Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 4,
con el siguiente formato:
Problema 1
Planteamiento del problema
Solución
y su respectiva firma
--Gael
Ejercicio 4.45
Un rayo láser incide en la interfaz entre el aire y algunos dieléctricos de índice n. Para valores pequeños de
muestre que , Usa esto y la ec. (4.42) para establecer que en una incidencia casi normal
- Solución:
- Tenemos los siguientes datos conocidos:
- Indice de refracción del aire es: 1
- Indice de refracción del dieléctrico es :
- Ángulo de incidencia =
- Ángulo de refracción =
- Aplicando la ley de Snell:
- Para valores pequeños de theta, tenemos las siguientes relaciones:
- La Ecuación (1) se reduce:
- De la última expresión tenemos:
- Ahora ocupando la ecuación 4.42 y considerando muy pequeñas :
- Haciendo la consideración:
- ocupando , y sustituyendo en la ultima ecuación:
- Factorizando
- Reduciendo:
- Finalmente tenemos:
- --Luis Manuel Chávez Antonio
Ejercicio 4.64
Verifique que:
.........[4.49]
para en una interfaz de vidrio crown y aire
- Solución:
Datos:
Angulo de incidencia = 30°
Indice de refracción del cristal = 1.52
Indice de refracción del aire = 1
Angulo de transmisión
Usando la ley de Snell obtenemos:
En angulo de transmisión sera:
El componente perpendicular del coeficiente de transmisión es:
Ahora, la componente perpendicular del coeficiente de reflexión es:
Al sumar los valores de y obtenemos:
Por lo tanto
- --Enrique Ortiz Martinez
Ejercicio 4.21
Trace un gráfico de θ_i con respecto a θ_t para una frontera aire-vidrio donde . Discuta la forma de la curva.
Solución:
- La ecuación de la refracción de Snell está dada por:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): n_i sin(θ_i )=n_t sin(θ_t )
- Pero n_i=1
- Por lo tanto
Error al representar (error de sintaxis): n_i sin(θ_i )=n_t sin(θ_t )
Despejando θ_t se tiene que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): θ_t=sin^(-1)(sinθ_i /n_t )
En este caso se realizan cambios de 2 grados de diferencia, se tuvo la siguiente gráfica
Podemos observar que a pesar que al comparar los ángulos, se puede apreciar que los valores tienden a un número que en este caso es aproximadamente 42°. Esto se podría interpretar como el ángulo máximo que puede tomar el haz, en este caso, en el agua.
Los datos están en el siguiente documento.
--Fernando Valencia Hernández
Problema 4.72
Mostrar que:
Y
Solución:
La componente perpendicular de la transmitancia esta dada por:
Pero el coeficiente de amplitud de transmisión es:
Sustituyendo el valor calculado de en la Ec. , se obtiene:
De la ley de Snell
Sustituyendo el valor de de la Ec. en la Ec. , obtenemos:
Comprobando que:
Del mismo modo podemos proceder para el comportamiento paralelo de , se la siguiente manera:
El comportamiento paralelo de la transmitancia , se expresa como:
Pero sabemos que la amplitud del coeficiente de transmisión es:
Sustituyendo el valor de , en la Ec. , obtenemos:
De la Ec.
Comprobando que:
--Luis Gutiérrez Melgarejo
Problema 4.63
Prueba que para todo , primero de las condiciones de frontera y después de las ecuaciones de Fresnel.
Solucion:
Podemos notar que la continuidad de los componentes tangenciales de analizando cualquier limite en cualquier punto , el campo tangencial en el medio incidente es igual al del medio de transmisión.
Así obtenemos:
Dividimos cada término con el para obtener:
Sabemos que Amplitud del coeficiente de transmisión y también podemos notar que el cociente Amplitud del coeficiente de reflexión
Dado las dos aseveraciones anteriores podemos dar por echo entonces que:
Por lo tanto esta probado
Otro camino para la comprobación anterior es la siguiente:
Sabemos que el cociente de reflexión de amplitud es:
Y por otro lado el coeficiente de transmisión de amplitud es:
Utilizando la fórmula de suma y diferencia Bhaskara Acharya :
--Ruben Espinosa Guzmán
Ejercicio 4.68
muestra que los ángulos de polarización para la reflexión interna y externa en una interfaz dada son complementarios, es decir,
si el indice de refracción de las regiones incidente y transmitida es respectivamente y es el angulo de polarización, entonces
llamemos para la reflexion interna ....(1)
llamemos para la reflexion externa ....(2)
de las ecuaciones (1) y (2) obtenemos...
al multiplicar cruzado obtenemos:
si la suma de su angulo de polarización de la reflexión interna y el angulo de polarización externa son entonces complementarios.
el angulo de polarización de la reflexión interna y el angulo de polarización de reflexión externa son complementarios.
queda probado.
