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| El objetivo es verificar que tanto (5) como (6) deben satisfacer las ecuaciones de maxwell, asi pues debemos encontrar <math> E_{0(r)} </math> y <math> B_{0(r)} </math> tal que satisfagan las ecuaciones (1-4),sujetas a las condiciones de fronteras (i) y (ii). | | El objetivo es verificar que tanto (5) como (6) deben satisfacer las ecuaciones de maxwell, asi pues debemos encontrar <math> E_0(\mathbf{r}) </math> y <math> B_0(\mathbf{r}) </math> tal que satisfagan las ecuaciones (1-4),sujetas a las condiciones de fronteras (i) y (ii). |
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| Ahora re-escribimos <math> E_{0(r)} </math> y <math> B_{0(r)} </math> de la siguiente manera:
| | Por lo que escribimos <math> E_0(\mathbf{r}) </math> y <math> B_0(\mathbf{r}) </math> de la siguiente manera: |
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Línea 148: |
Línea 148: |
| ! Soluciones de <math>\nabla\times \mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial\mathbf{t}} </math> | | ! Soluciones de <math>\nabla\times \mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial\mathbf{t}} </math> |
| ! Soluciones de <math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{j} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} </math> | | ! Soluciones de <math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{j} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} </math> |
| | |----- |
| | |----- |
| |----- | | |----- |
| |1 <math>{\partial_x\mathbf{E_y}}-{\partial_y\mathbf{E_x}}= i\omega\mathbf{B_z}</math> | | |1 <math>{\partial_x\mathbf{E_y}}-{\partial_y\mathbf{E_x}}= i\omega\mathbf{B_z}</math> |
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| Resolviendo el conjunto de ecuaciones de la tabla .
| | Entonces resolviendo el conjunto de ecuaciones de la tabla . |
| tenemos: | | tenemos: |
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| Sustituyendo estos resultados en
| | Ahora considerando |
| <math>\nabla\cdot\mathbf{E}=0=\nabla\cdot\mathbf{B}</math> , tenemos.
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| ⇒
| | lo cual implica, |
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Línea 198: |
| </math></center> | | </math></center> |
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| Usando las expresiones para <math>\mathbf{E_x},\mathbf{E_y}</math> , y sustituyendo en <math> (9) </math> tenemos.
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| | Y utilizando las expresiones para <math>\mathbf{E_x},\mathbf{E_y}</math> , podemos sustituir en <math> (9) </math> obteniendo: |
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| <math>\frac{i}{\mathrm({w/ \mu_0\epsilon_0})^2-k^2}(k{\partial^2_x \mathbf{E_z}}+w{\partial^2_xy\mathbf{B_z}} )+ \frac{i}{\mathrm({w/\mu_0\epsilon_0})^2-k^2}(k{\partial^2_y\mathbf{E_z}}-w{\partial^2_xy\mathbf{B_z}}+ik\mathbf{E_z} ) = 0 </math> | | <math>\frac{i}{\mathrm({w/ \mu_0\epsilon_0})^2-k^2}(k{\partial^2_x \mathbf{E_z}}+w{\partial^2_xy\mathbf{B_z}} )+ \frac{i}{\mathrm({w/\mu_0\epsilon_0})^2-k^2}(k{\partial^2_y\mathbf{E_z}}-w{\partial^2_xy\mathbf{B_z}}+ik\mathbf{E_z} ) = 0 </math> |
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| | o bien , |
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| ó
| | <center><math>{\partial^2_y\mathbf{E_z}}+{\partial^2_x\mathbf{E_z}}+[{\mathrm({w/ \mu_0\epsilon_0})^2-k^2}]\mathbf{E_z}=0</math></center> |
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| | que factorizando , tenemos ; |
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| <center><math>{\partial^2_y\mathbf{E_z}}+{\partial^2_x\mathbf{E_z}}+[{\mathrm({w/ \mu_0\epsilon_0})^2-k^2}]\mathbf{E_z}=0</math></center>
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| ⇒
| | <center><math>{[{\partial^2_y}+{\partial^2_x}+{\mathrm({w/ \mu_0\epsilon_0})^2-k^2}]}\mathbf{E_z}=0\quad\quad\quad (10)</math></center>. |
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| <center><math>{[{\partial^2_y}+{\partial^2_x}+{\mathrm({w/ \mu_0\epsilon_0})^2-k^2}]}\mathbf{E_z}=0\quad\quad\quad (10)</math></center>.
