Radiacion: Reflexion en metales

En este tema veremos la reflexión de una onda electromagnética cuando la frontera está limitada por un dieléctrico y un conductor. Veremos el caso de incidencia normal. Veamos la onda incidente, la reflejada y transmitida.

Onda incidente:

$\mathbf {E_{0}} =\mathbf {e_{x}} E_{0}^{0}e^{i(k_{1}Z-\omega t)}$

$\mathbf {H_{0}} =\mathbf {e_{y}} {\frac {c}{\omega }}k_{1}E_{0}^{0}e^{i(k_{1}Z-\omega t)}$

Onda reflejada:

$\mathbf {E_{1}} =-\mathbf {e_{x}} E_{1}^{0}e^{i(-k_{1}Z-\omega t)}$

$\mathbf {H_{1}} =\mathbf {e_{y}} {\frac {c}{\omega }}k_{1}E_{1}^{0}e^{i(k_{1}Z-\omega t)}$

Onda transmitida:

$\mathbf {E_{2}} =\mathbf {e_{x}} E_{2}^{0}e^{i({\tilde {k_{2}}}Z-\omega t)}$

$\mathbf {H_{2}} =\mathbf {e_{y}} {\frac {c}{\omega }}{\tilde {k_{2}}}E_{2}^{0}e^{i({\tilde {k_{2}}}Z-\omega t)}$

La constante de propagacion ${\tilde {k_{2}}}$ del conductor es:

${\tilde {k_{2}}}^{2}={\frac {\omega ^{2}\epsilon _{2}}{c^{2}}}(1+i{\frac {4\pi \sigma _{2}}{\omega \epsilon _{2}}})$

Las condiciones a la frontera (z=0) implican:

$E_{0}^{0}-E_{1}^{0}=E_{2}^{0}$

$k_{1}(E_{0}^{0}+E_{1}^{0})={\tilde {k_{2}}}E_{2}^{0}$

Resolviendo las ecuaciones para escribir la magnitud de la onda reflejada y transmitida en términos de la incidente, quedaría de la siguiente manera:

$E_{1}^{0}=E_{0}{\frac {{\tilde {k}}_{2}-k_{1}}{{\tilde {k}}_{2}+k_{1}}}$

$E_{2}^{0}=E_{0}{\frac {2k_{1}}{{\tilde {k}}_{2}+k_{1}}}$

Aquí podemos notar que éstas ecuaciones son generales en el sentido de que sí ${\tilde {k_{2}}}$ fuera real, es decir $k_{2}={\frac {\omega }{c}}n_{2}$ tendríamos la descripción para el caso de un dieléctico.

Por otro lado, si sustitumos el valor de $k_{1}={\frac {\omega }{c}}{\sqrt {\epsilon _{1}}}$ y el de ${\tilde {k}}_{2}$ en las ecuaciones anteriores, tendríamos lo siguiente:

$E_{1}^{0}={\frac {{\sqrt {{\frac {\epsilon _{2}}{\epsilon _{1}}}(1+i{\frac {4\pi \sigma _{2}}{\epsilon _{2}\omega }})}}-1}{{\sqrt {{\frac {\epsilon _{2}}{\epsilon _{1}}}(1+i{\frac {4\pi \sigma _{2}}{\epsilon _{2}\omega }})}}+1}}E_{0}^{0}$

$E_{2}^{0}={\frac {2}{{\sqrt {{\frac {\epsilon _{2}}{\epsilon _{1}}}(1+i{\frac {4\pi \sigma _{2}}{\epsilon _{2}\omega }})}}+1}}E_{0}^{0}$

Estas ecuaciones siguen siendo generales y apartir de ellas podemos ver los casos particulares que se generan bajo ciertas condiciones, veamos:

1. Si el medio 2, es un conductor perfecto, es decir $\epsilon _{2}->infinito$, tendríamos lo siguiente:

$E_{b}^{\prime \prime }=E_{a}{\frac {n-n^{\prime }}{n+n^{\prime }}}$

$E_{b}^{\prime }=E_{a}{\frac {2n}{n+n^{\prime }}}$

$n^{\prime }={\sqrt {{\frac {1}{2}}(k+{\sqrt {k^{2}+{({\frac {\sigma }{\omega \epsilon _{0}}})}^{2}}}}}$

$\eta ^{\prime }={\sqrt {{\frac {1}{2}}(-k+{\sqrt {k^{2}+{({\frac {\sigma }{\omega \epsilon _{0}}})}^{2}}}}}$