--Salvador Alejandro Morales Carranza
Ejercicio 4.51
Utilizando las ecuaciones de Fresnel, demuestre que :
$ r_{\perp} = \frac{ \cos \theta_i - \sqrt{ n_{ti}^2 - \sin^2 \theta_i }}{ \cos \theta_i + \sqrt{ n_{ti}^2 - \sin^2 \theta_i }}$
$r_{\parallel} = \frac{n_{ti}^2 \cos \theta_i - \sqrt{ n_{ti}^2 - \sin^2 \theta_i }}{ n_{ti}^2\cos \theta_i + \sqrt{ n_{ti}^2 - \sin^2 \theta_i }}$
- Solución:
Los coeficientes de reflexión en medios deieléctricos son:
$ r_{\perp} =\frac{n_i \cos \theta_i- n_t \cos \theta_t}{n_i \cos \theta_i+ n_t \cos \theta_t} $
$r_{\parallel} =\frac{n_t\cos \theta_i- n_i\cos \theta_t}{n_i \cos \theta_i+ n_t \cos \theta_t} $
Haciendo uso de la relación pitagórica : $\sin^2 \theta+ \cos^2 \theta=1$ podemos reescribir $ \cos \theta_t $ y $ \cos \theta_i $
$\cos \theta_t= \sqrt{ 1 - \sin^2 \theta_t}$
Y por Ley de Snell:
$\sin \theta_t= \frac{n_i}{n_t} \sin \theta_i$
elevamos al cuadrado:
$\sin^2 \theta_t= \frac{n_i^2}{n_t^2} \sin^2 \theta_i$
$\sin^2 \theta_i= \frac{n_t^2}{n_i^2} \sin^2 \theta_t$
Al hacer la sustitución llegamos a una expresión para $\cos \theta_t $ que involucra a $\sin \theta_i $
$\cos \theta_t= \sqrt{ 1 -\frac{n_i^2}{n_t^2} \sin ^2 \theta_i}$
con :$ \frac{n_t}{n_i} \equiv n_{ti}$
$\cos \theta_t= \sqrt{ n_{ti}^2- \sin ^2 \theta_i}$
Sustituimos en la ecuación para $ r_{\perp}$ y obtenemos:
$ r_{\perp} = \frac{ \cos \theta_i - \sqrt{ n_{ti}^2 - \sin^2 \theta_i }}{ \cos \theta_i + \sqrt{ n_{ti}^2 - \sin^2 \theta_i }}$
Para $ r_{\parallel}$
$ \cos \theta_t= \sqrt{ \frac {1}{n_{ti}^2}- \sin ^2 \theta_i}$
Multiplicamos y dividimos por $ n_{ti}^2$
y reescribimos $ r_{\parallel}$
$r_{\parallel} = \frac{n_{ti}^2 \cos \theta_i - \sqrt{ n_{ti}^2 - \sin^2 \theta_i }}{ n_{ti}^2\cos \theta_i + \sqrt{ n_{ti}^2 - \sin^2 \theta_i }}$
Aurea Espin (discusión) 00:13 29 oct 2018 (CDT)
Ejercicio 4.59
Utilice la ecuación 4.42 y la expansión en serie de la función seno para establecer que en una incidencia cercana a la normal podemos obtener una mejor aproximación que la del problema 4.45, que es
Ejercicio 4.11
Calcule el ángulo de transmisión para un rayo en el aire inicialmente a $30°$ en un bloque de vidrio crown $(n_v=1.52)$.
- $n_i\sin{\theta_i}{=n}_t\sin{\theta_t}$
- donde $n_i=1$ y $n_v=n_t$
- $sin30°=(1.52)sinθt$
- $\theta_t=\sin^{-1}{(0.5/1.52)}$
- $\theta_t=19.20°$
--Verenisse
Ejercicio 4.25
comenzando con la ley de snell, pruebe que la ecuación vectorial de la refracción tiene la forma:
ntkt-niki=$n_t\cos{\theta_t}{-n}_i\cos{\theta_i}$
partiendo de : $n_i\sin{\theta_i}{=n}_t\sin{\theta_t}{,n_i}( k_{i} X {u_n}){=n}_t{,n_t}( {k_t} X {u_n})$
donde: k_{i},k_{t} son los vectores unitarios de propagación
Así
${n_t}( k_{t} X {u_n}) -{n_i}( k_{i} X {u_n})=0$
$({n_t} k_{t} {-n_i} k_{i}) x U{n}=0$
dejando:
${n_t} k_{t}{-n_i} k_{i}$=${\gamma}$=${\gamma_{u_n}}$
donde
${\gamma}$ es referido como el astigmático constante, tambien
${\gamma}$ es la diferencia entre las proyecciones de ${n_t} k_{t} y { n_i} k_{i}$ en ${u_n}$
En otras palabras, es el producto punto entre ${\gamma}$ y ${u_n}$:
por lo que
${\gamma}$ =$n_t\cos{\theta_t}{-n}_i\cos{\theta_i}$
--[[Usuario:|Luisa Alejandra Vega S.]]