez (discusión) 17:45 30 mar 2015 (CDT)luisa alejandra vega sanchez
Problema 2.10
Una butaca está montada sobre un resorte. Cuando se sienta una persona de 75 kg, oscila con una frecuencia de 1 Hz. Si sobre ella se sienta ahora otra persona de 50 kg,
a) ¿Cuál será la nueva frecuencia de vibración?
b) ¿Cuánto descenderá la butaca cuando alcance el equilibrio?'
Solución:
a) En el movimiento vertical, la fuerza resultante entre la fuerza recuperadora elástica y el peso es una fuerza recuperadora del tipo:
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): F=-k\cdot y\ldots(1)
Y donde la frecuencia angular del sistema responde a la siguiente relación:
\[ \omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}\ldots(2) \]
Nos piden encontrar el valor de la nueva frecuencia y sabemos que:
\[ \upsilon_{0}=\frac{\omega_{0}}{2\pi}\ldots(3) \]
Definimos $M$ como la masa total $M=m_{1}+m_{2}=75kg+50kg=125kg$ y podemos entonces escribir la frecuencia resultante combinando las ecuaciones (3) y (2) como:
\[ \upsilon_{0}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{M}}\ldots(4) \]
pero no tenemos el valor de la constante del resorte $k$ la cual
podemos determinar si tomamos los valores de la frecuencia y masa
iniciales. Así que tomamos la ecuación (2) y despejando $k$ nos
queda de la forma:
\[ k=\omega_{0}^{2}\cdot m_{1} \]
Pero $\omega_{0}=2\pi\cdot\upsilon_{0}=(2\pi)(1Hz)=6.2831\frac{rad}{seg}$
por lo que:
\[ k=(6.2831\frac{rad}{seg})^{2}(75kg)=2,960.88\frac{N}{m} \]
Entonces ya podemos substituir todos nuestros valores en la ecuación
(4)...
\[ \upsilon_{0}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{2,960.88\frac{N}{m}}{125kg}}=.7745Hz \]
b)Tomamos como posición de equilibrio la posición de resorte
cuando está encima la primera persona. Cuando se pone encima de ella
la segunda, al alcanzar el equilibrio la fuerza resultante será nula.
Por lo tanto, el peso sumado con la fuerza contraria al peso que imprime el resorte se puede escribir como:
\[ \bar{P}_{eso}+\bar{F}_{el\acute{a}stica}=0 \]
Sabemos que el peso corresponde a la ecuación de la segunda ley de
newton donde $\bar{P}=-mg$
Al combinar esta ecuación con la ecuación (1) tenemos:
\[ \bigtriangleup m\cdot g=\bigtriangleup y\cdot k \]
entonces despejando $\bigtriangleup y$ nos queda:
\[ \bigtriangleup y=\frac{\bigtriangleup m\cdot g}{k}=\frac{(50kg)(9.8\frac{m}{s^{2}})}{2960\frac{N}{m}}=.1655m \]
Aportación por usuarios: A. Martín R. Rabelo (discusión) 16:16 22 feb 2015 (CST),Entendible y bien planteado----Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 00:25 23 feb 2015 (CST)
Problema 2.11
Solución #1
Una masa se mueve bajo un potencial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): V_{(x)}=V_{0}cosh(\frac{x}{x_{0}}) , donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): V_{0} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x_{0} son constantes.
a) Encuentre la posición de equilibrio
b)Muestra que la frecuencia a amplitudes pequeñas al rededor de este punto es la misma que si se tratara de la misma masa cuando vibra en un resorte con constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{V_{0}}{x_{0}^{2}} .