| | y ahora al hacerlo para |
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| y al hacerlo para
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| <math>\nabla\cdot \mathbf{B}=0</math> , obtenemos algo similar: | | <math>\nabla\cdot \mathbf{B}=0</math> , obtenemos algo similar: |
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| <center><math>{{\partial^2_x}+{\partial^2_y}+[{\mathrm({w/ \mu_0\epsilon_0})^2-k^2}]}\mathbf{B_z}=0\quad\quad\quad (11)</math></center>. | | |
| | <center><math>{[{\partial^2_x}+{\partial^2_y}+{\mathrm({w/ \mu_0\epsilon_0})^2-k^2}]}\mathbf{B_z}=0\quad\quad\quad (11)</math></center>. |
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| De (10) y (11) , podemos decir lo siguiente: | | De (10) y (11) , podemos decir lo siguiente: |
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| [[Archivo:TEM.gif|center|thumb|450px|Durante la propagación de la onda, el campo electrico (rayas rojas) oscila en un eje perpendicular a la dirección de propagación. El campo magnético (rayas azules) también oscila pero en dirección perpendicular al campo eléctrico.]] | | [[Archivo:TEM.gif|center|thumb|450px|Durante la propagación de la onda, el campo electrico (rayas rojas) oscila en un eje perpendicular a la dirección de propagación. El campo magnético (rayas azules) también oscila pero en dirección perpendicular al campo eléctrico.]] |
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| == Ejemplo clásico == | | == Ejemplo clásico == |
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| Tenemos una guía de dimensiones <math> a \times \ b </math> | | Tenemos una guía de dimensiones <math> a \times \ b </math> |
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| Supongamos que nuestra onda que incide en la guía es del tipo TE, es decir, <math>\mathbf{E_z}= 0</math> | | Supongamos que nuestra onda que incide en la guía es del tipo TE, es decir, <math>\mathbf{E_z}= 0</math> |
| , entonces resolvemos (11) | | , entonces resolvemos la ecuación (11) |
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| <center><math>{{\partial^2_x}+{\partial^2_y}+[{\mathrm({w/c})^2-k^2}]}\mathbf{B_z}=0\quad\quad\quad (12)</math></center>. | | <center><math>{[{\partial^2_x}+{\partial^2_y}+{\mathrm({\omega / \mu_0\epsilon_0})^2-k^2}]}\mathbf{B_z}=0</math></center>. |
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| cuya condicion de frontera es | | cuya condicion de frontera es |
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| <math>\mathbf{E_{paralelo}} = 0\quad\quad \quad (i)</math> | | <math>\mathbf{E_{paralelo}} = 0\quad\quad \quad (i)</math> |
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| Ahora proponemos una solución para (12) | | |
| | Ahora proponemos una solución para (11) |
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| <center><math>\mathbf{B_z}(x,y)=X(x)Y(y)</math></center>. | | <center><math>\mathbf{B_z}(x,y)=X(x)Y(y)</math></center>. |
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| Sustituyendo en (b), tenemos que | | Sustituyendo en (11), tenemos que |
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| <math> \mathrm{Y} {dx ^2 \mathrm{X}} + \mathrm{X} {dy ^2 \mathrm{Y}} + [{\mathrm({w/c})^2-k^2}]\mathrm{X}\mathrm{Y} = 0 \quad\quad\ast </math> | | <math> \mathrm{Y} {dx ^2 \mathrm{X}} + \mathrm{X} {dy ^2 \mathrm{Y}} + [{\mathrm({\omega / \mu_0\epsilon_0})^2-k^2}]\mathrm{X}\mathrm{Y} = 0 \quad\quad(12) </math> |
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| | | Esta ecuación se cumple sí y solo sí |
| <math>\Longleftrightarrow</math>
