Radiacion: Guias de onda

Una guía de onda es un dispositivo que se usa para transportar energía electromagnética y/o información de un sitio a otro. Generalmente se usa el término línea de transmisión a la guía de ondas usada en el extremo de menor frecuencia del espectro.

Introducción

Algunos sistemas de comunicaciones utilizan la propagación de ondas en el espacio libre, sin embargo también se puede transmitir información mediante la confinación de las ondas en cables o guías. En altas frecuencias las líneas de transmisíon y los cables coaxiales presentan atenuaciones muy elevadas por lo que impiden que la transmisíon de la informacíon sea la adecuada, son imprácticos para aplicaciones en alta frecuencia (HF) o de bajo consumo de potencia, especialmente en el caso de señales cuyas longitudes de onda son del orden de centímetros, esto es, microondas.

La transmisíon de señales por guías de onda reduce la disipacíon de energía, es por ello que se utilizan en las frecuencias denominadas de microondas con el mismo propósito que las líneas de transmisión en frecuencias más bajas, ya que presentan poca atenuación para el manejo de señales de alta frecuencia.

El nombre de guías de onda se utiliza para designar los tubos de un material conductor de sección rectangular, circular o elíptica, en los cuales la dirección de la energía electromagnética debe ser principalmente conducida a lo largo de la guía y limitada en sus fronteras. Las paredes conductoras del tubo confinan la onda al interior por reflexión en la superficie, donde el tubo puede estar vacío o relleno con un dieléctrico. El dieléctrico le da soporte mecánico al tubo (las paredes pueden ser delgadas), pero reduce la velocidad de propagación.

En las guías los campos eléctrico y magnético están confinados en el espacio que se encuentra en su interior, de este modo no hay pérdidas de potencia por radiación y las pérdidas en el dieléctrico son muy bajas debido a que suele ser aire. Este sistema evita que existan interferencias en el campo por otros objetos, al contrario de lo que ocurría en los sistemas de transmisión abiertos.

La guía de onda se puede visualizar en la figura 1, las paredes de la guía pueden construirse con materiales conductores o dieléctricos, el transporte de la energía electromagnética se lleva a cabo mediante reflexiones continuas y no por medio de corrientes superficiales, como en el caso de las líneas de transmisión.

La guía está diseñada fundamentalmente para operar un solo modo de propagación con el ancho de banda requerido, atenuando los demás modos de orden superior. Esto quiere decir que transmite óptimamente la frecuencia portadora, para la cual se ha seleccionado la guía con su respectivo ancho de banda de transmisión.

"Guías de ondas rectangulares"

Estamos interesados entonces en la solución de la ecuación homogénea de las ondas en presencia de fronteras conductoras. Este es un problema de gran interés práctico. Es el caso, por ejemplo, de ondas electromagnéticas de longitudes de onda del orden de los centímetros, llamadas microondas, que tienen diversas aplicaciones tecnológicas. Para su propagación, se necesita precisamente disponer de tubos conductores de secciones apropiadas, de dimensiones similares a las longitudes de onda en cuestión. El análisis que sigue lo realizamos en el caso de superficies conductoras perfectas, de conductividad infinita. Las condiciones de contorno nos enseñan que en la región inmediata a la superficie de esos conductores ideales, sólo pueden existir la componente normal del campo eléctrico $\mathbf {E} _{\bot }=0$, y la componente tangencial de intensidad magnética $\mathbf {B} _{\|}=0$

A fin de analizar las posibles oscilaciones electromagnéticas que pueden propagarse por el interior de la guía de ondas, comenzamos por suponer, que los campos dependen armónicamente del tiempo. Además usamos la notación exponencial compleja, a fin de simplificar el tratamiento. Tomando al eje z como la dirección longitudinal de la guía, suponemos para los campos la forma

$\mathbf {E} {(\mathbf {r} ,t)=\mathbf {E_{0}} ({x,y})}{e}^{i({\mathit {k\cdot z-\omega t}})}$

$\mathbf {B} {(\mathbf {r} ,t)=\mathbf {B_{0}} ({x,y})}{e}^{i({\mathit {k\cdot z-\omega t}})}$

utilizando estas definiciones de los campos en las ecuaciones de Maxwell. Donde las ecuaciones vectoriales resueltas en componentes conducen a las relaciones

Debemos asumir que esta guía de onda es un conductor perfecto, esto es que tanto el campo eléctrico, como el magnético son nulos dentro del conductor.

