Optica: Difraccion de Fraunhofer circulo-cuadrado

Building

1. Apertura rectangular.

• Según el principio de Huygens-Fresnel(Cada punto en una

fuente de ondas sirve como frente de trenes de onda esféricas secundarias),

• un área diferencial $dS$ dentro de la abertura se

visualiza como si estuviera cubierta con fuentes secundarias coherentes

• Si $varepsilon_{A}$es la intensidad de la fuente

por unidad de área, suponiendo que es constante en toda la abertura

• La perturbación óptica en P debida a $dS$

$dE={\frac {\varepsilon _{A}}{r}}e^{\imath (\omega t-kr)}dS$ La distancia de $dS$ a $P$es $r^{2}=x^{2}+(Y-y)^{2}+(Z-z)^{2}$

-Como la condición de Fraunhofer se satisface para $r$ muy grande y si abertura es muy pequeña remplazamos $r$ por $R$ y hacemos una aproximación para la fase $R=[X^{2}+Y^{2}+Z^{2}]^{\frac {1}{2}}$

entonces

Error al representar (error de sintaxis): r=R[1+\frac{(y^{2}+z^{2})}{R^{2}}-\frac{2(Yy+Zz)^{2}}{R^{2}}]^{\frac{1}{2}}\

-Para el campo lejano $R$ es muy grande comparado con las dimensiones de la apertura

$R={\frac {(y^{2}+z^{2})}{R^{2}}}\simeq 0$

Por lo tanto $r=R[1-{\frac {2(Yy+Zz)^{2}}{R^{2}}}]^{\frac {1}{2}}$

-Y con una expansión binomial obtenemos.

$r=R[1-{\frac {(Yy+Zz)^{2}}{R^{2}}}]$

Por lo tanto la perturbación total que llega a $P$ es

${\tilde {E}}={\frac {\varepsilon _{A}e^{\imath (\omega t-kR)}}{R}}\int _{Abertura}\int e^{\imath k(Yy+Zz)/R}dS$

-Consideramos ahora la figura siguiente

Podemos escribir la ecuación (1) como

${\tilde {E}}={\frac {\varepsilon _{A}e^{\imath (\omega t-kR)}}{R}}\int _{-b/2}^{b/2}e^{\imath kYy/R}dy\int _{-a/2}^{a/2}e^{\imath kZz/R}dz$

Si definimos $\beta ={\frac {kby}{2R}}$,$\alpha ={\frac {kaz}{2R}}$ obtenemos

$\int _{-b/2}^{b/2}e^{\imath kYy/R}dy={\frac {R}{\imath kY}}(e^{\imath kYb/2R}-e^{-\imath kYb/2R})={\frac {2R}{kY}}\sin({\frac {bkY}{2R}})=b{\frac {\sin(\beta )}{\beta }}$

$\int _{-a/2}^{a/2}e^{\imath kZz/R}dz={\frac {R}{\imath kZ}}(e^{\imath kZa/2R}-e^{-\imath kZa/2R})={\frac {2R}{kY}}\sin({\frac {akZ}{2R}})=a{\frac {\sin \alpha }{\alpha }}$

Por lo tanto ${\tilde {E}}={\frac {\varepsilon _{A}e^{\imath (\omega t-kR)}}{R}}A({\frac {\sin \beta }{\beta }})({\frac {\sin \alpha }{\alpha }})$

-Como $I=<(Re){\tilde {E}}>_{T}$

$I(Y,Z)=I(0)({\frac {\sin \beta }{\beta }})({\frac {\sin \alpha }{\alpha }})$

-Donde $I(0)$ es la Irradiancia en $P_{0}$

En valores de Y,Z tales que $\alpha ,\beta$ sean cero $I(Y,Z)$ adquiere la forma de la difracción de una rendija

2. Apertura circular.

Las aberturas circulares son muy importantes para el estudio de la instrumentación óptica. Partimos de ${\tilde {E}}={\frac {\varepsilon _{A}e^{\imath (\omega t-kR)}}{R}}\int _{Abertura}\int e^{\imath k(Yy+Zz)/R}dS(1)$

