Optica: Difraccion de Fraunhofer circulo-cuadrado

1. Apertura Rectangular.

Consideramos la configuración de la Fig.1 en tres dimensiones la cual puede verse de una forma mas simple si rotamos los ejes y solo vemos el perfil del eje $y$ como en Fig.2, en donde tenemos una onda plana monocromática que se propaga en el eje $x$ e incide en una pantalla que contiene una

Fig.1

Fig.2

abertura de forma arbitraria .Deseamos calcular la distribución de la densidad de flujo correspondiente al campo lejano en un punto P distante arbitrario.

De acuerdo con el principio de Huygens-Fresnel un área diferencial $dS$ de la apertura puede visualizarse como cubierta de fuentes puntuales secundarias coherentes. Tomando que $dS$ es mas pequeña que $\lambda$ tal que todas las contribuciones en el punto P permanecen en fase interfiriendo constructivamente.

• Si $\varepsilon _{A}$ es la intensidad de la fuente por unidad de área, suponiendo que es constante en toda la abertura
• La perturbación óptica en P debida a $dS$ es

$dE={\frac {\varepsilon _{A}}{r}}e^{\imath (\omega t-kr)}dS$

La distancia de $dS$ a $P$ es

$r=[X^{2}+(Y-y)^{2}+(Z-z)^{2}]^{\frac {1}{2}}$

Donde tomamos en cuenta la Fig.1 y posteriormente una figura similar para el perfil del eje z.

Como la condición de Fraunhofer se satisface para $r$ muy grande, además si la abertura es muy pequeña remplazamos $r$ por $R$ y hacemos una aproximación para la fase

$R=[X^{2}+Y^{2}+Z^{2}]^{\frac {1}{2}}$

entonces

$r=R[1+{\frac {(y^{2}+z^{2})}{R^{2}}}-{\frac {2(Yy+Zz)^{2}}{R^{2}}}]^{\frac {1}{2}}$

Para el campo lejano $R$ es muy grande comparado con las dimensiones de la apertura y el termino

$R={\frac {(y^{2}+z^{2})}{R^{2}}}\simeq 0$

Por lo cual

$r=R[1-{\frac {2(Yy+Zz)^{2}}{R^{2}}}]^{\frac {1}{2}}$

Y mediante una expansión binomial obtenemos.

$r=R[1-{\frac {(Yy+Zz)^{2}}{R^{2}}}]$

Por lo tanto la perturbación total que llega a $P$ es

${\tilde {E}}={\frac {\varepsilon _{A}e^{\imath (\omega t-kR)}}{R}}\int _{Abertura}\int e^{\imath k(Yy+Zz)/R}dS$

Consideramos ahora la configuración de la fig.3 con lo cual la ecuación para el campo se puede escribir como

Fig.3

${\tilde {E}}={\frac {\varepsilon _{A}e^{\imath (\omega t-kR)}}{R}}\int _{-b/2}^{b/2}e^{\imath kYy/R}dy\int _{-a/2}^{a/2}e^{\imath kZz/R}dz$

Si definimos $\beta ={\frac {kby}{2R}},\qquad \alpha ={\frac {kaz}{2R}}$ obtenemos

$\int _{-b/2}^{b/2}e^{\imath kYy/R}dy={\frac {R}{\imath kY}}(e^{\imath kYb/2R}-e^{-\imath kYb/2R})={\frac {2R}{kY}}\sin({\frac {bkY}{2R}})=b{\frac {\sin(\beta )}{\beta }}$

$\int _{-a/2}^{a/2}e^{\imath kZz/R}dz={\frac {R}{\imath kZ}}(e^{\imath kZa/2R}-e^{-\imath kZa/2R})={\frac {2R}{kY}}\sin({\frac {akZ}{2R}})=a{\frac {\sin \alpha }{\alpha }}$

Por lo tanto

${\tilde {E}}={\frac {\varepsilon _{A}e^{\imath (\omega t-kR)}}{R}}A({\frac {\sin \beta }{\beta }})({\frac {\sin \alpha }{\alpha }})$