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| <math> {\mathrm{-k_x^2}} {\mathrm{-k_y^2}}+ [{\mathrm({w/c})^2-k^2}]\mathrm{X}\mathrm{Y} = 0\quad\quad \quad (\diamondsuit\diamondsuit) </math> | | <math> {\mathrm{-k_x^2}} {\mathrm{-k_y^2}}+ [{\mathrm({w/\mu_0\epsilon_0})^2-k^2}]\mathrm{X}\mathrm{Y} = 0\quad\quad \quad (13) </math> |
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| entonces la solucion para X sera : | | entonces la solucion para <math> \mathbf{X} </math> sera : |
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| <center><math>{\mathbf{X(x)}} = A \sin(k_x\mathrm{x})+ B \cos(k_x\mathrm{x})</math></center> , | | <center><math>{\mathbf{X(x)}} = A \sin(k_x\mathrm{x})+ B \cos(k_x\mathrm{x})</math></center> |
| usando condiciones a la frontera , | | usando condiciones a la frontera , tenemos que |
| | <math> {\mathrm{A}} =0 </math> y |
| | <math> {\mathrm{k_x}} = \frac{\mathrm{n}\pi}{a} </math> , <math>\forall (n) \in \N</math> |
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| <math> \Rightarrow </math> <math> {\mathrm{A}} =0
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| </math> y <math> {\mathrm{k_x}} = \frac{\mathrm{n}\pi}{a} </math> , <math>\forall (n) \in \N</math>
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| | Hacemos el mismo procedimiento para <math> \mathbf{Y} </math> |
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| Hacemos el mismo procedimiento para Y
| | y vemos que |
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| <math>\Rightarrow </math> | | <center><math>{\mathrm{k_y}} = \frac{\mathrm{n}\pi}{b} </math> |
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| <center><math>{\mathrm{k_y}} = \frac{\mathrm{n}\pi}{b} </math> , <math>\forall (n) \in \N</math></center>
| | <math>\forall (n) \in \N</math></center> |
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| | | por lo tanto juntando ambas soluciones , llego a ; |
| <math>\therefore</math>
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Línea 313: |
Línea 318: |
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| De esta ecuacuación notamos los modos normales , a esta solución se lo conoce como modo<math>\ TE_ mn </math>, donde al menos un indice debe ser distinto de 0. | | De esta ecuacuación notamos los modos normales [http://es.wikipedia.org/wiki/Modo_normal], a esta solución se lo conoce como modo <math>\ TE_ mn </math>, donde al menos un indice debe ser distinto de 0. |
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| Ahora de <math>(\diamondsuit\diamondsuit) </math> , se tiene que | | Ahora de <math>(13) </math> , se tiene que |
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| <center><math> \mathrm{K} = \sqrt{(\frac{w}{c})^2- \pi^2[(\frac{m}{a})^2 + (\frac{n}{b})^2]} </math></center> | | <center><math> \mathrm{K} = \sqrt{(\frac{w}{\mu_0\epsilon_0})^2- \pi^2[(\frac{m}{a})^2 + (\frac{n}{b})^2]} </math></center> |
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| Notemos que si | | Notemos que si |
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| <center><math> w < \mathrm{c}\pi\sqrt{(\frac{m}{a})^2 + (\frac{n}{b})^2} \equiv \mathit{W_mn}</math></center> | | <center><math> w < \mathrm{\mu_0\epsilon_0}\pi\sqrt{(\frac{m}{a})^2 + (\frac{n}{b})^2} \equiv \mathit{W_mn}</math></center> |
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| <math> \Rightarrow</math>
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| | implica que |
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| <math> \mathrm{K} \in \C </math> , lo cual implica una onda atenuada, este tema no se verá a fondo solo se menciona el comportamiento de una onda atenuada.
