Prueba

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Vibraciones y ondas If the system shown in fig. has m= 0.010kg and s= 36 N/m , calculate (a) the angular frequency, (b) the frequency, and (c) the period. hola --mfg-wiki (discusión) 12:53 8 mayo 2015 (CDT) $\alpha \beta \iint$

$

 F = \sqrt{s \over m}

$

$ \nabla^{2}\mathbf{V}=\frac{1}{c}\frac{\partial^{2}\mathbf{V}}{\partial t^{2}}. $

\[ f = {1 \over 2\pi} \sqrt{s \over m} = 9.5 Hz \]

(c) $ T= { 2\pi} \sqrt{m \over s} = 0.10 s $

d) $ H= {{\phi} \sqrt{\lambda} \over g} +2 $ --Fernando Vazquez V. (discusión) 18:48 8 mayo 2015 (CDT)

Medios estratificados - Ecuación diferencial

• 

  Ola en el proceso de 'reventar'

Holografía

Sesebasi (discusión) 15:13 30 nov 2018 (CST)

Alejandro Juárez Toribio (discusión) 16:48 10 jul 2015 (CDT)

Medio estratificado

Medios dieléctricos con permitivdad $\varepsilon$ y permeabilidad $\mu$ dependientes de la posicién. La dependencia espacial esté restringida a una direccién en el caso estratificado (digamos en el eje z ). Ondas monocrométicas linealmente polarizadas.

La ecuaciones de Maxwell son equivalentes ante la transformacién $\mathbf {E} \leftrightarrow \mathbf {H} ,\;\varepsilon \leftrightarrow -\mu$. De manera que solo ondas TE se necesitan analizar en detalle.

Campo Eléctrico

El campo eléctrico de las ecuaciones de Maxwell para un medio estático,

isotrópico y lineal es

$\nabla ^{2}\mathbf {E} -\mu \varepsilon {\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=\nabla \left({\frac {\rho }{\varepsilon _{t}}}\right)-\nabla \left(\mathbf {E} \cdot \nabla \ln \varepsilon \right)+\mu {\frac {\partial \mathbf {J} }{\partial t}}-\nabla \ln \mu \times \nabla \times \mathbf {E} .$

En ausencia de cargas y corrientes

$\nabla ^{2}\mathbf {E} -\mu \varepsilon {\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=-\nabla \left(\mathbf {E} \cdot \nabla \ln \varepsilon \right)-\nabla \ln \mu \times \nabla \times \mathbf {E} .$

Mientras que si el medio esté estratificado en la direccién $z$,

entonces $\varepsilon \left(z\right),\mu \left(z\right)$.

$\nabla ^{2}\mathbf {E} -\mu \varepsilon {\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=-\nabla \left(E_{z}{\frac {\partial \ln \varepsilon }{\partial z}}\right)-{\frac {\partial \ln \mu }{\partial z}}\left({\hat {\mathbf {k} }}\times \nabla \times \mathbf {E} \right).$

Si el campo es TE y la propagación en el plano y-z , entonces $E=E_{x}{\hat {\mathbf {i} }}+E_{y}{\hat {\mathbf {j} }}+E_{z}{\hat {\mathbf {k} }}\rightarrow E=E_{x}\left(y,z\right){\hat {\mathbf {i} }}$.

$\nabla ^{2}E_{x}-\mu \varepsilon {\frac {\partial ^{2}E_{x}}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial \ln \mu }{\partial z}}{\frac {\partial E_{x}}{\partial z}}$

puesto que $\nabla \times E_{x}{\hat {\mathbf {i} }}={\frac {\partial E_{x}}{\partial z}}{\hat {\mathbf {j} }}-{\frac {\partial E_{x}}{\partial y}}{\hat {\mathbf {k} }}$ y entonces ${\hat {\mathbf {k} }}\times \nabla \times E_{x}{\hat {\mathbf {i} }}={\hat {\mathbf {k} }}\times {\frac {\partial E_{x}}{\partial z}}{\hat {\mathbf {j} }}=-{\frac {\partial E_{x}}{\partial z}}{\hat {\mathbf {i} }}$.

