Optica: Capitulo9-problemas

Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 9

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Ejercicio 9.1

Regresando a la sección 9.1, sean ${\tilde {E}}_{1}({\vec {r}},t)=E_{1}({\vec {r}})e^{-i\omega t}$ & ${\tilde {E}}_{2}({\vec {r}},t)=E_{2}({\vec {r}})e^{-i\omega t}$ donde las formas de los frentes de onda no está especificada explítamente especificadas, y $E_{1}$ & $E_{2}$ son vectores complejos cuya dependencia es espacial y por sus fases respectivas iniciales. Muestre que el término de interferencia está dado por:

$I_{12}={\frac {1}{2}}(E_{1}\cdot {\bar {E}}_{2}+{\bar {E}}_{1}\cdot E_{2})$..... (9.109)

Muestra que la ecuación 9.109 lleva a la ecuación 9.11 para ondas planas

Solución

Sea que un campo ${\tilde {E}}$ es la superposición de los campos ${\tilde {E}}_{1}({\vec {r}},t)$ & ${\tilde {E}}_{2}({\vec {r}},t)$, esto es:

${\tilde {E}}({\vec {r}},t)={\tilde {E}}_{1}({\vec {r}},t)+{\tilde {E}}_{2}({\vec {r}},t)$

Entonces:

$|{\tilde {E}}({\vec {r}},t)|^{2}=|{\tilde {E}}_{1}({\vec {r}},t)|^{2}+|{\tilde {E}}_{2}({\vec {r}},t)|^{2}+2{\tilde {E}}_{1}({\vec {r}},t)\cdot {\tilde {E}}_{2}({\vec {r}},t)$

Tomemos el operador lineal promedio temporal sobre el intervalo T en ambos lados de la ecuación anterior:

$\langle |{\tilde {E}}({\vec {r}},t)|^{2}\rangle _{T}=\langle |{\tilde {E}}_{1}({\vec {r}},t)|^{2}\rangle _{T}+\langle |{\tilde {E}}_{2}({\vec {r}},t)|^{2}\rangle _{T}+2\langle {\tilde {E}}_{1}({\vec {r}},t)\cdot {\tilde {E}}_{2}({\vec {r}},t)\rangle _{T}$

donde $\langle |{\tilde {E}}({\vec {r}},t)|^{2}\rangle _{T}=I,\langle |{\tilde {E}}_{1}({\vec {r}},t)|^{2}\rangle _{T}=I_{1},\langle |{\tilde {E}}_{2}({\vec {r}},t)|^{2}\rangle _{T}=I_{2},2\langle {\tilde {E}}_{1}({\vec {r}},t)\cdot {\tilde {E}}_{2}({\vec {r}},t)\rangle _{T}=I_{12}$ siempre que seamos negligentes con las constantes, pues, se sabe que $I=\epsilon v\langle |{\vec {E}}|^{2}\rangle _{T}$.

Nos interesa el término $2\langle {\tilde {E}}_{1}({\vec {r}},t)\cdot {\tilde {E}}_{2}({\vec {r}},t)\rangle _{T}=I_{12}$

Diego de la Cruz López

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Problema 9.46

A partir de la observación fotográfica de los anillos de Newton observamos que las franjas con valores elevados de m parecen separadas por distancias casi iguales. Para comprobarlo de forma analítica, demuestre que:

Error al representar (error de sintaxis): \frac{x_{m+1}-x_m}{x_{m+2}-x_{m+1}}≈1+\frac{1}{2m}

Puede determinarse en el laboratorio (a ravés de las franjas oscuras adyacentes) con independencia de \Delta d

Solución:

--Fernando Valencia Hernández

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Problema 9.21

Examinar las condiciones bajo la cual las aproximaciones de Ec.(9.23) son validas :

(a) Aplica la ley de los cosenos al triangulo ${S}_{1}{S}_{2}P\quad$ en la Fig. 9.11c para obtener:

${\frac {{r}_{2}}{{\quad r}_{1}\quad }}={\left[1-2\left({\frac {a}{{r}_{1}}}\right)sen\theta \quad +{\left({\frac {a}{{r}_{1}}}\right)}^{2}\right]}^{1/2}$

(b)Expande esto en una serie de Maclaurin produciendo así:

${r}_{2}=r_{1}-\quad asen\theta +{\frac {{a}^{2}}{{2r}_{1}}}{cos}^{2}\theta +.....$