Como $I=<(Re){\tilde {E}}>_{T}$

$I(Y,Z)=I(0)({\frac {\sin \beta }{\beta }})({\frac {\sin \alpha }{\alpha }})$

Donde $I(0)$ es la Irradiancia en $P_{0}$

En valores de $Y,Z$ tales que $\alpha ,\beta$ sean cero $I(Y,Z)$ adquiere la forma de la difracción de una rendija

Distribución de campo lejano de una apertura cuadrada

La misma distribución a color

Distribución de la irradiancia para una apertura cuadrada

Podemos modelar algunos patrones de difraccion rectangular en / esta pagina

2. Apertura Circular.

Fig.4

• Ahora consideramos nuevamente la Fig.4 solo que en esta ocasión la apertura es circular.
• Las aberturas circulares son muy importantes para el estudio de la instrumentación óptica.
• Retomando nuevamente la expresión de la perturbación óptica en P para la abertura arbitraria en el caso del campo lejano

${\tilde {E}}={\frac {\varepsilon _{A}e^{\imath (\omega t-kR)}}{R}}\int _{Abertura}\int e^{\imath k(Yy+Zz)/R}dS(1)$

La simetría del problema sugiere el uso de coordenadas esféricas tanto en el plano de la apertura como en el plano de observación

$z=\rho \cos \varphi ,Z=q\cos \phi$ $y=\rho \sin \varphi ,Y=q\sin \phi$

Entonces sustituyendo en la expresión de la rendija arbitraria

${\tilde {E}}={\frac {\varepsilon _{A}e^{\imath (\omega t-kR)}}{R}}\int _{\rho =0}^{a}\int _{\varphi =0}^{2\pi }e^{(\imath k\rho q/R)\cos(\varphi -\phi )}\rho d\rho d\varphi$

Por la simetría axial la solución es independiente de $\phi$

$\int _{\varphi =0}^{2\pi }e^{(\imath k\rho q/R)\cos(\varphi )}d\varphi$

Esta ultima ecuación es una función única que no puede reducirse otra forma más corriente, como funciones hiperbólicas exponenciales o trigonométricas

La cantidad

$J_{0}(u)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{\imath u\cos v}dv$

Se denomina función de Bessel de primera especie y orden cero

En general

$J_{m}(u)={\frac {\imath ^{-m}}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{\imath (mv+u\cos v)}dv$

Representa la función de Bessel de orden m

Si

$u={\frac {k\rho q}{R}}$

Podemos escribir

${\tilde {E}}={\frac {\varepsilon _{A}e^{\imath (\omega t-kR)}}{R}}\int _{0}^{a}J_{0}({\frac {k\rho q}{R}})\rho d\rho$

Otra propiedad de la funciones de Bessel es la relación de recurrencia

${\frac {d}{du}}[u^{m}J_{m}(u)]=u^{m}J_{m-1}(u)$

Con $m=1$

$\int _{0}^{u}u\prime J_{0}(u\prime )du\prime =uJ_{1}(u)$

Entonces si nombramos a $w$ como $w={\frac {k\rho q}{R}}\quad$

obtenemos

$\qquad dw={\frac {kq}{R}}d\rho ,\qquad d\rho ={\frac {R}{kq}}dw\qquad \rho ={\frac {wR}{kq}}$

Mediante la regla de recurrencia tenemos

${\tilde {E}}={\frac {\varepsilon _{A}e^{\imath (\omega t-kR)}}{R}}2\pi a^{2}({\frac {R}{kaq}})J_{1}({\frac {kaq}{R}})$

Y la irradiancia en P es ${\frac {1}{2}}{\tilde {E}}{\tilde {E}}^{*}$

$I=2({\frac {\varepsilon _{A}}{R}}A)^{2}[{\frac {J_{1}({\frac {kaq}{R}})}{\frac {kaq}{R}}}]^{2}$

Para calcular la irradiancia en el centro ponemos $q=0$ Y usando la ley de recurrencia.

Verificamos que

$\lim _{u\rightarrow 0}{\frac {J_{1}(u)}{u}}={\frac {1}{2}}$

La irradiancia en $P_{0}$ es

$I(0)={\frac {\varepsilon _{A}^{2}}{2R^{2}}}A^{2}$

Que es el mismo resultado que la apertura rectangular

Fig5. Disco de Airy

Como $\sin \theta =q/r$, la irradiancia se puede escribir como función de $\theta$

$I=I(0)[{\frac {2J_{1}(ka\sin \theta )}{ka\sin \theta }}]^{2}$

El máximo central corresponde al llamado disco de Airy (Fig5.)