Si escribimos explécitamente el laplaciano y la dependencia monocromética

${\frac {\partial ^{2}E_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}E_{x}}{\partial z^{2}}}+\mu \varepsilon \omega ^{2}E_{x}={\frac {\partial \ln \mu }{\partial z}}{\frac {\partial E_{x}}{\partial z}},$

donde $\mu \varepsilon \omega ^{2}={\frac {n^{2}}{c^{2}}}\omega ^{2}=n^{2}k_{0}^{2}$. ésta ecuacién \eqref{eq: Hy wave eq strat} es el punto de partida del tratamiento que en el B\&W se obtiene de las ecs. de Maxwell en primeras derivadas.

Considere que se pueden separar las variables

$E_{x}\left(y,z\right)=Y\left(y\right)U\left(z\right),$

de manera que se obtiene

${\underset {f\left(z\right)}{\underbrace {{\frac {1}{U}}{\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}+n^{2}k_{0}^{2}-{\frac {\partial \ln \mu }{\partial z}}{\frac {1}{U}}{\frac {\partial U}{\partial z}}} }}+{\underset {-f\left(y\right)}{\underbrace {{\frac {1}{Y}}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial y^{2}}}} }}=0$

donde hay dos partes que dependen solamente de z y y respectivamente. Dado que éstas variables son independientes, cada una debe cumplirse para cualquier valor de la otra variable

constante $f\left(z\right)=-f\left(y\right)=\sigma ^{2}k_{0}^{2}$. La existencia de ésta cantidad invariante es la generalizacién de la relacién de Snell para medios inhomogéneos. Las ecuaciones son

entonces para la variable y

${\frac {1}{Y}}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial y^{2}}}=-\sigma ^{2}k_{0}^{2}\quad \Longrightarrow \quad Y\left(y\right)=Y_{0}\exp \left(i\sigma k_{0}y\right)$

y para la variable en z

${\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}-{\frac {\partial \ln \mu }{\partial z}}{\frac {\partial U}{\partial z}}+\left(n^{2}k_{0}^{2}-\sigma ^{2}k_{0}^{2}\right)U=0.$

El parametro variable sufre un corrimiento $\Omega ^{2}\rightarrow \Omega ^{2}-\sigma ^{2}k_{0}^{2}$ respecto al caso unidimensional $\sigma =0$ para incidencia normal.

Representacién de amplitud y fase

$\int \limits _{C}n_{1}{\vec {s}}_{1}\cdot d{\vec {r}}+$

Si se considera un medio no magnético $\mu =\mu _{0}$, entonces la

ecuacién \eqref{eq: ode u} se simplifica a

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}+\left[n^{2}k_{0}^{2}-\sigma ^{2}k_{0}^{2}\right]u=0.$

La ecuación del movimiento armónico simple es: $x=A\sin(\omega t+\varphi )$ si derivamos x respecto de t, obtenemos la velocidad y si derivamos v respecto a t, ó si sacamos la doble derivada de x respecto de t obtenemos la aceleración del sistema $v=A\omega \cos(\omega t+\varphi )a=-A\omega ^{2}\sin(\omega t+\varphi )$

cuando calculamos la posición, velocidad o aceleración máxima estamos diciendo que seno o coseno(según sea el caso) están llegando a su máximo, es decir $\sin(\omega t+\varphi )=1$

$\cos(\omega t+\varphi )=1$

si esto sucede, entonces tenemos una posición máxima, velocidad máxima y aceleración máxima como sigue $x_{max}=A$

$v_{max}=A\omega$

$\left\Vert a_{max}\right\Vert =A\omega ^{2}$

--Letti GZ (discusión) 22:10 4 may 2013 (CDT)

