Radiacion: Guias de onda

Guías de onda

Las guías de onda se analizan resolviendo las ecuaciones de Maxwell [1]

Comencemos escribiendolas:

$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\quad \quad \quad (1)$

$\nabla \cdot \mathbf {B} =0\quad \quad \quad (2)$

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial \mathbf {t} }}\quad \quad \quad (3)$

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\quad \quad \quad (4)$

Ahora suponemos un medio conductor perfecto.

esto es que tanto el campo eléctrico, como el magnético son nulos dentro del conductor.

$\mathbf {E} =0$ y $\mathbf {B} =0$

luego las condiciones de frontera en el interior del conductor serán :

$\mathbf {E} _{paralelo}=0\quad \quad \quad (i)$

$\mathbf {B} _{perpendicular}=0\quad \quad \quad (ii)$

Entonces buscamos expresiones del tipo

$\mathbf {E} {(\mathbf {r} ,t)=E_{0}(\mathbf {x,y} )}e^{i(\mathbf {k\cdot z-\omega t} )}\quad \quad \quad (5)$

$\mathbf {B} {(\mathbf {r} ,t)=B_{0}(\mathbf {x,y} )}e^{i(\mathbf {k\cdot z-\omega t} )}\quad \quad \quad (6)$

conocidas como Ondas planas monocromáticas, donde consideramos

$\mathbf {k} \in \ Re$.

El objetivo es verificar que tanto (5) como (6) deben satisfacer las ecuaciones de maxwell, asi pues debemos encontrar $E_{0}(\mathbf {r} )$ y $B_{0}(\mathbf {r} )$ tal que satisfagan las ecuaciones (1-4),sujetas a las condiciones de fronteras (i) y (ii).

Por lo que escribimos $E_{0}(\mathbf {r} )$ y $B_{0}(\mathbf {r} )$ de la siguiente manera:

$\mathbf {E_{0}} =E_{x}(\mathbf {x,y} ){\hat {x}}+E_{y}(\mathbf {x,y} ){\hat {y}}+E_{z}(\mathbf {x,y} ){\hat {z}}\quad \quad \quad (7)$

$\mathbf {B_{0}} =B_{x}(\mathbf {x,y} ){\hat {x}}+B_{y}(\mathbf {x,y} ){\hat {y}}+B_{z}(\mathbf {x,y} ){\hat {z}}\quad \quad \quad (8)$

Para cumplir con la ecuación de maxwell $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial \mathbf {t} }}$ , es necesario que

$({\frac {\partial \mathbf {E_{z}} }{\partial \mathbf {y} }}-ik\mathbf {E_{y}} )=i\omega \mathbf {B_{z}}$

.

Este resultado se obtiene desarrollando el rotacional en la componete $\mathbf {x}$, como se muestra a continuación:

$\nabla \times \mathbf {E_{x}} ={\frac {\partial \mathbf {E_{z}} }{\partial \mathbf {y} }}-{\frac {\partial \mathbf {E_{y}} }{\partial \mathbf {z} }}=({\frac {\partial \mathbf {E_{0}z} }{\partial \mathbf {y} }}-ik\mathbf {E_{0}y} )e^{i(\mathbf {k\cdot z-\omega t} )}$

De la misma manera se obtiene que para la componente $\mathbf {y}$

$(ik\mathbf {E_{x}} -{\frac {\partial \mathbf {E_{z}} }{\partial \mathbf {x} }})=i\omega \mathbf {B_{y}}$

.

la forma de obtenerlo es la siguiente .

$\nabla \times \mathbf {E_{y}} ={\frac {\partial \mathbf {E_{x}} }{\partial \mathbf {z} }}-{\frac {\partial \mathbf {E_{z}} }{\partial \mathbf {x} }}=(ik\mathbf {E_{0}x} -{\frac {\partial \mathbf {E_{0}z} }{\partial \mathbf {x} }})e^{i(\mathbf {k\cdot z-\omega t} )}$

De manera que

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial \mathbf {t} }}=i\omega \mathbf {B_{0}} e^{i(\mathbf {k\cdot z-\omega t} )}$

este mismo procedimiento lo aplicamos a :

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$ para el caso cuando la $\mathbf {j} =0$ , recordemos que estamos analizando para el caso dentro del material.

Entonces para cumplir con ecuación de Maxwell necesitamos que :

$({\frac {\partial \mathbf {B_{z}} }{\partial \mathbf {y} }}-ik\mathbf {B_{y}} )=-i\omega \mu _{0}\epsilon _{0}\mathbf {E_{z}}$

.