a) De la ecuación 2.12 del libro se tiene que:
Entonces:
Dado que buscamos el punto de equilibrio se tiene cuando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): F(x)=0
luego:
para lo cual necesariamente:
Por lo tanto, el punto de equilibrio es:
b) De la ecuación 2.14 del libro se tiene que:
es decir
Por otra parte sabemos que:
por lo que:
para oscilaciones pequeñas
Entonces:
Finalmente:
Aportación por usuarios: Pérez Córdoba Sabino (discusión) 02:10 21 feb 2014 (UTC) Cesar Ivan Avila Vasquez (discusión) 17:30 25 Febrero 2014
Solución #2
2.11. A mass moves under a potential $V(x)=V_{0}\cosh(\frac{x}{x_0})$, where $V_0$ y $x_0$ are constants.(a) Find the position of stable equilibruim. (b) Show that the frecuency of small vibrations about this point is the same as it would be if the same mass was vibrating on a spring of stiffness $V_0/x_0^2$
(a) La posición de equilibrio es el punto en el que el potencial tiene un valor mínimo, es decir en el que su derivada es nula.
\begin{equation} \frac{ \mathrm{d}V(x)}{ \mathrm{d}x} = \frac{V_0}{x_0} \sinh \left(\frac{x}{x_0}\right)=0 \; \Leftrightarrow \; x=0 \, , \, x\in \R \end{equation}
Por lo que $x=0$ es la posición de equilibrio estable del sistema.
(b) Primero considérese un sistema masa-resorte con $s=V_0/x_0^2$, entonces $\omega_0^2=s/m$, y la frecuencia de tal sistema es
\begin{equation} \label{1} \nu=\frac{\omega_0}{2 \, \pi}=\frac{1}{2 \, \pi} \sqrt{\frac{s}{m}}=\frac{1}{2 \, \pi} \sqrt{\frac{V_0}{m \, x_0^2}} \end{equation}
Por otra parte, de acuerdo a la ecuación (2.14) de libro (Main, Ian G.,Vibrations and Waves in Physics,1993),para un potencial $V(r)$, $ s \approx \left.\frac{d^2\,V(r)}{d\,r^2}\right|_{x=R}$ válido solo para oscilaciones $|\, \psi (t)\,|$ muy pequeñas, donde $R$ es la posición de equilibrio. Para nuestro potencial $V(x)$ en una dimensión tenemos que:
\begin{equation} \label{2} s= \left[ \frac{\mathrm{d^2}}{\mathrm{d}x^2}\,V_0 \cosh \left(\frac{x}{x_0} \right) \right]_{x=0}= \left. \frac{V_0}{x_0^2} \cosh \left(\frac{x}{x_0} \right) \right|_{x=0}= \frac{V_0}{x_0^2} \end{equation}
Como $\omega_0=\sqrt{s/m} $ y $\nu=\omega_0 / (2 \, \pi)$ y con $(2)$ obtenemos
\begin{equation} \label{3} \nu=\frac{\sqrt{s/m}}{2 \, \pi}=\frac{1}{2 \, \pi} \sqrt{\frac{V_0}{m \, x_0^2}} \end{equation}
La ec. $(1)$ muestra la frecuencia de vibración de una masa $m$ debida a un resorte con constante $s=V_0/x_0^2$, mientras que la $(3)$ es la frecuencia de oscilación de una masa debido a un potencial $V(x)$ alrededor de su punto mínimo o punto de equilibrio. Por lo tanto, como las frecuencias $(1)$ y $(3)$ son iguales, el potencial $V(x)=V_{0}\cosh(\frac{x}{x_0})$ es determinado o es equivalente a un sistema de una masa que realiza una vibración mediante $s=V_0/x_0^2$.
Aportacion por usuario Adolfo Calderón Alcaraz (discusión) 18:33 17 feb 2015 (CST) --
Problema 2.12
2.12. Una masa que pesa 2 libras alarga 6 pulgadas un resorte. En t=0 se libera la masa desde un punto que esta 8 pulgadas abajo de la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 4/3 pie/seg. Determine la ecuación de movimiento.