Si derivamos respecto a la distancia q obtenemos la condición para los mínimos y máximos

${\frac {dI}{dq}}=-2I(0)u/q[{\frac {J_{1}(u)}{u}}][{\frac {J_{2}(u)}{u}}]=0$

El primer mínimo corresponde al primer cero de la función $J_{1}(0)$

Podemos calcular la distancia del centro de la distribución a los máximos y mínimos, con $u=3.83$.

${\frac {kaq}{R}}=3.83\qquad q_{1}={\frac {1.22R\lambda }{D}}$

Los máximos secundarios ocurren para $J_{2}=0$

Distribución de campo lejano de una apertura circular

Distribución para difracción de rayos X

Distribución de la irradiancia para una apertura circular

Podemos modelar algunos patrones de difracción circular en / esta pagina

3. Métodos de Fourier.

La transformada de Fourier aporta una percepción diferente y hermosa del mecanismo de difracción de Fraunhofer

Partimos de la ecuación

${\tilde {E}}(Y,Z)={\frac {\varepsilon _{A}e^{\imath (\omega t-kR)}}{R}}\int _{Abertura}\int e^{\imath k(Yy+Zz)/R}dS$

• La cantidad R es la distancia del centro de la apertura
• si nos limitamos a una pequeña región $R$ puede considerarse constante
• $\varepsilon _{A}$ no es necesariamente invariante
• Las variaciones en $\varepsilon _{A}$ y la constante multiplicativa pueden combinarse en una sola cantidad compleja

${\mathcal {A}}(y,z)={\mathcal {A}}_{0}(y,z)e^{\imath \phi (y,z)}$

Denominada función de abertura

Con esto podemos reescribir la ecuación anterior

${\tilde {E}}(Y,Z)=\int \int _{-\infty }^{\infty }{\mathcal {A}}(y,z)e^{\imath k(Yy+Zz)/R}dydz$

Está función de apertura equivale a poner una función que indique la geometría de la apertura, por lo tanto los limites de la integral pueden extenderse hasta $\pm \infty$, ya que la función es no nula únicamente en la región de la abertura Por ejemplo si tenemos una apertura cuadrada ponemos una función cuadrada e integramos en el espacio de menos infinito a infinito. Esto puede resultar muy útil cuando tratamos de indicar que la apertura es mas opaca en las orillas que en el centro ya que podemos usar una función de apertura Gaussiana.

Definimos la frecuencias espaciales

$K_{y}=kY/R=k\sin \phi =k\cos \beta \quad K_{z}=kZ/R=k\sin \theta =k\cos \gamma$

El campo difractado puede ahora escribirse como

${\tilde {E}}(K_{y},K_{z})=\int \int _{-\infty }^{\infty }{\mathcal {A}}(y,z)e^{\imath k(K_{y}y+K_{z}z)/R}dydz$

Ahora tenemos que "la distribución del campo en la figura de difracción de Fraunhofer es la transformada de Fourier de la distribución del campo sobre la abertura"

Simbólicamente

$E(K_{y},K_{z})={\mathcal {F}}{{\mathcal {A}}(y,z)}$

La distribución del campo en el plano imagen es el espectro de frecuencia espacial de la función de la abertura. Entonces

${\mathcal {A}}(y,z)={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\int \int _{-\infty }^{\infty }E(K_{y},K_{z})e^{\imath k(K_{y}y+K_{z}z)/R}dydz$

o

${\mathcal {A}}(y,z)={\mathcal {F}}^{-1}E(K_{y},K_{z})$

4. Difracción de apertura Círculo-Cuadrado.

La ecuación

$x^{2}+y^{2}-{\frac {s^{2}}{a^{2}}}x^{2}y^{2}=a^{2}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (1)$

• Representa un círculo en el plano $xy$ de radio $a$ si $s=0$

$x^{2}+y^{2}=a^{2}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$

• Representa un cuadrado de lado $2a$ si $s=1$
  

  Fig6. Solución para el cuadrado con las restricciones mencionadas

$(1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}})^{1/2}(1-{\frac {y^{2}}{a^{2}}})^{1/2}=0$

Debido a que las variables están restringidas a valores mas pequeños o iguales a $a$ tenemos

$a^{2}\geq x^{2},y^{2}$

Por lo tanto obtenemos la Fig6.

