Radiacion: Reflexion en metales

En este tema veremos la reflexión de una onda electromagnética cuando la frontera está limitada por un dieléctrico y un conductor. Veremos el caso de incidencia normal. Veamos la onda incidente, la reflejada y transmitida.

Onda incidente:

$\mathbf {E_{0}} =\mathbf {e_{x}} E_{0}^{0}e^{i(k_{1}Z-\omega t)}$

$\mathbf {H_{0}} =\mathbf {e_{y}} {\frac {c}{\omega }}k_{1}E_{0}^{0}e^{i(k_{1}Z-\omega t)}$

Onda reflejada:

$\mathbf {E_{1}} =-\mathbf {e_{x}} E_{1}^{0}e^{i(-k_{1}Z-\omega t)}$

$\mathbf {H_{1}} =\mathbf {e_{y}} {\frac {c}{\omega }}k_{1}E_{1}^{0}e^{i(k_{1}Z-\omega t)}$

Onda transmitida:

$\mathbf {E_{2}} =\mathbf {e_{x}} E_{2}^{0}e^{i({\tilde {k_{2}}}Z-\omega t)}$

$\mathbf {H_{2}} =\mathbf {e_{y}} {\frac {c}{\omega }}{\tilde {k_{2}}}E_{2}^{0}e^{i({\tilde {k_{2}}}Z-\omega t)}$

La constante de propagacion ${\tilde {k_{2}}}$ del conductor es:

${\tilde {k_{2}}}^{2}={\frac {\omega ^{2}\epsilon _{2}}{c^{2}}}(1+i{\frac {4\pi \sigma _{2}}{\omega \epsilon _{2}}})$

Las condiciones a la frontera (z=0) implican:

$E_{0}^{0}-E_{1}^{0}=E_{2}^{0}$

$k_{1}(E_{0}^{0}+E_{1}^{0})={\tilde {k_{2}}}E_{2}^{0}$

Resolviendo las ecuaciones para escribir la magnitud de la onda reflejada y transmitida en términos de la incidente, quedaría de la siguiente manera:

$E_{1}^{0}={\frac {{\tilde {k}}_{2}-k_{1}}{{\tilde {k}}_{2}+k_{1}}}E_{0}^{0}$

$E_{2}^{0}={\frac {2k_{1}}{{\tilde {k}}_{2}+k_{1}}}E_{0}^{0}$

Aquí podemos notar que éstas ecuaciones son generales en el sentido de que sí ${\tilde {k_{2}}}$ fuera real, es decir $k_{2}={\frac {\omega }{c}}n_{2}$ tendríamos la descripción para el caso de un dieléctico:

$E_{1}^{0}={\frac {n_{2}-n_{1}}{n_{2}+n_{1}}}E_{0}^{0}$

$E_{2}^{0}={\frac {2n_{1}}{n_{2}+n_{1}}}E_{0}^{0}$

Por otro lado, si sustitumos el valor de $k_{1}={\frac {\omega }{c}}{\sqrt {\epsilon _{1}}}$ y el de ${\tilde {k}}_{2}$ en las ecuaciones anteriores, tendríamos lo siguiente:

$E_{1}^{0}={\frac {{\sqrt {{\frac {\epsilon _{2}}{\epsilon _{1}}}(1+i{\frac {4\pi \sigma _{2}}{\epsilon _{2}\omega }})}}-1}{{\sqrt {{\frac {\epsilon _{2}}{\epsilon _{1}}}(1+i{\frac {4\pi \sigma _{2}}{\epsilon _{2}\omega }})}}+1}}E_{0}^{0}$

$E_{2}^{0}={\frac {2}{{\sqrt {{\frac {\epsilon _{2}}{\epsilon _{1}}}(1+i{\frac {4\pi \sigma _{2}}{\epsilon _{2}\omega }})}}+1}}E_{0}^{0}$

Estas ecuaciones siguen siendo generales y apartir de ellas podemos ver los casos particulares que se generan bajo ciertas condiciones, veamos:

1. Si el medio 2, es un conductor perfecto, es decir $\sigma _{2}->infinito$, tendríamos lo siguiente:

$E_{1}^{0}=E_{0}^{0}$

$E_{2}^{0}=0$

Estas dos ecuaciones nos dicen lo mismo pero de manera diferente. La primera dice que la amplitud de la onda reflejada es igual a la incidente (y nada más), es decir, no hay transmisión. La segunda nos dice que la amplitud de la onda transmitida es cero, es decir, no hay transmisión, por lo tanto la amplitud incidente es igual a la reflejada.

2. Si el medio es un dieléctrico, es decir $\sigma =0$, tendríamos las ecuaciones para dieléctricos.

$E_{b}^{\prime \prime }=E_{a}{\frac {n-n^{\prime }}{n+n^{\prime }}}$

$E_{b}^{\prime }=E_{a}{\frac {2n}{n+n^{\prime }}}$

$n^{\prime }={\sqrt {{\frac {1}{2}}(k+{\sqrt {k^{2}+{({\frac {\sigma }{\omega \epsilon _{0}}})}^{2}}}}}$

$\eta ^{\prime }={\sqrt {{\frac {1}{2}}(-k+{\sqrt {k^{2}+{({\frac {\sigma }{\omega \epsilon _{0}}})}^{2}}}}}$