Invariante

Sean dos soluciones linealmente independientes

$U_{1}'=i\omega \mu V_{1}$ $U_{2}'=i\omega \mu V_{2}$

Del producto de \eqref{eq: U der V 2} por $V_{1}$ menos \eqref{eq: U der V 1}por

$V_{2}$ se obtiene

$V_{1}U_{2}'-V_{2}U_{1}'=0.$

De manera anéloga $V_{1}'=i\omega \left(\varepsilon -{\frac {\alpha ^{2}}{c^{2}\mu }}\right)U_{1}$

y $V_{2}'=i\omega \left(\varepsilon -{\frac {\alpha ^{2}}{c^{2}\mu }}\right)U_{2}$

$U_{1}V_{2}'-U_{2}V_{1}'=0.$

De la diferencia \eqref{eq: U V ders}-\eqref{eq:V U ders} de éstas

dos ecuaciones

$U_{1}V_{2}'+V_{2}U_{1}'-U_{2}V_{1}'-V_{1}U_{2}'={\frac {d}{dz}}\left(U_{1}V_{2}-U_{2}V_{1}\right)=0$

Coeficientes de reflexión y transmisión

Sean $A$, $R$ y $T$ las amplitudes complejas del campo eléctrico incidente, reflejado y transmitido.

Continuidad de las contribuciones tangenciales de los campos $\mathbf {E}$

y $\mathbf {H}$, asi como la relación entre ellos para una onda plana

$\mathbf {H} ={\sqrt {\frac {\varepsilon }{\mu }}}{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {E}$

Para una onda TM (transverso eléctrico) plana

$U_{0}=A+R$

Es decir, al incidir en el medio estratificado que inicia en $U\left(z=0\right)=U_{0}$ existe una onda incidente y una reflejada. Nótese que $U$ es el campo eléctrico independiente del tiempo como se describe en la ecuación (5) \cite[sec. 1.6.1, p.52 ]{Born75}. Sin embargo, B\&W se refiere a las amplitudes complejas \cite[sec. 1.6.3, p.59-60]{Born75} iguales a los campos.

$U\left(z_{l}\right)=T$

El campo en la ec. (46) \cite[sec. 1.6.3, p.60]{Born75} se escribe el argumento de $U$ como $z_{1}$ que es la última capa; nosotros preferimos escribir $z_{l}$ (la última capa) donde ya solamente hay onda transmitida.

== $\alpha$

La primera derivada de \eqref{eq: ode U} se puede eliminar mediante

la transformación $U=u{\sqrt {\mu }}$, entonces la primera derivada es

${\frac {\partial U}{\partial z}}=\mu ^{\frac {1}{2}}{\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {1}{2}}u\mu ^{-{\frac {1}{2}}}{\frac {\partial \mu }{\partial z}}=\mu ^{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {1}{2}}u{\frac {\partial \ln \mu }{\partial z}}\right)$

mientras que la segunda derivada es

${\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}={\frac {1}{2}}\mu ^{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \ln \mu }{\partial z}}\left({\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {1}{2}}u{\frac {\partial \ln \mu }{\partial z}}\right)+\mu ^{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial u}{\partial z}}{\frac {\partial \ln \mu }{\partial z}}+{\frac {1}{2}}u{\frac {\partial ^{2}\ln \mu }{\partial z^{2}}}\right)$

que podemos reagrupar como

${\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}=\mu ^{\frac {1}{2}}\left[{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial \ln \mu }{\partial z}}{\frac {\partial u}{\partial z}}+\left({\frac {1}{4}}\left({\frac {\partial \ln \mu }{\partial z}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}\ln \mu }{\partial z^{2}}}\right)u\right]$

La ecuacién diferencial\eqref{eq: ode U} es entonces\begin{multline*} \frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}+\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\frac{\partial u}{\partial z}+\left(\frac{1}{4}\left(\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)^{2}+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}\ln\mu}{\partial z^{2}}\right)u\\ -\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\left(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{1}{2}u\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)+\left(n^{2}k_{0}^{2}-\sigma^{2}k_{0}^{2}\right)u=0,\end{multline*}

que simplifica a

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}+\left[n^{2}k_{0}^{2}-\sigma ^{2}k_{0}^{2}+\left({\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}\ln \mu }{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{4}}\left({\frac {\partial \ln \mu }{\partial z}}\right)^{2}\right)\right]u=0.$

