Diferencia entre revisiones de «Optica: Capitulo4-problemas»
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Línea 3: | Línea 3: | ||
Problema | Problema 4.4 (Hecht, Optics 4 ed.) | ||
''' | '''La ecuación de un oscilador amortiguado es | ||
<math>m_{e}\frac{d^{2}x}{dx^{2}}+m_{e}\gamma\frac{dx}{dt}+m_{e}\omega_{0}^{2}x=q_{e}E(t)</math> | |||
a) Explique el significado de cada término | |||
b) Sea <math>E=E_{0}\exp(i\omega t)</math> y <math>x=x_{0}\exp(i\left(\omega t-\alpha\right))</math> | |||
c) Derive una expresión para la fase retardada,<math>\alpha</math>, y discuta cómo varía conforme <math>\omega</math> se encuentra en las regiones <math>\omega <<\omega_{0}</math>, <math>\omega =\omega_{0}</math>, <math>\omega >> \omega_{0}</math>''' | |||
Solución | Solución |
Revisión del 00:56 2 nov 2018
Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 4, con el siguiente formato:
Problema 4.4 (Hecht, Optics 4 ed.)
La ecuación de un oscilador amortiguado es a) Explique el significado de cada término b) Sea y c) Derive una expresión para la fase retardada,, y discuta cómo varía conforme se encuentra en las regiones , ,
Solución
y su respectiva firma
--Gael
Ejercicio 4.45
Un rayo láser incide en la interfaz entre el aire y algunos dieléctricos de índice n. Para valores pequeños de muestre que , Usa esto y la ec. (4.42) para establecer que en una incidencia casi normal
- Solución:
- Tenemos los siguientes datos conocidos:
- Indice de refracción del aire es: 1
- Indice de refracción del dieléctrico es :
- Ángulo de incidencia =
- Ángulo de refracción =
- Aplicando la ley de Snell:
- Para valores pequeños de theta, tenemos las siguientes relaciones:
- La Ecuación (1) se reduce:
- De la última expresión tenemos:
- Ahora ocupando la ecuación 4.42 y considerando muy pequeñas :
- Haciendo la consideración:
- ocupando , y sustituyendo en la ultima ecuación:
- Factorizando
- Reduciendo:
- Finalmente tenemos:
- --Luis Manuel Chávez Antonio
Ejercicio 4.64
Verifique que:
.........[4.49]
para en una interfaz de vidrio crown y aire
- Solución:
Datos:
Angulo de incidencia = 30°
Indice de refracción del cristal = 1.52
Indice de refracción del aire = 1
Angulo de transmisión
Usando la ley de Snell obtenemos:
En angulo de transmisión sera:
El componente perpendicular del coeficiente de transmisión es:
Ahora, la componente perpendicular del coeficiente de reflexión es:
Al sumar los valores de y obtenemos:
Por lo tanto
Ejercicio 4.21
Trace un gráfico de θ_i con respecto a θ_t para una frontera aire-vidrio donde . Discuta la forma de la curva.
Solución:
- La ecuación de la refracción de Snell está dada por:
Error al representar (error de sintaxis): n_i sin(θ_i )=n_t sin(θ_t )
- Pero n_i=1
- Por lo tanto
Error al representar (error de sintaxis): n_i sin(θ_i )=n_t sin(θ_t )
Despejando θ_t se tiene que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): θ_t=sin^(-1)(sinθ_i /n_t )
En este caso se realizan cambios de 2 grados de diferencia, se tuvo la siguiente gráfica
Podemos observar que a pesar que al comparar los ángulos, se puede apreciar que los valores tienden a un número que en este caso es aproximadamente 42°. Esto se podría interpretar como el ángulo máximo que puede tomar el haz, en este caso, en el agua.
Los datos están en el siguiente documento.
Problema 4.72
Mostrar que:
Y
Solución:
La componente perpendicular de la transmitancia esta dada por:
Pero el coeficiente de amplitud de transmisión es:
Sustituyendo el valor calculado de en la Ec. , se obtiene:
De la ley de Snell
Sustituyendo el valor de de la Ec. en la Ec. , obtenemos:
Comprobando que:
Del mismo modo podemos proceder para el comportamiento paralelo de , se la siguiente manera:
El comportamiento paralelo de la transmitancia , se expresa como:
Pero sabemos que la amplitud del coeficiente de transmisión es:
Sustituyendo el valor de , en la Ec. , obtenemos:
De la Ec.
