Diferencia entre revisiones de «Optica: Capitulo9-problemas»
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== Problema 9.21 == | |||
Examinar las condiciones bajo la cual las aproximaciones de Ec.(9.23) son validas : | |||
(a) Aplica la ley de los cosenos al triangulo <math>{ S }_{ 1 }{ S }_{ 2 }P\quad </math> en la Fig. 9.11c para obtener: | |||
<math>\frac { { r }_{ 2 } }{ { \quad r }_{ 1 }\quad } ={ \left[ 1-2\left( \frac { a }{ { r }_{ 1 } } \right) sen\theta \quad +{ \left( \frac { a }{ { r }_{ 1 } } \right) }^{ 2 } \right] }^{ 1/2 }</math> | |||
(b)Expande esto en una serie de Maclaurin produciendo así: | |||
<math>{ r }_{ 2 }=r_{ 1 }-\quad asen\theta +\frac { { a }^{ 2 } }{ { 2r }_{ 1 } } { cos }^{ 2 }\theta +.....</math> | |||
(c) Debido a la luz en la Ec. (9.17) demuestre que si <math>({ r }_{ 1 }-r_{ 2 })</math> es igual en a <math>asen\theta </math>es requerido que <math>{ r }_{ 1 }>>{ a }^{ 2 }/\lambda </math> | |||
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'''Solución:''' | |||
La formula para la ley del coseno es: | |||
<math>{ c }^{ 2 }={ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+2abcos\theta </math> | |||
<math>{ c }=\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+2abcos\theta } </math> | |||
Aquí, <math>c</math> es la hipotenusa del triangulo y <math>a,b</math> son los lados opuestos y adyacentes del triangulo y <math>\theta </math> es el angulo entre el lado adyacente y opuesto del triangulo | |||
(a) | |||
En la figura dada, la hipotenusa del triangulo <math>{ S }_{ 1 }{ S }_{ 2 }P\quad </math> es <math>{ r }_{ 2 }</math> la longitud del lado adyacente del triangulo es <math>a</math>, y la longitud del lado opuesto del triangulo es<math>{ r }_{ 1 }</math>. | |||
En la figura dada, el angulo entre el lado adyacente y opuesto del triangulo <math>{ S }_{ 1 }{ S }_{ 2 }P\quad </math> es, | |||
<math>\theta =90+\theta </math> | |||
De la ley del coseno: | |||
<math>{ r }_{ 2 }^{ 2 }={ r }_{ 1 }^{ 2 }+{ a }^{ 2 }+{ 2ar }_{ 1 }cos(90+\theta )</math> | |||
De lo anterior podemos ver que : <math>cos(90+\theta )=-sen\theta </math> | |||
sustituyéndolo en la ecuación anterior y factorizando <math>{ r }_{ 1 }^{ 2 }</math> tenemos : | |||
<math>{ r }_{ 2 }^{ 2 }={ r }_{ 1 }^{ 2 }\left[ 1+{ \left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) }^{ 2 }-2\left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) sen\theta \right] </math> | |||
Ahora despejenado tenemos: | |||
<math>\frac { { r }_{ 2 } }{ { r }_{ 1 } } ={ \left[ 1+{ \left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) }^{ 2 }-2\left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) sen\theta \right] }^{ 1/2 }</math> | |||
Por lo tanto, el valor de <math>\frac { { r }_{ 2 } }{ { r }_{ 1 } }</math> es <math>{ \left[ 1+{ \left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) }^{ 2 }-2\left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) sen\theta \right] }^{ 1/2 }</math> | |||
(b) | |||
De la serie de Taylor podemos obtener la serie de Mauclaurin. Una expansión de una función sobre 0 es: | |||
<math>f(x)=f(0)+f´(0)+\frac { f´´(0) }{ 2! } { x }^{ 2 }+...+\frac { { f }^{ (n) }(0) }{ n! } { x }^{ n }</math> | |||
Aplicando la serie de Maclaurin a <math>\frac { { r }_{ 2 } }{ { r }_{ 1 } }={ \left[ 1-2\left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) sen\theta +{ \left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) }^{ 2 } \right] }^{ 1/2 }</math> | |||
<math>\frac { { r }_{ 2 } }{ { r }_{ 1 } }={ \left[ 1-2\left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) sen\theta +{ \left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) }^{ 2 } \right] }^{ 1/2 }</math> | |||