Solo estoy de curioso pero vamos a ver si entendi bien. --FJ777 18:47 13 ago 2008 (CDT)

--Kanon1106 20:56 20 ene 2009 (CST)

Maxwell

Comencemos con las ecuaciones de Maxwell para un medio arbitrario (unidades del SI)

$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho$ $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$ $\nabla \times \mathbf {H} ={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {J}$ $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

donde $\mathbf {D}$ es el desplazamiento eléctrico, $\mathbf {B}$ el desplazamiento magnético, $\mathbf {H}$ el campo magnético y $\mathbf {E}$ el campo eléctrico. En la ausencia de cargas libres $\rho =0$ pero permitiendo la existencia de corrientes, las ecuaciones anteriores devienen

$\nabla \cdot \mathbf {D} =0$ $\nabla \times \mathbf {H} ={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {J}$

donde las ecuaciones \ref{eq:div B} y \ref{eq:rot E} permanecen inalteradas.

relaciones constitutivas

Establecen la relación entre los campos y los desplazamientos. La permitividad y permeabilidad son:

• independientes del campo para medios lineales o campos con amplitud pequeña
• escalares para medios isotrópicos
• independientes del espacio para medios homogéneos
• independientes del tiempo para medios no dispersivos
• cantidades puramente reales para medios sin abosorción

Consideremos un medio isotrópico:

$\mathbf {D} =\varepsilon _{t}\left(\mathbf {r} ,t,\mathbf {E} \right)\mathbf {E} .$

De la ecuación (div D =0}), se obtiene:

$\nabla \cdot \left(\varepsilon _{t}\mathbf {E} \right)=\varepsilon _{t}\nabla \cdot \mathbf {E} +\mathbf {E} \cdot \nabla \varepsilon _{t}=0\quad \Rightarrow {\mbox{ }}\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {1}{\varepsilon _{t}}}\mathbf {E} \cdot \nabla \varepsilon _{t}=\mathbf {E} \cdot \nabla \ln \varepsilon _{t}.$

Un resultado análogo es cierto para la permeabilidad puesto que $\mathbf {B} =\mu _{t}\mathbf {H}$ y el rotacional de ésta expresión puede reescribirse como:

$\nabla \times \mathbf {B} =\nabla \times \left(\mu _{t}\mathbf {H} \right)=\nabla \mu _{t}\times \mathbf {H} +\mu _{t}\nabla \times \mathbf {H} =\nabla \mu _{t}\times \mathbf {H} +\mu _{t}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}.$

Las ecuaciones de Maxwell pueden entonces combinarse para obtener:

$\nabla ^{2}\mathbf {E} -\nabla \left(\mathbf {E} \cdot \nabla \ln \varepsilon _{t}\right)={\frac {\partial \left(\nabla \mu _{t}\times \mathbf {H} \right)}{\partial t}}+{\frac {\partial \left(\mu _{t}{\frac {\partial \varepsilon _{t}\mathbf {E} }{\partial t}}\right)}{\partial t}}.$

características del medio

Si el medio es magnéticamente homogéneo, independiente del tiempo y el campo, el gradiente de la permeabilidad y su derivada temporal son cero creo que que que que

$\nabla ^{2}\mathbf {E} -\nabla \left(\mathbf {E} \cdot \nabla \ln \varepsilon _{t}\right)=\mu _{t}{\frac {\partial ^{2}\left(\varepsilon _{t}\mathbf {E} \right)}{\partial t^{2}}},$

para un medio no magnético la permeabilidad es aquella del vacío $\mu _{t}=\mu _{0}$.