Comprobando que:
Problema 4.63
Prueba que para todo , primero de las condiciones de frontera y después de las ecuaciones de Fresnel.
Solucion:
Podemos notar que la continuidad de los componentes tangenciales de analizando cualquier limite en cualquier punto , el campo tangencial en el medio incidente es igual al del medio de transmisión.
Así obtenemos:
Dividimos cada término con el para obtener:
Sabemos que Amplitud del coeficiente de transmisión y también podemos notar que el cociente Amplitud del coeficiente de reflexión
Dado las dos aseveraciones anteriores podemos dar por echo entonces que:
Por lo tanto esta probado
Otro camino para la comprobación anterior es la siguiente:
Sabemos que el cociente de reflexión de amplitud es:
Y por otro lado el coeficiente de transmisión de amplitud es:
Utilizando la fórmula de suma y diferencia Bhaskara Acharya :
Ejercicio 4.68
muestra que los ángulos de polarización para la reflexión interna y externa en una interfaz dada son complementarios, es decir,
si el indice de refracción de las regiones incidente y transmitida es respectivamente y es el angulo de polarización, entonces
llamemos para la reflexion interna ....(1)
llamemos para la reflexion externa ....(2)
de las ecuaciones (1) y (2) obtenemos...
al multiplicar cruzado obtenemos:
si la suma de su angulo de polarización de la reflexión interna y el angulo de polarización externa son entonces complementarios.
el angulo de polarización de la reflexión interna y el angulo de polarización de reflexión externa son complementarios.
queda probado.
--Salvador Alejandro Morales Carranza
Ejercicio 4.51
Utilizando las ecuaciones de Fresnel, demuestre que :
$ r_{\perp} = \frac{ \cos \theta_i - \sqrt{ n_{ti}^2 - \sin^2 \theta_i }}{ \cos \theta_i + \sqrt{ n_{ti}^2 - \sin^2 \theta_i }}$
$r_{\parallel} = \frac{n_{ti}^2 \cos \theta_i - \sqrt{ n_{ti}^2 - \sin^2 \theta_i }}{ n_{ti}^2\cos \theta_i + \sqrt{ n_{ti}^2 - \sin^2 \theta_i }}$
- Solución:
Los coeficientes de reflexión en medios deieléctricos son:
$ r_{\perp} =\frac{n_i \cos \theta_i- n_t \cos \theta_t}{n_i \cos \theta_i+ n_t \cos \theta_t} $
$r_{\parallel} =\frac{n_t\cos \theta_i- n_i\cos \theta_t}{n_i \cos \theta_i+ n_t \cos \theta_t} $
Haciendo uso de la relación pitagórica : $\sin^2 \theta+ \cos^2 \theta=1$ podemos reescribir $ \cos \theta_t $ y $ \cos \theta_i $
$\cos \theta_t= \sqrt{ 1 - \sin^2 \theta_t}$
Y por Ley de Snell:
$\sin \theta_t= \frac{n_i}{n_t} \sin \theta_i$
elevamos al cuadrado:
$\sin^2 \theta_t= \frac{n_i^2}{n_t^2} \sin^2 \theta_i$
$\sin^2 \theta_i= \frac{n_t^2}{n_i^2} \sin^2 \theta_t$
Al hacer la sustitución llegamos a una expresión para $\cos \theta_t $ que involucra a $\sin \theta_i $
$\cos \theta_t= \sqrt{ 1 -\frac{n_i^2}{n_t^2} \sin ^2 \theta_i}$
con :$ \frac{n_t}{n_i} \equiv n_{ti}$
$\cos \theta_t= \sqrt{ n_{ti}^2- \sin ^2 \theta_i}$
Sustituimos en la ecuación para $ r_{\perp}$ y obtenemos:
$ r_{\perp} = \frac{ \cos \theta_i - \sqrt{ n_{ti}^2 - \sin^2 \theta_i }}{ \cos \theta_i + \sqrt{ n_{ti}^2 - \sin^2 \theta_i }}$
Para $ r_{\parallel}$
$ \cos \theta_t= \sqrt{ \frac {1}{n_{ti}^2}- \sin ^2 \theta_i}$
Multiplicamos y dividimos por $ n_{ti}^2$
y reescribimos $ r_{\parallel}$
$r_{\parallel} = \frac{n_{ti}^2 \cos \theta_i - \sqrt{ n_{ti}^2 - \sin^2 \theta_i }}{ n_{ti}^2\cos \theta_i + \sqrt{ n_{ti}^2 - \sin^2 \theta_i }}$
Aurea Espin (discusión) 00:13 29 oct 2018 (CDT)
Ejercicio 4.59
Utilice la ecuación 4.42 y la expansión en serie de la función seno para establecer que en una incidencia cercana a la normal podemos obtener una mejor aproximación que la del problema 4.45, que es
Ejercicio 4.11
Calcule el ángulo de transmisión para un rayo en el aire inicialmente a $30°$ en un bloque de vidrio crown $(n_v=1.52)$.