<math>\frac { { r }_{ 2 } }{ { r }_{ 1 } }= 1- (\frac{a}{r_{1}})sen\theta +\frac { { a }^{2} }{ { r }_{ 1 }^{2} } \frac{(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}\theta }(sen\theta))^{2}}{2!} +...</math> | |||
<math>\frac { { r }_{ 2 } }{ { r }_{ 1 } }= 1- (\frac{a}{r_{1}})sen\theta +\frac { { a }^{2} }{ { r }_{ 1 }^{2} } \frac{cos^{2}\theta }{2!} +...</math> | |||
<math> { r }_{ 2 } = { r }_{ 1 }- asen\theta +\frac { { a }^{2} }{ 2{ r }_{ 1 } } cos^{2}\theta +...</math> | |||
Por lo tanto el valor de <math>{ r }_{ 2 }</math> es <math>{ r }_{ 1 }- asen\theta +\frac { { a }^{2} }{ 2{ r }_{ 1 } } cos^{2}\theta +...</math> | |||
(c) | |||
La contribución <math>cos\frac{\delta }{2}</math> | |||
A partir del tercer termino en la expansión de Maclaurin será despreciable si, | |||
<math>\frac{k}{2}\left ( \frac{a^{2}}{2r_{1}}cos^{2 } \theta\right )<<\frac{\pi }{2}</math> | |||
Por lo tanto podemos ver que | |||
<math>r_{1}>>\frac{a^{2}}{\lambda }</math> | |||
--[[Usuario:Ruben Espinosa|Ruben Espinosa Guzman]] |
Revisión del 14:36 15 nov 2018
Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 9
Ejercicio 9.1
Regresando a la sección 9.1, sean & donde las formas de los frentes de onda no está especificada explítamente especificadas, y & son vectores complejos cuya dependencia es espacial y por sus fases respectivas iniciales. Muestre que el término de interferencia está dado por:
- ..... (9.109)
Muestra que la ecuación 9.109 lleva a la ecuación 9.11 para ondas planas
- Solución
Sea que un campo es la superposición de los campos & , esto es:
Entonces:
Tomemos el operador lineal promedio temporal sobre el intervalo T en ambos lados de la ecuación anterior:
donde siempre que seamos negligentes con las constantes, pues, se sabe que .
Nos interesa el término
Problema 9.46
- A partir de la observación fotográfica de los anillos de Newton observamos que las franjas con valores elevados de m parecen separadas por distancias casi iguales. Para comprobarlo de forma analítica, demuestre que:
Error al representar (error de sintaxis): \frac{x_{m+1}-x_m}{x_{m+2}-x_{m+1}}≈1+\frac{1}{2m}
- Puede determinarse en el laboratorio (a ravés de las franjas oscuras adyacentes) con independencia de \Delta d
Solución:
Problema 9.21
Examinar las condiciones bajo la cual las aproximaciones de Ec.(9.23) son validas :
(a) Aplica la ley de los cosenos al triangulo en la Fig. 9.11c para obtener:
(b)Expande esto en una serie de Maclaurin produciendo así:
(c) Debido a la luz en la Ec. (9.17) demuestre que si es igual en a es requerido que
Solución:
La formula para la ley del coseno es:
Aquí, es la hipotenusa del triangulo y son los lados opuestos y adyacentes del triangulo y es el angulo entre el lado adyacente y opuesto del triangulo
(a)
En la figura dada, la hipotenusa del triangulo es la longitud del lado adyacente del triangulo es , y la longitud del lado opuesto del triangulo es.
En la figura dada, el angulo entre el lado adyacente y opuesto del triangulo es,
De la ley del coseno:
De lo anterior podemos ver que :
sustituyéndolo en la ecuación anterior y factorizando tenemos :
Ahora despejenado tenemos:
Por lo tanto, el valor de es
(b)
De la serie de Taylor podemos obtener la serie de Mauclaurin. Una expansión de una función sobre 0 es:
Error al representar (error de sintaxis): f(x)=f(0)+f´(0)+\frac { f´´(0) }{ 2! } { x }^{ 2 }+...+\frac { { f }^{ (n) }(0) }{ n! } { x }^{ n }
Aplicando la serie de Maclaurin a
Por lo tanto el valor de es
(c)
La contribución
A partir del tercer termino en la expansión de Maclaurin será despreciable si,
Por lo tanto podemos ver que