$\mathbf {E} =0$ y $\mathbf {B} =0$ y por lo tanto las condiciones a la frontera en el interior del conductor serán :

$\mathbf {E} _{\bot }=0\quad \quad \quad (i)$

$\mathbf {B} _{\|}=0\quad \quad \quad (ii)$

Las condiciones (i) y (ii) , se deben a que , suponiendo un conductor perfecto, es decir, $\mathbf {E} =0$ y por lo tanto por ley de Faraday [1] , la cual establece que la corriente inducida en un circuito es directamente proporcional a la rapidez con que cambia el flujo magnético que lo atraviesa, en este caso al ser $\mathbf {E} =0$ , implicará que ${\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial {\mathit {t}}}}=0$ .

Ahora , por otra parte las cargas y corrientes inducidas en la superficie , deben ser de tal forma para que se les puedan aplicar estas condiciones de frontera.

Entonces estamos interesados en buscar Ondas planas monocromáticas que se propaguen por la guía , por lo que $\mathbf {E}$ y $\mathbf {B}$ , se escriben de la siguiente manera:

$\mathbf {E} {(\mathbf {r} ,t)=\mathbf {E_{0}} ({x,y})}{e}^{i({\mathit {k\cdot z-\omega t}})}\quad \quad \quad (1)$

$\mathbf {B} {(\mathbf {r} ,t)=\mathbf {B_{0}} ({x,y})}{e}^{i({\mathit {k\cdot z-\omega t}})}\quad \quad \quad (2)$

donde consideramos $\mathbf {k} \in \ Re$ , pues es lo que necesitamos.

Tanto el campo eléctrico $\mathbf {E}$ , como el campo magnético $\mathbf {B}$ , deben por supuesto satisfacer las ecuaciones de Maxwell [2] , que se escriben a continuación:

$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\quad \quad \quad (3)$

$\nabla \cdot \mathbf {B} =0\quad \quad \quad (4)$

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial {\mathit {t}}}}\quad \quad \quad (5)$

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\quad \quad \quad (6)$

Objetivo

El objetivo es entonces encontrar funciones $\mathbf {E_{0}} ({x,y})$ y $\mathbf {B_{0}} ({x,y})$ tales que satisfagan las ecuaciones de Maxwell (3-6) , sujetas a las condiciones de fronteras (i) y (ii). Como se verá mas adelante , las ondas confinadas en general no son siempre transversales , por lo que con la finalidad de satisfacer las condiciones de frontera , incluimos la componente longitudinal. $E_{z}(\mathbf {x,y} )$ y $B_{z}(\mathbf {x,y} )$ .

Por lo que escribimos $\mathbf {E_{0}} ({x,y})$ y $\mathbf {B_{0}} ({x,y})$ de la siguiente manera:

$\mathbf {E_{0}} =E_{x}(\mathbf {x,y} ){\hat {x}}+E_{y}(\mathbf {x,y} ){\hat {y}}+E_{z}(\mathbf {x,y} ){\hat {z}}\quad \quad \quad (7)$

$\mathbf {B_{0}} =B_{x}(\mathbf {x,y} ){\hat {x}}+B_{y}(\mathbf {x,y} ){\hat {y}}+B_{z}(\mathbf {x,y} ){\hat {z}}\quad \quad \quad (8)$

Verificando ecuación de Maxwell

Veamos que (7) y (8), cumplen con la ecuación de Maxwell $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial {\mathit {t}}}}$ .

Entonces recordemos que $\mathbf {E} =({\mathit {E_{x}}}{\hat {x}}+{\mathit {E_{y}}}{\hat {y}}+{\mathit {E_{z}}}{\hat {z}})\ {e}^{i({\mathit {k\cdot z-\omega t}})}$ , por lo que hacemos el rotacional para las 3 componentes , es decir ;

$(\nabla \times \mathbf {E} )_{\hat {x}}$ , $(\nabla \times \mathbf {E} )_{\hat {y}}$ y $(\nabla \times \mathbf {E} )_{\hat {z}}$.