(c) Debido a la luz en la Ec. (9.17) demuestre que si $({r}_{1}-r_{2})$ es igual en a $asen\theta$es requerido que ${r}_{1}>>{a}^{2}/\lambda$

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Solución:

La formula para la ley del coseno es:

${c}^{2}={a}^{2}+{b}^{2}+2abcos\theta$

${c}={\sqrt {{a}^{2}+{b}^{2}+2abcos\theta }}$

Aquí, $c$ es la hipotenusa del triangulo y $a,b$ son los lados opuestos y adyacentes del triangulo y $\theta$ es el angulo entre el lado adyacente y opuesto del triangulo

(a) En la figura dada, la hipotenusa del triangulo ${S}_{1}{S}_{2}P\quad$ es ${r}_{2}$ la longitud del lado adyacente del triangulo es $a$, y la longitud del lado opuesto del triangulo es${r}_{1}$.

En la figura dada, el angulo entre el lado adyacente y opuesto del triangulo ${S}_{1}{S}_{2}P\quad$ es,

$\theta =90+\theta$

De la ley del coseno:

${r}_{2}^{2}={r}_{1}^{2}+{a}^{2}+{2ar}_{1}cos(90+\theta )$

De lo anterior podemos ver que : $cos(90+\theta )=-sen\theta$

sustituyéndolo en la ecuación anterior y factorizando ${r}_{1}^{2}$ tenemos :

${r}_{2}^{2}={r}_{1}^{2}\left[1+{\left({\frac {a}{{r}_{1}}}\right)}^{2}-2\left({\frac {a}{{r}_{1}}}\right)sen\theta \right]$

Ahora despejenado tenemos:

${\frac {{r}_{2}}{{r}_{1}}}={\left[1+{\left({\frac {a}{{r}_{1}}}\right)}^{2}-2\left({\frac {a}{{r}_{1}}}\right)sen\theta \right]}^{1/2}$

Por lo tanto, el valor de ${\frac {{r}_{2}}{{r}_{1}}}$ es ${\left[1+{\left({\frac {a}{{r}_{1}}}\right)}^{2}-2\left({\frac {a}{{r}_{1}}}\right)sen\theta \right]}^{1/2}$

(b)

De la serie de Taylor podemos obtener la serie de Mauclaurin. Una expansión de una función sobre 0 es:

Error al representar (error de sintaxis): f(x)=f(0)+f´(0)+\frac { f´´(0) }{ 2! } { x }^{ 2 }+...+\frac { { f }^{ (n) }(0) }{ n! } { x }^{ n }

Aplicando la serie de Maclaurin a ${\frac {{r}_{2}}{{r}_{1}}}={\left[1-2\left({\frac {a}{{r}_{1}}}\right)sen\theta +{\left({\frac {a}{{r}_{1}}}\right)}^{2}\right]}^{1/2}$

${\frac {{r}_{2}}{{r}_{1}}}={\left[1-2\left({\frac {a}{{r}_{1}}}\right)sen\theta +{\left({\frac {a}{{r}_{1}}}\right)}^{2}\right]}^{1/2}$

${\frac {{r}_{2}}{{r}_{1}}}=1-({\frac {a}{r_{1}}})sen\theta +{\frac {{a}^{2}}{{r}_{1}^{2}}}{\frac {({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}(sen\theta ))^{2}}{2!}}+...$

${\frac {{r}_{2}}{{r}_{1}}}=1-({\frac {a}{r_{1}}})sen\theta +{\frac {{a}^{2}}{{r}_{1}^{2}}}{\frac {cos^{2}\theta }{2!}}+...$

${r}_{2}={r}_{1}-asen\theta +{\frac {{a}^{2}}{2{r}_{1}}}cos^{2}\theta +...$

Por lo tanto el valor de ${r}_{2}$ es ${r}_{1}-asen\theta +{\frac {{a}^{2}}{2{r}_{1}}}cos^{2}\theta +...$

(c)

La contribución $cos{\frac {\delta }{2}}$

A partir del tercer termino en la expansión de Maclaurin será despreciable si,

${\frac {k}{2}}\left({\frac {a^{2}}{2r_{1}}}cos^{2}\theta \right)<<{\frac {\pi }{2}}$

Por lo tanto podemos ver que

$r_{1}>>{\frac {a^{2}}{\lambda }}$

--Ruben Espinosa Guzman