Diferencia entre revisiones de «Optica: Difraccion de Fraunhofer circulo-cuadrado»
Sin resumen de edición |
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Línea 1: | Línea 1: | ||
Building | Building | ||
Línea 14: | Línea 13: | ||
coherentes | coherentes | ||
* Si <math>varepsilon _{A} </math>es la intensidad de la fuente | * Si <math>varepsilon _{A} </math>es la intensidad de la fuente | ||
por unidad de área, suponiendo que es constante en toda la abertura | por unidad de área, suponiendo que es constante en toda la abertura* La perturbación óptica en P debida a <math> dS</math> | ||
* La perturbación óptica en P debida a <math> dS</math> | |||
Línea 36: | Línea 34: | ||
<math> | <math> | ||
r=R[1+\frac{(y^{2}+z^{2})}{R^{2}}-\frac{2(Yy+Zz)^{2}}{R^{2}}]^{\frac{1}{2}} | r=R[1+\frac{(y^{2}+z^{2})}{R^{2}}-\frac{2(Yy+Zz)^{2}}{R^{2}}]^{\frac{1}{2}} | ||
</math> | </math> | ||
Línea 336: | Línea 334: | ||
Si reescribimos la variable radial a | Si reescribimos la variable radial a | ||
\rho = \rho \prime M_{s}(\varphi)\quad | <math>\rho = \rho \prime M_{s}(\varphi)\quad | ||
d\rho =d\rho \prime M_{s}(\varphi) | d\rho =d\rho \prime M_{s}(\varphi) | ||
</math> | |||
Entonces la ecuación de la función de apertura puede ser escrita independiente del angulo $\varphi$ | Entonces la ecuación de la función de apertura puede ser escrita independiente del angulo $\varphi$ | ||
<math>U(\rho\prime)=\{ ^{1\quad para \quad \rho\prime < a}_{0 \quad para\quad \rho\prime >a} | |||
U(\rho\prime)=\{ ^{1\quad para \quad \rho\prime < a}_{0 \quad para\quad \rho\prime >a} | </math> | ||
Tal que | |||
<math>\mathscr{A}(a,\varphi)=\mathscr{A}(\rho\prime,\varphi)=U(\rho\prime)U(phi)=U(\rho\prime)$</math> <math>\varphi</math> | |||
Entonces la transformada de Fourier de un circulo-cuadrado es | Entonces la transformada de Fourier de un circulo-cuadrado es | ||
<math>E(k_{q},K_{\phi})=\int_{0}^{\infty}\rho \prime U(\rho\prime)\int_{0}^{2\pi}M_{s}^{2}(\varphi) | |||
E(k_{q},K_{\phi})=\int_{0}^{\infty}\rho \prime U(\rho\prime)\int_{0}^{2\pi}M_{s}^{2}(\varphi) | |||
e^{\imath (kq\rho \prime M_{s}(\varphi)/R) \cos(\varphi-\phi)}d\rho\prime d\varphi | e^{\imath (kq\rho \prime M_{s}(\varphi)/R) \cos(\varphi-\phi)}d\rho\prime d\varphi | ||
\ | </math>\ | ||
== 5. circulo. == | |||
Si ponemos <math>s=0</math> entonces <math>M_{s}(\varphi)=1</math> y obtenemos | |||
<math>E(k_{q},K_{\phi})&=&\int_{0}^{\infty}\rho \prime U(\rho\prime)[\int_{0}^{2\pi}(\varphi) | |||
E(k_{q},K_{\phi})&=&\int_{0}^{\infty}\rho \prime U(\rho\prime)[\int_{0}^{2\pi}(\varphi) | |||
e^{\imath (kq\rho \prime /R) \cos(\varphi-\phi)} d\varphi]d\rho\prime \nonumber\\ | e^{\imath (kq\rho \prime /R) \cos(\varphi-\phi)} d\varphi]d\rho\prime \nonumber\\ | ||
&=&\int_{0}^{\infty}\rho \prime U(\rho\prime)[J_{0}(k q \rho\prime/R)]d\rho\prime\nonumber\\ | &=&\int_{0}^{\infty}\rho \prime U(\rho\prime)[J_{0}(k q \rho\prime/R)]d\rho\prime\nonumber\\ | ||
&=&\int_{0}^{a}\rho \prime [J_{0}(k q \rho\prime/R)]d\rho\prime\nonumber\\ | &=&\int_{0}^{a}\rho \prime [J_{0}(k q \rho\prime/R)]d\rho\prime\nonumber\\ | ||