Comencemos entonces con la componente ${\hat {x}}$

$(\nabla \times \mathbf {E} )_{\hat {x}}=({\frac {\partial {\mathit {E_{z}}}}{\partial {\mathit {y}}}}-{\frac {\partial {\mathit {E_{y}}}}{\partial {\mathit {z}}}}){\hat {x}}=({\frac {\partial {\mathit {E_{0}z}}}{\partial {\mathit {y}}}}-ik{\mathit {E_{0}y}}){\mathit {e}}^{i({\mathit {k\cdot z-\omega t}})}$

de aqui vemos que

$({\frac {\partial {\mathit {E_{z}}}}{\partial {\mathit {y}}}}-ik{\mathit {E_{y}}}){\hat {x}}=i\omega \mathbf {B_{x}}$

.

Ahora lo hacemos para la componente ${\hat {y}}$ , y tenemos

$(\nabla \times \mathbf {E} )_{\hat {y}}=({\frac {\partial {\mathit {E_{x}}}}{\partial {\mathit {z}}}}-{\frac {\partial {\mathit {E_{z}}}}{\partial {\mathit {x}}}}){\hat {y}}=(ik{\mathit {E_{0}x}}-{\frac {\partial {\mathit {E_{0}z}}}{\partial {\mathit {x}}}}){\mathit {e}}^{i({\mathit {k\cdot z-\omega t}})}$

de donde obtenemos:

$(ik{\mathit {E_{x}}}-{\frac {\partial {\mathit {E_{z}}}}{\partial {\mathit {x}}}}){\hat {y}}=i\omega \mathbf {B_{y}}$

.

Y por último para la componente en ${\hat {z}}$, tenemos

$({\frac {\partial {\mathit {E_{y}}}}{\partial {\mathit {x}}}}-{\frac {\partial {\mathit {E_{x}}}}{\partial {\mathit {y}}}}){\hat {z}}=i\omega \mathbf {B_{z}}$

.

De manera que

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial {\mathit {t}}}}=i\omega \mathbf {B_{0}} {\mathit {e}}^{i({\mathit {k\cdot z-\omega t}})}$

Ahora este mismo procedimiento lo aplicamos a :

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial {\mathit {t}}}}$ para el caso cuando la $\mathbf {j} =0$ , recordemos que estamos analizando para el caso dentro del material.

Entonces para cumplir con ecuación de Maxwell necesitamos que :

$({\frac {\partial {\mathit {B_{z}}}}{\partial {\mathit {y}}}}-ik{\mathit {B_{y}}}){\hat {x}}=-i\omega \mu _{0}\epsilon _{0}\mathbf {E_{x}}$

.

Lo cual se obtiene de manera similar al procedimiento anterior para $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial {\mathit {t}}}}$ , es decir ;

$(\nabla \times \mathbf {B} ){\hat {x}}=({\frac {\partial {\mathit {B_{z}}}}{\partial {\mathit {y}}}}-{\frac {\partial {\mathit {B_{y}}}}{\partial {\mathit {z}}}}){\hat {x}}=({\frac {\partial {\mathit {B_{0}z}}}{\partial {\mathit {y}}}}-ik{\mathit {B_{0}y}}){\mathit {e}}^{i({\mathit {k\cdot z-\omega t}})}$

Continuando con este mismo proceso , llegamos a la siguiente tabla :

Soluciones de $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial {\mathit {t}}}}$	Soluciones de $\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial {\mathit {t}}}}$
1 $({\partial _{y}{\mathit {E_{z}}}}-ik{\mathit {E_{y}}}){\hat {x}}=i\omega \mathbf {B_{x}}$	1´ $({\partial _{y}{\mathit {B_{z}}}}-ik{\mathit {B_{y}}}){\hat {x}}=-i\omega \mu _{0}\epsilon _{0}\mathbf {E_{x}}$
2 $(ik{\mathit {E_{x}}}-{\partial _{x}{\mathit {E_{z}}}}){\hat {y}}=i\omega \mathbf {B_{y}}$	2´ $(ik{\mathit {B_{x}}}-{\partial _{x}{\mathit {B_{z}}}}){\hat {y}}=-i\omega \mu _{0}\epsilon _{0}\mathbf {E_{y}}$
3 $({\partial _{x}{\mathit {E_{y}}}}-{\partial _{y}{\mathit {E_{x}}}}){\hat {z}}=i\omega \mathbf {B_{z}}$	3´ $({\partial _{x}{\mathit {B_{y}}}}-{\partial _{y}{\mathit {B_{x}}}}){\hat {z}}=-i\omega \mu _{0}\epsilon _{0}\mathbf {E_{z}}$

Resolviendo ecuaciones

Ya con estas ecuaciones, queremos encontrar $\mathbf {E_{x}} ,\mathbf {E_{y}} ,\mathbf {B_{x}} ,\mathbf {B_{y}}$, en términos de $\mathbf {E_{z}} ,\mathbf {B_{z}}$.