Si la permitividad es independiente del tiempo, se obtiene

$\nabla ^{2}\mathbf {E} -\nabla \left(\mathbf {E} \cdot \nabla \ln \varepsilon _{t}\right)=\mu _{t}\varepsilon _{t}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}.$

Para un medio homogéneo

$\nabla ^{2}\mathbf {E} =\mu _{t}\varepsilon _{t}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}},$

se obtiene la ecuación de onda.

Funcion bicontinua: se dice que una funcion es bicontinua si tanto ella como su inversa son continuas --Wendy 03:25 29 oct 2010 (UTC)

We present an identity of products that reduces to Lagrange’s identity when a series expansion to fourth order terms are considered. Sixth and higher order terms produce other series identities.

\[ E=mc^{2} \]

Gsfwiki (discusión) 11:12 25 sep 2018 (CDT)

La información completa de la imagen queda registrada por cualquier parte del holograma.

Sesebasi (discusión) 22:17 2 dic 2018 (CST)

introduction

Normed division algebras require that the norm of the product is equal to the product of the norms. Lagrange’s identity exhibits this equality. Due to Hurwitz theorem, it admits this interpretation only for algebras isomorphic to the real numbers $\left(\mathbb {R} \right)$, complex numbers $\left(\mathbb {R} ^{2}\right)$, quaternions $\left(\mathbb {R} ^{4}\right)$ and octonions $\left(\mathbb {R} ^{8}\right)$. If divisors of zero are allowed, many other algebraic structures in $\mathbb {R} ^{n}$ are possible. Two such possibilities for hyperbolic numbers has been introduced by Fjelstad and Gal and more recently by Catoni et al. . Another approach has been presented in the context of a deformed Lorentz metric. This latter proposal is based on a transformation stemming from the product operation and magnitude definition in hyperbolic scator algebra . The product identity used as a starting point here, is a consequence of the $\left\Vert \mathbf {ab} \right\Vert =\left\Vert \mathbf {a} \right\Vert \left\Vert \mathbf {b} \right\Vert$ equality for scator algebras.

Lagrange’s identity can be proved in a variety of ways . Most derivations use the identity as a starting point and prove in one way or another that the equality is true. In the present approach, Lagrange’s identity is actually derived without assuming it a priori. The pseudo-norm of the product identity used in the derivation has the strength to imply an infinite number of identities. An example when sixth order terms are retained is shown here. The ease of the derivation has induced us to present it for complex numbers.

Lagrange’s identity for complex numbers

Let $a_{i},b_{i}\in \mathbb {C}$ be complex numbers and the overbar represents complex conjugate.

The product identity $\prod _{i=1}^{n}\left(1-a_{i}{\bar {a}}_{i}-b_{i}{\bar {b}}_{i}+a_{i}{\bar {a}}_{i}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)=\prod _{i=1}^{n}\left(1-a_{i}{\bar {a}}_{i}\right)\prod _{i=1}^{n}\left(1-b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)$ reduces to the complex Lagrange’s identity when fourth order terms, in a series expansion, are considered.

Expand the product on the LHS of the product identity in terms of series up to fourth order

_i=1ⁿ(1-a_i|a_i-b_i|b_i+a_i|a_ib_i|b_i)=1-_i=1ⁿ(a_i|a_i+b_i|b_i)+_i=1ⁿa_i|a_ib_i|b_i
+_i<jⁿ(a_i|a_ia_j|a_j+b_i|b_ib_j|b_j)+_i<jⁿ(a_i|a_ib_j|b_j+a_j|a_jb_i|b_i)+O⁵⁺.[eq:series LHS complex O5]

The two factors on the RHS are also written in terms of series

_i=1ⁿ(1-a_i|a_i)_i=1ⁿ(1-b_i|b_i)=(1-_i=1ⁿa_i|a_i+_i<jⁿa_i|a_ia_j|a_j+O⁵⁺)
(1-_i=1ⁿb_i|b_i+_i<jⁿb_i|b_ib_j|b_j+O⁵⁺).