- $n_i\sin{\theta_i}{=n}_t\sin{\theta_t}$
- donde $n_i=1$ y $n_v=n_t$
- $sin30°=(1.52)sinθt$
- $\theta_t=\sin^{-1}{(0.5/1.52)}$
- $\theta_t=19.20°$
Ejercicio 4.25
comenzando con la ley de snell, pruebe que la ecuación vectorial de la refracción tiene la forma:
ntkt-niki=$n_t\cos{\theta_t}{-n}_i\cos{\theta_i}$
partiendo de : $n_i\sin{\theta_i}{=n}_t\sin{\theta_t}{,n_i}( k_{i} X {u_n}){=n}_t{,n_t}( {k_t} X {u_n})$
donde: k_{i},k_{t} son los vectores unitarios de propagación
Así
${n_t}( k_{t} X {u_n}) -{n_i}( k_{i} X {u_n})=0$
$({n_t} k_{t} {-n_i} k_{i}) x U{n}=0$
dejando:
${n_t} k_{t}{-n_i} k_{i}$=${\gamma}$=${\gamma_{u_n}}$
donde
${\gamma}$ es referido como el astigmático constante, tambien ${\gamma}$ es la diferencia entre las proyecciones de ${n_t} k_{t} y { n_i} k_{i}$ en ${u_n}$
En otras palabras, es el producto punto entre ${\gamma}$ y ${u_n}$:
por lo que
${\gamma}$ =$n_t\cos{\theta_t}{-n}_i\cos{\theta_i}$
--[[Usuario:|Luisa Alejandra Vega S.]]
Ejercicio 4.32
Derivar la ley de refracción, $\theta_i=\theta_f$, usando cálculo para minimizar el tiempo de tránsito como lo requiere el principio de Fermat.
- --Solución--
Con ayuda de la siguiente figura, podremos hacer el problema.
- Definimos a la longitud de camino óptico como:
$LOP=nAB + nBC$ ; n es el índice de refracción del medio. En este caso es el mismo porque el medio es el mismo.
- Por trigonometría sabemos que:
$AM=(h^2 + x^2)^{1/2}$ y;
- $MC=(b^2+(a-x)^2)^{1/2}$ ; Por lo tanto la longitud de camino óptico es:
- $LOP= n(h^2 + x^2)^{1/2} + n(b^2+(a-x)^2)^{1/2}$ ; Como queremos minimizar el tránsito de $LOP$, entonces debemos sacar la derivada respecto de x, a $LOP$ e igualarla a 0.
- $d/dx(LOP)= d/dx[n(h^2 + x^2)^{1/2} + n(b^2+(a-x)^2)^{1/2}]=0$
Entonces:
- $\frac{d}{dx}[n(h^2 + x^2)^{1/2} + n(b^2+(a-x)^2)^{1/2}]= n(h^2+ x^2)^{-1/2}x + n(b^2+ (a-x)^2)^{-1/2}(x-a)=0$
Por lo tanto:
- $n[(h^2+ x^2)^{-1/2}x - (b^2+ (a-x)^2)^{-1/2}(a-x)]=0$ ó
- $\frac{x}{(h^2+ x^2)^{1/2}} - \frac{a-x}{(b^2+ (a-x)^2)^{1/2}}= 0$
- Pero si nos fijamos de nuevo en la figura, observamos que:
- $\frac{x}{(h^2+ x^2)^{1/2}}= \sin\theta_i$ y;
- $\frac{a-x}{(b^2+ (a-x)^2)^{1/2}}= \sin\theta_r$ Por lo tanto:
- $\sin\theta_i= \sin\theta_r$ $\Leftrightarrow$ $\theta_i=\theta_f$.