Entonces resolviendo el conjunto de ecuaciones de la tabla . tenemos:

$\mathbf {E_{x}} ={\frac {i}{\mathrm {(} {\omega \mu _{0}\epsilon _{0}})^{2}-k^{2}}}(k{\partial _{x}\mathbf {E_{z}} }+w{\partial _{y}\mathbf {B_{z}} })$

$\mathbf {E_{y}} ={\frac {i}{\mathrm {(} {\omega \mu _{0}\epsilon _{0}})^{2}-k^{2}}}(k{\partial _{y}\mathbf {E_{z}} }-w{\partial _{x}\mathbf {B_{z}} })$

$\mathbf {B_{x}} ={\frac {i}{\mathrm {(} {\omega \mu _{0}\epsilon _{0}})^{2}-k^{2}}}(k{\partial _{x}\mathbf {B_{z}} }-\omega {\mathrm {\mu _{0}\epsilon _{0}} ^{2}}{\partial _{y}\mathbf {E_{z}} })$

$\mathbf {B_{y}} ={\frac {i}{\mathrm {(} {\omega \mu _{0}\epsilon _{0}})^{2}-k^{2}}}(k{\partial _{y}\mathbf {B_{z}} }+\omega {\mathrm {\mu _{0}\epsilon _{0}} ^{2}}{\partial _{x}\mathbf {E_{z}} })$

.

Ahora considerando

$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\partial _{x}\mathbf {E_{x}} }+{\partial _{y}\mathbf {E_{y}} }+{\partial _{z}\mathbf {E_{z}} }=({\partial _{x}\mathbf {E_{x}} }+{\partial _{y}\mathbf {E_{y}} }+ik\mathbf {E_{0}z} )\mathbf {e} ^{i({\mathit {k\cdot z-\omega t}})}=0$

lo cual implica,

$({\partial _{x}\mathbf {E_{x}} }+{\partial _{y}\mathbf {E_{y}} }+ik\mathbf {E_{0}z} )=0\quad \quad \quad (9)$

Y utilizando las expresiones para $\mathbf {E_{x}} ,\mathbf {E_{y}}$ , podemos sustituir en $(9)$ obteniendo:

${\frac {i}{\mathrm {(} {\omega \mu _{0}\epsilon _{0}})^{2}-k^{2}}}(k{\partial _{x}^{2}\mathbf {E_{z}} }+w{\partial _{x}^{2}y\mathbf {B_{z}} })+{\frac {i}{\mathrm {(} {\omega \mu _{0}\epsilon _{0}})^{2}-k^{2}}}(k{\partial _{y}^{2}\mathbf {E_{z}} }-w{\partial _{x}^{2}y\mathbf {B_{z}} }+ik\mathbf {E_{z}} )=0$

o bien ,

${\partial _{y}^{2}\mathbf {E_{z}} }+{\partial _{x}^{2}\mathbf {E_{z}} }+[{\mathrm {(} {\omega \mu _{0}\epsilon _{0}})^{2}-k^{2}}]\mathbf {E_{z}} =0$

que factorizando , tenemos  ;

${[{\partial _{y}^{2}}+{\partial _{x}^{2}}+{\mathrm {(} {\omega \mu _{0}\epsilon _{0}})^{2}-k^{2}}]}\mathbf {E_{z}} =0\quad \quad \quad (10)$

.

y ahora al hacerlo para

$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$

, obtenemos algo similar:

${[{\partial _{x}^{2}}+{\partial _{y}^{2}}+{\mathrm {(} {\omega \mu _{0}\epsilon _{0}})^{2}-k^{2}}]}\mathbf {B_{z}} =0\quad \quad \quad (11)$

.