The product of this expression up to fourth order is

_i=1ⁿ(1-a_i|a_i)_i=1ⁿ(1-b_i|b_i)=1-_i=1ⁿ(a_i|a_i+b_i|b_i)
+(_i=1ⁿa_i|a_i)(_i=1ⁿb_i|b_i)+_i<jⁿ(a_i|a_ia_j|a_j+b_i|b_ib_j|b_j)+O⁵⁺.[eq:series RHS complex O5]

Substitution of eq:series LHS complex O5 and eq:series RHS complex O5 in the product identity give $\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\bar {a}}_{i}b_{i}{\bar {b}}_{i}+\sum _{i<j}^{n}\left(a_{i}{\bar {a}}_{i}b_{j}{\bar {b}}_{j}+a_{j}{\bar {a}}_{j}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\bar {a}}_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right).$ The product of two conjugates series can be expressed as series involving the product of conjugate terms, thus

(_i=1ⁿa_ib_i)(_i=1ⁿa_ib_i)-_i<jⁿ(a_ib_i|a_j|b_j+|a_i|b_ia_jb_j)+_i<jⁿ(a_i|a_ib_j|b_j+a_j|a_jb_i|b_i)
=(_i=1ⁿa_i|a_i)(_i=1ⁿb_i|b_i).

The terms of the last two series on the LHS are grouped as $a_{i}{\bar {a}}_{i}b_{j}{\bar {b}}_{j}+a_{j}{\bar {a}}_{j}b_{i}{\bar {b}}_{i}-a_{i}b_{i}{\bar {a}}_{j}{\bar {b}}_{j}-{\bar {a}}_{i}{\bar {b}}_{i}a_{j}b_{j}=\left(a_{i}{\bar {b}}_{j}-a_{j}{\bar {b}}_{i}\right)\left({\bar {a}}_{i}b_{j}-{\bar {a}}_{j}b_{i}\right),$ in order to obtain the complex Lagrange’s identity $\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}{\overline {a_{i}b_{i}}}\right)+\sum _{i<j}^{n}\left(a_{i}{\bar {b}}_{j}-a_{j}{\bar {b}}_{i}\right)\left({\overline {a_{i}{\bar {b}}_{j}-a_{j}{\bar {b}}_{i}}}\right)=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\bar {a}}_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right).$ In terms of the modulii, $\left|\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right|^{2}+\sum _{i<j}^{n}\left|a_{i}{\bar {b}}_{j}-a_{j}{\bar {b}}_{i}\right|^{2}=\left(\sum _{i=1}^{n}\left|a_{i}\right|^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}\left|b_{i}\right|^{2}\right).$

other identities

The non trivial identities for real numbers obtained to sixth order series expansion of the product identity $\prod _{i=1}^{n}\left(1-a_{i}^{2}-b_{i}^{2}+a_{i}^{2}b_{i}^{2}\right)=\prod _{i=1}^{n}\left(1-a_{i}^{2}\right)\prod _{i=1}^{n}\left(1-b_{i}^{2}\right)$ are $\sum _{i<j}^{n}\left[a_{i}^{2}a_{j}^{2}\left(b_{i}^{2}+b_{j}^{2}\right)\right]+\sum _{i<j<k}^{n}\left[a_{i}^{2}a_{j}^{2}b_{k}^{2}+a_{i}^{2}b_{j}^{2}a_{k}^{2}+b_{i}^{2}a_{j}^{2}a_{k}^{2}\right]=\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i<j}^{n}a_{i}^{2}a_{j}^{2}\right)$ and its counterpart, obtained by interchanging the variables $a$ and $b$ .'

Expand the product identity in series up to sixth order. The LHS is

_i=1ⁿ(1-a_i²-b_i²+a_i²b_i²)=1+_i=1ⁿ(-a_i²-b_i²+a_i²b_i²)
+_i<jⁿ(-a_i²-b_i²+a_i²b_i²)(-a_j²-b_j²+a_j²b_j²)
+_i<j<kⁿ(-a_i²-b_i²+a_i²b_i²)(-a_j²-b_j²+a_j²b_j²)(-a_k²-b_k²+a_k²b_k²)+O⁷⁺.