En coordenadas esféricas $z=\rho \cos \varphi ,Z=q\cos \phi$

$y=\rho \sin \varphi ,Y=q\sin \phi$

Entonces

${\tilde {E}}={\frac {\varepsilon _{A}e^{\imath (\omega t-kR)}}{R}}\int _{\rho =0}^{a}\int _{\varphi =0}^{2\pi }e^{(\imath k\rho q/R)\cos(\varphi -\phi )}\rho d\rho d\varphi$

-Por la simetría axial la solución es independiente de $\phi$ $\int _{\varphi =0}^{2\pi }e^{(\imath k\rho q/R)\cos(\varphi )}d\varphi$

Es una función única que no puede reducirse

-La cantidad

$J_{0}(u)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{\imath u\cos v}dv$

Es la función de Bessel de primera especie y orden cero

En general $J_{m}(u)={\frac {\imath ^{-m}}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{\imath (mv+u\cos v)}dv$ Representa la función de Bessel de orden m

Si $u={\frac {k\rho q}{R}}$

Podemos escribir

${\tilde {E}}={\frac {\varepsilon _{A}e^{\imath (\omega t-kR)}}{R}}\int _{0}^{a}J_{0}({\frac {k\rho q}{R}})\rho d\rho$

-Otra propiedad de la funciones de Bessel es la relación de recurrencia

${\frac {d}{du}}[u^{m}J_{m}(u)]=u^{m}J_{m-1}(u)$

Con $m=1$

$\int _{0}^{u}u\prime J_{0}(u\prime )du\prime =uJ_{1}(u)$}

Entonces si nombramos

$w={\frac {k\rho q}{R}}$ , $dw={\frac {kq}{R}}d\rho$, $d\rho ={\frac {R}{kq}}dw$, y $\rho ={\frac {wR}{kq}}$

Mediante la regla de recurrencia tenemos

${\tilde {E}}={\frac {\varepsilon _{A}e^{\imath (\omega t-kR)}}{R}}2\pi a^{2}({\frac {R}{kaq}})J_{1}({\frac {kaq}{R}})$

Y la irradiancia en P es ${\frac {1}{2}}{\tilde {E}}{\tilde {E}}^{*}$

$I=2({\frac {\varepsilon _{A}}{R}}A)^{2}[{\frac {J_{1}({\frac {kaq}{R}})}{\frac {kaq}{R}}}]^{2}$

Para calcular la irradiancia en el centro ponemos $q=0$ Y usando la ley de recurrencia.

Verificamos que $\lim _{u\rightarrow 0}{\frac {J_{1}(u)}{u}}={\frac {1}{2}}$

La irradiancia en $P_{0}$ es

$I(0)={\frac {\varepsilon _{A}^{2}}{2R^{2}}}A^{2}$

Que es el mismo resultado que la apertura rectangular Como $\sin \theta =q/r$, la irradiancia se puede escribir como función de $\theta$

$I=I(0)[{\frac {2J_{1}(ka\sin \theta )}{ka\sin \theta }}]^{2}$

}

-El máximo central corresponde e llamado disco de Airy

si hacemos

${\frac {dI}{dq}}=-2I(0)u/q[{\frac {J_{1}(u)}{u}}][{\frac {J_{2}(u)}{u}}]=0$

-El primer mínimo corresponde al primer cero de la función $J_{1}(0)$, con $u=3.83$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): kaq/R=3.83\ q_{1}=1.22 R\lambda/D

-Los máximos secundarios ocurren para $J_{2}=0$

3. Métodos de Fourier.

-La transformada de Fourier aporta una percepción de diferente del mecanismo de difracción de Fraunhofer Partimos de la ecuación

${\tilde {E}}(Y,Z)={\frac {\varepsilon _{A}e^{\imath (\omega t-kR)}}{R}}\int _{Abertura}\int e^{\imath k(Yy+Zz)/R}dS$

• La cantidad R es la distancia del centro de la apertura
• si nos limitamos a una pequeña región $R$ puede conciderarse constante