Transformaremos las unidades
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): 6pulg=\frac{1}{2}pie
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): 8pulg=\frac{2}{3}pie
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): m=\frac{W}{g}=\frac{2}{32}=\frac{1}{16}slug
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): 2=k(\frac{1}{2})
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): k=4lb/pie
obtenemos esta ecuación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{d^{2}x}{dt^{2}}+64x=0
En el desplazamiento inicial y la velocidad se tiene que, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x(0)=\frac{2}{3}
y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x'(0)=-\frac{4}{3}
donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \omega^{2}=64
se tiene que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \omega=8
Por lo que la solución general de la ecuación diferencial es
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x(t)=C_{1}\cos8t+C_{2}\sin8t
Aplicando las condiciones iniciales x(t) y x'(t) obtenemos que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): C_{1}=\frac{2}{3}
y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): C_{2}=-\frac{1}{6}
por lo tanto la ecuación de movimiento es:
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x(t)=\frac{2}{3}\cos8t-\frac{1}{6}\sin8t
Aportación por usuarios: David Alberto Rojas Solis (discusión) 04:10 6 jul 2013 (CDT), A. Martín R. Rabelo (discusión) 18:12 22 feb 2015 (CST)
Problema II.I
When the electron in a hydrogen atom bound to the nucleus moves a small distance from its equilibrium position, a restoring force per unit distance is given by:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): s=\frac{\texttt{e}^{2}}{4\pi\epsilon_{0}r^{3}}
where $r=0.05nm$ may be taken as the radius of the atom. Show that the electron can oscillate with a simple harmonic motion with:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \omega_{0}\approx4.5\times10^{16}rad\,s^{-1}
If the electron is forced to vibrate at this frequency, in which region of the electromagnetic spectrum would its radiation be found?:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e=1.6\times10^{-19}C\,\,\,electron\,\,\, mass\,\,\,m_{e}=9.1\times10^{-31}kg
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \epsilon_{0}=8.85\times10^{-12}N^{-1}m^{-2}C^{2}
Traducción
Cuando el electrón en un átomo de hidrógeno ligado al núcleo se mueve una pequeña distancia de su posición de equilibrio, una fuerza restauradora por unidad de distancia está dada por:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): s=\frac{\texttt{e}^{2}}{4\pi\epsilon_{0}r^{3}}
donde $r=0.05nm$ puede tomarse como el radio del átomo. Muestre que el electrón puede oscilar en un movimiento armónico simple con:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \omega_{0}\approx4.5\times10^{16}rad\,s^{-1}
Si el electrón es forzado a vibrar con ésta frecuencia, ¿en qué región del espectro electromagnético irradia?:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e=1.6\times10^{-19}C\,\,\,electron\,\,\, mass\,\,\,m_{e}=9.1\times10^{-31}kg
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \epsilon_{0}=8.85\times10^{-12}N^{-1}m^{-2}C^{2}
Al ser $s$ la fuerza restauradora por unidad de distancia, tenemos que la ecuación diferencial del oscilador puede escribirse como:
y proponiendo una solución del tipo:
tenemos que:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \dot{\psi} = -\omega_0 A \sin(\omega t + \phi)
además:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \ddot{\psi} = -\omega_0^2 A \cos(\omega t + \phi) = -\omega_0^2 \psi
y sustituyendo en la ecuación diferencial obtenemos:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): -m_e \omega_0^2 \psi = - s \psi \Rightarrow -m_e \omega_0^2 = s \Rightarrow w_0^2 = \dfrac{s}{m_e}
de donde:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \omega_0 = \sqrt{ \dfrac{s}{m_e} }
Luego, para obtener el valor de $\omega_0$, sustituimos a $s$:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \omega_0 = \sqrt{ \dfrac{\dfrac{e^2}{4\pi\epsilon_{0}r^3}}{m_e} } = \sqrt{ \dfrac{e^2}{4\pi\epsilon_{0} r^3 m_e} }
y si aproximamos:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \approx 9.0x10^9 \dfrac{Nm^2}{C^{-2}}
y lo sustituímos en la ecuación para $\omega_0$:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \omega_0 = \sqrt{\dfrac{(1.6x10^{-19}C)^2 \cdot (9.0x10^9 Nm^2C^{-2})}{(5.0x10^{-11}m)^3 \cdot (9.1x10^{-31}kg)}} = \sqrt{\dfrac{2.304x10^{-28}Nm^2}{1.1375x10^{-61}m^3kg}} = \sqrt{2.025494505x10^{33}\dfrac{N}{m \cdot kg}}
Por lo que podemos concluír que:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \omega_0 \approx 4.5x10^{16} s^{-1}
Ahora, obtenemos la frecuencia:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nu = \dfrac{\omega_0}{2\pi} = \dfrac{4.5x10^{16} s^{-1}}{2\pi} \approx 7.1619x10^{15} Hz
Y como:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): 1.5x10^{15}Hz < 7.1619x10^{15} Hz < 30.0x10^{15}Hz
Entonces, basados en la clasificación del espectro electromagnético, podemos concluir que el átomo irradia en el ultravioleta extremo.