Consider only the sixth order terms

O⁶(LHS)=-_i<jⁿ[a_i²a_j²(b_i²+b_j²)+b_i²b_j²(a_i²+a_j²)]-_i<j<kⁿa_i²a_j²a_k²+b_i²b_j²b_k²
-_i<j<kⁿ(a_i²a_j²b_k²+a_i²b_j²a_k²+b_i²a_j²a_k²)-_i<j<kⁿ(a_i²b_j²b_k²+b_i²a_j²b_k²+b_i²b_j²a_k²)

The RHS of the product identity is similarly expanded in series up to sixth order

_i=1ⁿ(1-a_i²)_i=1ⁿ(1-b_i²)=(1-_i=1ⁿa_i²+_i<jⁿa_i²a_j²-_i<j<kⁿa_i²a_j²a_k²+O⁷⁺)
(1-_i=1ⁿb_i²+_i<jⁿb_i²b_j²-_i<j<kⁿb_i²b_j²b_k²+O⁷⁺),

and only sixth order terms retained

O⁶(RHS)=-_i<j<kⁿa_i²a_j²a_k²-_i<j<kⁿb_i²b_j²b_k²-(_i=1ⁿa_i²)(_i<jⁿb_i²b_j²)-(_i=1ⁿb_i²)(_i<jⁿa_i²a_j²).

These two results are equated for equal powers of $a^{n}b^{m}$. The terms $a^{6}$ and $b^{6}$ give trivial identities whereas the terms involving $a^{4}b^{2}$ and $a^{2}b^{4}$ give the non trivial sixth order identities

Prueba 1

Ecuaciones de Maxwell

${\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {D}}=\rho \;\;\;\;\;$ ${\overrightarrow {\nabla }}\times {\overrightarrow {E}}=-{\frac {\partial {\overrightarrow {B}}}{\partial t}}$

${\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {B}}=0\;\;\;\;\;$ ${\overrightarrow {\nabla }}\times {\overrightarrow {H}}={\overrightarrow {J\,\,}}+{\frac {\partial {\overrightarrow {D}}}{\partial t}}$

--Tlacaelel Cruz (discusión) 21:26 8 mayo 2015 (CDT)

Prueba de arhivos(.svg)

Figura de SVG

Nota: el formato de archivo permitivo es (.svg) otra extension de archivos vectoriales es (.svgz) pero no lo soporta la pagina

--Tlacaelel Cruz (discusión) 18:51 26 nov 2015 (CST)

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conclusions

Lagrange’s identity for complex numbers has been obtained from a straight-forward product identity. The procedure is elementary and very economical. A derivation for the reals is obviously even more succinct. In a wider context, this product identity can be seen as a consequence of the $\left\Vert \mathbf {ab} \right\Vert =\left\Vert \mathbf {a} \right\Vert \left\Vert \mathbf {b} \right\Vert$ relationship for scator algebras. Since the Cauchy–Schwarz inequality is a particular case of Lagrange’s identity , this proof is yet another way to obtain the CS inequality.

1

fjelstad+gal1998 P. Fjelstad and S. G. Gal. n-dimensional hyperbolic complex numbers. Adv. Appl. Clifford Alg., 8(1):47–68, 1998.

catoni2005 F. Catoni, R. Cannata, E. Nichelatti, and P. Zampetti. Commmutative hypercomplex numbers and functions of hypercomplex variable: a matrix study. Advances in Applied Clifford Algebras, 15(2):183–212, 2005.

fernandez-guasti2011₂ M. Fernández-Guasti. Alternative realization for the composition of relativistic velocities. In Optics and Photonics 2011, volume 8121 of The nature of light: What are photons? IV, page 812108–1–11. SPIE, 2011.

Steele2004 J. Michael Steele. Cauchy-Schwarz master class: an introduction to the art of mathematical inequalities. CUP, 2004.