De (10) y (11) , podemos decir lo siguiente:

Si $\mathbf {E_{z}} =0$ , llamamos TE (onda transversal eléctrica)

Si $\mathbf {B_{z}} =0$ , llamamos TM (onda transversal magnética)

Si $\mathbf {E_{z}} =\mathbf {B_{z}} =0$ , llamamos TEM (onda transversal electromagnética) , sin embargo se puede ver que el tipo de onda TEM , no puede existir en una guía de onda.

Archivo:TEM.gif

Durante la propagación de la onda, el campo electrico (rayas rojas) oscila en un eje perpendicular a la dirección de propagación. El campo magnético (rayas azules) también oscila pero en dirección perpendicular al campo eléctrico.

Ejemplo clásico

Guía de onda rectangular

Tenemos una guía de dimensiones $a\times \ b$

Supongamos que nuestra onda que incide en la guía es del tipo TE, es decir, $\mathbf {E_{z}} =0$ , entonces resolvemos la ecuación (11)

${[{\partial _{x}^{2}}+{\partial _{y}^{2}}+{{\mathit {(}}{\omega \mu _{0}\epsilon _{0}})^{2}-k^{2}}]}\mathbf {B_{z}} =0$

.

cuya condicion de frontera es

$\mathbf {E_{paralelo}} =0\quad \quad \quad (i)$

Ahora proponemos una solución para (11)

$\mathbf {B_{z}} (x,y)=X(x)Y(y)$

.

Sustituyendo en (11), tenemos que

${\mathit {Y}}{dx^{2}{\mathit {X}}}+{\mathit {X}}{dy^{2}{\mathit {Y}}}+[{{\mathit {(}}{\omega \mu _{0}\epsilon _{0}})^{2}-k^{2}}]{\mathit {X}}{\mathit {Y}}=0\quad \quad (12)$

Esta ecuación se cumple sí y solo sí

${\frac {1}{X}}{dx^{2}{\mathit {X}}}={\mathit {-k_{x}^{2}}}$

y

${\frac {1}{Y}}{dy^{2}{\mathit {Y}}}={\mathit {-k_{y}^{2}}}$

con

${\mathit {-k_{x}^{2}}}{\mathit {-k_{y}^{2}}}+[{{\mathit {(}}{\omega \mu _{0}\epsilon _{0}})^{2}-k^{2}}]{\mathit {X}}{\mathit {Y}}=0\quad \quad \quad (13)$

entonces la solucion para $\mathbf {X}$ sera :

${\mathbf {X(x)} }=A\sin(k_{x}{\mathit {x}})+B\cos(k_{x}{\mathit {x}})$

usando condiciones a la frontera , tenemos que ${\mathit {A}}=0$ y ${\mathit {k_{x}}}={\frac {{\mathit {n}}\pi }{a}}$ , $\forall (n)\in \mathbb {N}$

Hacemos el mismo procedimiento para $\mathbf {Y}$

y vemos que

${\mathit {k_{y}}}={\frac {{\mathit {n}}\pi }{b}}$ $\forall (n)\in \mathbb {N}$

por lo tanto juntando ambas soluciones , llego a ;

$\mathbf {B_{z}} =B_{0}\cos({\frac {{\mathit {m}}\pi }{a}})x\cos({\frac {{\mathit {n}}\pi }{b}})x$

.

De esta ecuacuación notamos los modos normales [3], a esta solución se lo conoce como modo $\ TE_{mn}$, donde al menos un indice debe ser distinto de 0.

Ahora de $(13)$ , se tiene que

${\mathit {K}}={\sqrt {({\omega }{\mu _{0}\epsilon _{0}})^{2}-\pi ^{2}[({\frac {m}{a}})^{2}+({\frac {n}{b}})^{2}]}}$

Notemos que si

$\omega <\pi /{\mathit {\mu _{0}\epsilon _{0}}}{\sqrt {({\frac {m}{a}})^{2}+({\frac {n}{b}})^{2}}}\equiv {\mathit {\omega _{mn}}}$

implica que

${\mathit {K}}\in \mathbb {C}$ , lo cual nos indica una Onda atenuada , este tema no se verá a fondo solo se menciona el comportamiento de una onda atenuada.

