Radiacion: Reflexion en metales

Reflexión en metales

Dibujo de una onda incidente $\mathbf {E_{0}}$, reflejada $\mathbf {E_{1}}$ y transmitida $\mathbf {E_{2}}$ para la frontera entre un dieléctrico y un conductor

En este tema veremos la reflexión de una onda electromagnética cuando la frontera está limitada por un dieléctrico y un conductor. Veremos el caso de incidencia normal. En nuestro caso, el eje en el cual se mueven nuestras ondas es el Z. Veamos la onda incidente, la reflejada y transmitida.

Onda incidente:

$\mathbf {E_{0}} =\mathbf {e_{x}} E_{0}^{0}e^{i(k_{1}Z-\omega t)}$

$\mathbf {H_{0}} =\mathbf {e_{y}} {\frac {c}{\omega }}k_{1}E_{0}^{0}e^{i(k_{1}Z-\omega t)}$

Onda reflejada:

$\mathbf {E_{1}} =-\mathbf {e_{x}} E_{1}^{0}e^{i(-k_{1}Z-\omega t)}$

$\mathbf {H_{1}} =\mathbf {e_{y}} {\frac {c}{\omega }}k_{1}E_{1}^{0}e^{i(k_{1}Z-\omega t)}$

Onda transmitida:

$\mathbf {E_{2}} =\mathbf {e_{x}} E_{2}^{0}e^{i({\tilde {k_{2}}}Z-\omega t)}$

$\mathbf {H_{2}} =\mathbf {e_{y}} {\frac {c}{\omega }}{\tilde {k_{2}}}E_{2}^{0}e^{i({\tilde {k_{2}}}Z-\omega t)}$

La constante de propagacion ${\tilde {k_{2}}}$ del conductor es:

${\tilde {k_{2}}}^{2}={\frac {\omega ^{2}\epsilon _{2}}{c^{2}}}(1+i{\frac {4\pi \sigma _{2}}{\omega \epsilon _{2}}})$

La constante de propagación $k_{1}$ para el dieléctrico es:

${\frac {c}{\omega }}k_{1}=n_{1}$

Las condiciones a la frontera (z=0) implican:

$E_{0}^{0}-E_{1}^{0}=E_{2}^{0}$

$k_{1}(E_{0}^{0}+E_{1}^{0})={\tilde {k_{2}}}E_{2}^{0}$

Resolviendo las ecuaciones para escribir la magnitud de la onda reflejada y transmitida en términos de la incidente, quedaría de la siguiente manera:

$E_{1}^{0}={\frac {{\tilde {k}}_{2}-k_{1}}{{\tilde {k}}_{2}+k_{1}}}E_{0}^{0}$ Ecuación (1)

$E_{2}^{0}={\frac {2k_{1}}{{\tilde {k}}_{2}+k_{1}}}E_{0}^{0}$

Aquí podemos notar que éstas ecuaciones son generales en el sentido de que sí ${\tilde {k_{2}}}$ fuera real, es decir $k_{2}={\frac {\omega }{c}}n_{2}$ tendríamos la descripción para el caso de un dieléctico:

$E_{1}^{0}={\frac {n_{2}-n_{1}}{n_{2}+n_{1}}}E_{0}^{0}$

$E_{2}^{0}={\frac {2n_{1}}{n_{2}+n_{1}}}E_{0}^{0}$

Por otro lado, si sustitumos el valor de $k_{1}={\frac {\omega }{c}}{\sqrt {\epsilon _{1}}}$ y el de ${\tilde {k}}_{2}$ en las ecuaciones anteriores, tendríamos lo siguiente:

$E_{1}^{0}={\frac {{\sqrt {{\frac {\epsilon _{2}}{\epsilon _{1}}}(1+i{\frac {4\pi \sigma _{2}}{\epsilon _{2}\omega }})}}-1}{{\sqrt {{\frac {\epsilon _{2}}{\epsilon _{1}}}(1+i{\frac {4\pi \sigma _{2}}{\epsilon _{2}\omega }})}}+1}}E_{0}^{0}$

$E_{2}^{0}={\frac {2}{{\sqrt {{\frac {\epsilon _{2}}{\epsilon _{1}}}(1+i{\frac {4\pi \sigma _{2}}{\epsilon _{2}\omega }})}}+1}}E_{0}^{0}$

Estas ecuaciones siguen siendo generales y apartir de ellas podemos ver los casos particulares que se generan bajo ciertas condiciones, veamos:

1. Si el medio 2 es un conductor perfecto, es decir cuando $\sigma _{2}$ tiende a infinito, tendríamos lo siguiente:

$E_{1}^{0}=E_{0}^{0}$

$E_{2}^{0}=0$

Estas dos ecuaciones nos dicen lo mismo pero de manera diferente. La primera dice que la amplitud de la onda reflejada es igual a la incidente (y nada más), es decir, no hay transmisión. La segunda nos dice que la amplitud de la onda transmitida es cero, es decir, no hay transmisión, por lo tanto la amplitud incidente es igual a la reflejada.

2. Si el medio es un dieléctrico, es decir $\sigma =0$, tendríamos las ecuaciones para dieléctricos.

Por otro lado, si hacemos una aproximación de que el medio 2 es buen conductor pero no es perfecto, es decir, ${\frac {4\pi \sigma _{2}}{\epsilon _{2}\omega }}>>1$ , ${\tilde {k_{2}}}$ podemos expresarlo de la siguiente manera:

${\tilde {k_{2}}}=\alpha +i\beta =(1+i){\frac {\sqrt {2\pi \omega \sigma _{2}}}{c}}$

También podemos escribir la definición de Skin Depth, quedando de la siguiente manera:

${\tilde {k_{2}}}={\frac {1+i}{\delta }}$

Además, la longitud de onda reducida de la radiación indicente con frecuencia $\omega$ es $\lambda ={\frac {c}{\omega }}$. Aplicando esta ecuación a la de Skin Depth:

${\frac {c}{\omega }}{\tilde {k_{2}}}=(1+i){\frac {\lambda }{\delta }}$

Por otro lado, sabemos que:

${\frac {c}{\omega }}k_{1}=n_{1}$

Sustituyendo los valores de ${\tilde {k_{2}}}$ y $k_{1}$ en la ecuación (1):

$E_{1}^{0}={\frac {(1+i)({\frac {\lambda }{\delta }})-n_{1}}{(1+i)({\frac {\lambda }{\delta }})+n_{1}}}E_{0}^{0}$

El coeficiente de reflexión R, está dado de la siguiente manera:

$R={\frac {|E_{1}^{0}|^{2}}{|E_{0}^{0}|^{2}}}={\frac {[1-({\frac {\delta }{\lambda }})n_{1}]^{2}+1}{[1+({\frac {\delta }{\lambda }})n_{1}]^{2}+1}}$

Para frecuencias ópticas ${\frac {\delta }{\lambda }}$ es pequeño comparado con la unidad. Por tanto, podemos tener la aproximación $({\frac {\delta }{\lambda }})n_{1}<<1$ que nos daría, expandiendo la ecuación anterior:

$R=1-2{\frac {\delta }{\lambda }}n_{1}$

o lo mismo:

$R=1-2n{\sqrt {\frac {v}{\sigma _{2}}}}$

Aquí podemos ver que esta ecuación es una generalización. Veamos los casos:

1. Si $\sigma _{2}$ tiende a infinito, nos daría:

$R=1$

Esto quiere decir que la reflexión es total, es decir, no hay transmisión.

2. Si $\sigma _{2}$ se va acercando a cero, R disminuye. Esto quiere decir que empieza a disminuir la reflexión porque ya hay transmisión.