Resuelto por usuario: Ivan de Jesús Pompa García (discusión) 15:50 14 feb 2015 (CST)
Comentario por : Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 00:30 23 feb 2015 (CST) Es pura sustitución numérica y formulas, creo que falta mas teoría y planteamiento
Problema II.II
Un circuito $L-C$, que contiene un conductor de $80mH$ y un capacitor de $1.25nF$, oscila con una corriente máxima de $0.75A$.
a) Calcule la carga máxima en el capacitor. b) Calcule la frecuencia de oscilación del circuito.
De la segunda ley de Kirchhoff es posible deducir la ecuación diferencial
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): L\left(\frac{d\overset{\centerdot}{\psi}}{dt}\right)+\left(\frac{1}{C}\right)\psi=0 ....(1)
Donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \psi representa la carga.
Esta ecuación es de la misma forma que la ecuación “común” de el movimiento armónico
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \ddot{\psi}+\omega_{0}^{2}\psi=0 ....(2)
reescribiendo la ecuación (1) tenemos
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \ddot{\psi}+\left(\frac{1}{LC}\right)\psi=0....(3)
, de donde se tiene ahora que
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \omega_{0}=\sqrt{\frac{1}{LC}} ....(4)
análogo a lo hecho cuando se trabajo
con la ecuación (2). De lo anterior se encuentra la solución de la ecuación (3)
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \psi(t)=\psi_{max}\cos(\omega t+\phi) ....(5)
Ahora considerando que,
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): I=\frac{dQ}{dt}=-\omega Q_{max}\sin(\omega t+\phi) ....(6)
Así que la corriente varía en el tiempo y sera máxima cuando el coeficiente trigonométrico sea 1 y con el valor absoluto queda
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): I_{max}=\omega Q_{max}
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): Q_{max}=\frac{I_{max}}{\omega}
de (4) entonces
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \omega_{0}=\sqrt{\frac{1}{\left(80\times10^{-3}H\right)\left(1.25\times10^{-9}F\right)}}=100,000s^{-1}
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): Q_{max}=\frac{.75A}{100,000s^{-1}}=7.5\times10^{-6}C
Resuelto por usuario : Uziel Sanchez Gutierrez (discusión) 01:05 20 feb 2015 (CST)
Comentario por usuario: Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 00:28 23 feb 2015 (CST)entendible
Problema 1.1 del Serwey
Una bola gira en contra de las manecillas del reloj en un circulo de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): 3m de radio con una rapidez angular constante de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{8rad}{s} en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): t=0 su sombra tiene una coordenada x de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): 2m y de mueve hacia la derecha.
