Optica: Capitulo7-problemas

Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 7

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Ejercicio 7.7

Utilizando las ecuaciones 7.9, 7.10 y 7.11 muestre que la resultante de las dos ondas

$E_{1}=E_{01}sen\left[\omega t-k(x+\Delta x)\right]$

$E_{2}=E_{01}sen\left[\omega t-kx\right]$

es

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Solución:

De las ondas 1 y 2 tenemos que $\alpha _{1}=-k(x+\Delta x)$ y $\alpha _{2}=-kx$. La ecuación 7.9 es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): E_0^2 = E_{01}^2 + E_{02}^2 + 2 E_{01} E_{02} cos(\alpha_2 - \alpha_1)

Ivan de Jesús Pompa García (discusión) 19:43 5 nov 2018 (CST)

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Ejercicio 7.29

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La velocidad de propagación de una onda de superficie en un líquido de profundidad mucho mayor que $\lambda$ viene dada por:

$v={\sqrt {{\frac {g\lambda }{2\pi }}+{\frac {2\pi \Upsilon }{\rho \lambda }}}}$

donde g = aceleración de la gravedad, $\lambda$ = longitud de onda, $\rho$ = densidad, $\Upsilon$ = tensión superficial. Calcule la velocidad de grupo de un pulso en el límite de longitud de onda larga (se denominan ondas de gravedad).

Solución:

Para longitudes de onda grandes, notemos que el segundo término de la suma dentro de la raíz es despreciable :

${\frac {2\pi \Upsilon }{\rho \lambda }}$

Entonces la velocidad de propagación de una onda de superficie se convierte en:

$v={\sqrt {\frac {g\lambda }{2\pi }}}$ ........(1)

EL número de onda esta dada,por:

$k={\frac {2\pi }{\lambda }}$ ................(2)

Sustituyendo la ecuación (2) en (1), la velocidad de propagación:

$v={\sqrt {\frac {g}{k}}}$.................(3)

De la relación entre la velocidad de grupo y velocidad de propagación es:

${v}_{g}=v+k{\frac {dv}{dk}}$.............(4)

Donde ${v}_{g}$, es la velocidad de grupo.

De la ecuación (3):

${\frac {dv}{dk}}={\frac {d}{dk}}\left({\sqrt {\frac {g}{k}}}\right)$

${\frac {dv}{dk}}={\sqrt {g}}{\frac {d}{dk}}\left({k}^{-{\frac {1}{2}}}\right)$

${\frac {dv}{dk}}={\sqrt {g}}\left(-{\frac {1}{2}}\right)\left({k}^{-{\frac {3}{2}}}\right)$

${\frac {dv}{dk}}={\sqrt {g}}\left(-{\frac {1}{2}}\right){\frac {1}{k{\sqrt {k}}}}$

${\frac {dv}{dk}}=\left(-{\frac {1}{2k}}\right){\sqrt {\frac {g}{k}}}$

Sustituyendo (3) en la última expresión:

${\frac {dv}{dk}}=\left(-{\frac {v}{2k}}\right)$..........(5)

Sustituyendo (5) en (4):

${v}_{g}=v+k\left({\frac {-v}{2k}}\right)$

Reduciendo, tenemos que la velocidad de grupo es:

${v}_{g}=v-{\frac {v}{2}}$

${v}_{g}={\frac {v}{2}}$

--Luis Manuel Chávez Antonio