&=&(R/kqa)J_{1}(kqa/R)\nonumber\ | &=&(R/kqa)J_{1}(kqa/R)\nonumber\ | ||
</math> | |||
Y recobramos el resultado ya presentado | Y recobramos el resultado ya presentado | ||
== 5. cuadrado. == | |||
Obtenemos un cuadro para <math>s=1</math> | |||
Obtenemos un cuadro para | |||
Por consideraciones de simetria y tomando la parte real de la transformada de Fourier para el circulo-cuadrado obtenemos | Por consideraciones de simetria y tomando la parte real de la transformada de Fourier para el circulo-cuadrado obtenemos | ||
<math>E(k_{q},K_{\phi})=\int_{0}^{a}\rho \prime \int_{-\pi/4}^{3\pi /4}M_{s}^{2}(\varphi) | |||
E(k_{q},K_{\phi})=\int_{0}^{a}\rho \prime \int_{-\pi/4}^{3\pi /4}M_{s}^{2}(\varphi) | |||
\cos[ { (kq\rho \prime M_{s}(\varphi)/R) \cos(\varphi-\phi)}]d\rho\prime d\varphi | \cos[ { (kq\rho \prime M_{s}(\varphi)/R) \cos(\varphi-\phi)}]d\rho\prime d\varphi | ||
</math> | |||
Tomando en cuenta que la función angular del cuadrado es | Tomando en cuenta que la función angular del cuadrado es | ||
M_{s=1}(\varphi)=\{^{\frac{1}{|\cos \varphi|} \quad para \quad -\pi/4 \quad a\quad (\pi/4)+n\pi} | <math>M_{s=1}(\varphi)=\{^{\frac{1}{|\cos \varphi|} \quad para \quad -\pi/4 \quad a\quad (\pi/4)+n\pi} | ||
_{\frac{1}{|\sin \varphi|}\quad para \quad \pi/4 \quad a\quad (3\pi/4)+n\pi} | _{\frac{1}{|\sin \varphi|}\quad para \quad \pi/4 \quad a\quad (3\pi/4)+n\pi} | ||
</math> | |||
Tenemos entonces que | Tenemos entonces que | ||
<math>E(k_{q},K_{\phi})=\int_{0}^{a}\rho \prime \int_{-\pi/4}^{\pi /4} | |||
E(k_{q},K_{\phi})=\int_{0}^{a}\rho \prime \int_{-\pi/4}^{\pi /4} | |||
\frac{\cos [(kq\rho\prime/R) (\cos\phi+\sin\phi\tan\varphi]}{\cos^{2}\varphi} d\varphi d\rho\prime | \frac{\cos [(kq\rho\prime/R) (\cos\phi+\sin\phi\tan\varphi]}{\cos^{2}\varphi} d\varphi d\rho\prime | ||
</math> | |||
<math>+\int_{0}^{a}\rho \prime \int_{\pi/4}^{3\pi /4} | |||
+\int_{0}^{a}\rho \prime \int_{\pi/4}^{3\pi /4} | |||
\frac{\cos [(kq\rho\prime/R) (\sin\phi+\cos\phi\cot\varphi)]}{\sen^{2}\varphi} d\varphi d\rho\prime=G_{1}+G_{2} | \frac{\cos [(kq\rho\prime/R) (\sin\phi+\cos\phi\cot\varphi)]}{\sen^{2}\varphi} d\varphi d\rho\prime=G_{1}+G_{2} | ||
</math> | |||
Haciendo las integrales angulares | Haciendo las integrales angulares | ||
<math>G_{1}=\frac{4}{(kq/R)^{2}\sin\phi} \int_{0}^{a}\sin[(kq\rho\prime/R)\sin\phi]\cos[(kq\rho\prime/R)\cos\phi] | |||
G_{1}=\frac{4}{(kq/R)^{2}\sin\phi} \int_{0}^{a}\sin[(kq\rho\prime/R)\sin\phi]\cos[(kq\rho\prime/R)\cos\phi] | </math> | ||
<math>G_{2}=\frac{4}{(kq/R)^{2}\cos\phi} \int_{0}^{a}\cos[(kq\rho\prime/R)\sin\phi]\sin[(kq\rho\prime/R)\cos\phi] | |||
</math> | |||
G_{2}=\frac{4}{(kq/R)^{2}\cos\phi} \int_{0}^{a}\cos[(kq\rho\prime/R)\sin\phi]\sin[(kq\rho\prime/R)\cos\phi] | |||
Integrando nuevamente | |||
<math>G_{1}=\frac{4}{(kq/R)^{2}\sin\phi}[(\frac{1-\cos[kqa/R(\sin\phi-cos\phi)]}{\sin\phi-\cos\phi}) | |||
</math> | |||
<math>+(\frac{1-\cos[kqa/R(\sin\phi+\cos\phi)]}{\sin\phi+\cos\phi})] | |||