La ecuación (1) representa una figura intermedia con esquinas redondeadas que escribiéndola en coordenadas polares $(r,\varphi )$

$[{\frac {s^{2}}{4}}\sin ^{2}2\varphi ]r^{4}-a^{2}r^{2}+a^{2}=0$

Encontramos que tiene solución

$r(a,\varphi )=\{[2a^{2}{\frac {1-[1-s^{2}\sin ^{2}(2\varphi )]^{1/2}}{s^{2}\sin ^{2}(2\varphi )}}\}^{1/2}$

Puede demostrarse que el signo negativo en la expresión implica una y solo una posible solución que cumple la condición $r^{2}\leq 2a^{2}$

La transformada de Fourier para una apertura arbitraria es como dijimos antes

$E(k_{q},K_{\phi })=\int _{0}^{\infty }\rho \int _{0}^{2\pi }{\mathcal {A}}(\rho ,\varphi )e^{\imath (kq\rho /R)\cos(\varphi -\phi )}\rho d\rho d\varphi$

La función de apertura para este caso particular es.

${\mathcal {A}}(\rho ,\varphi )=\{_{0\quad para\quad \rho >r(a,\varphi )}^{1\quad para\quad \rho <r(a,\varphi )}$

Si reescribimos esta función como el producto de una parte radial y una angular entonces

$r(a,\varphi )=aM_{s}(\varphi )$

con

$M_{s}(\varphi )=[2{\frac {1-[1-s^{2}\sin ^{2}(2\varphi )]^{1/2}}{s^{2}\sin ^{2}(2\varphi )}}]^{1/2}$

Esta función tiene fronteras entre

$\quad 1\leq M_{s}(\varphi )\leq {\sqrt {2}}$

Y puede verse que en el limite cuando $s\longrightarrow 0,\qquad M_{s}(\varphi )\longrightarrow 1$

Si reescribimos la variable radial

$\rho =\rho \prime M_{s}(\varphi )\quad d\rho =d\rho \prime M_{s}(\varphi )$

Entonces la ecuación de la función de apertura puede ser escrita independiente del ángulo $\varphi$

$U(\rho \prime )=\{_{0\quad para\quad \rho \prime >a}^{1\quad para\quad \rho \prime <a}$

Tal que

${\mathcal {A}}(a,\varphi )={\mathcal {A}}(\rho \prime ,\varphi )=U(\rho \prime )U(\phi )=U(\rho \prime )$ $\varphi$

Entonces la transformada de Fourier de un circulo-cuadrado es

$E(k_{q},K_{\phi })=\int _{0}^{\infty }\rho \prime U(\rho \prime )\int _{0}^{2\pi }M_{s}^{2}(\varphi )e^{\imath (kq\rho \prime M_{s}(\varphi )/R)\cos(\varphi -\phi )}d\rho \prime d\varphi$\

5. círculo.

Si ponemos $s=0$ entonces $M_{s}(\varphi )=1$ y obtenemos

${\begin{alignedat}{4}E(k_{q},K_{\phi })&=&\int _{0}^{\infty }\rho \prime U(\rho \prime )[\int _{0}^{2\pi }(\varphi )e^{\imath (kq\rho \prime /R)\cos(\varphi -\phi )}d\varphi ]d\rho \prime \\&=&\int _{0}^{\infty }\rho \prime U(\rho \prime )[J_{0}(kq\rho \prime /R)]d\rho \prime \\&=&\int _{0}^{a}\rho \prime [J_{0}(kq\rho \prime /R)]d\rho \prime \\&=&(R/kqa)J_{1}(kqa/R)\\\end{alignedat}}$

Y recobramos el resultado ya presentado

5. cuadrado.