$\varepsilon _{A}$ no es necesariamente invariante

• Las variaciones en $\varepsilon _{A}$ y la constante multlipicativa pueden combinarse en una sola cantidad compleja

Error al representar (función desconocida «\mathscr»): \mathscr{A}(y,z)=\mathscr{A}_{0}(y,z)e^{\imath \phi (y,z)}

Denominada función de abertura

-Con esto podemos reformular la ecuación anterior

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \tilde{E}(Y,Z)=\int\int_{-\infty}^{\infty}\mathscr{A}(y,z) e^{\imath k (Yy+Zz)/R} dydz

Donde los limites de la integral pueden extenderse hasta $\pm \infty$ por que la función de la abertura es no nula únicamente en la region de la abertura -Definimos la frecuencias espaciales

$K_{y}=kY/R=k\sin \phi =k\cos \beta \quad K_{z}=kZ/R=k\sin \theta =k\cos \gamma$

El campo difractado puede ahora escribirse como

Error al representar (función desconocida «\mathscr»): \tilde{E}(K_{y},K_{z})=\int\int_{-\infty}^{\infty}\mathscr{A}(y,z) e^{\imath k (K_{y}y+K_{z}z)/R} dydz

Ahora tenemos que "la distribución del campo en la figura de difracción de Fraunhofer es la transformada de Fourier de la distribución del campo sobre la abertura" -Simbolicamente

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): E(K_{y},K_{z})=\mathscr{F}{\mathscr{A}(y,z)}

La distribucion del campo en el plano imagen es el espectro de frecuencia espacial de la función de la abertura. Entonces

Error al representar (función desconocida «\mathscr»): \mathscr{A}(y,z)=\frac{1}{(2\pi)^{2}}\int\int_{-\infty}^{\infty}E(K_{y},K_{z}) e^{\imath k (K_{y}y+K_{z}z)/R} dydz

o

Error al representar (función desconocida «\mathscr»): \mathscr{A}(y,z)=\mathscr{F}^{-1}E(K_{y},K_{z})

4. Difracción de apertura circulo-cuadrado.

La ecuación

$x^{2}+y^{2}-{\frac {s^{2}}{a^{2}}}x^{2}y{2}=a^{2}$

• Representa un circulo en el plano $xy$ de radio $a$ si $s=0$
• Representa un cuadrado de lado $2a$ si $s=1$

Debido a que las variables estan restringidas a valores mas pequeños o iguales a $a$

$a^{2}\geq x^{2},y^{2}$

La ecuación (3) representa una figura intermedia con esquinas redondeadas

Escribimos en coordenadas Polares $(r,\varphi )$

$[{\frac {s^{2}}{4}}\sin ^{2}2\varphi ]r^{4}-a^{2}r^{2}+a^{2}=0$

Con solución

$r(a,\varphi )=\{[2a^{2}{\frac {1-[1-s^{2}\sin ^{2}(2\varphi )]^{1/2}}{s^{2}\sin ^{2}(2\varphi )}}\}^{1/2}$

-Puede demostrarse que el signo negativo en la expresión implica una y solo una posible solución que cumple la condición $r^{2}\leq 2a^{2}$

La transformada de Fourier para una apertura es

Error al representar (función desconocida «\mathscr»): E(k_{q},K_{\phi})=\int_{0}^{\infty}\rho \int_{0}^{2\pi}\mathscr{A}(\rho,\varphi)e^{\imath (kq\rho/R) \cos(\varphi-\phi)}\rho d\rho d\varphi

La función de apertura es.