- --[[Usuario:|Pedro J. Julian.]]
Ejercicio 4.43
Deduzca las ecuaciones (4.42) a (4.45) para $r_{\perp}$, $r_{\parallel}$, $t_{\perp}$, $t_{\parallel}$
$r_{\perp}=-\frac{\sin{(\theta_i-\theta_t)}}{\sin{(\theta_i+\theta_t)}}$ ...$(4.42)$ $r_{\parallel}=+\frac{\tan{(\theta_i-\theta_t)}}{\tan{(\theta_i+\theta_t)}}$ ...$(4.43)$ $t_{\perp}=+\frac{2\sin{\theta_t}\cos{\theta_i}}{\sin{(\theta_i+\theta_t)}}$ ...$(4.44)$ $t_{\parallel}=+\frac{2\sin{\theta_t}\cos{\theta_i}}{\sin{(\theta_i+\theta_t)}\cos{(\theta_i-\theta_t)}}$ ...$(4.45)$
- Solución:
- Partiendo de las ecuaciones de Fresnel y el índice de refracción relativo $n_{ti}=\frac{n_t}{n_i}=\frac{\sin{\theta_i}}{\sin{\theta_t}}$
- $r_{\perp}=\frac{n_i\cos{\theta_i}-n_t\cos{\theta_t}}{{n_i\cos{\theta_i}+n_t\cos{\theta_t}}}=\left(\frac{1/n_i}{1/n_i}\right)\frac{n_i\cos{\theta_i}-n_t\cos{\theta_t}}{{n_i\cos{\theta_i}+n_t\cos{\theta_t}}}=\frac{\frac{n_i}{n_i}\cos{\theta_i}-\frac{n_t}{n_i}\cos{\theta_t}}{{\frac{n_i}{n_i}\cos{\theta_i}+\frac{n_t}{n_i}\cos{\theta_t}}}=\left(\frac{\sin{\theta_t}}{\sin{\theta_t}}\right)\frac{\cos{\theta_i}-\frac{\sin{\theta_i}}{\sin{\theta_t}}\cos{\theta_t}}{{\cos{\theta_i}-\frac{\sin{\theta_i}}{\sin{\theta_t}}\cos{\theta_t}}}=\frac{\sin{\theta_t}\cos{\theta_i}-\sin{\theta_i}\cos{\theta_t}}{\sin{\theta_t}\cos{\theta_i}+\sin{\theta_i}\cos{\theta_t}}=-\frac{\sin{\theta_i}\cos{\theta_t}-\sin{\theta_t}\cos{\theta_i}}{\sin{\theta_t}\cos{\theta_i}+\sin{\theta_i}\cos{\theta_t}}$
- utilizando la identidad trigonométrica $\sin{(a\pm b)}=\sin{a}\cos{b}\pm \cos{a}\sin{b}$
$\therefore r_{\perp}=-\frac{\sin{(\theta_i-\theta_t)}}{\sin{(\theta_i+\theta_t)}}$
- $t_{\perp}=\frac{2 n_i \cos{\theta_i}}{n_i\cos{\theta_i}+n_t\cos{\theta_t}}=\frac{2 \frac{n_i}{n_t} \cos{\theta_i}}{\frac{n_i}{n_t}\cos{\theta_i}+\cos{\theta_t}}=\frac{2 \sin{\theta_t} \cos{\theta_i}\frac{1}{\sin{\theta_i}}}{\frac{\sin{\theta_t}}{\sin{\theta_i}}\cos{\theta_i}+\cos{\theta_t}}=\frac{2 \sin{\theta_t} \cos{\theta_i}}{\sin{\theta_t}\cos{\theta_i}+\sin{\theta_i}\cos{\theta_t}}$
- $\therefore t_{\perp}=+\frac{2\sin{\theta_t}\cos{\theta_i}}{\sin{(\theta_i+\theta_t)}}$
- $r_{\parallel}=\frac{n_t\cos{\theta_i}-n_i\cos{\theta_t}}{{n_t\cos{\theta_i}+n_i\cos{\theta_t}}}=\frac{\sin{\theta_i}\cos{\theta_i}-\sin{\theta_t}\cos{\theta_t}}{\sin{\theta_t}\cos{\theta_t}+\sin{\theta_i}\cos{\theta_i}}$