Entonces si escribimos a ${\mathit {K}}$ de la siguiente manera

${\mathit {K}}={\mathit {K_{1}}}+i{\mathit {K_{2}}}$

tendremos que ;

${\mathit {e}}^{i(kx-\omega t)}={\mathit {e}}^{i({\mathit {K_{1}}}+i{\mathit {K_{2}}}-i\omega t)}$ $={\mathit {e}}^{i({\mathit {K_{1}z}}-\omega t)}{\mathit {e}}^{\mathit {-K_{z}}}$

Archivo:Atenuada.jpg

A ${\mathit {\omega _{mn}}}$ , se le define como frecuencia de corte para el modo ${\mathit {mn}}$ , la frecuencia de corte mas baja es para el modo ${\mathit {TE_{10}}}$ . ${\mathit {\omega _{mn}}}=({\frac {\pi {\mathit {\mu _{0}\epsilon _{0}}}}{a}})$ , a frecuencias mas bajas que esta , no hay propagación.

Fibra Óptica

Consideraremos una fibra óptica que consiste en un núcleo y revestimiento, y que la diferencia entre sus indices de refraccion es mínima. Así el campo óptico está en gran parte confinado al nucleo de la fibra.

La fibra es circular, y tiene un nucleo de radio a con un índice de refracción uniforme ${\mathit {\eta _{1}}}$ , lijeramente mayor que el índice de refracción del revestimiento ${\mathit {\eta _{2}}}$, asi las permitividades relativas del núcleo y el revestimiento son respectivamente ${\mathit {\epsilon _{r1}}}={\mathit {\eta _{r1}^{2}}}$ y ${\mathit {\epsilon _{r2}}}={\mathit {\eta _{r2}^{2}}}$.

Supongamos ahora que existe un campo electromagnético A que oscila a una sola frecuencia ${\mathit {\omega }}$, dicho vector se puede escribir.

$\mathbf {A} {(\mathbf {r} ,t)=Re[\mathbf {\bar {A}} ({\mathbf {r} })}{e}^{-i{\mathit {\omega t}}}]$

De esta misma manera.

$\mathbf {E} {(\mathbf {r} ,t)=Re[\mathbf {\bar {E}} ({\mathbf {r} })}{e}^{-i{\mathit {\omega t}}}]$

$\mathbf {H} {(\mathbf {r} ,t)=Re[\mathbf {\bar {H}} ({\mathbf {r} })}{e}^{-i{\mathit {\omega t}}}]$

$\mathbf {D} {(\mathbf {r} ,t)=Re[\mathbf {\bar {D}} ({\mathbf {r} })}{e}^{-i{\mathit {\omega t}}}]$

$\mathbf {B} {(\mathbf {r} ,t)=Re[\mathbf {\bar {B}} ({\mathbf {r} })}{e}^{-i{\mathit {\omega t}}}]$

En donde los vectores con barra son fasores de los vectores sin barra. es decir que cada vector con barra tiene la información de la propagación (el vectro de onda k). Al aplicar las ecuaciones de Maxwell sin fuentes y con ${\mathit {\mu _{r}}}=1$ .

$\nabla \cdot \epsilon \mathbf {E} =0\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (1)$

$\nabla \cdot \mathbf {H} =0\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (2)$

$\nabla \times \mathbf {E} =-\mathbf {i} \omega \mathbf {B} =-\mathbf {i} \omega \mu \mathbf {H} \quad \quad \quad (3)$

$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {i} \omega \epsilon \mathbf {E} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (4)$

recordando que

$\mathbf {\epsilon =\epsilon _{0}\epsilon _{r}}$

$\mathbf {\mu =\mu _{0}\mu _{r}}$

Sabemos de la fórmula vectorial para dos rotacionales seguidos.

$\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla ^{2}\mathbf {A}$

En donde $\nabla ^{2}$ es el Laplaciano

Al aplicar esta formula a la ecuación 3 y sustituyendo la ecuación 4

$\nabla (\nabla \cdot \mathbf {E} )-\nabla ^{2}\mathbf {E} =-\mathbf {i} \omega \mu \nabla \times \mathbf {H} =(-\mathbf {i} \omega \mu )(\mathbf {i} \omega \epsilon )\mathbf {E}$

$\nabla (\nabla \cdot \mathbf {E} )-\nabla ^{2}\mathbf {E} =\omega ^{2}\mu \epsilon \mathbf {E} \quad \quad \quad \quad (5)$

Dado que la ecuación 1 está igualada a cero y$\mathbf {\epsilon } _{0}$ es una constante se puede escribir de la siguiente forma.