</math> | |||
<math>G_{2}=\frac{4}{(kq/R)^{2}\cos\phi}[(\frac{1-\cos[kqa/R(\cos\phi-\sin\phi)]}{\cos\phi-\sin\phi}) | |||
</math> | |||
<math>+(\frac{1-\cos[kqa/R(\sin\phi+\cos\phi)]}{\sin\phi+\cos\phi})] | |||
</math> | |||
G_{2}=\frac{4}{(kq/R)^{2}\cos\phi}[(\frac{1-\cos[kqa/R(\cos\phi-\sin\phi)]}{\cos\phi-\sin\phi}) | |||
+(\frac{1-\cos[kqa/R(\sin\phi+\cos\phi)]}{\sin\phi+\cos\phi})] | |||
Sumando <math>G_{1}+G_{2}</math> tenemos | |||
<math>E(k_{q},K_{\phi})&=&G_{1}+G_{2}\nonumber\\ | |||
E(k_{q},K_{\phi})&=&G_{1}+G_{2}\nonumber\\ | |||
&=&\frac{4}{(kq/R)^{2}\cos\phi\sin\phi}[\sin(kqa/R\sin\phi)\sin(kqa/R\cos\phi)]\nonumber\\ | &=&\frac{4}{(kq/R)^{2}\cos\phi\sin\phi}[\sin(kqa/R\sin\phi)\sin(kqa/R\cos\phi)]\nonumber\\ | ||
&=&4a^{2}\mathrm{sinc}(kqa/R \sin\phi)\mathrm{sinc} (kqa/R\cos\phi)\nonumber\ | &=&4a^{2}\mathrm{sinc}(kqa/R \sin\phi)\mathrm{sinc} (kqa/R\cos\phi)\nonumber\ | ||
</math> | |||
como | como | ||
<math>z=\rho \cos \varphi, Z=q\cos \phi | |||
</math> | |||
<math>y=\rho \sin \varphi, Y=q\sin \phi | |||
</math> | |||
<math>E(k_{q},K_{\phi})=4a^{2} \mathrm{sinc}(ka/R Y)\mathrm{sinc}(ka/R Z) | |||
</math>\ | |||
Revisión del 16:21 19 ago 2008
Building
1. Apertura rectangular.
- Según el principio de Huygens-Fresnel(Cada punto en una
fuente de ondas sirve como frente de trenes de onda esféricas secundarias),
- un área diferencial dentro de la abertura se
visualiza como si estuviera cubierta con fuentes secundarias coherentes
- Si es la intensidad de la fuente
por unidad de área, suponiendo que es constante en toda la abertura* La perturbación óptica en P debida a
La distancia de a es
-Como la condición de Fraunhofer se satisface para $r$ muy grande
y si abertura es muy pequeña remplazamos por y hacemos una aproximación para la fase
entonces
-Para el campo lejano es muy grande comparado con las dimensiones de la apertura
Por lo tanto
-Y con una expansión binomial obtenemos.
Por lo tanto la perturbación total que llega a es
-Consideramos ahora la figura siguiente
Podemos escribir la ecuación (1) como
Si definimos , obtenemos
Por lo tanto
-Como
-Donde es la Irradiancia en
En valores de Y,Z tales que sean cero adquiere la forma de la difracción de una rendija
2. Apertura circular.
Las aberturas circulares son muy importantes para el estudio de la instrumentación óptica. Partimos de
En coordenadas esféricas
Entonces
-Por la simetría axial la solución es independiente de
Es una función única que no puede reducirse
-La cantidad
Es la función de Bessel de primera especie y orden cero
En general
Representa la función de Bessel de orden m
Si
Podemos escribir
-Otra propiedad de la funciones de Bessel es la relación de recurrencia
Con
}
Entonces si nombramos
, , , y
Mediante la regla de recurrencia tenemos
Y la irradiancia en P es
Para calcular la irradiancia en el centro ponemos Y usando la ley de recurrencia.
Verificamos que
La irradiancia en es
Que es el mismo resultado que la apertura rectangular Como , la irradiancia se puede escribir como función de