- Poniendo los senos y cosenos en términos de exponenciales:
- $r_{\parallel}=\frac{\left(\frac{e^{i\theta_i}-e^{-i\theta_i}}{2i}\right)\left(\frac{e^{i\theta_i}+e^{-i\theta_i}}{2}\right)-\left(\frac{e^{i\theta_t}-e^{-i\theta_t}}{2i}\right)\left(\frac{e^{i\theta_t}+e^{-i\theta_t}}{2}\right)}{\left(\frac{e^{i\theta_i}-e^{-i\theta_i}}{2i}\right)\left(\frac{e^{i\theta_i}+e^{-i\theta_i}}{2}\right)+\left(\frac{e^{i\theta_t}-e^{-i\theta_t}}{2i}\right)\left(\frac{e^{i\theta_t}+e^{-i\theta_t}}{2}\right)}=\frac{\left(e^{i\theta_i}-e^{-i\theta_i}\right)\left(e^{i\theta_i}+e^{-i\theta_i}\right)-\left(e^{i\theta_t}-e^{-i\theta_t}\right)\left(e^{i\theta_t}+e^{-i\theta_t}\right)}{\left(e^{i\theta_i}-e^{-i\theta_i}\right)\left(e^{i\theta_i}+e^{-i\theta_i}\right)+\left(e^{i\theta_t}-e^{-i\theta_t}\right)\left(e^{i\theta_t}+e^{-i\theta_t}\right)}$
- al realizar los productos se obtiene:
- $r_{\parallel}=\frac{e^{2i\theta_i}-e^{-2i\theta_i}-e^{2i\theta_t}+e^{-2i\theta_i}}{e^{2i\theta_i}-e^{-2i\theta_i}+e^{2i\theta_t}-e^{-2i\theta_t}}$
- sumando y restando $\theta_i$ y $\theta_t$ a los argumentos de las exponenciales y separandolas como producto de exponenciales:
- $r_{\parallel}= \frac{e^{i(\theta_i+\theta_t+\theta_i-\theta_t)}-e^{-i(\theta_i+\theta_t+\theta_i-\theta_t)}-e^{i(\theta_t+\theta_i+\theta_t-\theta_i)}+e^{-i(\theta_t+\theta_i+\theta_t-\theta_i)}}{e^{i(\theta_i+\theta_t+\theta_i-\theta_t)}-e^{-i(\theta_i+\theta_t+\theta_i-\theta_t)}+e^{i(\theta_t+\theta_i+\theta_t-\theta_i)}-e^{-i(\theta_t+\theta_i+\theta_t-\theta_i)}}$
- $=\frac{e^{i(\theta_i+\theta_t)}e^{i(\theta_i-\theta_t)}-e^{-i(\theta_i+\theta_t)}e^{-i(\theta_i-\theta_t)}-e^{i(\theta_i+\theta_t)}e^{-i(\theta_i-\theta_t)}+e^{-i(\theta_i+\theta_t)}e^{i(\theta_i-\theta_t)}}{e^{i(\theta_i+\theta_t)}e^{i(\theta_i-\theta_t)}-e^{-i(\theta_i+\theta_t)}e^{-i(\theta_i-\theta_t)}+e^{i(\theta_i+\theta_t)}e^{-i(\theta_i-\theta_t)}-e^{-i(\theta_i+\theta_t)}e^{i(\theta_i-\theta_t)}}$
- factorizando términos semejantes:
$r_{\parallel}=\frac{e^{i(\theta_i+\theta_t)}\left(e^{i(\theta_i-\theta_t)}-e^{-i(\theta_i-\theta_t)}\right)+e^{-i(\theta_i+\theta_t)}\left(e^{i(\theta_i-\theta_t)}-e^{-i(\theta_i-\theta_t)}\right)}{e^{i(\theta_i+\theta_t)}\left(e^{i(\theta_i-\theta_t)}+e^{-i(\theta_i-\theta_t)}\right)-e^{-i(\theta_i+\theta_t)}\left(e^{i(\theta_i-\theta_t)}+e^{-i(\theta_i-\theta_t)}\right)}=\frac{\left(e^{i(\theta_i+\theta_t)}+e^{-i(\theta_i+\theta_t)}\right)\left(e^{i(\theta_i-\theta_t)}-e^{-i(\theta_i-\theta_t)}\right)}{\left(e^{i(\theta_i+\theta_t)}-e^{-i(\theta_i+\theta_t)}\right)\left(e^{i(\theta_i-\theta_t)}+e^{-i(\theta_i-\theta_t)}\right)}$
- regresando a senos y cosenos:
$r_{\parallel}=\frac{\left(2\cos{(\theta_i+\theta_t)}\right)\left(2i\sin{(\theta_i-\theta_t)}\right)}{\left(2\cos{(\theta_i-\theta_t)}\right)\left(2i\sin{(\theta_i+\theta_t)}\right)}=\frac{\left(\cos{\theta_i+\theta_t}\right)\left(\sin{\theta_i-\theta_t}\right)}{\left(\sin{\theta_i+\theta_t}\right)\left(\cos{\theta_i-\theta_t}\right)}$
- $\therefore r_{\parallel}=+\frac{\tan{(\theta_i-\theta_t)}}{\tan{(\theta_i+\theta_t)}}$
- $t_\parallel=\frac{2 n_i \cos{\theta_i}}{n_i\cos{\theta_t}+n_t\cos{\theta_i}}=\frac{2 n_{it} \cos{\theta_i}}{n_{it}\cos{\theta_t}+\cos{\theta_i}}=\frac{2 \sin{\theta_t} \cos{\theta_i}}{\sin{\theta_t}\cos{\theta_t}+\sin{\theta_i}\cos{\theta_i}}=\frac{2 \sin{\theta_t} \cos{\theta_i}}{\sin{\theta_t}\cos{\theta_t}\left(\sin^2 \theta_i+\cos^2 \theta_i \right)+\sin{\theta_i}\cos{\theta_i}\left(\sin^2\theta_t+\cos^2 \theta_t\right)}$
- $=\frac{2 \sin{\theta_t} \cos{\theta_i}}{\sin{\theta_i}^2\sin{\theta_t}\cos{\theta_t}+\cos{\theta_i}^2\sin{\theta_t}\cos{\theta_t}+\sin{\theta_t}^2\sin{\theta_i}\cos{\theta_i}+\cos{\theta_t}^2\sin{\theta_i}\cos{\theta_i}}$
- $=\frac{2 \sin{\theta_t} \cos{\theta_i}}{\sin{\theta_i}\cos{\theta_t}\sin{\theta_i}\sin{\theta_t}+\sin{\theta_i}\cos{\theta_t}\cos{\theta_i}\cos{\theta_t}+\cos{\theta_i}\sin{\theta_t}\sin{\theta_i}\sin{\theta_t}+\cos{\theta_i}\sin{\theta_t}\cos{\theta_i}\cos{\theta_t}}$
- $=\frac{2 \sin{\theta_t} \cos{\theta_i}}{\sin{\theta_i}\cos{\theta_t}\left(\sin{\theta_i}\sin{\theta_t}+\cos{\theta_i}\cos{\theta_t}\right)+\cos{\theta_i}\sin{\theta_t}\left(\sin{\theta_i}\sin{\theta_t}+\cos{\theta_i}\cos{\theta_t}\right)}$
- $=\frac{2 \sin{\theta_t} \cos{\theta_i}}{\left(\sin{\theta_i}\cos{\theta_t}+\cos{\theta_i}\sin{\theta_t}\right)\left(\sin{\theta_i}\sin{\theta_t}+\cos{\theta_i}\cos{\theta_t}\right)}$
- $\therefore t_{\parallel}=+\frac{2\sin{\theta_t}\cos{\theta_i}}{\sin{(\theta_i+\theta_t)}\cos{(\theta_i-\theta_t)}}$
--Sergio