$\nabla \cdot \epsilon _{r}\mathbf {E} =0$

y después

$\nabla \cdot \epsilon _{r}\mathbf {E} =\epsilon _{r}\nabla \cdot \mathbf {E} +\nabla \epsilon _{r}\cdot \mathbf {E} =0$

Al despejar se obtiene

$\nabla \cdot \mathbf {E} =-{\frac {\nabla \epsilon _{r}\cdot \mathbf {E} }{\epsilon _{r}}}$

Al sustituir este resultado en la ecuación 5

$\nabla (-{\frac {\nabla \epsilon _{r}\cdot \mathbf {E} }{\epsilon _{r}}})-\nabla ^{2}\mathbf {E} =\omega ^{2}\mu \epsilon \mathbf {E}$

Sabemos tambien que $k_{0}$, el níumero de onda en el vacío es:

$k_{0}=\omega {\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}={\frac {\omega }{c_{0}}}$

y dado que$\mu _{r}=1$

$\nabla ({\frac {\nabla \epsilon _{r}\cdot \mathbf {E} }{\epsilon _{r}}})+\nabla ^{2}\mathbf {E} +k_{0}^{2}\epsilon _{r}\mathbf {E} =0$

usando que el número de onda $k$ en un medio se relaciona con número de onda en el vacío.

$k=k_{0}\eta =k_{0}{\sqrt {\epsilon _{r}}}=\omega {\sqrt {\epsilon _{r}\epsilon _{0}\mu _{0}}}=\omega {\sqrt {\epsilon \mu _{0}}}$

y tenemos

$\nabla ({\frac {\nabla \epsilon _{r}\cdot \mathbf {E} }{\epsilon _{r}}})+\nabla ^{2}\mathbf {E} +k^{2}\mathbf {E} =0$

En el caso que la permeabilidad relativa sea constante eso se reducirá a la ecuación de Helmholtz.

$\nabla ^{2}\mathbf {E} +k^{2}\mathbf {E} =0$

Usando pasos similares llegamos a que

${\frac {\nabla \epsilon _{r}}{\epsilon _{r}}}\times (\nabla \times \mathbf {H} )+\nabla ^{2}\mathbf {H} +k^{2}\mathbf {H} =0$

y de igual manera

$\nabla ^{2}\mathbf {H} +k^{2}\mathbf {H} =0$

Pongamos atención ahora en una guia óptica cuya estructura es uniforme en la dirección $z$.La derivada de un campo electromagnético con respecto la coordenada $z$ es constante asi que:

${\frac {\partial }{\partial z}}=-\mathbf {i} \beta$

En donde $\beta$ es la constante de propagación y es la componente en la dirección de $z$ de el vector de onda $k$.La razón entre la constante de propagación en un medio $\beta$ y el número de onda $k_{0}$ se le conoce como el índice de refracción efectiva

$\eta _{eff}={\frac {\beta }{k_{0}}}$

y donde $\lambda _{0}$ es la longitud de onda en el vacío,

$\beta ={\frac {2\pi }{\lambda _{0}}}\eta _{eff}={\frac {2\pi }{\lambda _{0}/\eta _{eff}}}={\frac {2\pi }{\lambda _{eff}}}$

aqui $\lambda _{eff}$ es la componente de la longitud de onda en la dirección $z$ en el medio. El significado físico de la constante de propagación $\beta$ es la fase de rotación por unidad de distancia de propagación. Asi el índice de refracción efectiva $\eta _{eff}$ se puede interpretar como la razón entre la longitud de onda en un medio y la longitud de onda en el vacío o como la razón entre la rotación de fase en el medio y la rotación de fase en el vacío.

Entonces podemos escribir la ecuación de Helmholtz de la siguiente manera.