La bola sobre la tornamesa es una partícula en movimiento circular uniforme su sombra se modela como una partícula en movimiento armónico simple por medio de la ecuación :
a) Determine la coordenada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x como función del tiempo
Para hallar la ecuación de movimiento tenemos que encontrar la face con las condiciones iniciales dadas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): t=0
Tenemos :Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x(t) = A \cos(\omega t + \phi)\,
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x=A \cos (\phi)\,
despejando nos queda
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \phi=0.841
como se mueve de izquierda a derecha en contra del eje polar la fase es negativa nos queda de la siguiente manera
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \phi=-0.841
obteniendo la fase la ecuación de movimiento es la siguiente
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x(0) = 3 \cos(-0.841)\,
b) Encuentre las componentes de las velocidades y aceleración de la sombra en cualquier Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): tiempo=t como solo hay movimiento en el eje x solo tenemos componentes en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): v_{x} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): a_{x}
derivando la posición con respecto al tiempo obtenemos la velocidad
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): v(t) = -A \omega sen(\omega t + \phi)\,
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): v(t) = -24 sen(8 t - 0.841)\,
sacando la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo tenemos
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): a(t) = -A \omega^{2} cos(\omega t + \phi)\,
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): a(t) = -192 cos(8 t - 0.841)\,
Este problema se aplica para un sistema de una maquina de coser con pedales. El operador pone su pie al pedal lo acciona de atrás hacia adelante esto se toma como un movimiento oscilatorio hace que una rueda grande ala derecha experimente un movimiento circular una banda transfiere el movimiento al mecanismo de la maquina de coser y causa un movimiento oscilatorio ala aguja de coser
Resuelto por usuario: Jose de jesus (discusión) 19:46 25 feb 2015 (CST)jose de jesus Arizpe flores
Problema propuesto de aplicación de circuito RL
Considera el circiito Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): RLC impulsado por una fuerza electromotriz Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): E_{0}\sin{\omega}t . Encuentra la corriente, el voltaje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): V_{L} y la frecuencia angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \omega para la cual Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): V_{L} es un máximo.
Solución:
El voltaje a través de cada elemento del circuito es:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): V_{L}=L\frac{dI}{dt}=L\ddot{q}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): V_{R}=LI=L\frac{dq}{dt}=L\dot{q}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): V_{C}=\frac{q}{c}
Asi, el voltaje disminuye alrededor del circuito y tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): L\ddot{q}+R\dot{q}+\frac{q}{c}=E_{0}\sin{\omega}t esta ecuación es similar a
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \ddot{x}+2\gamma\dot{x}+\omega_{0}^{2}x=A\cos{\omega}t
la cual Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \gamma=b/2m\gtrdot{R/2L}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \omega=\sqrt{k/m}\gtrdot{1/\sqrt{LC}}
y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): A=F_{0}/m\gtrdot{E_{0}/L}
La solución para la carga esta dada por
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): I=\frac{-E_{0}\sin{\omega}t}{\sqrt{R^2}+(\frac{1}{\omega}c-\omega)^2}
y el voltaje a través del inductor es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): V_{L}=L\frac{dI}{dt}=-\frac{\omega IE_{0}\cos{\omega}t}{\sqrt{R^2}+(\frac{1}{\omega}c-\omega)^2}
por tanto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): V_{L}=V(\omega)\cos{\omega}t
Ahora para encontrar la fracuencia Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \omega_{max}
la cual toma Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): V_{L}
maximo, podríamos tomar la derivada con respecto de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \omega
e igualar el resultado a cero.
Asi se tiene que..
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{dV_{\omega}}{d\omega}=\frac{LE_{0}[R^2-\frac{2L}{c}+\frac{2}{\omega}^2c^2]}{\sqrt{R^2}+(\frac{1}{\omega}c-\omega)^2}
De aquí encontramos que resolviendo para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \omega_{max}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \omega_{max}=\frac{1}{\sqrt{LC-\frac{R^2 C^2}{2}}}
es la frecuencia buscada.
Resuelto por Hector Resendiz Héctor Reséndiz (discusión) 22:27 25 mar 2015 (CDT) Libro Jerry B. Marion ejercicio 3.19