Lo cual se obtiene de manera similar al procedimiento anterior para $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial \mathbf {t} }}$ , es decir ;

$\nabla \times \mathbf {B_{x}} ={\frac {\partial \mathbf {B_{z}} }{\partial \mathbf {y} }}-{\frac {\partial \mathbf {B_{y}} }{\partial \mathbf {z} }}=({\frac {\partial \mathbf {B_{0}z} }{\partial \mathbf {y} }}-ik\mathbf {B_{0}y} )e^{i(\mathbf {k\cdot z-\omega t} )}$

Continuando con este mismo proceso , llegamos a la siguiente tabla :

Soluciones de $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial \mathbf {t} }}$	Soluciones de $\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$
1 ${\partial _{x}\mathbf {E_{y}} }-{\partial _{y}\mathbf {E_{x}} }=i\omega \mathbf {B_{z}}$	1´ ${\partial _{x}\mathbf {B_{y}} }-{\partial _{y}\mathbf {B_{x}} }=-i\omega \mu _{0}\epsilon _{0}\mathbf {E_{z}}$
2 ${\partial _{y}\mathbf {E_{z}} }-ik\mathbf {E_{y}} =i\omega \mathbf {B_{x}}$	2´ ${\partial _{y}\mathbf {B_{z}} }-ik\mathbf {B_{y}} =-i\omega \mu _{0}\epsilon _{0}\mathbf {E_{x}}$
3 $ik\mathbf {E_{x}} -{\partial _{x}\mathbf {E_{z}} }=i\omega \mathbf {B_{y}}$	3´ $ik\mathbf {B_{x}} -{\partial _{x}\mathbf {B_{z}} }=-i\omega \mu _{0}\epsilon _{0}\mathbf {E_{y}}$

Ya con estas ecuaciones, queremos encontrar $\mathbf {E_{x}} ,\mathbf {E_{y}} ,\mathbf {B_{x}} ,\mathbf {B_{y}}$, en términos de $\mathbf {E_{z}} ,\mathbf {B_{z}}$.

Entonces resolviendo el conjunto de ecuaciones de la tabla . tenemos:

$\mathbf {E_{x}} ={\frac {i}{\mathrm {(} {\omega \mu _{0}\epsilon _{0}})^{2}-k^{2}}}(k{\partial _{x}\mathbf {E_{z}} }+w{\partial _{y}\mathbf {B_{z}} })$

$\mathbf {E_{y}} ={\frac {i}{\mathrm {(} {\omega \mu _{0}\epsilon _{0}})^{2}-k^{2}}}(k{\partial _{y}\mathbf {E_{z}} }-w{\partial _{x}\mathbf {B_{z}} })$

$\mathbf {B_{x}} ={\frac {i}{\mathrm {(} {\omega \mu _{0}\epsilon _{0}})^{2}-k^{2}}}(k{\partial _{x}\mathbf {B_{z}} }-\omega {\mathrm {\mu _{0}\epsilon _{0}} ^{2}}{\partial _{y}\mathbf {E_{z}} })$

$\mathbf {B_{y}} ={\frac {i}{\mathrm {(} {\omega \mu _{0}\epsilon _{0}})^{2}-k^{2}}}(k{\partial _{y}\mathbf {B_{z}} }+\omega {\mathrm {\mu _{0}\epsilon _{0}} ^{2}}{\partial _{x}\mathbf {E_{z}} })$

.

Ahora considerando

$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\partial _{x}\mathbf {E_{x}} }+{\partial _{y}\mathbf {E_{y}} }+{\partial _{z}\mathbf {E_{z}} }=({\partial _{x}\mathbf {E_{x}} }+{\partial _{y}\mathbf {E_{y}} }+ik\mathbf {E_{0}z} )e^{i(\mathbf {k\cdot z-\omega t} )}=0$

lo cual implica,

$({\partial _{x}\mathbf {E_{x}} }+{\partial _{y}\mathbf {E_{y}} }+ik\mathbf {E_{0}z} )=0\quad \quad \quad (9)$

Y utilizando las expresiones para $\mathbf {E_{x}} ,\mathbf {E_{y}}$ , podemos sustituir en $(9)$ obteniendo:

${\frac {i}{\mathrm {(} {\omega \mu _{0}\epsilon _{0}})^{2}-k^{2}}}(k{\partial _{x}^{2}\mathbf {E_{z}} }+w{\partial _{x}^{2}y\mathbf {B_{z}} })+{\frac {i}{\mathrm {(} {\omega \mu _{0}\epsilon _{0}})^{2}-k^{2}}}(k{\partial _{y}^{2}\mathbf {E_{z}} }-w{\partial _{x}^{2}y\mathbf {B_{z}} }+ik\mathbf {E_{z}} )=0$

o bien ,

${\partial _{y}^{2}\mathbf {E_{z}} }+{\partial _{x}^{2}\mathbf {E_{z}} }+[{\mathrm {(} {\omega \mu _{0}\epsilon _{0}})^{2}-k^{2}}]\mathbf {E_{z}} =0$

que factorizando , tenemos  ;

${[{\partial _{y}^{2}}+{\partial _{x}^{2}}+{\mathrm {(} {\omega \mu _{0}\epsilon _{0}})^{2}-k^{2}}]}\mathbf {E_{z}} =0\quad \quad \quad (10)$

.

y ahora al hacerlo para

$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$ , obtenemos algo similar:

${[{\partial _{x}^{2}}+{\partial _{y}^{2}}+{\mathrm {(} {\omega \mu _{0}\epsilon _{0}})^{2}-k^{2}}]}\mathbf {B_{z}} =0\quad \quad \quad (11)$

.