}
-El máximo central corresponde e llamado disco de Airy
si hacemos
-El primer mínimo corresponde al primer cero de la función , con
Error al representar (error de sintaxis): kaq/R=3.83\ q_{1}=1.22 R\lambda/D
-Los máximos secundarios ocurren para
3. Métodos de Fourier.
-La transformada de Fourier aporta una percepción de diferente del mecanismo de difracción de Fraunhofer Partimos de la ecuación
- La cantidad R es la distancia del centro de la apertura
- si nos limitamos a una pequeña región puede conciderarse constante
no es necesariamente invariante
- Las variaciones en y la constante multlipicativa pueden combinarse en una sola cantidad compleja
Error al representar (función desconocida «\mathscr»): \mathscr{A}(y,z)=\mathscr{A}_{0}(y,z)e^{\imath \phi (y,z)}
Denominada función de abertura
-Con esto podemos reformular la ecuación anterior
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \tilde{E}(Y,Z)=\int\int_{-\infty}^{\infty}\mathscr{A}(y,z) e^{\imath k (Yy+Zz)/R} dydz
Donde los limites de la integral pueden extenderse hasta por que la función de la abertura es no nula únicamente en la region de la abertura -Definimos la frecuencias espaciales
El campo difractado puede ahora escribirse como
Error al representar (función desconocida «\mathscr»): \tilde{E}(K_{y},K_{z})=\int\int_{-\infty}^{\infty}\mathscr{A}(y,z) e^{\imath k (K_{y}y+K_{z}z)/R} dydz
Ahora tenemos que "la distribución del campo en la figura de difracción de Fraunhofer es la transformada de Fourier de la distribución del campo sobre la abertura" -Simbolicamente
Error al representar (función desconocida «\mathscr»): E(K_{y},K_{z})=\mathscr{F}{\mathscr{A}(y,z)}
La distribucion del campo en el plano imagen es el espectro de frecuencia espacial de la función de la abertura.
Entonces
Error al representar (función desconocida «\mathscr»): \mathscr{A}(y,z)=\frac{1}{(2\pi)^{2}}\int\int_{-\infty}^{\infty}E(K_{y},K_{z}) e^{\imath k (K_{y}y+K_{z}z)/R} dydz
o
Error al representar (función desconocida «\mathscr»): \mathscr{A}(y,z)=\mathscr{F}^{-1}E(K_{y},K_{z})
4. Difracción de apertura circulo-cuadrado.
La ecuación
- Representa un circulo en el plano de radio si
- Representa un cuadrado de lado si
Debido a que las variables estan restringidas a valores mas pequeños o iguales a
La ecuación (3) representa una figura intermedia con esquinas redondeadas
Escribimos en coordenadas Polares
Con solución
-Puede demostrarse que el signo negativo en la expresión implica una y solo una posible solución que cumple la condición
La transformada de Fourier para una apertura es
Error al representar (función desconocida «\mathscr»): E(k_{q},K_{\phi})=\int_{0}^{\infty}\rho \int_{0}^{2\pi}\mathscr{A}(\rho,\varphi)e^{\imath (kq\rho/R) \cos(\varphi-\phi)}\rho d\rho d\varphi
La función de apertura es.
Error al representar (función desconocida «\mathscr»): \mathscr{A}(\rho,\varphi)=\{ ^{1\quad para \quad \rho < r(a,\varphi)}_{0 \quad para\quad \rho >r(a,\varphi)}
Reescribimos esta función como el producto de una parte radial y una angular entonces
Esta función tiene fronteras entre
Y puede verse que en el limite cuando
Si reescribimos la variable radial a
Entonces la ecuación de la función de apertura puede ser escrita independiente del angulo $\varphi$
Tal que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mathscr{A}(a,\varphi)=\mathscr{A}(\rho\prime,\varphi)=U(\rho\prime)U(phi)=U(\rho\prime)$
Entonces la transformada de Fourier de un circulo-cuadrado es
\
5. circulo.
Si ponemos entonces y obtenemos
Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle E(k_{q},K_{\phi})&=&\int_{0}^{\infty}\rho \prime U(\rho\prime)[\int_{0}^{2\pi}(\varphi) e^{\imath (kq\rho \prime /R) \cos(\varphi-\phi)} d\varphi]d\rho\prime \nonumber\\ &=&\int_{0}^{\infty}\rho \prime U(\rho\prime)[J_{0}(k q \rho\prime/R)]d\rho\prime\nonumber\\ &=&\int_{0}^{a}\rho \prime [J_{0}(k q \rho\prime/R)]d\rho\prime\nonumber\\ &=&(R/kqa)J_{1}(kqa/R)\nonumber\ }
Y recobramos el resultado ya presentado
5. cuadrado.
Obtenemos un cuadro para
Por consideraciones de simetria y tomando la parte real de la transformada de Fourier para el circulo-cuadrado obtenemos
Tomando en cuenta que la función angular del cuadrado es
Tenemos entonces que
Haciendo las integrales angulares
Integrando nuevamente
Sumando tenemos
Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle E(k_{q},K_{\phi})&=&G_{1}+G_{2}\nonumber\\ &=&\frac{4}{(kq/R)^{2}\cos\phi\sin\phi}[\sin(kqa/R\sin\phi)\sin(kqa/R\cos\phi)]\nonumber\\ &=&4a^{2}\mathrm{sinc}(kqa/R \sin\phi)\mathrm{sinc} (kqa/R\cos\phi)\nonumber\ }
como
\
Building
--CAZ 00:20 19 ago 2008 (CDT)