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1. Apertura Rectangular.
Consideramos la configuración de la Fig.1 en tres dimenciones la cual puede verse de una forma mas simple si rotamos los ejes y solo vemos el perfil del eje como en Fig.2, en donde tenemos una onda plana monocromática que se propaga en el eje e incide en una pantalla que contiene una
abertura de forma arbitraria .Deseamos calcular la distribución de la densidad de flujo correspondiente al campo lejano en un punto P distante arbitrario.
De acuerdo con el principio de Huygens-Fresnel un area diferencial de la apertura puede visualizarse como cubierta de fuentes puntuales secundarias coherentes.
Tomando que es mas pequeña que tal que todas las contribuciones en el punto
P permanecen en fase interfiriendo constructivamente.
- Si es la intensidad de la fuente
por unidad de área, suponiendo que es constante en toda la abertura
- La perturbación óptica en P debida a es
La distancia de a es
Donde tomamos en cuenta la Fig.1 y posteriormente una figura similar para el perfil del eje z.
Como la condición de Fraunhofer se satisface para muy grande, ademas si la abertura es muy pequeña remplazamos por y hacemos una aproximación para la fase
entonces
Para el campo lejano es muy grande comparado con las dimensiones
de la apertura y el termino
Por lo cual
Y mediane una expansión binomial obtenemos.
Por lo tanto la perturbación total que llega a es
Consideramos ahora la configuración de la fig.3 con lo cual la ecuación para el campo se puede escribir como
Si definimos obtenemos
Por lo tanto
Como
Donde es la Irradiancia en
En valores de Y,Z tales que sean cero adquiere la forma de la difracción de una rendija
Distribución de campo lejano de una apertura cuadrada
La misma distribución a color
Distribución de la irradiancia para una apertura cuadrada
Podemos modelar algunos patrones de difraccion rectangular en esta pagina
2. Apertura Circular.
- Ahora consideramos nuevamente la Fig.4 solo que en esta ocacion la apertura es circular.
- Las aberturas circulares son muy importantes para el estudio de la instrumentación óptica.
- Retomando nuevamente la expresión de la perturbación óptica en P para la abertura arbitraria en el caso del campo lejano
La simetría del problema sugiere el uso de coordenadas esféricas tanto en el plano de la apertura como en el plano de observación
Entonces sustitullendo en la expresión de la rendija arbitraria
Por la simetría axial la solución es independiente de
Esta ultima ecuación es una función única que no puede reducirse otra forma más corriente, como funciones hiperbólicas exponenciales o trigonometricas
La cantidad
Se denomina función de Bessel de primera especie y orden cero
En general
Representa la función de Bessel de orden m
Si
Podemos escribir
Otra propiedad de la funciones de Bessel es la relación de recurrencia
Con
Entonces si nombramos a como
obtenemos
Mediante la regla de recurrencia tenemos
Y la irradiancia en P es
Para calcular la irradiancia en el centro ponemos
Y usando la ley de recurrencia.
Verificamos que
La irradiancia en es
Que es el mismo resultado que la apertura rectangular
Como , la irradiancia se puede escribir como función de
El máximo central corresponde al llamado disco de Airy (Fig5.)
Si derivamos respecto a la distancia q obtenemos la condición para los minimos y maximos
El primer mínimo corresponde al primer cero de la función
Podemos calcular la distancia del centro de la distribucion a los maximos y minimos, con .
Los máximos secundarios ocurren para
Distribución de campo lejano de una apertura circular
Distribución para difracción de rayos X
Distribución de la irradiancia para una apertura circular
Podemos modelar algunos patrones de difraccion circular en esta pagina
3. Métodos de Fourier.
La transformada de Fourier aporta una percepción diferente y hermosa del mecanismo de difracción de Fraunhofer
Partimos de la ecuación
- La cantidad R es la distancia del centro de la apertura
- si nos limitamos a una pequeña región puede conciderarse constante
- no es necesariamente invariante
- Las variaciones en y la constante multlipicativa pueden combinarse en una sola cantidad compleja
Denominada función de abertura
Con esto podemos reformular la ecuación anterior
Está función de apertura equivale a poner una función que indique la geometria de la apertura, por lo tanto los limites de la integral pueden extenderse hasta , ya que la función es no nula únicamente en la region de la abertura
Por ejemplo si tenemos una apertura cuadrada ponemos una funcion cuadrada e integramos en el espacio de menos infinito a infinito.Esto puede resultar muy util cuando tratamos de indicar que la apertura es mas opaca en las orillas que en el centro
ya que podemos usar una función de apertura Gaussiana.
Definimos la frecuencias espaciales
El campo difractado puede ahora escribirse como
Ahora tenemos que "la distribución del campo en la figura de difracción de Fraunhofer es la transformada de Fourier de la distribución
del campo sobre la abertura"
Simbolicamente
La distribucion del campo en el plano imagen es el espectro de frecuencia espacial de la función de la abertura.
Entonces
o
4. Difracción de apertura Circulo-Cuadrado.
La ecuación
- Representa un circulo en el plano de radio si
Debido a que las variables estan restringidas a valores mas pequeños o iguales a tenemos
Por lo tanto obtenemos la Fig6.
La ecuación (1) representa una figura intermedia con esquinas redondeadas que escribiendola en cooerdenadas polares
Encontramos que tiene solución
Puede demostrarse que el signo negativo en la expresión implica una y solo una posible solución que cumple la condición
La transformada de Fourier para una apertura arbitraria es como dijimos antes
La función de apertura para este caso particular es.
Si reescribimos esta función como el producto de una parte radial y una angular entonces
con
Esta función tiene fronteras entre
Y puede verse que en el limite cuando
Si reescribimos la variable radial
Entonces la ecuación de la función de apertura puede ser escrita independiente del angulo
Tal que
Entonces la transformada de Fourier de un circulo-cuadrado es
\
5. circulo.
Si ponemos entonces y obtenemos
Y recobramos el resultado ya presentado
5. cuadrado.
Obtenemos un cuadrado para
Por consideraciones de simetria y tomando la parte real de la transformada de Fourier para el circulo-cuadrado obtenemos
Tomando en cuenta que la función angular del cuadrado es
Tenemos entonces que
Nombramos la primera de la ecuación ,y la segunda parte quedando
Haciendo las integrales angulares
Integrando nuevamente
Sumando tenemos
como
Obtenemos finalmente
Que esl la ecuación para la Irradiancia de un cuadrado.
--CAZ 16:32 29 ago 2008 (CDT)