Error al representar (función desconocida «\mathscr»): \mathscr{A}(\rho,\varphi)=\{ ^{1\quad para \quad \rho < r(a,\varphi)}_{0 \quad para\quad \rho >r(a,\varphi)}

Reescribimos esta función como el producto de una parte radial y una angular entonces $r(a,\varphi )=aM_{s}(\varphi )$

$M_{s}(\varphi )=[2{\frac {1-[1-s^{2}\sin ^{2}(2\varphi )]^{1/2}}{s^{2}\sin ^{2}(2\varphi )}}]^{1/2}$

Esta función tiene fronteras entre $1\leq M_{s}(\varphi )\leq {\sqrt {2}}$

Y puede verse que en el limite cuando $s\longrightarrow 0$ $M_{s}(\varphi )\longrightarrow 1$

Si reescribimos la variable radial a

\textcolor[rgb]{0.00,0.59,0.00}{\begin{displaymath} \rho = \rho \prime M_{s}(\varphi)\quad d\rho =d\rho \prime M_{s}(\varphi) \end{displaymath}}

Entonces la ecuación de la función de apertura puede ser escrita independiente del angulo $\varphi$

\textcolor[rgb]{1.00,0.50,0.00}{\begin{displaymath} U(\rho\prime)=\{ ^{1\quad para \quad \rho\prime < a}_{0 \quad para\quad \rho\prime >a} \end{displaymath}} \end{frame}

\begin{frame} Tal que \textcolor[rgb]{0.00,0.53,0.68}{$\mathscr{A}(a,\varphi)=\mathscr{A}(\rho\prime,\varphi)=U(\rho\prime)U(phi)=U(\rho\prime)$} para todo $\varphi$ Entonces la transformada de Fourier de un circulo-cuadrado es \textcolor[rgb]{1.00,0.00,0.00}{\begin{displaymath} E(k_{q},K_{\phi})=\int_{0}^{\infty}\rho \prime U(\rho\prime)\int_{0}^{2\pi}M_{s}^{2}(\varphi) e^{\imath (kq\rho \prime M_{s}(\varphi)/R) \cos(\varphi-\phi)}d\rho\prime d\varphi \end{displaymath}} \end{frame}

\subsection{circulo}

\begin{frame} \textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{Circulo} Si ponemos $s=0$ entonces $M_{s}(\varphi)=1$ y obtenemos \textcolor[rgb]{0.00,0.59,0.00}{\begin{eqnarray} E(k_{q},K_{\phi})&=&\int_{0}^{\infty}\rho \prime U(\rho\prime)[\int_{0}^{2\pi}(\varphi) e^{\imath (kq\rho \prime /R) \cos(\varphi-\phi)} d\varphi]d\rho\prime \nonumber\\ &=&\int_{0}^{\infty}\rho \prime U(\rho\prime)[J_{0}(k q \rho\prime/R)]d\rho\prime\nonumber\\ &=&\int_{0}^{a}\rho \prime [J_{0}(k q \rho\prime/R)]d\rho\prime\nonumber\\ &=&(R/kqa)J_{1}(kqa/R)\nonumber\ \end{eqnarray}}

Y recobramos el resultado ya presentado \end{frame}

\subsection{cuadrado}

\begin{frame} \textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{Cuadrado} Obtenemos un cuadro para $s=1$ Por consideraciones de simetria y tomando la parte real de la transformada de Fourier para el circulo-cuadrado obtenemos \textcolor[rgb]{0.00,0.50,0.00}{\begin{displaymath} E(k_{q},K_{\phi})=\int_{0}^{a}\rho \prime \int_{-\pi/4}^{3\pi /4}M_{s}^{2}(\varphi) \cos[ { (kq\rho \prime M_{s}(\varphi)/R) \cos(\varphi-\phi)}]d\rho\prime d\varphi \end{displaymath}}

Tomando en cuenta que la función angular del cuadrado es \textcolor[rgb]{1.00,0.00,0.00}{\begin{displaymath} M_{s=1}(\varphi)=\{^{\frac{1}{|\cos \varphi|} \quad para \quad -\pi/4 \quad a\quad (\pi/4)+n\pi} _{\frac{1}{|\sin \varphi|}\quad para \quad \pi/4 \quad a\quad (3\pi/4)+n\pi} \end{displaymath}} \end{frame}

\begin{frame} Tenemos entonces que \textcolor[rgb]{0.00,0.50,1.00}{\begin{displaymath} E(k_{q},K_{\phi})=\int_{0}^{a}\rho \prime \int_{-\pi/4}^{\pi /4} \frac{\cos [(kq\rho\prime/R) (\cos\phi+\sin\phi\tan\varphi]}{\cos^{2}\varphi} d\varphi d\rho\prime \end{displaymath}} \textcolor[rgb]{0.00,0.50,1.00}{\begin{displaymath} +\int_{0}^{a}\rho \prime \int_{\pi/4}^{3\pi /4} \frac{\cos [(kq\rho\prime/R) (\sin\phi+\cos\phi\cot\varphi)]}{\sen^{2}\varphi} d\varphi d\rho\prime=G_{1}+G_{2} \end{displaymath}}