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| Entonces si
| | <math> \mathrm{K} \in \C </math> , lo cual nos indica una [[Ondas: Atenuación suave#Ondas: Atenuación suave|'''''Onda atenuada''''']] , este tema no se verá a fondo solo se menciona el comportamiento de una onda atenuada. |
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| | Entonces si escribimos a <math> \mathrm{K} </math> de la siguiente manera |
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| <math> \mathrm{K} = \mathrm{K_1} + i\mathrm{K_2} </math> | | <math> \mathrm{K} = \mathrm{K_1} + i\mathrm{K_2} </math> |
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| <math> \Rightarrow</math>
| | tendremos que ; |
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| <math> \mathbf{e}^{i(kx - \omega t)}= \mathbf{e}^{i(\mathrm{K_1} + i\mathrm{K_2}- i \omega t)} </math> | | <math> \mathbf{e}^{i(kx - \omega t)}= \mathbf{e}^{i(\mathrm{K_1} + i\mathrm{K_2}- i \omega t)} </math> |
Guías de onda
Las guías de onda se analizan resolviendo las ecuaciones de Maxwell [1]
Comencemos escribiendolas:
Ahora suponemos un medio conductor perfecto.
esto es que tanto el campo eléctrico, como el magnético son nulos dentro del conductor.
y
luego las condiciones de frontera en el interior del conductor serán :
Entonces buscamos expresiones del tipo
conocidas como Ondas planas monocromáticas, donde consideramos
.
El objetivo es verificar que tanto (5) como (6) deben satisfacer las ecuaciones de maxwell, asi pues debemos encontrar y tal que satisfagan las ecuaciones (1-4),sujetas a las condiciones de fronteras (i) y (ii).
Por lo que escribimos y de la siguiente manera:
Para cumplir con la ecuación de maxwell , es necesario que
.
Este resultado se obtiene desarrollando el rotacional en la componete , como se muestra a continuación:
De la misma manera se obtiene que para la componente
.
la forma de obtenerlo es la siguiente .
De manera que
este mismo procedimiento lo aplicamos a :
para el caso cuando la , recordemos que estamos analizando para el caso dentro del material.
Entonces para cumplir con ecuación de Maxwell necesitamos que :
.
Lo cual se obtiene de manera similar al procedimiento anterior para , es decir ;
Continuando con este mismo proceso , llegamos a la siguiente tabla :
Soluciones de
|
Soluciones de
|
1
|
1´
|
2
|
2´
|
3
|
3´
|
Ya con estas ecuaciones, queremos encontrar , en términos de .
Entonces resolviendo el conjunto de ecuaciones de la tabla .
tenemos:
.
Ahora considerando
lo cual implica,
Y utilizando las expresiones para , podemos sustituir en obteniendo:
o bien ,
que factorizando , tenemos ;
.
y ahora al hacerlo para
, obtenemos algo similar:
.
De (10) y (11) , podemos decir lo siguiente:
Si , llamamos TE (onda transversal eléctrica)
Si , llamamos TM (onda transversal magnética)
Si , llamamos TEM (onda transversal electromagnética) ,
sin embargo se puede ver que el tipo de onda TEM , no puede existir en una guía de onda.
Archivo:TEM.gif Durante la propagación de la onda, el campo electrico (rayas rojas) oscila en un eje perpendicular a la dirección de propagación. El campo magnético (rayas azules) también oscila pero en dirección perpendicular al campo eléctrico.
Ejemplo clásico
Guía de onda rectangular
Tenemos una guía de dimensiones
Supongamos que nuestra onda que incide en la guía es del tipo TE, es decir,
, entonces resolvemos la ecuación (11)
.
cuya condicion de frontera es
Ahora proponemos una solución para (11)
.
Sustituyendo en (11), tenemos que
Esta ecuación se cumple sí y solo sí
y
con
entonces la solucion para sera :
usando condiciones a la frontera , tenemos que
y
,
Hacemos el mismo procedimiento para
y vemos que
por lo tanto juntando ambas soluciones , llego a ;
.
De esta ecuacuación notamos los modos normales [2], a esta solución se lo conoce como modo , donde al menos un indice debe ser distinto de 0.
Ahora de , se tiene que
Notemos que si
implica que
, lo cual nos indica una Onda atenuada , este tema no se verá a fondo solo se menciona el comportamiento de una onda atenuada.
Entonces si escribimos a de la siguiente manera
tendremos que ;
A , se le define como frecuencia de corte para el modo , la frecuencia de corte mas baja es para el modo .
, a frecuencias mas bajas que esta , no hay propagación.