Obtenemos un cuadrado para $s=1$

Por consideraciones de simetría y tomando la parte real de la transformada de Fourier para el circulo-cuadrado obtenemos

$E(k_{q},K_{\phi })=\int _{0}^{a}\rho \prime \int _{-\pi /4}^{3\pi /4}M_{s}^{2}(\varphi )\cos[{(kq\rho \prime M_{s}(\varphi )/R)\cos(\varphi -\phi )}]d\rho \prime d\varphi$

Tomando en cuenta que la función angular del cuadrado es

$M_{s=1}(\varphi )=\{_{{\frac {1}{|\sin \varphi |}}\quad para\quad \pi /4\quad a\quad (3\pi /4)+n\pi }^{{\frac {1}{|\cos \varphi |}}\quad para\quad -\pi /4\quad a\quad (\pi /4)+n\pi }$

Tenemos entonces que

$E(k_{q},K_{\phi })=\int _{0}^{a}\rho \prime \int _{-\pi /4}^{\pi /4}{\frac {\cos[(kq\rho \prime /R)(\cos \phi +\sin \phi \tan \varphi ]}{\cos ^{2}\varphi }}d\varphi d\rho \prime +\int _{0}^{a}\rho \prime \int _{\pi /4}^{3\pi /4}{\frac {\cos[(kq\rho \prime /R)(\sin \phi +\cos \phi \cot \varphi )]}{\sin ^{2}\varphi }}d\varphi d\rho \prime$

Nombramos la primera de la ecuación $G_{1}$,y la segunda parte $G_{2}$ quedando

$E(k_{q},K_{\phi })=G_{1}+G_{2}$

Haciendo las integrales angulares

$G_{1}={\frac {4}{(kq/R)^{2}\sin \phi }}\int _{0}^{a}\sin[(kq\rho \prime /R)\sin \phi ]\cos[(kq\rho \prime /R)\cos \phi ]$ $G_{2}={\frac {4}{(kq/R)^{2}\cos \phi }}\int _{0}^{a}\cos[(kq\rho \prime /R)\sin \phi ]\sin[(kq\rho \prime /R)\cos \phi ]$

Integrando nuevamente

$G_{1}={\frac {4}{(kq/R)^{2}\sin \phi }}[({\frac {1-\cos[kqa/R(\sin \phi -cos\phi )]}{\sin \phi -\cos \phi }})$ $+({\frac {1-\cos[kqa/R(\sin \phi +\cos \phi )]}{\sin \phi +\cos \phi }})]$

$G_{2}={\frac {4}{(kq/R)^{2}\cos \phi }}[({\frac {1-\cos[kqa/R(\cos \phi -\sin \phi )]}{\cos \phi -\sin \phi }})$ $+({\frac {1-\cos[kqa/R(\sin \phi +\cos \phi )]}{\sin \phi +\cos \phi }})]$

Sumando $G_{1}+G_{2}$ tenemos

${\begin{array}{lcl}E(k_{q},K_{\phi })&=&G_{1}+G_{2}\\&=&{\frac {4}{(kq/R)^{2}\cos \phi \sin \phi }}[\sin(kqa/R\sin \phi )\sin(kqa/R\cos \phi )]\\&=&4a^{2}\mathrm {sinc} (kqa/R\sin \phi )\mathrm {sinc} (kqa/R\cos \phi )\\\end{array}}$

como

$z=\rho \cos \varphi ,Z=q\cos \phi$

$y=\rho \sin \varphi ,Y=q\sin \phi$

Obtenemos finalmente

$E(k_{q},k_{\phi })=4a^{2}\mathrm {sinc} [(ka/R)\quad Y]\mathrm {sinc} [(ka/R)\quad Z]$

Que es la ecuación para el campo de un cuadrado.

5. Valores Intermedios de $S$.

Fig7. Variación de s para la ecuación del círculo-cuadrado

Las soluciones para los valores intermedios de la ecuación (1) pueden verse en la Fig7. en donde se realizo una simulación para valores de $s$ ente $0$ y $1$.Podemos ver como poco a poco pasamos de un círculo a un cuadrado.

La distribución para la amplitud del campo se realizo calculando primeramente la integral angular para la transformada de Fourier y se hizo una animación variando el parametro $S$ como se presenta en la Fig8.

Fig8. Variación de s para la distribucion de l campo

En las figuras subsecuentes se muestra la distribución del campo para varios valores de $S$ asi como la curva de nivel del campo.

$s=1$

$s=0.99$

$s=0.95$

$s=0.8$

$s=0.6$

$s=0$

--CAZ 16:32 29 ago 2008 (CDT)