De (10) y (11) , podemos decir lo siguiente:

Si $\mathbf {E_{z}} =0$ , llamamos TE (onda transversal eléctrica)

Si $\mathbf {B_{z}} =0$ , llamamos TM (onda transversal magnética)

Si $\mathbf {E_{z}} =\mathbf {B_{z}} =0$ , llamamos TEM (onda transversal electromagnética) , sin embargo se puede ver que el tipo de onda TEM , no puede existir en una guía de onda.

Archivo:TEM.gif

Durante la propagación de la onda, el campo electrico (rayas rojas) oscila en un eje perpendicular a la dirección de propagación. El campo magnético (rayas azules) también oscila pero en dirección perpendicular al campo eléctrico.

Ejemplo clásico

Guía de onda rectangular

Tenemos una guía de dimensiones $a\times \ b$

Supongamos que nuestra onda que incide en la guía es del tipo TE, es decir, $\mathbf {E_{z}} =0$ , entonces resolvemos la ecuación (11)

${[{\partial _{x}^{2}}+{\partial _{y}^{2}}+{\mathrm {(} {\omega \mu _{0}\epsilon _{0}})^{2}-k^{2}}]}\mathbf {B_{z}} =0$

.

cuya condicion de frontera es

$\mathbf {E_{paralelo}} =0\quad \quad \quad (i)$

Ahora proponemos una solución para (11)

$\mathbf {B_{z}} (x,y)=X(x)Y(y)$

.

Sustituyendo en (11), tenemos que

$\mathrm {Y} {dx^{2}\mathrm {X} }+\mathrm {X} {dy^{2}\mathrm {Y} }+[{\mathrm {(} {\omega \mu _{0}\epsilon _{0}})^{2}-k^{2}}]\mathrm {X} \mathrm {Y} =0\quad \quad (12)$

Esta ecuación se cumple sí y solo sí

${\frac {1}{X}}{dx^{2}\mathrm {X} }={\mathrm {-k_{x}^{2}} }$

y

${\frac {1}{Y}}{dy^{2}\mathrm {Y} }={\mathrm {-k_{y}^{2}} }$

con

${\mathrm {-k_{x}^{2}} }{\mathrm {-k_{y}^{2}} }+[{\mathrm {(} {\omega \mu _{0}\epsilon _{0}})^{2}-k^{2}}]\mathrm {X} \mathrm {Y} =0\quad \quad \quad (13)$

entonces la solucion para $\mathbf {X}$ sera :

${\mathbf {X(x)} }=A\sin(k_{x}\mathrm {x} )+B\cos(k_{x}\mathrm {x} )$

usando condiciones a la frontera , tenemos que ${\mathrm {A} }=0$ y ${\mathrm {k_{x}} }={\frac {\mathrm {n} \pi }{a}}$ , $\forall (n)\in \mathbb {N}$

Hacemos el mismo procedimiento para $\mathbf {Y}$

y vemos que

${\mathrm {k_{y}} }={\frac {\mathrm {n} \pi }{b}}$ $\forall (n)\in \mathbb {N}$

por lo tanto juntando ambas soluciones , llego a ;

$\mathbf {B_{z}} =B_{0}\cos({\frac {\mathrm {m} \pi }{a}})x\cos({\frac {\mathrm {n} \pi }{b}})x$

.

De esta ecuacuación notamos los modos normales [2], a esta solución se lo conoce como modo $\ TE_{mn}$, donde al menos un indice debe ser distinto de 0.

Ahora de $(13)$ , se tiene que

$\mathrm {K} ={\sqrt {({\omega }{\mu _{0}\epsilon _{0}})^{2}-\pi ^{2}[({\frac {m}{a}})^{2}+({\frac {n}{b}})^{2}]}}$

Notemos que si

$\omega <\pi /\mathrm {\mu _{0}\epsilon _{0}} {\sqrt {({\frac {m}{a}})^{2}+({\frac {n}{b}})^{2}}}\equiv {\mathit {\omega _{mn}}}$

implica que

$\mathrm {K} \in \mathbb {C}$ , lo cual nos indica una Onda atenuada , este tema no se verá a fondo solo se menciona el comportamiento de una onda atenuada.

Entonces si escribimos a $\mathrm {K}$ de la siguiente manera

$\mathrm {K} =\mathrm {K_{1}} +i\mathrm {K_{2}}$

tendremos que ;

$\mathbf {e} ^{i(kx-\omega t)}=\mathbf {e} ^{i(\mathrm {K_{1}} +i\mathrm {K_{2}} -i\omega t)}$ $=\mathbf {e} ^{i(\mathrm {K_{1}z} -\omega t)}\mathbf {e} ^{\mathrm {-K_{z}} }$

Archivo:Atenuada.jpg

A ${\mathit {\omega _{mn}}}$ , se le define como frecuencia de corte para el modo ${\mathit {mn}}$ , la frecuencia de corte mas baja es para el modo ${\mathit {TE_{10}}}$ . ${\mathit {\omega _{mn}}}=({\frac {\mathrm {c} \pi }{a}})$ , a frecuencias mas bajas que esta , no hay propagación.