Haciendo las integrales angulares

\textcolor[rgb]{0.50,0.00,1.00}{\begin{displaymath} G_{1}=\frac{4}{(kq/R)^{2}\sin\phi} \int_{0}^{a}\sin[(kq\rho\prime/R)\sin\phi]\cos[(kq\rho\prime/R)\cos\phi] \end{displaymath}} \textcolor[rgb]{1.00,0.00,0.50}{\begin{displaymath} G_{2}=\frac{4}{(kq/R)^{2}\cos\phi} \int_{0}^{a}\cos[(kq\rho\prime/R)\sin\phi]\sin[(kq\rho\prime/R)\cos\phi] \end{displaymath}} \end{frame}

\begin{frame} Integrando nuevamente\\ \textcolor[rgb]{0.00,0.59,0.00}{\begin{displaymath} G_{1}=\frac{4}{(kq/R)^{2}\sin\phi}[(\frac{1-\cos[kqa/R(\sin\phi-cos\phi)]}{\sin\phi-\cos\phi}) \end{displaymath}} \textcolor[rgb]{0.00,0.59,0.00}{\begin{displaymath} +(\frac{1-\cos[kqa/R(\sin\phi+\cos\phi)]}{\sin\phi+\cos\phi})] \end{displaymath}}

\textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{\begin{displaymath} G_{2}=\frac{4}{(kq/R)^{2}\cos\phi}[(\frac{1-\cos[kqa/R(\cos\phi-\sin\phi)]}{\cos\phi-\sin\phi}) \end{displaymath}} \textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{\begin{displaymath} +(\frac{1-\cos[kqa/R(\sin\phi+\cos\phi)]}{\sin\phi+\cos\phi})] \end{displaymath}}

Sumando $G_{1}+G_{2}$ tenemos \end{frame}

\begin{frame} \textcolor[rgb]{0.50,0.50,0.00}{\begin{eqnarray} E(k_{q},K_{\phi})&=&G_{1}+G_{2}\nonumber\\ &=&\frac{4}{(kq/R)^{2}\cos\phi\sin\phi}[\sin(kqa/R\sin\phi)\sin(kqa/R\cos\phi)]\nonumber\\ &=&4a^{2}\mathrm{sinc}(kqa/R \sin\phi)\mathrm{sinc} (kqa/R\cos\phi)\nonumber\ \end{eqnarray}} como \\ \textcolor[rgb]{0.50,0.25,0.00}{\begin{displaymath} z=\rho \cos \varphi, Z=q\cos \phi \end{displaymath}}

\textcolor[rgb]{0.00,0.87,0.00}{\textcolor[rgb]{0.50,0.00,0.50}{\begin{displaymath} y=\rho \sin \varphi, Y=q\sin \phi \end{displaymath}}}

\textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{\begin{displaymath} E(k_{q},K_{\phi})=4a^{2} \mathrm{sinc}(ka/R Y)\mathrm{sinc}(ka/R Z) \end{displaymath}}

\end{frame} \begin{frame} \includegraphics[height=.9\textheight]{cc1.pdf} \end{frame} \begin{frame} \includegraphics[height=.9\textheight]{cc2.pdf} \end{frame} \begin{frame} \includegraphics[height=.9\textheight]{cc3.pdf} \includegraphics[height=.9\textheight]{cc4.pdf} \includegraphics[height=.9\textheight]{cc5.pdf} \includegraphics[height=.9\textheight]{cc6.pdf} \end{frame}

\end{document}

Building

--201.141.46.122 00:19 19 ago 2008 (CDT)