$\nabla _{\perp }^{2}\mathbf {E} _{\perp }+(k^{2}-\beta ^{2})\mathbf {E} _{\perp }=0$

o de otra manera

$\nabla _{\perp }^{2}\mathbf {E} _{\perp }+k_{0}^{2}(\epsilon _{r}-\eta _{eff}^{2})\mathbf {E} _{\perp }=0\quad \quad \quad (6)$

y para el campo magnético

$\nabla _{\perp }^{2}\mathbf {H} _{\perp }+(k^{2}-\beta ^{2})\mathbf {H} _{\perp }=0$

tambien

$\nabla _{\perp }^{2}\mathbf {H} _{\perp }+k_{0}^{2}(\epsilon _{r}-\eta _{eff}^{2})\mathbf {H} _{\perp }=0\quad \quad \quad (7)$

en donde:

$\nabla _{\perp }^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}$

Para obtener una solución exacta se debe usar un análisis de modos híbridos, no obstante se puede hacer un analisis más simple si hablamos que la diferencia entre los índices de refracción en el núcleo y el revestimiento es muy pequeña (aprox. 1%), esta solución da lugar a modods linealmente polarizados.(LP Modes)

Podemos escribir al laplaciano en cordenadas cilindricas como:

$\nabla ^{2}=\nabla _{\perp }^{2}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r{\frac {\partial }{\partial r}})+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}$

Para poder resolver la ecuación de Helmholtz asumiremos que la funcion de campo electrico es el producto de dos funciones asi.

$\ E_{i}(r,\theta )=R(r)\Theta (\theta )$

Aqui $i=x,y$

Al sustituir en la ecuación 6 se tiene.

$\nabla ^{2}R(r)\Theta (\theta )+k_{0}^{2}(\epsilon _{r}-\eta _{eff}^{2})R(r)\Theta (\theta )=0$

${\frac {\partial ^{2}R(r)\Theta (\theta )}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial R(r)\Theta (\theta )}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}R(r)\Theta (\theta )}{\partial \theta ^{2}}}+k_{0}^{2}(\epsilon _{r}-\eta _{eff}^{2})R(r)\Theta (\theta )=0$

$\Theta (\theta ){\frac {\partial ^{2}R(r)}{\partial r^{2}}}+{\frac {\Theta (\theta )}{r}}{\frac {\partial R(r)}{\partial r}}+{\frac {R(r)}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Theta (\theta )}{\partial \theta ^{2}}}+k_{0}^{2}(\epsilon _{r}-\eta _{eff}^{2})R(r)\Theta (\theta )=0$

y al dividir entre $R(r)\Theta (\theta )$ se obtiene

${\frac {1}{R(r)}}\left({\frac {\partial ^{2}R(r)}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial R(r)}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {1}{\Theta (\theta )}}{\frac {\partial ^{2}\Theta (\theta )}{\partial \theta ^{2}}}+k_{0}^{2}(\epsilon _{r}-\eta _{eff}^{2})=0$

Y quedamos con la ecuación

${\frac {r^{2}}{R(r)}}\left({\frac {\partial ^{2}R(r)}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial R(r)}{\partial r}}\right)+r^{2}k_{0}^{2}(\epsilon _{r}-\eta _{eff}^{2})=-{\frac {1}{\Theta (\theta )}}{\frac {\partial ^{2}\Theta (\theta )}{\partial \theta ^{2}}}$

Otenemos entonces las dos ecuaciones diferenciales

${\frac {1}{\Theta (\theta )}}{\frac {d^{2}\Theta (\theta )}{d\theta ^{2}}}=-l^{2}\quad \quad \quad \quad \quad \quad (8)$

${\frac {r^{2}}{R(r)}}\left({\frac {d^{2}R(r)}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {dR(r)}{dr}}\right)+r^{2}k_{0}^{2}(\epsilon _{r}-\eta _{eff}^{2})=l^{2}\quad \quad \quad (9)$

que al igualarlas a cero quedan

${\frac {d^{2}\Theta (\theta )}{d\theta ^{2}}}+l^{2}\Theta (\theta )=0$

${\frac {d^{2}R(r)}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {dR(r)}{dr}}+R(r)k_{0}^{2}(\epsilon _{r}-\eta _{eff}^{2}-{\frac {l^{2}}{r^{2}k_{0}^{2}}})=0$

La solución para la ecuacion de $\Theta (\theta )$ es simple, pues corresponde a la solución del oscilador armónico

$\Theta (\theta )=\operatorname {Sen} (l\theta +\phi )$